INF1020 høsten nov. og 13.nov.

Transkript

1 Essese v kurset INF høste 6 6. ov. og.ov. Noe om mtemtske forutsetger og evs (kp. ) Sorterg del I og II (kp. 7.) Are Mus, Gruppe for ojektoreterg, modellerg og språk (OMS) Ist. for formtkk, Uv Oslo Lære et sett v gode (og oe få dårlge) lgortmer for å løse kjete prolemer Gjør det mulg å vurdere effektvtete v progrmmer Lære å lge effektve & velstrukturerte progrmsystemer/loteker Lære å løse ethvert vskelg prolem så effektvt som mulg. Også lære oe klsser v prolemer som kke k løses effektvt Eks: Hvor lg td tr det å sortere mllo tll? 6 tmer og m (optmlsert Bolesorterg),4 sek. (Quck-sort),8 sek. (rdx-sort) Noe mtemtske forutsetger, logrtmer Logrtmer - II Logrtmer (hr ett grutll, f.eks., e, eller, v ruker lltd ): Defsjo: Logrtme tl et tll er det tll x v må opphøye grutllet for å få dvs: x, og skrver d: x log Når v (INF) ruker, skrver v log ute oe suskrpt Regeregler: log xy log x log y log x/y log x - log y log x log x log log x log x

2 Ekspoeter - III c c c c c c c c log log ) ( ) ( ) ( Summerg ) ( S S ) (... ) ( ) ( Summerer dsse to: S... ( -) S... summe S : Kll : ) (... 4 ) ) : kjete summer Tre... Defsjo : Bevs k l l k l Summerg ) ( (**) : - (*) (**)... med : multplserer (*) (*)... for S) : (kller... Geometrsk rekke : c) S S S S S Bevs Fre måter å evse/motevse et mtemtsk utsg (teorem) Postvt evs ved grdvs omformg Iduksjosevs Motevs med ett moteksempel Bevs ved selvmotsgelse

3 Postvt evs Iduksjosevs Gtt teorem T v skl evse Strt med et utsg S v vet er rktg Gjør lovlge opersjoer på S slk t v ett eller flere steg får omformet S tl T T : heltll > : Bevs : Vet S : >, gger så med på egge sder v ' > ' med og får : >, og sde v vet t > >, k v ersttte de sste ' '-e medpå høyre sde og får : > > som er T. Gtt e mtemtsk sts v skl vse for lle heltll > s (s kostt, typske verder :,,,,..). Vser først stse for mste verd (s ). Atr så t stse er rktg for k, (k et vlkårlg heltll > s) 4. Bruker så dee tgelse ) tl å vse t stse også er rktg for k. 5. D hr v vst stse geerelt Stge-smmelgge: Hr v vst t v k gå opp på ederste tr, og så t v lltd k gå ett tr tl, k v gå så høyt v vl.... k k... s duksjos-eks: Moteksempel ) Skl vse : ) Bss, rktg for ) Atr 4) V hr d (for 5) v.s : k k > k h.s : ( k ) k > k 5: k ) : k V hr v.s > h.s, ford k V hr å vst stse ford "v k gå opp på første tret på stge"( 5) og lltd gå ett tr tl (fr k tl k, > 4 for vlkårlg k > 4 k > k > 5, > 5 > k, k > 4 (dette k du evt.selv vse pr. duksjo, me v hr jo ettopp vst dette postvt for k > ) 5 k for lle verder v k) V skl motevs et utsg som hevder t oe gjelder for lle v e vss gruppe (tll,..) Metode: F et (ekelt) eksempel hvor påstde er gl for ett elemet v dee grupp Eks Påstd: k > k k > Motevs: Ne, gjelder kke for k ford: * <

4 Bevs ved selvmotsgelse Tdsmålger. Gtt e påstd som skl vses Eks: Det fes et uedelg tll prmtll (tll som re lr seg dele på og seg selv ute rest). At det motstte: Det fes re et edelg tll prmtll, og d også et største : p,p, p, p 4,..., p (hvor p m m er det største prmtllet). Lg e selmotsgelse ved å ruke tgelse og ellers rktge omformger v dee og dre kjete fkt.: lger: s p *p * p * p 4 *... * p m me s er et prmtll (ford ge v prmtllee p,p, p, p 4,..., p m ) går opp s. Tllet s er også større e p m. Dette er e selvmotsgelse, ford v å hr et ytt prmtll s > p m 4. Altså er påstde rktg Ford tgelse v det motstte r glt vsted. (år det motstte er glt, er det dette er motstt v, rktg ) Hvor lg td ruker: A) Ekel for-løkke for (t ; < ; ) [] [--]; B) Doel for-løkke for (t ; < ; ) for (t j ; j < ; j) [] [-j-]; (Td mllsek.) A) Ekel 4 B) Doel ? ( T flse) ( T true) Progrm: se mport jv.utl.*; pulc clss Ttd // åde mulg å ruke fr 'm' og v suklsse { log td ; Ttd(t ) { td System.curretTmeMlls(); ruk(); td System.curretTmeMlls() - td; System.out.prtl("Td rukt: " td " mllsekuder"); vod ruk(t ) { // redeferes suklsse // ed ruk pulc sttc vod m ( Strg[] rgs) { f (rgs.legth < ){ System.out.prtl(" Bruk: \ >jv TTd <>"); else { t ew Iteger(rgs[]).tVlue(); // få prmeter fr lj Ttd t ew Ttd(); // ed m // ed **** clss Ttd ***** mport esyio.*; mport jv.utl.*; pulc clss Lokke exteds Ttd { Lokke(t ) { super(); vod ruk(t ) { for (t k ; k < ; k) for (t j ; j < ; j) ; // ed ruk pulc sttc vod m ( Strg[] rgs) { f (rgs.legth < ){ System.out.prtl(" Bruk: \ >jv Lokke <> "); else { t ew Iteger(rgs[]).tVlue(); // få prmeter fr lj Lokke l ew Lokke(); // ed m // ed **** clss Lokke *****

5 Sorterg To klsser v sortergslgortmer Hv sorterer v prkss Bre tll eller tekster eller oe mer Hvord defere prolemet Krv som må være oppfylt Emprsk testg v hstghete tl lgortmer tll Hvlke verder (fordelg, mx og m verd gtt tllet ) Hv vjør tdsforruket ved sorterg Sortergslgortme N, tll elemeter v sorterer Fordelge v dsse (Uform, skjeve fordelger, spredte,..) Effekte v cchg Smmelgg-serte: Bserer seg på smmelgg v elemtee [ ] Istkk, ole Merge, Hep, Shell, Tree Qucksort Verd-serte : Drekte plsserg sert på verde v hvert elemet ge smmelgger med o-elemeter e.l. Bøtte Rdx PSort Sortergsprolemet, defsjo. Kller rrye [] før sorterge og [ ] etter og er legde:dvs. ew t [];. Sortergskrvet: [] [],,,..,- Stl sorterg Lke elemeter skl eholde s yrdes rekkefølge etter sorterg. Dvs. hvs [] [j] og < j, så skl k < r, hvs [] er sortert på plss k [] og [j] sortert på plss r [], Sortergslgortmee tr t det k fes lke verder [ ] I evsee tr v lle er forskjellge : [] [j], år j. I terstkjøgee tr t holdet [ ] er er e tlfeldg permutsjo v tllee.. dre fordelger v tllee k g helt dre kjøretder. Hvor mye ekstre plss ruker lgortme Et lte fst tll, et egreset tll (eks. < ) heltll, eller ekstr ord N.B Ett krv tl hvlket? N.B. Husk evrgskrteret Bevrgskrteret: lle elemetee v hdde [ ], skl være [ ] Formelt : Skl eksstere e permutsjo, p, v tllee..- slk t [] [p[]],,,,..- (k også deferes de dre vee, me mdre yttg) [ ] : p[ ] : [ ]: V skl seere se e sortergslgortme sert på e slk rry p (kllt Psort)

6 E ltt eklere kode e ok, tr v sorterer heltll. tds-forruk, mllsek. 45MHz PC Lr seg lett geerlsere tl oks tlfelle, som tr t de sorterer e rry v ojekter som er v type Comprle. BOKA: HER: Comprle [ ] ew Comprle []; t [ ] ew t []; tmp []; tmp [], f ( tmp.compreto( [j]) < ) { f ( tmp < [j] ) { Legde v : Bole-sort,6 Istkk-sort,7 Hep - sort,66 Shell-sort,65 Tree - sort,7 Legde v : Bole-sort,6 Istkk-sort, Hep - sort,7 Shell-sort,7 Tree - sort,6 Legde v : Bole-sort 46, Istkk-sort,9 Hep - sort,7 Shell-sort,7 (,68 for le4) Tree - sort,6 Legde v : Bole-sort 475, Istkk-sort, Hep - sort 8, Shell-sort, Tree - sort 7, Bolesort de ller lgsomste! Theorem 7. tll omyttger vod ytt(t[], t, t j) { t t []; [][j]; [j] t; vod olesort (t [] ) {t, mx.legth; whle ( < mx ) f ([] > []) { ytt (,, ); f ( > ) -; else { ; // ed olesort Ide: Bytt om oer hvs de som står tl vestre er størst, lr de mste ole vestreover [ ] : [ ] : [ ] : [ ] : E versjo ( fel ) er per def: [] > [j], me < j. Th 7. Det er gjeomsttlg (-)/4 versjoer e rry v legde. Bevs Se på e lste L og de smme lste reversert L r.ser v på to vlkårlge elemeter x,y egge dsse lstee. I e v lste står de opplgt gl rekkefølge (hvs x y). Det er (-)/ slke pr de to lstee, og stt står hlvprte fel sortert, dvs. (-)/4 versjoer L.

7 lyse v Bole-sorterg Bole er opplgt O( ) ford: Th. 7. ser t det er O( ) versjoer, og e oomyttg fjerer re e slk versjo. Kue også rgumetert som flg.: V går gjeom hele rrye, og for hver som er gl rekkefølge (hlvprte stt) ytter v dsse ( stt) hlve rrye ed mot egyelse. / x / /4 O( ), me mge opersjoer ved å ole (o-omyttger) Istkk-sorterg vod sertsort(t [] ) {t, t, mx.legth -; for (t k ; k < mx; k) { f ([k] > [k]) { t [k]; k; do{ // gå kover, skyv de dre // og f rktg plss for t [] []; --; whle ( > && [] > t); [] t; // ed sertsort Ide: T ut ut elemet [k] som er mdre e [k]. Skyv elemeter k, k-,... ett hkk tl høyre tl [k] k settes ed for et mdre elemet [ ] : [ ] : [ ] : [ ] : Formelt evs v sertsort, Spesfksjo v Sort Geerell desg-metodkk Spesfksjo_: vod Sort (,); // [..] er utdt, [..] er dt -verdee Idt: tll [..-] vlkårlg rekkefølge Utdt: '[ ] '[ ], < < og permutsjo P: < : '[P[]] [] Bevrgskrvet leses: Det fes e rekkefølge P v tllee..-, slk t ved å lese utdt [..] de rekkefølge, er de lk dt [..] Sortert-krvet Bevr holdet v [..-] Gtt e klr spesfksjo med flere ledd E v delee spesfksjoe yttes som vrt progrmmets (ytterste) hovedløkke e ltt edret form. (løkke-vrt oe som er st egyelse v løkk) Dette krvet svekkes ltt (gjøres ltt eklere); gjelder d typsk re for e del v dtstukture I dee hoved-løkk, gjelder så reste v spesfksjoee: egyelse v hoved-løkk ødelegges ofte løpet v løkk gjeskpes før vslutg v løkk 7 8

8 Desg, stkksorterg Kode - stkksorterg k sortert - Istkk-sorterg (for k,,,...,-:): k f ( [k] > [k] ) Svekker Sortert-krvet tl re å gjelde [..-] Bevrgskrvet eholdes (for hele [..-]) ) T ut det glt plsserte elemetet [] ) F hvor gmle [k] skl plsseres og skyv [..k] ett-hkk-tl- høyre (ødelegger Bevrgskrvet) ) Sett gmle [k] på plss (gjeskper Bevrgskrvet) 9 vod sertsort ( t [ ] ) { t, t, mx.legth ; for(t k; k < mx; k) f ([k] > [k] ) { t [k]; 4 k; 5 do 6 { [] []; - -; 7 whle ( > && [] > t) 8 [] t; 9 k - sortert Her gjelder Sortert: [.. k] og Bevrt [..-] ) T ut det glt plsserte elemetet [k] ) F hvor gmle [k] skl plsseres og skyv [..k] ett-hkk-tl- høyre (ødelegger Bevrgskrvet) ) Sett gmle [k] på plss (gjeskper Bevrgskrvet) Verfseres flg. spesfksjoee resoemet for termerg v prosedyre rgumet for t sertsort er rktg E rry med ett elemet er sortert - dvs. [] er sortert. Løkke-vrte ([..k] er sortert og Bevrt [..-]) gjelder følgelg ved første strt v hovedløkk (lje) ford. t f ( [k] > [k] ) lje : O lyse v stkk-sorterg Smme lyse som Bole, me lgt færre opersjoer per forflytg O( ) lje 5-7: N.B. rekkefølge på kopergee, Ødelegger Bevrt [..-] ford gmle [] overskrves. lje 8: j Gjeoppretter Bevrt [..-] Ett gjeomløp v hovedløkk gjør de sekvese som er sortert ett elemet leger og øker med - dvs. løkkevrte gjelder på toppe ved este gjeomløp ([..k] er sortert og Bevrt [..-]). Prosedyre termerer opplgt år k- og for (..) øker k med hver gg.

9 Shell, Ide: Gjør esseselt stkksorterg lgs [], [-gp] [-gp]... vod ShellSort(t [] ) for gp /, /4,.., og gp, gp {,..,-. Dvs. lle sekveser [] v for (t gp.legth/ ; gp > ; gp gp/) for (t gp ; <.legth ; ) legde../, /4,..., og tl sst f ([] < [-gp] ) { t tmp [], j ; [ ] : do { [j] [j-gp]; j j- gp; [ ] : whle (j > gp && [j-gp] > tmp); gp [j] tmp; [ ] : gp // ed ShellSort [ ] : gp lyse v Shell-sorterg Hvorfor vrker de hvorfor sorterer de? Ford år gp er dette stkksorterg v rrye Hvorfor er dette vlgvs rskere e stkksorterg Ford v på e llg måte hr este sortert [ ] før sste gjeomgg med gp, og år [ ] er delvs sortert, lr stksorterg meget rsk. Worst cse, som stkk O( ) Mye rskere med dre, lure vlg v verder for gp O( / ) eller edre Velger prmtll stgede rekkefølge som er mst doelt så store som forgjegere /(på de smme prmtllee): (,,5,,..., /, /, /5, /) Meget lett å lge sekveser som er etydelg lgsommere e Shells orgle vlg, f.eks re prmtllee Husk: E slk sekves egyer på tder mllsek Hvorfor er Shell-sort så dårlg år k? Legde v : Hep - sort Shell-sort 9 Tree - sort 7 Legde v : ** Hep - sort 455 Shell-sort 57 Tree - sort 4 Legde v : Hep - sort 49 Shell-sort 55 Tree - sort 47

10 Shell e esekves for gp tder mllsek Shell orgle gp,,,/8, /4, / Shell med gp,,5,,../, /5, / vod ShellSort(t [] ) { t [] gpvl {,,5,,, 47,, 9, /9, /,/47,/,/,/5,/ ; t gp ; for (t gpid gpvl.legth -; gpid > ; gpid --) { gp gpvl[gpid]; for (t gp ; <.legth ; ) f ([] < [-gp] ) { t tmp [], j ; do { [j] [j-gp]; j j- gp; whle (j > gp && [j-gp] > tmp); // ed [j] tmp; Legde v : Hep - sort 9 Shell-sort 5 Shell -sort 85 Tree - sort 89 Legde v : Hep - sort 79 Shell-sort 4 Shell -sort 75 Tree - sort 875 Legde v :48576 ** Hep - sort 5 Shell-sort 8!! Shell -sort 98 Tree - sort 78 Legde v : 8 9 ** Hep - sort Shell-sort Shell -sort Tree - sort Rotrettet tre Fel rot, er kke størst:.., Ide for Hep &Tre sorterg rotrettet tre rrye:. Rot er største elemet treet (også rot lle sutrær rekursvt). Det er ge ordg mellom vsu og hsu (hvem som er størst). V etrkter holdet v e rry [:-] slk t vsu og hsu tl elemet er : og (Hvs v kke går ut over rrye) Fel ldode, 99 er større e s rot: [ ] : , Eks på rktg tre:.., 8 [ ] : , 5 99

11 Hjelpemetode rote et (su)tre mulges fel : sttc vod dyttned (t, t ) // Rot er (mulges) felplssert dytt gmmel edover // få y, større oppover { t j *, temp []; whle(j < ) { f ( j < && [j] > [j] ) j; f ([j] > temp) { [] [j]; j; j j*; else rek; [] temp; Før: dyttned (, 5) Etter: sttc vod dyttned (t, t ) { t j *, temp []; whle(j < ) { f ( j < && [j] > [j] ) j; f ([j] > temp) { [] [j]; j; j j*; else rek; [] temp; Eksekvergstder for dyttned V ser t metode strter på sutreet med rot [] og verste tlfelle må flytte det elemetet helt tl ed tl e ldode c. tl [], Avstde er (-) rrye og hver gg doler v j tl j < : dvs. whle-løkk går mks. log(-) gger O(log ) ( dette er det smme som t høyde et ærtre er log()) sttc vod dyttopp (t ) // Bldode på plss er (mulges) felplssert // dytt de oppover mot rot tl hele treet { t j (-)/, temp []; whle( temp > [j] && > ) { [] [j]; j; j (-)/; [] temp; Før: dyttopp (5) Etter: 55 Eksekvergstde for dyttopp sttc vod dyttopp (t ) // Bldode på plss er (mulges) felplssert // dytt de oppover mot rot tl hele treet { t j (-)/, temp []; whle( temp > [j] && > ) { [] [j]; j; j (-)/; [] temp; V ser t metode strter på det treet med rot [] som går tl og med [], og verste må flytte gmle [] helt opp tl rot [] Avstde er rrye og hver gg hlverer v tl verste fll : dvs. whle-løkk går mks. log() gger O(log ) ford mksmlt er lk og gjeomstlg / ( dette er også et smme som t høyde et ærtre er log())

12 Idee k Tre & Hep-sorterg Tre sorterg Tre sorterg: V strter med røttee, først de mste sutrære, og dytter de ed (får evt, y større rotverd oppover) Hep-sorterg: V strter med ldodee, og lr de stge oppover stt (su)-tre, hvs de er større e rot. Felles: Etter dee første ordge, er å største elemet [] vod dyttned (t, t ) { // Rot er (mulges) felplssert // Dytt gmmel edover // få y større oppover t j *, temp []; whle(j < ) { f ( j < && [j] > [j] ) j; f ([j] > temp) { [] [j]; j; j j*; else rek; [] temp; // ed dyttned vod treesort( t [] ) { t.legth-; for (t k / ; k > ; k--) dyttned(k,); for (t k ; k > ; k--) { dyttned(,k); ytt (,k); Ide: V hr et ært ordgstre [..k] med største rot. Orde først lle sutrær..få største elemet opp [] og Bytt det med det k te elemetet (k, -,.. ) [ ] : lyse v tree-sorterg Hep-sorterg. De store egruelse: V joer med ære trær, og setter prsppet verder, lle med ve log tl rot O( log ) Først order v / sutrær med gjeomsttshøyde (log ) / *log/4 Så setter v e y ode gger toppe v det treet som er [..k], k, -,..,, I stt er høyde på dette treet (este) log dvs log Summe er klrt O( log) vod dyttopp(t ) // Bldode på plss er // (mulges) felplssert // Dytt de oppover mot rot { t j (-) /, temp []; whle( temp > [j] && > ) { [] [j]; j; j (-)/; [] temp; // ed dytt Opp vod hepsort( t [] ) { t.legth -; for (t k ; k < ; k) dyttopp(k); ytt(,); for (t k -; k > ; k--) { dyttned(,k); ytt (,k);

13 lyse v Hep -sorterg Som Tre-sorterg: V joer med ære trær (huger), og setter prsppet verder, lle med ve log tl rot O( log ) Qucksort geerell dé. F ett elemet (de dele v) rrye du skl sortere som er omtret mddels stort lt dsse elemetee kll det prt. Del opp rrye tre deler og flytt elemeter slk t: ) små - de som er mdre e prt er tl vestre ) lke - de som hr smme verd som prt er mdte c) store - de som er større, tl høyre små lke store. Gjet pkt. og rekursvt for de små og store områdee hver for seg tl legde v dem er <, og dermed sortert. l s lke små lke store usett vod qucksort ( t [], t l, t r) { t s l-, lke, d; t t, prt [(lr)/]; for ( t l; < r; ) f ( [] prt ) { lke; // ytt om de vestre store t [slke]; // og de ye ([]) [slke] []; [] t; else f ([] < prt) { s; // ytt om syklsk de vestre d slke; // store, de vestre lke og t []; // de ye [] [] [d]; [d] [s]; [s] t; f ( l < s ) qucksort (,l,s); f ( slke < r ) qucksort (,slke,r); r QuckSort - eksempel Sortert :

14 Quck sort, tdsforruk V ser t ett gjeomløp v qucksort tr O( r-l ) td, og første gjeomløp O() td ford r-l første gg Verste tlfellet V velger prt slk t det f.eks. er det største elemetet hver gg. D får v totlt kll på qucksort, som hver tr O(/) td gj.stt dvs O( ) totlt Beste tlfellet V velger prt slk t de deler rrye to lke store deler hver gg. Treet v rekursjos-kll får dyde log. På hvert v dsse våee gjeomløper v lle elemetee (høyst) e gg dvs: O() O()... O() O ( log ) ( log ledd ddsjoe) Gjeomstt I prkss vl verste tlfellet kke opptre me velger ofte prt som mede v [l], [(lr)/ og [r] og v får O ( log ) Qucksort prkss I Bruker e e mplemetsjo e de som er vst tdlgere ( med færre omyttger) Kller stkksort år legde v det som skl sorteres er mdre e c. E slk QuckSort går c doelt så fort som de som er demostrert tdlgere (me vskelg åfårktg): vod qucksort ( t [],t l,t r) { t l, jr; t t, prt [(lr)/]; whle ( < j) { whle ([] < prt ) ; whle (prt < [j] ) j--; f ( < j) { t [j]; [j] []; [] t; ; j--; f ( l < j ) { f ( j-l < ) stkksort (,l,j); else qucksort (,l,j); f ( < r ) { f ( r- < ) stkksort (,,r); else qucksort (,,r); // ed qucksort Qucksort prkss II Fe det k største elemetet Vlg v pertsjoergselemet prt er vesetlg Boks versjo v Qucksort OK, me flytter prtsjoergs elemetet ut på sdelje, og tr kke høyde for flere lke elemeter Velger derfor ofte mede (det mdterste verd) v: det første det mdterste det sste elemetet det området v skl sortere Qucksort er kke de rskeste lgortme (f.eks er Rdx mst doelt så rsk), me yttes mye f.eks jv.utl.arrys.sort(); Geerell dé:. Bruk oppdelgsmetode fr QuckSort og del opp lte lke og stor del. Let vdere (rekursvt) rktg del: f ( k < (legde v lte) ) let lte else f ( k < (legde v lte lke) fuet lke else let vdere stor lte lke stor Eksekvergstd - se QuckSort (me hvord?)

15 t kvkkvlg ( t [],t l,t r, t k) // deler [l,r] lte, lk og stor // velger ut det k-største elemetet (k,...,.legth) { t s l-, lke, d; t t, prt [(lr)/]; Eksekvergstd - kvkkvlg f (l r) retur [r]; else { for ( t l; < r; ) f ( [] prt ) { lke; t [slke]; [slke] []; [] t; else f ([] < prt) { s; d slke; t []; [] [d]; [d] [s]; [s] t; f ( k -< s ) retur kvkkvlg (,l,s,k); else f ( k -< s lke) retur prt; else retur kvkkvlg (,slke,r,k ); (forts.) f ( k -< s ) retur kvkkvlg (,l,s,k); else f ( k -< s lke) retur prt; else retur kvkkvlg (,slke,r,k ); dvs: / /4 /8... ( ½ ¼ /8...) O() / /4 /8 Flette - sorterg (merge) Veleget for sorterg v fler. Geerell dé:. V hr to sorterte sekveser A og B (f.eks på hver s fl). V øsker å få e stor sortert fl C v de to.. V leser d det mste elemetet på toppe v A eller B og skrver det ut tl C, ut-fl 4. Forsett med pkt.. tl v er ferdg med lt. I prkss skl det meget store fler tl, før du ruker flettesorterg. 4 MB ter hukommelse er dg meget llg (oe få tuse kroer). Før v egyer å flette, vl v sortere flee stykkevs med f.eks Rdx, Kvkk- eller Bøtte-sorterg sksse v Flette-kode Algortme flettesort ( Fl A, Fl B, utfl C) { A.frst; B. frst; whle (! ull &&! ull) f ( < ) { C.wrte (); A.frst; else { C.wte (); B.frst; whle (! ull) { C.wrte (); A.frst; whle (! ull) { C.wrte (); B.frst;

16 Verd-serte sortergsmetoder Bøtte-sorterg og sorterg v ojekter Drekte plsserg sert på verde v hvert elemet ge smmelgger med o-elemeter e.l. Telle-sorterg, e metode som kke er rukr prkss ( hvorfor?) Er klrt v O(), me svdel : vod tellesort(t [] ) { t mx,,m, d ; for ( ; < ; ) f ([] > mx) mx []; t [] telle ew t[mx]; for( ; < ; ) telle[[]] ; for( ; < mx; ) { m telle[]; whle ( m > ) { [d] ; m--; Idt: Usortert lste s, med ojekter hver med e (t) økkel vlue Sorterg v drekte plsserg stk. Stkker ( LIFO kø) Utdt: Sortert lste s Stl sorterg Kjøretd O(mx ), mx er største verd økkele O() år mx er omlg lk (kke spredd, ty fordelg.), me gjere mge lke elemeter. Ulemper: Bruker ekstr plss: * pekere (lste este-pekere ojektee) overhed v ojekter, tlsmme c. * Atr uform eller tett fordelg. Brukes l. v FAST søkemotor clss BNode { BNode este; t verd; BNode (BNode, t v) { este ; verd v;.. for(t ; <; ) s ew BNode( s, []); s ucketsort( s );... s lst BNode ucketsort ( BNode s ) {t mx ; BNode t s; whle (t! ull) { f (t.vlue >mx ) mx t.vlue; t t.ext; BNode [] lst ew BNode [mx]; BNode t; whle (s! ull) { t s; s s.este; t.este lst[t.verd]; lst[t.verd] t; // lg lste FIFO from LIFO LIFO for (t mx; > ; --) whle (lst[]! ull ) { t lst[]; lst[] t.este; t.este s; s t; retur s; Rdx-sorterg Sorterer e rry [] på hvert sffer Et sffer et re ett vsst tll t Algortme: Fer først mx verd [ ] Koperer dt ved hver slk gjeomgg fr e rry ( utggspuktet []) tl e e, [] v smme legde Neste gg (for este sffer) koperes tlke fr [] tl []

17 // Rdx kostter og kode < 4 elemeter t [] ; sttc t umbt, rmx 4-, mx ; vod rdxsort(t [] ) { // f mx [] for (t ; <.legth; ) f ([] > mx) mx []; f ( mx < rmx) { // for første gg, hvs små/få verder // Treger å re ett sffer som også er mdre whle ( (<<umbt) > mx ) umbt --; umbt ; // wet oe too fr rmx (<< umbt) -; rdxsort(,,, mx); // koper tlke tl hvs svret å er [] f (! ) for (t ; < ; ) [] []; Ett elemet fr[]: t t umbt rmx: umbt ere t [] rdxsort ( t [] fr, t [] tl, t t, t mx ) { t [] t ew t [rmx]; t cumvl, j; // tell opp t hvor mge v hver verd for (t ; < ; ) t[((fr[]>> t) & rmx)]; // Adder opp 't' kkumulerte verder for (t ; < rmx; ) { j t[]; t[] cumvl; cumvl j; // flytt tllee sortert (på dette feltet) tl tl. for (t ; < ; ) tl [ t [ ((fr[]>>t) & rmx) ] ] fr[]; // Hvs mer gje å sortere sorter på este t ter f ( ( << (t umbt)) < mx ) retur rdxsort ( tl, fr, t umbt, mx); else retur tl; Tdsforruket tl Rdx Sortere ved å lge sortergs-permutsjoe Psort I. Først går v gjeom [] for å fe mx O(). Legg merke tl t t[] hr legde rmx e kostt. Følgede opersjoer gjøres (log mx)/(log rmx) gger:. Tell opp t[] hvor mge det er v hver sffer-verd O(). Juster pekere t[] O(log rmx ). Flytte lle dt (fr: fr[] tl: tl[]) O() 4. Dvs totlt O( log mx), og sde mx ofte er e fuksjo v, lr dette ofte O( log) me koeffsete er meget lte 5. Rdx er vel doelt så rsk som Qucksort prkss, me krever doelt så stor plss 6. Hovegrue tl t Rdx er så rsk t de ksesserer hvert elemet lgt færre gger e Qucksort (år mll, gjør Qucksort c. les/skrv per elemet, Rdx gjør c. 7) Hvorfor sortere? Ikke egetlg teressert å sortere e t rry M sorterer smmehegede dtmegder: Bk : Koto #., v, dresse, sldo sortert på Koto #. Studet: Nv, dresse, sttutt #, eksme, sortert på Ist # og v Atr t dt er [ ],[ ],...,d[ ] og t v vl presetere,,...d sortert på Tre løsger:. Flytte dt,c,...d smme med og tlsvrede m sorterer gske lgsomt!. Legg dt(,,...,d ) ojekt. Sorter ojektee på økkele rskt, me plssforrukede (og derfor lgsomt for store dtsett). Geerere sortergspermutsjoe t [ ] p fr slk t: [p[]], [p[]],...,d[p[]] er det sorterte dtsettet.

18 Psort, lger sortergs-permutsjoe. (som Rdx: F mx verd ).. Som Rdx: Tell rry cout hvor mge det er v hver verd.. Som Rdx: Adder tllee tl logske pekere cout cout [] cout [-] cout [-] 4. Lg sortergs- permutsjoe: p[ cout[[]]]. Eks: mx 6. Cout Adder tl pekere 4. Lg p : t [] psort ( t [] ) { t.legth; t [] p ew t []; t [] cout ; t loclmx ; t ccumvl, j, for (t ; < ; ) f( loclmx < []) loclmx []; cout ew t[loclmx]; for (t ; < ; ) cout[[]]; for (t ; < loclmx; ) { j cout[]; cout[] ccumvl; ccumvl j; for (t ; < ; ) p[cout[[]]] ; retur p; Smmelgg v lgortmer Tree-sort Quck-sort effektvsert med Istkksorterg for sudeler < Bøtte-sorterg Dt plssert ojekter. Dsse plsseres lster e per mulg verd geererg v ojekter utefor tdtgge P-sort Rdx Mst sgfkt sffer først, pss (hvs ødvedg) t fst sffer Noe tder Tree - sort ,5,97,954,657,46 Bøtte - sort 78 9,8 4,68,5,,6 Rdx - sort ,98,,5,6 PSort ,,,56,88, Quck - sort ,4 6,88,5,75, mllsek Asolutte sortergstder Tree - sort Bøtte - sort Rdx - sort PSort Quck - sort

19 Reltvt tl Qucksort (logrtmsk x-kse) Hv er cchg? Reltve eksekvergstder (Quck-sort ) Nvå og cche KB, MB på CPUe evt. vå cche 6 MB På eller ved sde v CPU,5,,5,,5,,5 Tree - sort Bøtte - sort Rdx - sort PSort Quck - sort CPU System uss Loklett Dsk Når v kke fer dt ærmeste cche, overføres e cchelje Byte fr sktere tl rskere hukommelse., legde v sortert rry Effekte v cchg hvor stor? Ser på uttrykk som yttes Rdx og Psort Rdx: // flytt tllee for (t ; < ; ) tl[t[((fr[]>>t) & rmx)]] fr[]; Psort // mke p[] for (t ; < ; ) p[cout[[]]] ; Dsse gjeomløpee er gske cche-uvelge De hopper reltvt tlfeldg rudt cout og p Cche-test Tester uttrykk v type med skrv og k les: for(t ; < ; ) [[[ [] ]]] ; To hold p: Sekvesell: [] gr este ge cche-fel Tlfeldg hold [] tlfeldg t (..-) gr este k stk. cche-fel ved økede, først vå cche fel, så også vå, og evt. også tl vå.

20 Tm es slower whe rdom ly dexed Cche Test - sequetl vs. rdom dexed [[[[[[[[[]]]]]]]]] ; P4-Xeo.8GHz Optero 54.8GHz Petum M.7GHz UltrSprcIII.6GHz (log scle) Smmelgg mellom Sekvesell utførelse og Rdom hold v [] Tmes slower whe redomly dexed Fe år level (L) cche feler Optero hr 64 k L mes Xeo her 8 k L Sme Cche Test, legth of rry, < 5 P4-Xeo.8GHz UltrSprcIII.6GHz Petum M.7GHz Optero 54.8GHz (log scle) Cchg koklusjoer Opp tl 4x forskelse med ekstreme cche-fel Opp tl over 5x forskelse ved ormltlfellet: skrv - les Idé for lgortmer: Lg e lgortme som er cche velg ete færre les/skrv på hvert dtelemet sekvesell (folegs, klegs) les/skrv V k kskje h -x leger kode ( utførte struksjoer) e e cche-uvelg kode og ed være rskere Rskere, cche-velge lgortmer? To forsøk på verd-serte lgortmer:. pss Psort ( sorterg mx t d gge), kode c. x. Blokk-sort modfsert Rdx: Først sorter drekte 4 lster med uffre på mest sgfkte t Så vlg Rdx-sorterg på de resterede lveste t (kode c. x) Smmelget med: Quck-sort ( ss) pss Psort Vlg Rdx-sorterg Nå foredret ltt ved å redusere tll t det sorteres på ved korte rryer

21 Cche sortg lgorthms compred Koklusjo på mulg cche -optmlserg Reltve executo tme reltve Quck-sort () Legth of sorted rry (x) Quck PSort-pss PSort - pss Block Rdx Itrodusert y, rsk sortergslgortme Psort som hr ett klrt og stort vedelsesområde Cchg er e vesetlg effekt ved sorterg, og vel også ehver e lgortme Ige y, rskere lgortme, ford: Ny kode legere Mer komplsert kode Gmmel lgortme vr e ldg v cche velg og uvelg kode. Veet foredrgsmulghet vr d kke 5x me heller c. x Neste lke rske lgortmer med -x så lg kode Slke cche-velge lgortmer k l edre hvs forholdet mellom CPU ( MHz) og hukommelse (4 MHz) edre seg mer tl det verre (større forskjell).