I hvor stor grad vil eldrebølgen bidra til økte helsekostnader?

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "I hvor stor grad vil eldrebølgen bidra til økte helsekostnader?"

Transkript

1 ARTIKKEL FREDRIK ALEXANDER GREGERSEN Forsker, Oslo Centre for Biosttistics nd Epidemiology (OCBE), Oslo universitetssykehus HANS OLAV MELBERG Førstemnuensis, Avdeling for Helseledelse og Helseøkonomi, Universitetet i Oslo og OCBE I hvor stor grd vil eldrebølgen bidr til økte helsekostnder? En studie v ulike frmskrivningsmetoder for helsekostnder I denne rtikkelen presenteres ulike metoder for frmskrivning v frmtidige helsekostnder som følge v økning i forventet levelder. Artikkelen ser på den mest vnlige metoden der mn multipliserer dgens gjennomsnittskostnd for ulike ldersgrupper med det frmtidige ntll personer i de ulike gruppene i frmtiden, og hvorfor dette kn overestimere frmtidige helseutgifter. Videre presenteres to lterntive metoder for frmskrivning v frmtidige helseutgifter. Ved bruk v dt fr Norsk Psientregister, viser frmskrivninger frm til år 2100 t forskjellen mellom metodene er betydelige. Den enkle modellen tilsier en vekst på 108 %, men metoden der mn ntr «sunn ldring» gir en vekst på 60 %. INNLEDNING Frmskrivning v forventede helseutgifter er viktig for å kunne plnlegge riktig nivå på investeringer i helsesektoren. Ifølge tll fr Sttistisk Sentrlbyrå vil ntll eldre over 80 år øke fr i overknt v i dg til i overknt v i En rekke rpporter predikerer t dette vil føre til et betydelig behov for rbeidskrft i helsesektoren (Stortingsmedling, ). Det er videre også hevdet t 2 v 3 nyutdnnede må strte å jobbe i helse- og sosilsektoren frm mot 2030, hvis mn skl tilby smme kvlitet på tjenestene som i dg (Aftenposten, 2009). Det er mnge både nsjonle (Gregersen, 2013, Melberg m. fl., 2013) og internsjonle studier (Sterns og Norton, 2004) som viser t eldre (60+) i gjennomsnitt per cpit hr et høyere helseforbruk enn den yngre befolkningen. På den nnen side peker også flere studier på t helseforbruk forbundet med siste leveår (dødsfllsrelterte utgifter) er lvere for eldre enn yngre (Gregersen og Godger, 2014, Melberg m. fl., 2013). Den forventende totle belstningen for helsevesenet v «eldrebølgen» vhenger v hvilke forutsetninger mn legger til grunn. Denne rtikkelen begrenser seg til å se 32 // SAMFUNNSØKONOMEN NR

2 på betydningen v demogrfiske endringer. I tillegg til demogrfiske endringer er det viktig å merke seg t også ndre fktorer vil påvirke kostndene over tid, for eksempel større krv til kvlitet, ny teknologi, og økt inntekt vil også påvirke utgiftene til helse (Christinsen m. fl., 2012, Häkkinen m. fl., 2008). Det er videre slik t mnge v fktorene ofte henger smmen: Helseutgiftene vil øke både fordi vi får flere eldre som lever lenger og fordi disse vil bli mnge nok til å lge en pressgruppe og et mrked for ny teknologi som i sin tur driver kostndene. En mer generell tilnærming til helseutgiftene må se på lle disse fktorene smmen. Trdisjonelt hr mn nvendt den nive metoden til å frmskrive helseutgifter (Häkkinen m. fl., 2008, Perspektivmeldingen, ). Den nive metoden legger til grunn t en person med en gitt lder hr smme forbruk som en med tilsvrende lder i frmtiden. Det finnes også mnge ndre hypoteser om hvordn demogrfiske endringer vil påvirke helseforbruket i frmtiden (Thorslund og Prker, 2005). På åttitllet lnserte Fries (1983) hypotesen om t det er en mksiml lengde på livet. Etter hvert som medisinsk teknologi går frmover, vil mn ifølge hypotesen få en kortere periode med sykdom. Dette omtles ofte som «compression of morbidity». Hvis hypotesen stemmer, kn det påvirke helseforbruket på flere måter. Hvis smfunnet ksepterer «nturlig død» vil helseforbruket til eldre flle, mens hvis mn bruker lle ressurser på å minimere sykelighet kn helseforbruket for eldre øke ettersom en større ndel v sykeligheten vil forekomme hos eldre (Brer m. fl., 1987). Denne hypotesen kn imidlertid være vnskelig å implementere til frmskrivningsformål ettersom den ikke gir et konkret mål på hvor mye sykelighet som kommer til å bli «komprimert» over tid. En lterntiv og kontroversiell hypotese ble lnsert v Zweifel m. fl. (1999). De hevdet t det er tid til død og ikke lder i seg selv som vgjør hvor mye helsetjenester mn bruker. Dette klles ofte «red herring hypotesen». Denne hypotesen hr blitt mye debttert i litterturen og flere studier støtter hypotesen (Zweifel m. fl., 2004). Zweifels rgument innebærer t en økning i levelder vil h liten betydning for frmtidige helseutgifter ettersom det høye helseforbruket forbundet med høy lder bre blir forskjøvet til høyrer ldersgrupper (Gregersen, 2013). En vnlig måte å opersjonlisere denne teorien ved frmskrivning v helseutgifter er å skille mellom dødsrelterte utgifter og utgifter til de som overlever i ulike ldersklsser (Perspektivmeldingen, ). Mn ntr d t en syttiåring som dør i frmtiden hr smme kostnder mot slutten v livet som en syttiåring som dør i dg, og tilsvrende med de som overlever. Denne metoden vil vi videre referer til som DRU-metoden. Hvis mn skulle fulgt red herring-hypotesen fullt ut, skulle mn bre nvendt tid til død. Det er imidlertid vnskelig å implementere ettersom det kn være vnskelig å måle tid til død for enkeltpersoner. Videre viser flere studier t mjoriteten v de dødsfllrelterte utgiftene kommer de siste månedene før død (Emnuel, 1996, Lubitz og Riley, 1993, Melberg m. fl., 2013, Yng m. fl., 2003). Dermed vil trolig skillet mellom overlevere og siste leveår lngt på vei fnge opp de dødsfllsrelterte utgiftene. I den senere tid hr Mdsen (2004) fulgt opp v Breyer og Felder (2006) og Melberg og Sørensen (2013) foreslått en tredje hypotese for frmskrivning v helseutgifter som bygger på en ntgelse om sunn ldring. Dette innebærer t frmtidens syttiåringer er mer lik dgens sekstiniåringer eller yngre når det gjelder helse. Konkret ntr mn med denne metoden t helsekostndene til en person i ulike ldersklsser i frmtiden vil endre seg i tkt med endret levelder. Melberg og Sørensen (2013) smmenligner helseforbruket i Norge og Dnmrk. Disse lndene hr ulik forventet levelder, men er ellers på mnge måter like. Norge hr høyere forventet levelder enn Dnmrk. Mønstrene for helseutgifter i de ulike ldersgruppene tyder på t det er en viss sunn ldringseffekt på utgiftsmønsteret. Med ndre ord hr norske syttiåringer et utgiftsmønster som i større grd ligner på dnske sekstiniåringer enn dnske syttiåringer. I den neste delen vil vi formlisere forskjellen mellom de tre metodene for frmskrivning v helseutgifter: den nive, DRU- og sunnldringsmetoden. Den nive metoden hr blitt brukt i blnt nnet Wler (1999) for å frmskrive behov for helsetjenester frm mot I den senere tid hr DRU-metoden blitt mer utbredt og ble brukt v blnt nnet Finnsdeprtementet for å frmskrive behov for helsetjenester i Norge i Perspektivmeldingen ( ). Metoden med sunn ldring er foreløpig lite brukt til frmskrivning, og resulttene i denne rtikkelen representerer et v de første forsøkene på tllfeste konsekvensene v å bruke denne metoden. Til slutt vil vi illustrere forskjellen mellom de ulike metodene med frmskrivning sykehusutgifter i Norge. Denne frmskrivningen er ment som en illustrsjon v metodene, og vil ikke drøfte usikkerhet i befolkningsfrmskrivinger eller ndre fktorer nevnt over slik som inntekt. En nærmere gjennomgng v befolkningsfrmskrivinger fr ARTIKKEL SAMFUNNSØKONOMEN NR // 33

3 Sttistisk Sentrlbyrå finnes blnt nnet i Foss (2012) og Gregersen og Rnd-Hendriksen (2014). DEN NAIVE METODEN En vnlig metode for å estimere forventede utgifter, er først å beregne nåværende gjennomsnittlig ressursbruk (c) for personer i ulike ldersklsser (), og så multiplisere dette med det ntllet personer (n) mn forventer å få i de ulike ldersklssene i frmtiden (t år fr beregningsåret t 0 ): Totl ressursbruk i år (t 0 TC = n c t0 (1) + t,t 0 + t,t 0 En mulig svkhet med den nive metoden, er t gjennomsnittskostndene for frmtidige syttiåringer nts å være like store som for dgens syttiåringer, eller mer generelt for lle ldersklsser (): c,t0 +t = c,t 0 (2) For å forstå problemet med denne ntgelsen, er det nyttig å dele gjennomsnittskostnden i en ldersgruppe mellom to grupper: De som lever gjennom hele året (S, survivors) og de som dør i løpet v året (D, decedents). Gjennomsnittlig årlig kostnd i en ldersgruppe består v kostndene til de som lever hele året og de som går bort det smme året, der snittene er vektet etter hvor mnge det er i de to gruppene: n S,t 0 n D,t 0 c,t0 = c S n S,t 0 + n D,t 0 + c D,t 0 n S,t 0 + n D,t 0 (3),t 0 Fr dette uttrykket, kn mn se t dgens gjennomsnittsutgift for syttiåringer inkluderer utgifter til mnge som dør når de er sytti år. Hvis mn i frmtiden lever lenger, vil ndelen som dør når de er syttiår synke og d vil også gjennomsnittsutgiftene for syttiåringer synke. En mer korrekt frmskrivning v utgiftene bør t hensyn til dette og ikke bruke dgens gjennomsnittsutgifter for syttiåringer når mn skl beregne morgendgens utgift til syttiåringer. DRU-METODEN Kjernen v problemet er t det er kn være feil å bruke gjennomsnittsutgift for lle personer med smme lder. Dette fordi utgiften til de som dør og overlever er forskjellige. En nturlig løsning er d å skille mellom disse to gruppene i frmskrivningen v totl utgift. Mn beregner gjennomsnittsutgiften til de som er i sitt siste leveår og de som ikke er i sitt siste leveår (i ulike kjønns- og ldersgrupper) og multipliserer med det ntllet individer mn ntr å h i de ulike gruppene i frmtiden (ntllet som dør i løpet v året vs. ntllet som overlever året, i ulike kjønnsog ldersgrupper). Gjennomsnittlig ressurs bruk per person som dør i løpet v år (t 0 c D,t 0 + t = c D,t 0 (4) Gjennomsnittlig ressurs bruk per person som ikke dør i løpet v år (t 0 Totl ressursbruk i år (t 0 c S,t 0 + t = cs,t 0 (5) TC = t0 + t nd,t 0 + t cd,t 0 + n S,t 0 + t cs,t 0 (6) Med denne metoden tr mn hensyn til t ndelen personer som dør vil endre seg i ulike ldersgrupper i frmtiden. Mn ntr fremdeles ingen endring i kvlitet, teknologi eller behov: En frmtidig syttiåring som dør nts å bruke like mnge og kostbre helsetjenester som dgens i løpet v sitt siste leveår. Tilsvrende ntr mn t frmtidens syttiåringer som lever hele året, får like mnge og kostbre helsetjenester som dgens. Dette er en mer plusibel ntgelse enn i den nive metoden, der mn ntok t gjennomsnittkostndene for hele ldersgruppen vr den smme i frmtiden som i nåtiden. SUNN ALDRING Dersom frmtidige syttiåringer får mindre behov for helsehjelp enn dgens, vil ikke metoden med å skille ut dødsrelterte kostnder gi rett kostndsfrmskrivning. Det smme gjelder dersom det å dø som syttiåring blir mer eller mindre kostbrt når levelderen øker. I begge tilfellene vil metoden gi misvisende svr fordi den ntr t dgens kostnder blnt de som dør og overlever kn brukes på frmtidige personer med smme lder. Dette er en problemtisk ntgelse når levelderen øker. For å t hensyn til utviklingen i endrede behov i smme ldersgruppe når levelderen økes, kn mn derfor bruke en tredje metode for kostndsfrmskrivninger. Med denne metoden ntr mn t morgendgens syttiåringer blir friskere og dermed kn smmenlignes med forrige genersjons sekstiniåringer når det gjelder helsebehov og dødsrelterte kostnder. Mer generelt, dersom mn ntr t gjennomsnittlig levelderen stiger med ett år hvert tiende år og mn 34 // SAMFUNNSØKONOMEN NR

4 får et tilsvrende skift i behov, kn mn bruke 7) til 9) til frmskrivning v utgifter. Gjennomsnittlig ressursbruk per person som dør i løpet v år (t 0 +t) blir d: c D,t 0 + t = c D t ( 10 ) (7),t 0 Gjennomsnittlig ressursbruk per person som ikke dør i løpet v år (t 0 +t) blir d: c S,t 0 + t = c S ( t 10 ),t 0 (8) Problemet med sunn ldringsmetoden er t selv om det kn være en rimelig ntkelse t en eldre person, eksempelvis en syttiåring i frmtiden er mer lik en sekstiniåring i dg, vil ikke nødvendigvis smme metode gjelde for de yngre ldersgruppene. Hvis mn velger å forskyve lle ldersgrupper ned ett år vil det heller ikke være mulig å bestemme frmtidig forbruk for nullåringer. For å omgå disse problemene, kn mn bruke prosentvis endring: Hvis mn forventer t levelderen øker med prosent t år frm i tid, kn mn nt t helseforbruket til en person med lder vil være lik forbruket til en person med lder (1 ) i dg. Dette ntr vi både for levende og døde. ARTIKKEL Totl ressursbruk i år (t 0 +t) blir d: TC = t0 + t nd,t 0 + t cd t ( 10 ) + n S,t 0,t 0 + t cs t ( 10 ) (9),t 0 I denne tredje tilnærmingen, ntr mn t morgendgens eldre blir friskere enn dgens når levelderen økes: At syttiåringer om ti år hr helsebehov som tilsvrer dgens sekstiniåringer, t de om tjue år hr behov som tilsvrer dgens sekstiåtteåringer. Fordi mn ntr t frmtidens eldre blir friskere, kn det se ut som om metoden som ntr sunn ldring vil gi lvere forventede kostnder enn den nive- og DRU-metoden. Det er en forhstet konklusjon. Det viser seg t kostnder knyttet til sykehusbehndling for personer som dør i et gitt år, fktisk synker med lder. Som vist i Levinsky m. fl. (2001) og Melberg m. fl. (2013), er gjennomsnittlig sykehusutgifter til en åttiåring i sitt siste leveår, lvere en gjennomsnittlig sykehuskostnd for en syttiåring i sitt siste leveår. Det er delvis dette mønsteret som gjør t DRUmetoden vil gi lvere predikerte helsekostnder enn den enkle metoden: Flere person vil h sine siste leveår i de øvre ldersklssene og ifølge dgens mønster hr disse lvere helseutgifter i sitt siste leveår. Noe v grunnen til t mn får dette fllet i sykehuskostnder knyttet til død i høye ldersklsser, kn være t de er i en helsetilstnd der mn ikke trenger, tåler eller ønsker omfttende sykehusbehndlinger. Dersom mn i frmtiden lever lenger vil flere v frmtidens syttiåringer trolig trenge, ønske og tåle slike behndlinger og kostndene for de syttiåringene som dør tross denne behndlingen vil d være større enn for syttiåringene fr en tid d de ikke tålte tilsvrende ggressiv behndling. D stemmer ikke lenger DRU-metodens ntgelse om t en syttiåring i frmtiden hr smme kostnder i siste leveår som dgens syttiåringer. Gjennomsnittlig ressursbruk per person som dør i løpet v år (t 0 +t) blir d: c D,t 0 + t = c D (1 ),t 0 (10) Gjennomsnittlig ressursbruk per person som ikke dør i løpet v år (t 0 +t) blir d: c S,t 0 + t = c S (1 ),t 0 (11) Totl ressursbruk i år (t 0 +t) blir d: TC t + t0 = n D,t 0 + t cd (1 ),t 0 + n S,t 0 + t cs (1 ),t 0 (12) DATA Etter innføringen v individdt i Norsk Psientregister, er det mulig å identifisere hvor stor ndel v sykehusutgiftene som gikk til personer som dør i det smme året og de som lever hele året i ulike kjønns og ldersklsser. Dette er blitt gjort i Melberg m. fl. (2013) som bruker tll for Det er disse tllene vi hr ttt utgngspunkt i for den videre nlysen i denne rtikkelen. Melberg m. fl. (2013) finner t eldre (60+) og nullåringer bruker mer sykehustjenester enn den øvrige befolkningen. Når det gjelder dødsrelterte utgifter finner de t, de som går bort i løpet v året bruker mer enn overlevere for lle ldersgrupper. Artikkelen viste videre t dødsfllsrelterte utgifter er en fllende funksjon v lder blnt de eldre. Tilsvrende resultter finnes hos Gregersen og Godger (2014), som bruker tll fr Norsk Psientregister fr 1998 til Det t personer i sitt siste leveår bruker mer enn ndre personer uvhengig v lder er også støttet i en rekke ndre rtikler fr ulike lnd (Hogn m. fl., 2001, Kildemoes m. fl., 2006, Polder m. fl., 2006). Dette peker i retning v t frmskrivninger der mn bruker den nive metode vil gi et ikke korrekt bilde v frmtidig helsekostnder. SAMFUNNSØKONOMEN NR // 35

5 Figur 1: Frmskrevet vekst v sykehuskostnder fr 2010, smmenligning v tre metoder: Niv, DRU og sunn ldring 120,00 % 100,00 % 80,00 % 60,00 % 40,00 % Niv DRU Forskyvning 20,00 % 0,00 % SAMMENLIGNING AV DE ULIKE METODENE For å illustrere forskjellen mellom de ulike metodene hr vi ttt utgngspunkt i dgens kostndsmønster på ulike lderstrinn. Smmenhengen mellom lder og gjennomsnittskostnd ved ulike ldre ble så beregnet ved hjelp v polynomisk regresjon både for de som døde og de som overlevde, fordelt på menn og kvinner, ltså fire funksjoner. 1 Hver funksjon gir med ndre ord forventet helsekostnd som funksjon v lder. Dette kobles så mot informsjon fr SSB om forventet levelder og ntll levende og døde. Figuren 5 viser resulttet v disse beregningene. De ulike kurvene representerer prosentvis vekst i sykehusutgifter 1 Polynomisk regresjon innebærer t mn ikke bre lr lder inngå lineært, men t mn også tr med ledd som for eksempel lder opphøyd i ndre og tredje som forklringsvribler. Dette er nødvendig fordi lder og helseutgifter hr en ikke-lineær smmenheng: Gjennomsnittlige utgifter til sykehus er jevne i en reltivt lng periode, de stiger så stdig rskere, når en topp, og vtr opp mot de eldste ldersgruppene. fr 2010 når mn bruker de ulike metodene: Den nivemetoden bsert på ligning 1), DRU-metoden 6) og sunn ldringsmetoden 12). Som mn ser fr figuren, er forskjellene på kort sikt liten, mens den på lengre sikt øker betydelig. På kort sikt (2020) er det klre, men små forskjeller. Den nive metoden ngir en vekst på 14,8 %, mens DRU predikerer 13,7 % vekst, tilsvrende for sunn ldringsmetoden blir 9,6 %. På lng sikt er forskjellen mellom metodene betydelige. Frm til 2100 predikerer den nive metoden 108,3 % vekst, mens tilsvrende tll for DRU og sunn ldring er 92,4 % og 60,5 %. Nittiår frm i tid er det ltså 48 prosentpoeng forskjell mellom den nive- og sunn ldringsmetoden. Disse frmskrivningene må ikke forveksles med fktiske prediksjoner på helsekostndene i frmtiden. For det første er utregningene bsert på sykehusutgifter, mens helseutgiften einkluderre mnge ndre utgifter. Noen v disse, 36 // SAMFUNNSØKONOMEN NR

6 som utgifter innen pleie og omsorg, hr et nnet ldersmønster enn sykehusutgifter (Häkkinen m. fl., 2008). For det ndre drives sykehusutgiftene v mnge ndre ting enn de demogrfiske endringene vi hr fokusert på. Tllene er dermed ikke prediksjoner v helseutgiftene lngt frm i tid, men en illustrsjon på hvordn ulike ntgelser kn utgjøre en stor forskjell for den delen v helseutgiftene som drives v ldring. KONKLUSJON Betydning v eldrebølgen for frmtidige helseutgifter vhenger v en rekke fktorer, herunder demogrfiske vrible som lder, kjønn og dødelighet. Det er de demogrfiske vriblers betydning vi hr fokusert på i denne rtikkelen. Flere studier som Hogn m. fl. (2001), Lubitz og Riley (1993) og Polder m. fl. (2006), hr vist t dødsrelterte utgifter hr betydning for sykehusforbruk. Hvor stor betydning det hr, vhenger v i hvor stor grd kurven som beskriver dødsrelterte utgifter i ulike ldre, skifter når levelderen endres. Dersom mn ntr t morgendgens eldre følger det smme kostndsmønsteret som dgens, vil kostndene vokse mindre enn mn tror med den nive metoden der mn ikke skiller ut dødsrelterte kostnder. Videre vil mn om mn ntr t kostndskurvene skifter med levelderen, ltså sunn ldringsmetoden, få et end lvere resultt. Dette viser hvordn metodevlget kn h stor betydning for frmskrivningen. Det viser også t befolkningens ldersmmensetning synes å h en mer modert effekt på utgiftene en mn hittil hr trodd. Oppsummert viser våre hovedfunn t på kort sikt er det reltivt små forskjeller mellom de ulike frmskrivningsmetodene presentert i denne rtikkelen; den nive -, DRU og sunn ldringsmetoden. På lng sikt blir forskjellene mellom de ulike metodene betydelige når mn ser på frmskrivning v sykehusutgifter. 100 år frm i tid er forskjellen nesten 50 %, mellom den nive- og sunn ldringsmetoden. Implementering v sunn ldring viser ltså t eldrebølgen hr mindre betydning enn tidligere nttt. Dette betyr ikke t helsekostndene vil flle i frmtiden, men t ldring i seg selv hr mindre betydning enn mn tidligere hr trodd. TAKK Vi ønsker å tkke den nonyme konsulenten til Smfunnsøkonomen for nyttige kommentrer og innspill. REFERANSER Aftenposten (2009). Eldrebølgen krever flere sykehus. Reporter June Westerveld. Brer, M. L., Evns, R. G., Hertzmn, C. og Loms, J. (1987). Aging nd helth cre utiliztion: new evidence on old fllcies. Socil Science & Medicine, 24, Breyer, F. og Felder, S. (2006). Life expectncy nd helth cre expenditures: new clcultion for Germny using the costs of dying. Helth policy (Amsterdm, Netherlnds), 75, 178. Breyer, F. og Felder, S. (2006). Life expectncy nd helth cre expenditures: new clcultion for Germny using the costs of dying. Helth Policy, 75, Christinsen, T., Luridsen, J. og Bech, M. (2012). Ageing popultions: More cre or just lter cre? Nordic Policy Review 2/2012, Emnuel, E. J. (1996). Cost svings t the end of life. JAMA: the journl of the Americn Medicl Assocition, 275, Fries, J. F. (1983). The compression of morbidity. The Milbnk Memoril Fund qurterly. Helth nd society, Foss, A. H. (2012). Stokstiske befolkningsprognoser for Norge Økonomiske nlyser, 2, Fuchs, V. R. (1984). " Though Much is Tken"--Reflections on Aging, Helth, nd Medicl Cre. Ntionl Bureu of Economic Reserch Cmbridge, Mss., USA. Gregersen, F. A. (2013). The impct of geing on helth cre expenditures: study of steepening. The Europen Journl of Helth Economics, Gregersen, F. A. og Godger, G. (2014). The ssocition between ge nd mortlity relted hospitl expenditures: Evidence from complete ntionl registry. Nordic Journl of Helth Economics, 1. Gregersen, F. A. og Rnd-Hendriksen, K. (2014). Befolkningsfrmskrivninger fr Sttistisk Sentrlbyrå. Smfunnsøkonomen, 3, ARTIKKEL SAMFUNNSØKONOMEN NR // 37

7 Hogn, C., Lunney, J., Gbel, J. og Lynn, J. (2001). Medicre beneficiries costs of cre in the lst yer of life. Helth Affirs, 20, Häkkinen, U. H. A., Mrtikinen, P., Noro, A., NIHTILA, E. og Peltol, M. (2008). Aging, helth expenditure, proximity to deth, nd income in Finlnd. Helth Economics, Policy nd Lw, 3, Kildemoes, H. W., Christinsen, T., Gyrd-Hnsen, D., Kristinsen, I. S. og Andersen, M. (2006). The impct of popultion geing on future Dnish drug expenditure. Helth Policy, 75, Levinsky, N. G., Yu, W., Ash, A., Moskowitz, M., Gzelle, G., Synin, O. og Emnuel, E. J. (2001). Influence of ge on Medicre expenditures nd medicl cre in the lst yer of life. JAMA: the journl of the Americn Medicl Assocition, 286, Lubitz, J. D. og Riley, G. F. (1993). Trends in Medicre pyments in the lst yer of life. New Englnd journl of medicine, 328, Mdsen, M. (2004). Methodologies to incorporte dethrelted costs in projections of helth nd long-term cre bsed on Dnish dt. Ministry of Finnce, Denmrk. Melberg, H. O. og Sørensen, J. (2013). How does end of life costs nd increses in life expectncy ffect projections of future hospitl spending? Helth Economics Reserch Progrm (Hero), University of Oslo, Working pper 2013: 9. Melberg, H. O., Godger, G. og Gregersen, F. A. (2013). Sykeshuskostnder mot livets slutt. Tidsskrift for Den norske Legeforening, 133: Perspektivmeldingen ( ). Stortingsmelding 12. Det Kongelige Finnsdeprtement. Polder, J. J., Brendregt, J. J. og Oers, H. (2006). Helth cre costs in the lst yer of life--the Dutch experience. Soc Sci Med, 63, Sterns, S. C. og Norton, E. C. (2004). Time to include time to deth? The future of helth cre expenditure predictions. Helth economics, 13, Stortingsmedling ( ). Mestring, muligheter og mening: Frmtids omsorgsutfordringer. Oslo: Helse- og omsorgsdeprtementet.. Thorslund, M. og Prker, M. G. (2005). Hur mår egentligen de äldre. Läkrtidningen, 102, Wler, H. (1999). Scenrio 2030: Sykdomsutvikling for eldre frm til In: A. Alvik (ed.). Norwegin Bord of Helth Supervision (Sttens helsetilsyn). Yng, Z., Norton, E. C. og Sterns, S. C. (2003). Longevity nd helth cre expenditures the rel resons older people spend more. The Journls of Gerontology Series B: Psychologicl Sciences nd Socil Sciences, 58, S2-S10. Zweifel, P., Felder, S. og Meier, M. (1999). Ageing of popultion nd helth cre expenditure: red herring? Helth economics, 8, Zweifel, P., Felder, S. og Werblow, A. (2004). Popultion geing nd helth cre expenditure: new evidence on the red herring. The Genev Ppers on Risk nd Insurnce- Issues nd Prctice, 29, // SAMFUNNSØKONOMEN NR

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

Synspunkter på arbeidsforhold før og etter innføring av fastlønn med per capita avlønning

Synspunkter på arbeidsforhold før og etter innføring av fastlønn med per capita avlønning V ITENSKAPELIG ARTIKKEL Nor Tnnlegeforen Tid. 2012; 122: 866 71 Dorthe Holst, Jostein Grytten, Irene Sku, Knut Berge Synspunkter på rbeidsforhold før og etter innføring v fstlønn med per cpit vlønning

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

2-komplements representasjon. Binær addisjon. 2-komplements representasjon (forts.) Dagens temaer

2-komplements representasjon. Binær addisjon. 2-komplements representasjon (forts.) Dagens temaer 2 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture Kort repetisjon 2-komplements form Binær ddisjon/sutrksjon Aritmetisk-logisk enhet (ALU) Sekvensiell logikk RS-ltch 2-komplements

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

1 Mandag 25. januar 2010

1 Mandag 25. januar 2010 Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

Løsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2

Løsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2 Løsningsforslg til Oligtorisk oppgve INF1800 Logikk og eregnrhet Høsten 008 Alfred Brtterud Oppgve 1 Vi hr lfetet A = {} og språkene L 1 = {s s } L = {s s inneholder minst tre forekomster v } L 3 = {s

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R. LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før

! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før Dgens temer Enkoder! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture! Dekoder: En v 2 n output linjer er høy, vhengig v verdien på n inputlinjer! Enkoder/demultiplekser (vslutte fr

Detaljer

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene

Detaljer

Implementering av miljøinformasjon i en BIM modell Forprosjektrapport

Implementering av miljøinformasjon i en BIM modell Forprosjektrapport Implementering v miljøinformsjon i en BIM modell Forprosjektrpport 02.04.2009 Høgskolen i Østfold H09B12 Chrlotte Dngstorp Ove-Eirik Krogstd Ain Josefine Stene Lrs-Christin Thowsen HØGSKOLEN I ØSTFOLD

Detaljer

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n, Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Ved sensuren tillegges oppgve vekt 25%, oppgve 2 vekt 25% og oppgve 3 vekt 5%. Sensorveiledning 3, obligtorisk oppgve H-7 Oppgve () Definer begrepene nettorelinvestering,

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

gir g 0 (x) = 2x + x 2 (x + 3) x x 2 x 1 (x + 3) 2 x 5 + 2x 4 + 6x 3 + x 2 + x + 3 x 2 (x + 3) 2 g(x; y) h(x) F (x; y) =

gir g 0 (x) = 2x + x 2 (x + 3) x x 2 x 1 (x + 3) 2 x 5 + 2x 4 + 6x 3 + x 2 + x + 3 x 2 (x + 3) 2 g(x; y) h(x) F (x; y) = Oppgve ) gir b) c) d) e) f() = 5 4 3 gir f () = 3 6 + 3 g() = + 3 f)når så blir Merk her t = Tilsvrende er gir g () = + ( + 3) ( + 3) 5 + 4 + 6 3 + + + 3 ( + 3) h() = f() gir h () = f () + f() f() = g(;

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste

Detaljer

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg

Detaljer

Vår 2004 Ordinær eksamen

Vår 2004 Ordinær eksamen år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen?

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen? Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr

Detaljer

Kap. 3 Krumningsflatemetoden

Kap. 3 Krumningsflatemetoden SIDE. KRUMNINGSFLTEMETODEN I kpittel. og. hr vi sett t en bjelkes krefter og deformsjon kn beskrives ved fire integrler som henger smmen : Skjærkrft : V d Vinkelendring : φ M d Moment : M V d Forskyvning

Detaljer

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak Tvng og mkt Omfng v tvng og mkt, og kommunl kompetnse Hv er tvng og mkt? Tiltk som tjenestemottkeren motsetter seg eller tiltk som er så inngripende t de unsett motstnd må regnes som ruk v tvng eller mkt.

Detaljer

Kommunal Planstrategi

Kommunal Planstrategi 'rrf Jorrrnnlm.: Kommunl Plnstrtegi 2012-2015 Måsøy kommune Vedtøtt øv kommunesqtret 06.09.2012 - sk 61/12. 1 2 Innledning. Gjeldende plnsttus i Måsøy kommune..' Innhold 2.1 Kommuneplnen...' 2.2 Kommuneplnens

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

KAP. 5 Kopling, rekombinasjon og kartlegging av gener på kromosomenen. Kobling: To gener på samme kromosom segregerer sammen

KAP. 5 Kopling, rekombinasjon og kartlegging av gener på kromosomenen. Kobling: To gener på samme kromosom segregerer sammen KP. 5 Kopling, rekominsjon og krtlegging v gener på kromosomenen OVERSIKT Koling og meiotisk rekominsjon Gener som er kolet på smme kromosom skilles vnligvis ut smmen. Kolede gener kn li seprert gjennom

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Kvalitetssikring av elektronisk pasientjournal - Skjema 1

Kvalitetssikring av elektronisk pasientjournal - Skjema 1 70778 EPJ Kvlitetssikring Skjem v. Hllvrd Lærum (tlf. 79886) Kvlitetssikring v elektronisk psientjournl - Skjem I dette spørreskjemet ønsker vi å få vite noe om din prktiske ruk v og ditt syn på elektronisk

Detaljer

Nøtterøy videregående skole

Nøtterøy videregående skole Til elever og forestte Borgheim, 1. ugust 2018 Viktig info om vlg v mtemtikkfg for elever på vg1 studiespesilisering I vg1 får elevene vlget mellom to ulike mtemtikkfg. Mtemtikk 1T (teoretisk) og Mtemtikk

Detaljer

Bemanningsbehov i spesialisthelsetjenesten mot 2040

Bemanningsbehov i spesialisthelsetjenesten mot 2040 Rpporter Reports 2015/29 Remy Bråthen, Geir Hjemås, Erling Holmøy og Ingunn Hegstd Ottersen Bemnningsbehov i spesilisthelsetjenesten mot 2040 Rpporter 2015/29 Remy Bråthen, Geir Hjemås, Erling Holmøy

Detaljer

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave høsten 2011

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave høsten 2011 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligtorisk øvelsesoppgve høsten 2 Ved sensuren tillegges oppgve vekt,3, oppgve 2 vekt,4, og oppgve 3 vekt,3. For å bestå eksmen, må besvrelsen

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr

Detaljer

Miljømerking og handel Mads Greaker

Miljømerking og handel Mads Greaker Økonomiske nlyser 5/2002 Mds Greker Er miljømerking v mer miljøvennlige produkter først og fremst en form for skjult proteksjonisme? Dvs. ersttter I-lndene toll og ndre typer hndelshindringer med miljømerkeordninger

Detaljer

Saknsnr Utvalg 23114 3M14

Saknsnr Utvalg 23114 3M14 LOPPA KOMMUNE Sentrldministrsj onen Sksfrmlegg Dto: Arkivref: 22.08.2014 20141419-01 Solbjørg Irene Jensen solbj org j ensen@lopp.kommune.no Sknsnr Utvlg 23114 3M14 Levekårsutvlget Kommunestyre Søknd om

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11

Detaljer

En økonometrisk analyse an påstanden um at subsidierte rutebiloelokader

En økonometrisk analyse an påstanden um at subsidierte rutebiloelokader IO 70/18 Oslo, 30. novemberi970 KOSTNADSEFFEKTER AV SUBSIDIERING I NORSK RUTEBILNÆRING En økonometrisk nlyse n påstnden um t subsidierte rutebiloelokder er mindre kostndsbevisste enn ikke-subsidierte.

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

FASIT, tips og kommentarer

FASIT, tips og kommentarer FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller

Detaljer

Eksamen høsten 2015 Løsninger

Eksamen høsten 2015 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 30 Vekstfktoren er 1 1 0,30 0, 70. 100 N GV N V G 80 800 V 400 0,70 7 Vren kostet 400 kr

Detaljer

SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005

SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005 SENSORVEILEDNING ECON 40; VÅREN 2005 Oppgve er midt i pensum, og urde kunne esvres v dem som hr lest og fulgt seminrer. Her kommer en fyldig gjennomgng v det jeg hr ttt opp. ) Her ør kndidten gjøre rede

Detaljer

Sammenhengen mellom takst og avstand i regulerte- uregulerte markeder. Teori og empiri. av Terje Andreas Mathisen

Sammenhengen mellom takst og avstand i regulerte- uregulerte markeder. Teori og empiri. av Terje Andreas Mathisen Smmenhengen mellom tkst og vstnd i regulerte- uregulerte mrkeder. Teori og empiri. v Terje ndres Mthisen Våren 3 Logistikk og trnsport strt It is ommon presumption tht pssenger should py higher fre for

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

EVALUERINGS- RAPPORT NOTAT SAMMENDRAG X X Helge Hugdahl 18

EVALUERINGS- RAPPORT NOTAT SAMMENDRAG X X Helge Hugdahl 18 EVALUERINGS- RAPPORT GJELDER 16. Nsjonle seminr om Hydrogeologi og Miljøgeokjemi GÅR TIL Jn Crmer Rolf Tore Ottesen VP-møtet BEHANDLING X X NOTAT UTTALELSE ORIENTERING X ETTER AVTALE PROSJEKT DATO SAKSBEARBEIDER/FORFATTER

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Helsekostnader etter alder og mot slutten av livet

Helsekostnader etter alder og mot slutten av livet Helsekostnader etter alder og mot slutten av livet Hans Olav Melberg (hans.melberg@gmail.com) http://helsenyheter.blogspot.com/ Hans Olav Melberg, University of Oslo Oversikt Litt bakgrunn Hvor mye? Er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: STK1110 Sttistiske metoder og dtnlyse 1 Eksmensdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksmen: 09.00 13.00 Oppgvesettet er på 5 sider.

Detaljer

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter.

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter. Hvorfor reider vi? 1 Hv er viktig med jo? Sett kryss og diskuter. For meg er det viktig à treffe mennesker! Ti 3 Er Det er lnn som er viktisstl Jeg symes det er viktig á fà ruke evnene mine. Det er viktig

Detaljer

HØRINGSNOTAT. Forskrift om særskilte delingstall i pensjonsordning for stortingsrepresentanter og regjeringsmedlemmer

HØRINGSNOTAT. Forskrift om særskilte delingstall i pensjonsordning for stortingsrepresentanter og regjeringsmedlemmer HØRINGSNOTAT Forskrift om særskilte delingstll i pensjonsordning for stortingsrepresentnter og regjeringsmedlemmer Innledning Pensjonsordningen for stortingsrepresentnter og regjeringsmedlemmer frmgår

Detaljer

Obligatorisk øvelsesoppgave ECON1310 Våren 2009

Obligatorisk øvelsesoppgave ECON1310 Våren 2009 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,, oppgve 2 vekt 0,5, og oppgve 3 vekt 0,4. Obligtorisk øvelsesoppgve ECON30 Våren 2009 Oppgve (i) (ii) Beskriv

Detaljer

Numerisk Integrasjon

Numerisk Integrasjon Numerisk Integrsjon Anne Kværnø Mrch 1, 018 1 Problemstilling Vi skl ltså finne en numerisk tilnærmelse til integrlet for en gitt funksjon f (x). I(, b) = f (x)dx Teknikken vi skl diskutere klles numeriske

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Flekkefjord kommune Teknisk forvaltning og Plan 2011 Vedtatt av Flekkefjord bystyre den 16.12.2010

Flekkefjord kommune Teknisk forvaltning og Plan 2011 Vedtatt av Flekkefjord bystyre den 16.12.2010 Flekkefjord kommune Teknisk forvltning og Pln 2011 Vedttt v Flekkefjord bystyre den 16.12.2010 Gebyr for rbeid etter pln- og bygningsloven Betlingsregultiv for byggesker og privte regulerings- og bebyggelsesplner

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

HELSE- OG O/I^SOR6SPLAN 2O?O. Egentnestring, somspíll og trivsel. Steigen kommune

HELSE- OG O/I^SOR6SPLAN 2O?O. Egentnestring, somspíll og trivsel. Steigen kommune HELSE- OG O/I^SOR6SPLAN 2O?O Egentnestring, somspíll og trivsel + Steigen kommune 1 Innhold Plngrunnlget... Hvorfor skl vi h en pln? Nsjonle føringer og verdigrunnlg... Våre utfordringer Tjenesteutvikling

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

Un o I. Unio kommunes krav 1. Hovedta riffoppgiøret 2At6. Tirsdag 12. april20l6 kl. 13

Un o I. Unio kommunes krav 1. Hovedta riffoppgiøret 2At6. Tirsdag 12. april20l6 kl. 13 Un o I Unio kommunes krv 1 Hovedt riffoppgiøret 2At6 Tirsdg 12. pril20l6 kl. 13 L Hovedtriffoppgiøret 2016 Den største utfordringen for kommunesektoren fremover er å møte den demogrfiske utviklíngen og

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

Avisenes utvikling i et publikumsperspektiv. Erik Wilberg. Praktisk økonomi og finans, 31(2015)2:

Avisenes utvikling i et publikumsperspektiv. Erik Wilberg. Praktisk økonomi og finans, 31(2015)2: Denne fil er hentet fr Hndelshøyskolen BIs åpne institusjonelle rkiv BI Brge http://brge.bibsys.no/bi Avisenes utvikling i et publikumsperspektiv Erik Wilberg Dette er forftterversjon, før publisering

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

Institutt for elektroteknikk og databehandling

Institutt for elektroteknikk og databehandling Institutt for elektroteknikk og dtbehndling Stvnger, 7. mi 997 Løsningsforslg til eksmen i TE 9 Signler og Systemer, 6. mi 997 Oppgve ) Et system er lineært dersom superposisjonsprinsippet gjelder, d.v.s.

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

Eksamen våren 2016 Løsninger

Eksamen våren 2016 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser

Detaljer

INNKJØPSFUNKSJONEN I HELSE NORD

INNKJØPSFUNKSJONEN I HELSE NORD INNKJØPSFUNKSJONEN I HELSE NORD Foto: Mistfjorden og Steigtind, 5.pril 2010, Tor-Arne Hug Vurdering og nbefling til fornyelse v innkjøpsfunksjonen i Helse Nord. Rpport fr prosjektgruppen Postdresse: Helse

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl Oppgavene med kort løsningsskisse

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl Oppgavene med kort løsningsskisse Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Fsit side 12. Oppgvene med kort løsningsskisse

Detaljer

Den europeiske konvensjon om samproduksjon av film Strasbourg, 2.X.1992

Den europeiske konvensjon om samproduksjon av film Strasbourg, 2.X.1992 Den europeiske konvensjon om smproduksjon v film Strsbourg, 2.X.1992 Europen Trety Series/147 Prembel Europrådets medlemsstter og de ndre sttene som er prter til Den europeiske kulturkonvensjon, som hr

Detaljer