SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005"

Transkript

1 SENSORVEILEDNING ECON 40; VÅREN 2005 Oppgve er midt i pensum, og urde kunne esvres v dem som hr lest og fulgt seminrer. Her kommer en fyldig gjennomgng v det jeg hr ttt opp. ) Her ør kndidten gjøre rede for komprtive fortrinn, hvordn slike fortrinn kn identifiseres og hv som kn forklre slike fortrinn. De fleste vil ntkelig gi en skisse v Ricrdos enkle teori med to lnd, to vrer og en produksjonsfktor (reidskrft) med konstnt lndspesifikk produktivitet i hver ktivitet. (Areidskrften som foreligger i gitt mengde, er moil mellom sektorene, men immoil mellom lndene.) Det lndet med lvest lterntivkostnd eller reløkonomisk ytteforhold for en vre hr komprtivt fortrinn i denne vren, selv om reidskrften skulle være mindre produktiv i produksjonen v egge vrer enn hv tilfellet er i det ndre lndet. (Modellen er skissert i kp. 2 i K&O.) Her er det eksogent gitte produktivitetsforskjeller som forklrer komprtive fortrinn. Med forskjellige lterntivkostnder (lik utrkiprisforholdet), vil lndene kunne ytte i henhold til komprtive fortrinn, og det på en fordelktig måte om likevektsprisen på verdensmrkedet ligger mellom de to utrkiprisene. Poenget som ør komme frem er: Ant to vrer og l (,); hhv. (A,B) ngi nødvendig timeruk per enhet v de to vrene i hhv. lnd NORD og lnd SØR, der NORD hr n reidstimer til disposisjon, mens SØR hr N timer. L lterntivkostnden for vre i lnd NORD være / < A/B = lterntivkostnden for vre i SØR. (Forteller hvor mye som må oppgis v vre 2 for å øke produksjonen v vre med én enhet.) Med smme reltive etterspørselsstruktur i lndene og en likevektspris q, / < q < A/B, vil vi få full spesilisering. Hvert lnd vil kunne tjene på å produsere i henhold til komprtive fortrinn; eksportere denne vren i ytte mot den ndre vren. De tilgjengelige ressursene lir utnyttet edre (i form v en større vremengde) enn om lndene skulle opptre isolert. Vi kn illustrere likevekten i en trdisjonell figur med reltivt tilud og reltiv etterspørsel, slik det gjøres i ok. Reltiv pris på vre q A B RE Reltiv mengde v vre n N B

2 2 Formen på (= reltivt tilud) følger v t reiderne (eneste produksjonsfktor) ønsker å joe der lønn er høyest. Er reltivprisen på vre lvere enn /, vil inntjeningen per time i egge lnd være høyest i produksjonen v vre 2; osv. (Hvis prisen på vre i i NORD er p i, smtidig som produksjon per time i de to ktivitetene er hhv.,, vil lønn per time være hhv. p p2,. En reltiv pris på vre lik p p, lvere enn /, er ekvivlent med inntjeningen per time ved produksjonen p 2 p p2 v vre er lvere enn i produksjonen v vre 2; dvs. t ; lle reidere vil produsere vre 2.) Om det er forskjeller i utrkipriser, vil det (med lik etterspørselsstruktur mellom lndene eller i vår fgsjrgong: reltiv etterspørsel er kun vhengig v reltiv pris; kun sustitusjonseffekter vi en ntkelse om homotetiske og identiske prefernser) finnes en likevektspris q som reliserer en effektiv ressursruk, eller som muliggjør t lndene kn høste gevinster ved å ytte vrer i henhold til komprtive fortrinn. Til prisen q, vil NORD (SØR) spesilisere seg i produksjonen v vre (vre 2), med det mksimle produksjonskvntum v vre n/ i NORD og N/B v vre 2 i SØR. Med utgngspunkt i utrki med diversifisert produksjon (og konsum), vil NORD nå re produsere vre som dermed eksporteres i ytte for vre 2 som i sin helhet produseres i SØR. Sgt på en nnen måte; NORD hr et komprtivt fortrinn i produksjonen v den vre (her: vre ) der NORD hr reltivt størst produktivitetsfordel. Siden A A B, følger det t NORD hr reltivt størst B produktivitetsfordel i produksjonen v vre. (Rent logisk følger det t SØR d hr et komprtivt fortrinn i produksjonen v vre 2.) A Hv er yttegevinsten? Ant t : p q B : P slik som i figuren. For å klrgjøre hv gevinsten ved reidsdeling er, kn vi se nærmere på hvilke vlg for eksempel NORD hr: Bruke en time direkte til å produsere vre 2 selv eller ruke timen på å produsere vre, som en indirekte måte å produsere vre 2 gjennom å ytte vre mot vre 2 produsert i SØR. Brukes en time på å produsere vre 2 i NORD, er produksjonen lik, som kn konsumeres. Alterntivt kn timen i NORD rukes til å produsere vre, i en mengde som selges på verdensmrkedet til et ytteforhold q (gir ntll enheter v vre 2 en kn ytte til seg per enhet v vre ), slik t enheter v vre kn gjøres om (omveisproduksjon) til q q enheter v vre 2. Siden q, ser vi t omveisproduksjon kster mer v seg enn direkte produksjon v vre 2 i NORD. (For å få høstet denne gevinsten, må lønningene (w i NORD og W i SØR) endres på en slik måte t komprtive fortrinn lir overstt til rnsjemessige kostndsfortrinn, siden pris på hver vre må være lik enhetskostnden eller t inntjening per time må være høyest for den vren lndet hr komprtivt fortrinn i. B w A Det kn vises t reltiv lønn må justere seg slik t. Få vil ntkelig t dette opp.) En god esvrelse ør h med hovedtrekkene (slik det er skissert over) i denne ller enkleste teorien for internsjonl reidsdeling og som egrunner komprtive fortrinn kun ved eksogene lndspesifikke produktivitetsforskjeller. Viktig å honorere dem som kort og klrt forklrer t forskjeller i utrkipriser (lik lterntivkostnder) kn gi oppgv til yttegevinster, og hvorfor utrkiprisene kn være forskjellige. W

3 3 Andre egrunnelser for komprtive fortrinn enn Ricrdos forklring er: Noen vil knskje ruke teorien for rnsjespesifikke fktorer (gjelder på kort eller mellomlng sikt), som smmen med en moil fktor, kn egrunne nivået på reltivt tilud og dermed utrkipris i et lnd. En figur vi ntkelig vil se, og som med fordel kn rukes i spørsmål, er Reltiv pris p RE Reltivt kvntum Om vi lr reltivt kvntum i NORD være x/y, vil reltivprisen på x-vren vhenge v eliggenheten til, og som igjen er estemt l.. v tilgngen på rnsjespesifikke fktorer. Jo større tilgng NORD hr v den fktor som er spesifikk i produksjonen v x, jo lenger mot høyre ligger. (For ethvert prisforhold, vil en økning i den fktor som er spesifikk i x, gi økt reltiv produksjon v x-vren.) Hvis NORD hr reltivt mye v den fktor som er spesifikk i produksjonen v x, mens SØR hr reltivt mye v den fktor som er spesifikk i produksjonen v y-vren, vil vi (med lik RE), h en situsjon som illustrert i figuren under. Alterntivkostnden for x vil være lvere i NORD enn i SØR; NORD hr derfor et komprtivt fortrinn i x-vren. Reltivt tilud for verden vil ligge mellom de to tiludskurvene, og det vil nå finnes en pris (q), mellom de to utrkiprisene, som sikrer likevekt i vreytte mellom NORD og SØR. Til denne prisen vil produksjonen v x-vren gå opp i NORD, mens SØR vil øke produksjonen v y-vren. Konsumet i NORD vil vri seg mot den vren som for NORDs innyggere er litt reltivt illigere (y-vren). Underskuddet mellom ønsket konsum og produksjon v y-vren dekkes ved import som i sin helhet finnsieres ved eksport v x-vren, og slik t verdi v import er lik verdi v eksport.

4 4 Reltiv pris SØR SØR P q NORD p VERDEN NORD RE Reltivt kvntum Gevinsten er igjen t konsummulighetene utvides i hvert lnd, gjennom seprsjon v produksjon og forruk. En lærdom v denne forklringen er t hndel vil egunstige eiere v den produksjonsfktor som er spesifikk i lndets eksportsektor, mens eiere v den produksjonsfktor som er spesifikk i lndets importkonkurrerende sektor vil tpe. Velferden eller relinntekten til eiere v den moile fktoren kn imidlertid gå egge veier. Men med perfekte omfordelingsordninger vil vinnerne vinne mer enn det tperne tper. (Konklusjonene om virkninger på inntektsfordeling er relevnte for spørsmål c.) En tredje forklring er knyttet til lngtidseffekten v smspillet mellom reltiv fktorrikelighet og teknologi eller fktorintensiteter. Dette er HOS-teorien som forteller, t med de forutsetningene dette tnkeskjemet ygger på; 2 lnd, 2 vrer og 2 produksjonsfktorer (som egge er fullt moile mellom sektorene, men immoile mellom lnd), hver vre produseres med smme teknologi i de to lndene (og konstnt sklutytte). Vi kn ikke forvente t studentene i detlj skl utlede de viktigste smmenhengene. Det de ør kunne gjengi er t et lnd som er reltivt rikt på en fktor som rukes intensivt i produksjonen v en vre (for eksempel om Nord hr reltivt mye utdnnet reidskrft og som rukes intensivt i produksjonen v x- vren et hight -tech-produkt), d kn det vises t utrkiprisen eller lterntivkostnden for x er lvere i NORD enn i SØR. NORD hr dermed et komprtivt fortrinn i x-vren. (Med p som reltiv pris på den utdnningsintensive vren x i NORD, og med w/r som reltiv pris på utdnnet reidskrft, d er det en positiv smmenheng mellom p og w/r.) I tillegg kn det vises; jfr. Ryczynski, t det er en positiv smmenheng mellom f/u og x/y, der f er tilgngen på fglært (utdnnet) reidskrft, mens u er tilgngen på ufglært reidskrft i NORD. (Vi ntr t f F = reltiv fktorrikelighet i SØR.) Om nå reltiv fktorrikelighet øker i NORD, u U vil, med konstnte reltive priser, x øke og y gå ned. Men d vet vi også t om f/u øker, og dermed x/y går opp for uendret p (og w/r), vil vi h et tiludsoverskudd v x-

5 5 vren. Likevekt oppnås igjen ved t p må gå ned. Mo., det er en negtiv smmenheng mellom f og p. u Dermed hr vi: Et lnd hr komprtivt fortrinn i den vre som er intensiv i lndets reltivt rikelige produksjonsfktor. Her: NORD hr komprtivt fortrinn i x-vren. NORD vil eksportere x-vren i ytte for y-vren som SØR hr et komprtivt fortrinn i, til en reltiv pris q, med p < q < P. Siden reltiv vlønning v fglært reidskrft i NORD under utrki er lvere enn hv den er i SØR, vil hndel (og ikke full spesilisering) føre til t reltiv pris på x-vren vil stige i NORD, og med denne prisøkningen vil vlønningen v egge typer reidskrft måtte li like mellom lndene. (Fktorprisutjevning. I det lnge løp vil vlønningen v en estemt type reidskrft som rukes til å produsere smme vre i forskjellige lnd, ikke vhenge v hvor reidskrften joer. Vreytte er her et perfekt sustitutt for internsjonle fktorevegelser.) Fordelingsvirkninger v hndel? For det første vil hvert lnd tjene på hndel, slik det er gjort rede for tidligere, men på smme måte som på mellomlng sikt, vil noen eiere tjene, mens ndre vil tpe. Hvilke grupper vil tjene/tpe på internsjonlt vreytte? (Relevnt for spørsmål c.) For NORDs vedkommende vil reltivprisen på x-vren øke. Produksjonen v x vil gå opp, med en reltivt sterk økning i etterspørselen etter fglært reidskrft. Smtidig vil produksjonen v y-vren gå ned; det vil li frigjort mye ufglært reidskrft, som kun vil li utnyttet om prisen på ufglært reidskrft går ned. Vi hr dermed: Fglært reidskrft i NORD vil få høyere relinntekt, mens ufglært reidskrft vil få lvere relinntekt. Med ndre ord: Virkningen på inntektsfordelingen i et lnd v å gå fr utrki til internsjonlt vreytte (uten full spesilisering og uten trnsportkostnder), går i fvør v lndets reltivt rikelige produksjonsfktor og i den reltivt knppe fktorens disfvør. En fjerde forklring kn være knyttet til intertemporl hndel (svært relevnt for oppgve 2). Lnd med gode eller reltivt mer lønnsomme investeringsprosjekter enn hv utlndet hr, vil h et komprtivt fortrinn i produksjon v vrer for konsum i fremtiden, siden prisen på konsum i dg (lik vkstningen v spring) under utrki er høyere hjemme enn ute. Under utrki vil prisen på konsum i dg (i enheter v fremtidig konsum) være R, gitt ved den stiplede linjen i figuren under.

6 6 Fremtid c 2 C +R R * x x V * c nåtid I utgngspunktet er lndet utstyrt med ressurser svrende til V som kn konsumeres i dg eller settes inn som produksjonsutstyr i fremtidig produksjon v konsumvrer. Forrukerne ønsker å konsumere over kun to perioder. Under utrki vil det produseres og konsumeres en mengde x v vre ; lndets spring eller relinvestering er lik V x som settes inn som produksjonsutstyr for produksjon v konsumvrer i neste periode ( fremtiden ). Disse investeringene gir et fremtidig (optimlt) konsum lik c 2. Vi hr t c2 I G( I) V c G( V c), er gitt ved trnsformsjonsfunksjonen som strter i (V,0), når vi spiser opp hele kpitlen i 2.periode. I en lukket økonomi er spring lik netto relinvestering. Den stiplede linjen ngir vkstningen på den sist investerte enheten, svrende til vkstningskrvet til dem som sprer. For enhver spring eller konsumunnltelse mindre enn den ønskede, vil vkstningen v investeringen overstige vkstningskrvet v konsumunnltelse. Om det finnes et internsjonlt kpitlmrked der en kn låne til en pris gitt ved den heltrukne udsjettlinjen R R ; dvs. det er mulig å kjøpe vrer for konsum i dg til en lvere pris enn hv konsum i dg koster oss hjemme, ser vi t utlndet hr komprtivt fortrinn i å produsere for konsum i dg, mens vi hr komprtivt fortrinn for produksjon v konsumvrer for fremtidig konsum. Igjen vil ytte gi en frikopling mellom konsum og produksjon, slik t konsummulighetene utvides. Vårt * lnd øker relinvesteringen til V x, smtidig som frikoplingen og reltivt illig * import i dg, muliggjør et konsum i dg lik c som overstiger det konsumet vi kunne h htt under utrki. Importen i.peride er * * c x. Det høye konsumet i.periode lr seg relisere ved t vi finnsierer importen i dg ved å låne ute til en pris som er så lv t vi gjennom investeringer kn få en så stor produksjon i neste periode t fremtidig eksportoverskudd finnsierer låneopptket (importoverskuddet) i

7 7.periode. Netto finnsinvesteringen er negtiv i.periode og følgelig positiv i 2.periode. ) Her vil ntkelig de fleste komme opp med en versjon v stndrdmodellen fr kp. 5, der vi som en forenkling kn se på to lnd; Kin og resten v verden (EU & USA). Ant t vi hr to vrer der vi ntr t Kin hr et komprtivt fortrinn i produksjonen v y-vren, slik det er illustrert i figuren under. L reltiv pris på x- vren være q. q Kin verd USA& EU RE Reltiv mengde v x-vren Økt produktivitet i Kin vil påvirke eliggenheten på Kins reltive tiludskurve, men virkningen på pris og velferd i ndre lnd (spesielt terms of trde ) vil vhenge v i hvilken sektor i Kin produktivitetsveksten finner sted. Hvis produktivitetsveksten skjer i Kins eksportsektor (som produserer y-vren), vil reltivt tilud v x-vren gå ned; i Kin vil skifte mot venstre. For ethvert prisforhold vil de nå produsere reltivt mer v y-vren i Kin, slik t reltivt tilud i verden også skifter mot venstre. Relprisen på x-vren (eksportvren til USA&EU) q vil øke; ytteforholdet eller terms of trde edres for EU&USA. Dette etyr t importen til EU & USA lir reltivt illigere, og den umiddelre effekten er t velferden i USA & EU går opp. Om den økte produktiviteten finner sted i Kins importkonkurrerende sektor, får vi motstte effekter. Reltivt tilud v x-vren (Kins importvre) i Kin og i verden vil nå øke (skifte mot høyre). Prisen q vil gå ned. Bytteforholdet for EU&USA forverres, og velferden her vil normlt gå ned. Empiri tilsier t den dominerende veksten i Kin hr funnet sted i lndets eksportindustri, med store gevinster for resten v verden, gjennom en edring i ytteforholdet q.

8 8 (En kndidt som ikke hr noe å idr med på dette spørsmålet, ør ntkelig stryke?) c) Økonomisk teori kn idr til å forstå ekymringer for lve importpriser i EU og USA ved t eiere v produksjonsfktorer som rukes intensivt eller spesifikt i importkonkurrerende sektorer (y-vren), vil tpe. Disse gruppene, l.. tekstil- og ekledningsindustrien i USA, vil forsøke å få myndighetene til å intervenere gjennom toll, kvoter eller ndre eskyttelsestiltk, som egrenser importen til fordel for innenlndske produsenter. Disse gruppene er normlt lngt edre orgnisert og kn presse politikere til å treffe tiltk som er fordelktige for dem, men som er til ulempe for forrukerne, vi høyere kjøperpriser. Forrukeren er som gruppe lngt mer spredt med ikke så tydelig tp for den enkelte forruker som dermed hr svke incentiver til å fremme motkrv. (Vi ør forvente i hvert fll v A og B-kndidtene t tperne i importkonkurrerende sektorer kn identifiseres.) Et nnet rgument som kn egrunne ekymringen i USA og EU er store omstillingskostnder som følge v t importkonkurrerende sektorer ygges ned. Hvis det v ulike grunner er stor fre for t frigjorte ressurser ikke umiddelrt finner ny nvendelse, kn midlertidig eskyttelse knskje nefles. Prolemet er t slike tiltk kn li permnente. Oppgve 2 er ment som en test på om de kjenner egrepet netto finnsinvestering. Et lnds netto finnsinvestering er netto fordringsøkning på utlndet, svrende (sånn omtrent) til overskuddet på driftsregnskpet og lik differensen mellom spring og netto relinvestering. Det fremgår t om et lnd hr høyere vkstning på relinvesteringer enn hv utlndet kn tily, vil vårt lnd h et komprtivt fortrinn i fremtidig produksjonen v vrer. Forskjeller i vkstning på investeringsprosjekter kn forklre t et lnd (med høy mrginlvkstning) hr negtiv netto finnsinvestering (importoverskudd og dermed låneopptk) i.periode. Det er dette vi først og fremst ønsker t de skl svre. I tillegg kn noen v de flinkeste (?) t opp kpitlevegelser/endring i vlutreserver knyttet til forskjeller i forventet vkstning på finnsplsseringer hjemme og ute. Med flytende vlutkurser, perfekte kpitlmrkeder og udekket rentepritet (vlutkursen vspeiler forskjeller i forventet vkstning hjemme og ute), vil netto finnsinvesteringer kun vspeile sldo på driftsregnskpet. Under ndre regimer kn det kn forekomme vlutinngng (økning i vlutreservene) hvis vkstningen hjemme øker i forhold til utlndet. Med frie kpitlevegelser og selvstendig penge- eller rentepolitikk, d er vlutkursen flytende. Hvis rent hjemme er høyere enn hv den er ute, vil vi få økt etterspørsel etter hjemlndets vlut (ppresieringspress), med etterfølgende reduksjon i eksport og økning i import. Med frie kpitlevegelser er det driftslnsen som estemmer finnsinvesteringene (inkl. endring i vlutreserver). Med ikke-perfekte kpitlevegelser (overskuddsetterspørsel etter vlut), er det finnsinvesteringene som estemmer driftslnsen. Vi får neppe disse fine nynsene på dette nivået; det vi kn regne med er t noen forhåpentligvis tr dette opp.

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

Sensorveiledning ECON 1410: Internasjonal Økonomi; vår a) NORD har absolutt fortrinn i produksjonen av begge varer siden A < a og

Sensorveiledning ECON 1410: Internasjonal Økonomi; vår a) NORD har absolutt fortrinn i produksjonen av begge varer siden A < a og 1 Sesorveiledig ECO 1410: Itersjol Økoomi; vår 2004 ) ORD hr solutt fortri i produksjoe v egge vrer side < og < ; det rukes færre timer per ehet produsert v hver vre i ORD e i SØR. Komprtive fortri er

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Løsningsforslag til eksamensoppgaver i ECON 2200 våren 2015

Løsningsforslag til eksamensoppgaver i ECON 2200 våren 2015 Løsningsforslg til eksmensogver i ECON 00 våren 05 Ogve (7 oeng) Deriver følgende funskjoner 3 ) f ( ) gir f ( ) 3 ) f ( ) e e( ) gir f ( ) e c) f ( ) ln gir f ( ) 3 3 (3 ) 3 lterntivt f ( ) ln ln 3 gir

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave høsten 2011

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave høsten 2011 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligtorisk øvelsesoppgve høsten 2 Ved sensuren tillegges oppgve vekt,3, oppgve 2 vekt,4, og oppgve 3 vekt,3. For å bestå eksmen, må besvrelsen

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj.

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj. Kpittel 5 Ver 5.1 For eksempel: Hver dg pleier jeg å sove middg Liker du ikke å dnse? I dg kn jeg ikke hndle mt. Jeg orker ikke å lge slt. Nå må jeg lese norsk. Jeg hr ikke tid til å t ferie. Kn du synge?

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

Obligatorisk øvelsesoppgave ECON1310 Våren 2009

Obligatorisk øvelsesoppgave ECON1310 Våren 2009 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,, oppgve 2 vekt 0,5, og oppgve 3 vekt 0,4. Obligtorisk øvelsesoppgve ECON30 Våren 2009 Oppgve (i) (ii) Beskriv

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Ved sensuren tillegges oppgve vekt 25%, oppgve 2 vekt 25% og oppgve 3 vekt 5%. Sensorveiledning 3, obligtorisk oppgve H-7 Oppgve () Definer begrepene nettorelinvestering,

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Gevinster ved handel. Karen Helene Ulltveit-Moe. Econ 1410:Internasjonal økonomi Økonomisk institutt, UiO

Gevinster ved handel. Karen Helene Ulltveit-Moe. Econ 1410:Internasjonal økonomi Økonomisk institutt, UiO Gevinster ved handel Karen Helene Ulltveit-Moe Econ 1410:Internasjonal økonomi Økonomisk institutt, UiO Kilder til gevinster ved handel Effektiv ressursbruk: Handel tillater spesialisering i den type produksjon

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak Tvng og mkt Omfng v tvng og mkt, og kommunl kompetnse Hv er tvng og mkt? Tiltk som tjenestemottkeren motsetter seg eller tiltk som er så inngripende t de unsett motstnd må regnes som ruk v tvng eller mkt.

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

SENSURVEILEDNING EKSAMENSOPPGAVE ECON 1410 VÅR 2006

SENSURVEILEDNING EKSAMENSOPPGAVE ECON 1410 VÅR 2006 SENSURVEILEDNING EKSAMENSOPPGAVE ECON 1410 VÅR 2006 GENERELL INFORMASJON OM PENSUM. PENSUM ER ANGITT I FORELESNINGSPLANEN FOR KURSET. SE http://www.uio.no/studier/emner/sv/oekonomi/econ1410/v06/. SVÆRT

Detaljer

Anvendt internasjonal handel: Økonomisk vekst og handelspolitikk:

Anvendt internasjonal handel: Økonomisk vekst og handelspolitikk: Anvendt internasjonal handel: Økonomisk vekst og handelspolitikk: Karen Helene Ulltveit-Moe Econ 1410:Internasjonal økonomi Økonomisk institutt, UiO Økonomisk vekst og handelspolitikk Velferd og bytteforhold

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter.

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter. Hvorfor reider vi? 1 Hv er viktig med jo? Sett kryss og diskuter. For meg er det viktig à treffe mennesker! Ti 3 Er Det er lnn som er viktisstl Jeg symes det er viktig á fà ruke evnene mine. Det er viktig

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

Prosedyre for løsning av oppgaver. Jeg skal ved hjelp av to oppgaver; én i produksjonsteori og én i konsumentteori, gi

Prosedyre for løsning av oppgaver. Jeg skal ved hjelp av to oppgaver; én i produksjonsteori og én i konsumentteori, gi 1 Jon Vislie; ril 014 ECO 00 våren 014 Prosedyre for løsning v ogver Jeg skl ved hjel v to ogver; én i roduksjonsteori og én i konsumentteori, gi noen forslg til rosedyre/hjel/veivlg til å løse ogver i

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

Snarveien til. MySQL og. Dreamweaver CS5. Oppgaver

Snarveien til. MySQL og. Dreamweaver CS5. Oppgaver Snrveien til MySQL og Dremwever CS5 Oppgver Kpittel 1 Innledning Oppgve 1 Forklr kort hv som menes med følgende egreper: disksert weområde serversert weområde Oppgve 2 Hv er viktig å tenke gjennom når

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor: Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksmen : ECON00 Mtemtkk /Mkro (MM) Eksmensdg: 7.05.05 Sensur kunngjøres: 7.06.05 Td for eksmen: kl. 09:00 5:00 Oppgvesettet er på 4 sder Tlltte hjelpemdler: Det

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før

! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før Dgens temer Enkoder! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture! Dekoder: En v 2 n output linjer er høy, vhengig v verdien på n inputlinjer! Enkoder/demultiplekser (vslutte fr

Detaljer

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

ANVENDT INTERNASJONAL HANDEL: HANDELSPOLITIKK. Karen Helene Ulltveit-Moe ECON 1410

ANVENDT INTERNASJONAL HANDEL: HANDELSPOLITIKK. Karen Helene Ulltveit-Moe ECON 1410 ANVENDT INTERNASJONAL HANDEL: ØKONOMISK VEKST OG HANDELSPOLITIKK Karen Helene Ulltveit-Moe ECON 1410 Økonomisk vekst og handelspolitikk Velferd og bytteforhold (terms of trade) Effekter av økonomisk vekst

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

Gevinster ved handel. Karen Helene Ulltveit-Moe. Økonomisk institutt, UiO

Gevinster ved handel. Karen Helene Ulltveit-Moe. Økonomisk institutt, UiO Gevinster ved handel Karen Helene Ulltveit-Moe Econ 1410:Internasjonal økonomi Econ 1410:Internasjonal økonomi Økonomisk institutt, UiO Kilder til gevinster ved handel Effektiv ressursbruk: Handel tillater

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen?

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen? Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER Mirosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER INNHOLDSFORTEGNELSE: Opprette en ny presentsjon: «Ml» vs. «tomt skll» Bilder: Sette inn ilder fr Google ildesøk. Bilder: Sette inn llerede lgrede ilder. Bilder:

Detaljer

Internasjonal økonomi

Internasjonal økonomi Internasjonal økonomi ECON1410 Fernanda.w.eggen@gmail.com 24.01.2018 1 Oversikt Forrige uke lærte vi at komparative fortrinn kan brukes til å forklare handelsmønstre Et land har komparativt fortrinn i

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Les Produktsikkerhetsguide før du kobler til maskinen. Les deretter Hurtigstartguide for korrekt konfigurering og installering.

Les Produktsikkerhetsguide før du kobler til maskinen. Les deretter Hurtigstartguide for korrekt konfigurering og installering. Hurtigstrtguide Strt her ADS-2100 Les Produktsikkerhetsguide før du koler til mskinen. Les deretter Hurtigstrtguide for korrekt konfigurering og instllering. ADVARSEL ADVARSEL viser en potensielt frlig

Detaljer

Profilrapport. Ella Explorer. 2 desember 2008 KONFIDENSIELT

Profilrapport. Ella Explorer. 2 desember 2008 KONFIDENSIELT Profilrpport Ell Explorer 2 desemer 2 KONFIDENSIELT Profilrpport Ell Explorer Introduksjon 2 desemer 2 Introduksjon Denne rpporten skl kun enyttes som et ledd i en fglig og profesjonell vurdering. Utsgnene

Detaljer

SERVICEERKLÆRING 1. Innledning 2. Demokrati, samarbeid og medvirkning 3. Generell informasjon 4. Internasjonalisering

SERVICEERKLÆRING 1. Innledning 2. Demokrati, samarbeid og medvirkning 3. Generell informasjon 4. Internasjonalisering SERVICEERKLÆRING 1. Innledningg 2. Demokrti, smrbeid og medvirkning i 3. Generell informsjon b 4. Internsjonlisering e 5. Studiestrt r 6. Studiegjennomføringen 7. Bibliotek f 8. IT l 9. Studentvelferd

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

Miljømerking og handel Mads Greaker

Miljømerking og handel Mads Greaker Økonomiske nlyser 5/2002 Mds Greker Er miljømerking v mer miljøvennlige produkter først og fremst en form for skjult proteksjonisme? Dvs. ersttter I-lndene toll og ndre typer hndelshindringer med miljømerkeordninger

Detaljer

ECON1410 Internasjonal økonomi Handel, produksjon, konsum & velferd

ECON1410 Internasjonal økonomi Handel, produksjon, konsum & velferd 1 / 29 ECON1410 Internasjonal økonomi Handel, produksjon, konsum & velferd Karen Helene Ulltveit-Moe 10. mars 2015 0 / 29 Ricardo: komparative fortrinn skyldes produktivitetsforskjeller - Kun én innsatsfaktor

Detaljer

Sammenhengen mellom takst og avstand i regulerte- uregulerte markeder. Teori og empiri. av Terje Andreas Mathisen

Sammenhengen mellom takst og avstand i regulerte- uregulerte markeder. Teori og empiri. av Terje Andreas Mathisen Smmenhengen mellom tkst og vstnd i regulerte- uregulerte mrkeder. Teori og empiri. v Terje ndres Mthisen Våren 3 Logistikk og trnsport strt It is ommon presumption tht pssenger should py higher fre for

Detaljer

Arbeidsinnvandring etter EU-utvidelsen - konsekvenser for byggenæringen

Arbeidsinnvandring etter EU-utvidelsen - konsekvenser for byggenæringen Areidsinnvndring etter EU-utvidelsen - konsekvenser for yggenæringen Norsk Ståldg 4 Advokt Kirsti Stoklnd 1 Tem BNL undersøkelse om ruk v utenlndsk reidskrft Kort om regelverket Den seriøse yggenæringen

Detaljer

ECON 2915 forelesning 9. Fredag 18. oktober

ECON 2915 forelesning 9. Fredag 18. oktober ECON 2915 Fredag 18. oktober Vi skiller mellom: Handel med varer Flyt av innsatsfaktorer Flyt av innsatsfaktorer Innsatsfaktorer flyter ikke like fritt mellom land som varer Fysisk kapital flyter friere

Detaljer

OPPGAVE 1: a. Hva menes med begrepet et lands bytteforhold (terms of trade)?

OPPGAVE 1: a. Hva menes med begrepet et lands bytteforhold (terms of trade)? Eksamen Econ 1410 Vår 2007 Sensurveiledning OPPGAVE 1: a. Hva menes med begrepet et lands bytteforhold (terms of trade)? Svar: Med et lands bytteforhold forstår vi prisen på eksport relativt til prisen

Detaljer

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer