Normativ aksiomatikk

Transkript

1 Aaud Hyllad Normatv aksomatkk avedt på spørsmålet om rettferdg valgordg Forum for matematske perler (og kurosteter) Isttutt for matematske fag, NTNU 8. jauar 2008 NTNU, 8. jauar 2008

2 Iledg Hva er e rettferdg valgordg? Hva er e god ordg for å fordele rettgheter og plkter? Hva er, mer geerelt ordg, e god ordg for å treffe beslutger. Dette er ormatve spørsmål som kke har objektvt rktge svar. Systematsk aalyse, ofte formulert matematsk, ka være e støtte for take og bdra tl avklarg. NTNU, 8. jauar

3 Normatv aksomatkk Itutve oppfatger om prspper for rettferdghet ka ofte formuleres presst, som «ormatve aksomer». Ma utleder kosekveser av dsse og fer ut hvorda de formulerte prsppee ka realseres, evetuelt at prsppee er uforeelge. I sste tlfelle må de tutve oppfatgee revderes. Resultatee må også kofroteres med tutve oppfatger om hva som er rktg eller rettferdg kokrete saker. Ideelt år ma fram tl «refleksv lkevekt», der oppfatger om prspper og ekelttlfeller er kosstete. NTNU, 8. jauar

4 Tradsjoell teor for kollektve beslutger Igetg Bbele om valg og voterger; ge teor gresk atkk Romersk atkk: Plus d.y. (63 ca.3), beslutger Seatet Mddelaldere: Ncolaus Casaus (40-464) valg av tysk-romersk keser, Ramo Llull (232 35) Set 700-tall: Etablerge av USA, de fraske revolusjo. Borda ( ), Codorcet ( ); syklsk flertall Charles Lutwdge Dodgso ( ), alas Lews Carroll NTNU, 8. jauar

5 Modere «socal choce theory» Mage egatve resultater, «umulghetsteoremer» «Demokrat er umulg», Arrow (950, 963) «Ærlghet ka kke vare legst», Gbbard (973), Satterthwate (975) E god overskt Se (970) NTNU, 8. jauar

6 Forholdstallsvalg Flertallsvalg mot forholdstallsvalg Argumeter for avvk fra proporsjoaltet; sperregrese Madatfordelg på flere våer; utjevgsmadater Poltsk fordelg / geografsk fordelg Norge (folketall og areal), USA (Represetathuset) NTNU, 8. jauar

7 Notasjo Et stemmetall er et elemet megde V, der V = ++ eller V = ++. Atall parter og madater blr beteget k og, der k og er heltall med k 2 og Mulge madatfordelger: r ( ) k {,,..., +, = } T = = r r r r r = k, 2 k j j E madatfordelgsmetode (eller bare metode) er e fuksjo F defert på vektorer k av forme ( kx, ; ) der x = ( x, x2,..., x k ) V, slk at F k, ; x T ( ) k, (, ; x) r betyr r F( k, ; x ), F( k, ; x) = r betyr F( k, ; x) = { r } F k NTNU, 8. jauar

8 Største brøks metode k x La X = j= xj og y = for alle. Vektore y = ( y, y2,..., yk ) represeterer X "øyaktg proporsjoaltet". Tallet y ka deles e heltallsdel y og e brøkdel z = y y, der 0 z <. G første omgag madater, slk at det gjestår madater tl part. k y Da er det alt delt ut m = k h m z = = madater, 0 h k der brøkdele er størst. G ytterlgere ett madat tl hvert av dsse. z = = y <. F h parter Dette deferer metode. Dersom SB F j z = z for j, er ( x) #FSB k, ; > mulg. NTNU, 8. jauar

9 Mmerg av avstad Det ka syes rmelg å velge de r T k, som mmerer avstade mellom r og y. Største brøks metode realserer dee take. Mage ulke avstadsmål gr samme madatfordelg. Resultatet blr både dersom avstade mellom y og r blr målt ved absoluttverdorme F SB k y r = om ma bruker eukldsk avstad. Mer geerelt blr resultatet det samme om p er et reelt tall og avstade mellom y og r er gtt ved k p p y r =., og NTNU, 8. jauar

10 «Alabama-paradokset» Brudd på moototet madattall: SB ( 3,3; ( 32,29,39) ) (,, ) ( ) F = ; X = 300; y =,32; y =,29; y = 0,39; h = ( 3,4; 32,29,39 ) ( 2,2,0) 2 3 F = ; SB 2 3 X = 300; y =,76; y =,72; y = 0,52; h= 2 Et beslektet feome, brudd på kosstes: ( 3,2; ( 38,42,20) ) (,,0 ) 2,2; ( 38,42) 2,0 F = ; SB 2 3 F = ; SB X = 80; y,53; y2 0,47; h = ( ) ( ) X = 200; y =,38; y = 0, 42; y = 0, 2; h= NTNU, 8. jauar

11 Aksomer Del I: Lte kotroverselle aksomer, relevate for alle k 2 Aksom SU: Skalauavhegghet τ V og alle, ; : F For alle ( kx ) ( k, ; τ x) = F( k, ; x) La σ være e permutasjo på {,2,...,k } og = ( a a a ) ( ) Sett σ ( ) = a (), a ( 2),..., a σ σ σ( k ) a. Aksom A: Aoymtet k For alle permutasjoer σ på {,2,...,k }, alle F(, ; ) F, ; ( ) a, 2,..., k e vektor av legde k. x V og alle r T k, : kx r kσ x σ r ( ) ( ) NTNU, 8. jauar 2008

12 Aksomer Del 2: Lte kotroverselle aksomer, bare avedt for k = 2 Ved SU ka otasjoe forekles. For x V og 0 x, ( ) < < G( x, ) = F 2, ; ( x, x) Aksom MS: Moototet stemmetall For alle og alle xx V, ' med 0 < x< x' < : G( x, ) ( r, r) & G( x, ') ( s, s) r s Aksom EP: Eksakt proporsjoaltet For alle og alle G, =, : ( ) NTNU, 8. jauar

13 Tlfellet k = 2, fast { } : A = V 0< < & G(, ) (, ) () For alle og alle 0 x x x (2) For alle og alle 0 : x A x A ved aksom A. (3) A for ved aksom EP. Ved (2), A0 = A =. (4) For 0< < gjelder sup A = f A +. Dette gjelder også for = 0, år A. 0 (5) Aksom MS gr < '& x A & ' ' x A x x', slk at megdee A0, A,..., A lgger pet etter hveradre. Vdere eholder A A + høyst ett pukt, og = 0 A = { x V 0< x< }. (6) For alle og alle 0 +, defer a slk: a 0 = 0, a = f A for, a = sup A, a + = (7) For alle og alle 0 +, a = a + ved (2) og (6). NTNU, 8. jauar

14 (8) A 0 = a = 0, A 0 a > 0. (9) For alle, 0 = a0 a... a a + =. (0) For alle og alle 0 : a a +, ved aksom EP for. () For alle og alle 0 : a = a+ a = a+ =. Dette følger av (6) for = 0,. For gjelder a = a+ A =, og resultatet følger. (2) For alle og alle 0 : a < x< a G(, x) = (, ). Det ebærer at #G( x, ) x { a0, a,..., a, a + } (3) La x V. F ( ) >. + + ( 2, ; x, x ) = G, =,,, for odde ; F ( 2, ;, ) G,, x x = = for lke. ( ) + NTNU, 8. jauar

15 Aksomer Del 3: Et sterkt og kaskje kotroverselt aksom Aksom K: Kosstes For alle k 2 og, alle F k x = ( x, x2,..., x k ) V og alle ( ) ( k, ; x) r F 2, r+ r; ( x, x) rr, ( 2 2 ) ( 2) r= r, r2,..., r k T k, : Aksomet kytter samme madatfordelge for forskjellge verder av k. Dersom det kke gjelder, er F på e måte ulke metoder for forskjellg k. ( 2, r + r ; x, x ) ( r, r ) Ved aksom A ka koklusjoe geeralseres tl ( ) og j med < j k. F j j j for alle Største brøks metode oppfyller kke betgelse; se eksempel ovefor. NTNU, 8. jauar

16 Moototet madattall Lemma For alle og alle 0 : a a a + Dette ebærer at «Alabama-paradokset» kke ka forekomme for k = 2. Dgresjo: 2 For største brøks metode er a = for og. Dsse tallee 2 oppfyller betgelse lemma. NTNU, 8. jauar

17 Bevssksse m Ata a + > a og velg x med a + > x > a og x a j for m=, + og alle aktuelle j. Av (9) og (2) følger G x, = F 2, ; x, x = r, r, der r. ( ) ( ) (4) ( ) ( ) (5) G(, x) F( 2, ; ( x, x) ) ( s, s) F ( t, t2, t3, t4) T 4,2 + slk at ( ) K følger F 2, t t ;( x, x) t, t t t + = + = +, der s <. ( 4,2 + ;,,, ) (, 2, 3, 4) ( + 2 ) ( 2). Da gr (3) at 2 F x x x x t t t t. Av aksom, og ma ka ute tap av geeraltet ata t t 2. Tlsvarede er t3 t4, mes t3 t4 ka atas. Av dette følger t+ t3 = og t 2 + t 4 = +. Kosstes sammeholdt med (4) og (5) medfører da t = r; t = s; t = r ; t = + s> +. Det strder mot t3 t4, og a bevset for a er fullført. Av (7) følger a a+ a+ a+ ; sste ulkhet følger av (6) for = 0 og ellers av det som ettopp er bevst. Geeralserg: j j a j a a for alle heltall, j og der størrelsee er defert. NTNU, 8. jauar

18 Represetasjo av svært små eheter Det følger av (7) at a = > 0, me er a > 0 for 2? 2 Lemma 2 For > 2, a > 0 a > 0 2 Bevssksse 2 2 Lemma gr a = 0 a = 0 for > 2. Ata 0 < a og a = 0 for > 2, og velg x slk 2 at 0 < x< a og x <. V elg ( ) 2 t, t at 2,t 3 slk F( 3, + ; ( x, x, ( x) )) ( t, t2, t3). Gjetatt avedelse av aksom K gr e selvmotsgelse. NTNU, 8. jauar

19 Svært små eheter blr kke represetert (6) Ata a > for alle 2. 0 a (7) Defer, for, d =. a Det følger av (7) og (6) at d er veldefert for alle. Lemma og (7) gr = d d d NTNU, 8. jauar

20 Lemma 3 a d La, og j = 0. Da er = a d j +. Bevssksse a d Ata <. (Bevset for det motsatte tlfellet er tlsvarede.) Velg x og x' slk a d j + a x at x< d, x' > d j + og <. Velg ( t, t2, t 3) slk at F( 3, ; (, x, x' )) ( t, t2, t3). a x' Gjetatt avedelse av aksom K gr e selvmotsgelse. Når metode F oppfyller de fem aksomee og (6), vl altså a for bestemme alle tallee a for og 0 og dermed bestemme metode for k = 2. NTNU, 8. jauar

21 Teorem La metode F oppfylle de fem aksomee og (6), og la d for være gtt ved (7). Da gjelder, for alle ( kx, ; ) og alle, j k : x x j F( k, ; x) r dr d r + Dette følger okså drekte av aksom K og tdlgere resultater. Dee klasse av madatfordelgsmetoder blr kalt delgstallsmetoder. Mage metoder som er bruk prakss, er av dee type. x Ma bereger tlstrekkelg mage kvoteter av type, order dem etter størrelse d r og deler ut madatee et etter et hehold tl ordge av dsse kvotetee. j NTNU, 8. jauar

22 Speselle delgstallsmetoder Sate-Laguës metode: d = 2 for. Dee faller samme med største brøks metode for k = 2, og er ellers de kosstete metode som lgger ærmest. F SB De speselle skadavske varate, med d =, 4 og d = 2 for 2, har kapt oe prspell begruelse, me skulle gjøre det oe vaskelgere for små parteer å blr represetert. NTNU, 8. jauar

23 d'hodts metode: d = for. Dee oppfyller følgede betgelse, og er de eeste delgstallsmetode som gjøre det: F ( ( )) ( ) F ( ) ( ) ( ) k, ; x, x, x,..., x = r, r, r,..., r & k, ; x+ x, x,..., x = s, s,..., s 2 3 k 2 3 k 2 3 k 3 k r + r s r + r To parter som slår seg samme, taper aldr madat og ver høyst ett. NTNU, 8. jauar

24 Selv svært små eheter blr alltd represetert (8) Ata a = for alle 2. 0 På samme måte som fora ka ma defere d for 2. Tlsvarede resultater ka bevses. Så lege k får hver av de største ehetee ett madat hver; deretter går ma fram som tdlgere beskrevet. Represetathuset USA: For 2, d = ( ) Her er altså d det geometrske gjeomsttet av og. Sate-Laguës metode ka ekvvalet beskrves med og. d =, slk at d det artmetske gjeomsttet av 2 NTNU, 8. jauar

25 Referaser Arrow, Keeth.J. (950): "A Dffculty the Cocept of Socal Welfare", Joural of Poltcal Ecoomy 58(4) (August, 950), Arrow, Keeth J. (95): Socal Choce ad Idvdual Values. Wley, New York. 2. utgave 963 Gbbard, Alla (973): "Mapulato of votg schemes: a geeral result", Ecoometrca, 4(4), Hyllad, Aaud: "Voterge om hovedflyplass: Beslutgsteoretsk aalyse av stortgsbehadlge 8. oktober 992", Stortgsforhadlgee ( ), Dokumet r. 8, vedlegg 8 (sde 37 34) Hyllad, Aaud: "The Codorcet paradox theory ad practce", Elster, Jo et al. (red.): Uderstadg Choce, Explag Behavour: Essays Hoour of Ole-Jørge Skog Satterthwate, Mark A. (975): "Strategy-proofess ad Arrow's Codtos: Exstece ad Correspodece Theorems for Votg Procedures ad Socal Welfare Fuctos", Joural of Ecoomc Theory 0, Se, Amartya (970): Collectve Choce ad Socal Welfare, Holde-Day, Sa Fracsco. Ny utgave: North Hollad/Elsever, Amsterdam, 979 NTNU, 8. jauar