MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER

Transkript

1 Pofesso 5. august 2005 # Aaud Hyllad MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER Iledg I mage lad, deblat Noge, foegå poltse valg som foholdstallsvalg baset på (pat)lste. Nå stemmee e avgtt, bl patee tldelt madate fohold tl de oppslutge de ha blat velgee. Sde madate e a deles, a esat poposoaltet valgvs e oppås. Defo e det behov fo e metode som på e systemats måte fe beste tlæmg tl foholdsmessg fodelg. Det fs ge metode som dee sammehege etydg og utvlsomt a ses å væe de beste elle tgste. Dette otatet omtale te atuelle metode, som alle e elle ha væt bu mage lad. Det e gtt matematse aatesege av metodee. Mege e at dsse sal tlsvae tutve elle omatve aatesege, altså utsag om at desom foholdsmessghet bl fostått på e vss måte, bl dette best ealset ved e bestemt metode. Notatet e på ge måte fullstedg. Sammehege mellom de matematse og de tutve elle omatve aatesegee e e folat detal, og også elles e mye elevat stoff utelatt. # samfusøoom og beslutgsteo ved Uvestetet Oslo. Adesse: Øooms sttutt, postbos 095, Blde, 037 OSLO. Kototelefo: Telefas: Eletos post: aaud.hyllad@eco.uo.o. Pvattelefoe: (hemme), (mobl). MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER

2 Desom Desom e > e 2 Notaso Ata at pate stlle tl valg og madate sal fodeles. He e og postve heltall. Tlfellet e uteessat, så v ata 2. La patees stemmetall væe gtt ved vetoe x (xbb, xb2b,... xbb). V foutsette xbb 0 fo alle, 2,.... E stuaso e e veto (, ; xbb, xb2b,... xbb), altså e spesfseg av alle elevate data: atall pate, madattall, stemmetall. Sett x. Da e > 0. Defe vetoe y (ybb, yb2b,... ybb) ved () y x fo, 2,.... Da e y, og ybb det øyatge madattallet fo pat, altså patets madattall desom ma hadde uet foeta e esat poposoal fodelg ute hesy tl at madattallee må væe heltall. E mulg madatfodelg (fo pate og madate) e e veto (BB, B2B,... BB) av e-egatve heltall de. Fo gtt og, la TB,B betege megde av mulge madatfodelge. Fo et eelt tall a, la a væe a avudet edove, altså støste heltall som e ovestge a. Demed gelde a < a a, med a a hvs og bae hvs a e et heltall. La vdee [a] betege a avudet (opp elle ed) tl 2 æmeste heltall, sl at a ½ < [a] < a + ½. 3 Støste bøs metode Sde ybb det øyatge madattallet fo pat, a det syes melg å la patets fatse madattall væe det heltallet som lgge æmest dette, altså sette BB [ybb] fo, 2,.... Poblemet e at ma e ha oe gaat fo at [ y ]. Dee lhete gelde ofte, me e alltd. Famgagsmåte føe altså e ødvedgvs tl at det bl delt ut tg atall madate. xbb 0, bø pat åpebat e ve oe madat. Ma a elmee patet fa dsusoe og edusee med. 2 a ½ e et heltall, e både a ½ og a + ½ mulge vede av [a], og de stege ulhetee a ½ < [a] < a + ½ a e begge gelde. De det e atuelt å beege [a], e det meget lte sasylg at dette tlfellet te, og det e e dsutet vdee. MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER 2

3 ybb av V Sde æ a e < Tae om å velge BB ybb modfsees sl at ma få e metode som fugee. De alles støste bøs metode og a besves sl: Beeg tallee ybb, yb2b,... ybb, f. lg () avstt 2. Fo pat bestå e heltallsdel ybb og e bødel zbb ybb ybb, de 0 zbb. G føste omgag ybb madate tl pat, fo, 2,.... Da e det alt delt ut m y madate, sl at det gestå h m z madate, de 0 h <. Tlfellet h 0 e usasylg, sde det foutsette at vetoe y bestå av bae heltall. I pass ha v defo h. F de h patee de bødele zbb støst. G yttelgee ett madat 3 tl hvet av dsse. Demed e alle de madatee fodelt. SB La betege atall madate pat bl tldelt ved dee metode, SB SB, SB 2,... SB. og sett ( ) Ovefo så v at det e gå a å fodele madatee ved å mmee hvet pats avv mellom øyatg og fats madattall, altså mmee ybb BB fo hve. Demot a det syes melg å måle avv fa poposoaltet ved avstade mellom vetoee y (ybb, yb2b,... ybb) og (BB, B2B,... BB). Det lede tl tae om at ma oppå best poposoaltet ved å velge de TB,B som lgge æmest y. Støste bøs metode ealsee dee dee. Kase sulle ma to at det ha betydg hvoda avstad mellom vetoe bl målt. Det vse seg mdletd at mage ule avstadsmål g samme esultat. V få støste bøs metode både desom avstade mellom y og bl målt ved absoluttvedome y, og desom v bue valg (eulds) avstad. E me geeell påstad gelde: La p væe et eelt tall, og defe avstade mellom y og ved p (2) dp( y, ) y. SB Det elemetet TB,B som mmee avstade tl y, e P P. Dette gelde fo ehve p. Absoluttvedome tlsvae p og eulds avstad 4 tlsvae p 2. p 3 se bot fa det usasylge tlfellet at bødele e le på oe avgøede put. 4 det e foutsatt at p e et eelt tall, e tlfellet p e deet. Det e valg å defee db B(y, ) masmum ybb B, 2,... BB. Så lege v bae se på tlfelle de B mmeg av avstad g etydg madatfodelg, vl også dette avstadsmålet lede tl støste bøs metode. MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER 3

4 BB bl Me Metode V øe, De øe, e 4 Sate-Laguës metode (oddetallsmetode) Famstllge avstt 3 a lett g ty av at støste bøs metode e de mest atulge posedye fo foholdsmessg madatfodelg. Det e elatvt eelt å besve metode, og de ha flee gustge egesape. Det e mdletd også alvolge pobleme yttet tl metode. De ha e del umelge egesape, og de mest slåede av dsse e at de e e mooto. Det a tees at desom ma øe atall madate, mes de deltaede patee og dees stemmetall e uedet, vl oe pate tape madat. 5 Defo e det atuelt å todusee e ae metode, Sate-Laguës metode 6 elle oddetallsmetode. ha e dsse poblemee, me e elles gase l støste bøs metode. I de fleste stuasoe g de to metodee samme madatfodelg, og også de de e g øyatg samme esultat, e foselle som egel lte. Fo å fe madatfodelge ved Sate-Laguës metode, gå ma fam sl: Dvde hvet pats stemmetall med oddetallee osv. G føste madat tl det patet som ha de støste votete, g ade madat tl det patet som ha de est støste votete, og fotsett på dee måte 7 tl alle de madatee e fodelt. SL La væe atall madate pat bl tldelt ved Sate-Laguës SL SL, SL 2,... SL. metode, og sett ( ) 5 geeelt e støste bøs metode e osstet. Fo å folae dette begepet, la oss ta utgagsput e bestemt stuaso (, ; xbb, xb2b,... xbb) og ata at pat få flee stemme, altså at xbb mes alt aet atall pate, atall madate, stemmetallee tl de øvge patee e uedet. Da a det atulgvs tees at BB og så fall må eduset fo mst e, me det e også mulg at øge xbb fo lte tl å få oe vg fo BB. I sste tlfelle sulle v vete at det helle e se oe edg este av madatfodelge. Dette e avet tl osstes, og det e e oppfylt av støste bøs metode. 6 ble foeslått tdlg på 900-tallet av de fase matematee Adé Sate- Laguë. 7 se bot fa det usasylge tlfellet at votete e le på oe avgøede put. MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER 4

5 Dette stemme (lg madate, I avstt 3 ovefo e støste bøs metode beguet med at de mmee avstade mellom y og. Da e oppmesomhete osetet om patee. Det som sal mmees, e avstade mellom dees øyatge madattall og fatse epesetaso. Et alteatv e å osetee oppmesomhete om velgee. Om pat ha fått xbb og ve BB a ma s at hve av patets velgee ha bdatt tl å velge x epesetat, mes e det tlsvaede tallet fo alle velgee geomstt. I de gad dsse tallee e fosellge, ha de som ha stemt på pat e samme flytelse som e geomsttlg velge. De ha støe flytelse e geomsttet desom > og mde e geomsttet ved motsatt ulhet. Begge dele a x ses på som uettfedg. Et mål på gad av uettfedghet a væe summe av vadatavvet mellom x og. Det sal summees ove alle velgee, sl at summe bl 2 x x. (3) Oppgave bl defo å fe de (BB, B2B,... BB) TB,B som mmee (3). I og med at x og, e (3) l 2 2 (4). x Sste ledd (4) avhege e av og a sløyfes. Altså sal ma mmee 2 (5). x SL Det elemetet TB,B som mmee (5), e P P. Resoemetet lede altså tl 8 Sate-Laguës metode. He ha det betydg at ma mmee summe av vadatavvee mellom x og. Mmeg av x g støste bøs metode. x Dette uttyet e l dbb(y, ), f. defsoe av dbpb (2) avstt 3). Resoemetet ovefo e baset på sammelg mellom e velge som ha stemt på et bestemt pat, og e geomsttlg velge. Et alteatv e å 8 va Sate-Laguës oppelge motveg av metode. MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER 5

6 Legg Det fo Dvde et P eeste betate to velgee som ha stemt på hvet stt pat. I de gad x og x e fosellge, få velgee som ha stemt på patee og ul uttellg fo se stemme. Dffease a væe et mål på gade av ul uttellg. x x Desom det e mulg å edusee dee dffease ved å oveføe et madat fa pat tl pat, altså desom BB og + (6) >, x x x x bø sl oveføg se. Desom det e fs oe pa av pate de dette teet tale fo at et madat bø oveføes fa det ee patet tl det ade, e madatfodelge balaset. Fomelt e (BB, B2B,... BB) TB,B balaset desom (6) e gelde 9 fo oe pa av pate og de og BB. Madatfodelge SL ( SL, SL 2,... SL ), altså de fodelge ma få SL ved å avede Sate-Laguës metode, e balaset. Vdee e P balasete madatfodelg. Yttelgee et esoemet ta utgagsput at ma sal fe e ps pe madat, målt stemme, og tldele madate på det gulaget. Idealet e at alle madate, så lagt det e mulg, sal oste det samme. Dee dee a oetsees på følgede måte: Velg et postvt tall QBSLB, som utgagsputet e vlålg, me som v 0 (fosøsvs) sal betate som pse pe madat. stemmetallee på Q og avud svaee tl æmeste heltall. Fo, 2,... bl altså pat x (fosøsvs) tldelt madattallet. He e BB e-egatvt QSL heltall, me fo vlålg QBSLB e det e set at. Nå 9 mee tl at esoemetet uteluede bestå å se på to pate om gage og vudee oveføg av et madat mellom dsse. Selv om madatfodelge e balaset, a det tees at avstade mellom BB/xBB og BB/xBB a edusees ved å gøe e edg madatfodelge som også volvee ade pate e og. Det fs stuasoe de e balaset madatfodelg e mmee avstade mellom støste og mste ved av BB/xBB. 0 e atulg føste omgag å fosøe seg med QBSLB /, altså geomsttlg atall stemme pe madat. Da bl xbb/qbslb ybb, 2,.... MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER 6

7 Det Metode V. <, e QBSLB fo sto og må edusees, og tlsvaede ved motsatt ulhet. Imdletd a QBSLB alltd velges sl at x x QSL SL Det a vses at da bl fo, 2,.... QSL Så lagt det e mulg, søge altså Sate-Laguës metode fo at alle pate betale samme ps, målt stemme, fo se madate. 5 d Hodts metode (støste geomstts metode) Tae om at alle madate, så lagt det e mulg, sal oste det samme, a pessees på flee måte. Dette g opphav tl yttelgee e metode fo 2 madatfodelg, alt d Hodts metode elle støste geomstts metode. Fo å fe madatfodelge ved d Hodts meotde, gå ma fam sl: Dvde hvet pats stemmetall med tallee osv. G føste madat tl det patet som ha de støste votete, g ade madat tl det patet som ha de est støste votete, og fotsett på dee måte 3 tl alle de madatee e fodelt. dh La væe atall madate pat bl tldelt ved d Hodts meotde, dh dh, dh 2,... dh. og sett ( ) Foselle mellom d Hodts og Sate-Laguës metode e e damats, selv om de e støe e foselle mellom støste bøs metode og Sate- Laguës metode. Ved sammelg av d Hodts og Sate-Laguës metode a ma mdletd alltd s hvle ve foselle gå: Desom de to metodee e gtt stuaso g fosellg madatfodelg, e d Hodts metode alltd gustgst fo stoe pate. Fo å uttye det fomelt og øyatg: Desom de to metodee stuasoe (, ; xbb, xb2b,... xbb) g madatfodelge e omalt et vsst slggsmo valg av QBSLB, me madatfodelge bl etydg bestemt (utatt det usasylge tlfellet omtalt ote 7). Det e vtg at xbb/qbslb bl avudet tl æmeste heltall. Desom ma stedet avude xbb/qbslb edove, altså sette BB xbb/qbslb, bl esultatet e ae metode, se avstt 5. 2 ble foeslått på slutte av 800-tallet av belgee Vcto d'hodt. 3 se bot fa det usasylge tlfellet at votete e le på oe avgøede put. MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER 7

8 > + madate, > dh ( dh, dh 2,... dh ) og O ( O, O 2,... O ) ha xbb xbb. dh O dh O, de > og <, må v I avstt 4 så v på tallee, som e et mål fo hvo mage epesetate, x elle saee hvo sto adel av e epesetat, hve peso som ha stemt på pat, ha bdatt tl å velge. x Alteatvt a ma se på, altså hvo mage stemme som stå ba hvet madat vuet av pat. He e det et poblem at v a ha BB 0, sl x at bl uedelg (elle egetlg udefet). Desom målet bostavelg e å gøe dsse tallee mest mulg le, må ma søge fo at BB 0 fo alle, og det e eppe melg. Me fouftg e det å s at ma må ege med at det vl fes pate som e ha o stemme tl å bl epesetet, dvs. det vl x fes vede av sl at e uedelg. Da mmee ma vaasoe blat dsse tallee ved å søge fo at det mste av dem bl støst mulg. Ma velge altså de (BB, B2B,... BB) TB,B som masmee x (7) mmum,2,...,, Dette g d Hodts metode. x Ma a også betate, atall stemme pe madat fo pat, som et mål på stye det avet pat ha på å få stt madat. BB. Ata at BB og x x (8) > + Da ha pat ette dette teet et steee av på å ve stt madat.. BB e pat ha på å beholde se BB og det e melg at et madat bl oveføt fa pat tl pat. V a s at e madatfodelg (BB, B2B,... BB) TB,B e aseptabel desom (8) e gelde fo oe pa av pate og de og BB. MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER 8

9 Det et P eeste, altså de fodelge ma få ved å avede d Hodts metode, aseptabel. dh Vdee e P aseptable madatfodelg. Med dee defsoe e madatfodelge dh ( dh, dh 2,... dh ) Metode a også begues med et esoemet tlsvaede det som ble 4 geomføt sste del av avstt 4, med e lte me vtg edg. Ige e utgagsputet at det sal fes e ps pe madat, målt stemme, og dealet e at alle madate, så lagt det e mulg, sal oste det samme. Velg et postvt tall QBdHB, som utgagsputet e vlålg, me som v (fosøsvs) sal betate som pse pe madat. Dvde stemmetallee på QBdHB og tue svaee, altså avud dem edove tl æmeste heltall. x Fo, 2,... bl altså pat (fosøsvs) tldelt madattallet. QdH He e BB e-egatvt heltall, me fo vlålg QBdHB e det e set at. Nå <, e QBdHB fo sto og må edusees, og tlsvaede ved motsatt ulhet. Imdletd a QBdHB alltd velges sl at Det a vses at da bl x Q dh dh fo, 2,.... x QdH. 4 va vssto sl d'hodt oppelge besev metode. MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER 9