Pjesa I Problema elementare

Transkript

1 Pjesa I Poblema elementae. Bashkevepimi elektostatik I ngakesave pikesoe dhe me shpendaie lineae. Kate ngakesa pikesoe me vlee te njejte q dy pozitive dhe dy negative jane vendosu ne kulmet e nje katoi me binje a qe ndodhen ne planin yz me shpendaje te tegua ne figue. Llogaitni focen e ushtua nga 3 ngakesat e tjea mbi ngakesen +q te vendosu ne kulmin (aa) dhe shpehjen e potencialit te fushes elektostatike pegjat boshtit x. Z Tegoni qe ne lagesi te medha fusha elektostatike mbi boshtin (;a;a) Y x eshte e njejte me ate te nje dipoli me moment p=4qau z te vendosu ne qende te katoit. q F u 4 4a 4 4qa E( x) 4 ( x a ) mbi pë gjithe x a ak sin. y q 4 4a 3 / u 4qa E( x) u 3 z 4 z. a V ( x) 4 P 4 V x =? X u 3 z u z. Faqe 5

2 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm. Kate ngakesa pikesoe pozitive dhe vlee te njejte -8 q C jane vendosu ne kulmet e nje katoi me binje a=cm. Llogaisni focen e ushtua nga te ngakesat e tjea mbi ngakesen e katet dhe shpehjen e potencialit te fushes elektostatike pegjat boshtit x. Llogaitni enegjise kinetike qe Z nevojitet pe te cua nje elekton Y pambaimisht lag me shpejtesi nga nje pike e boshtit x ne distance x =a nga qenda. a V x =? X F 4 E( x) 4 ( x E k 345 ( u 6 y u ) N z 4qx a ) 3 / u J 58eV. x V ( x) 4 ( x 4q a ) /.3 Kate ngakesa pikesoe me vlee te njejte q= -8 jane vendosu ne kulmet e nje katoi me binje a=cm. Njehsoni enegjine potenciale elektostatike te sistemit dhe punen e nevojshme pe te spostua nje nga ngakesat nga pozicioni P ne piken P te ndodhu ne qende te binjes sic eshte a P tegu ne figue. U e q iq j q i ij 4 a W 97 5 J. P J Faqe 6

3 .4 Dy ngakesa pozitive q dhe dy ngakesa negative q te njejte ne modul jane vendosu ne kulmet e nje kuadati me binje a=4cm si ne figue. Enegjia elektostatike e sistemit eshte U c =-36-5 J. Nje ngakese q* spostohet nga P ne P duke kye nje pune W=8-7 kunde focave te fushes elektostatike. Te llogaitet vlea e q dhe q*. Te llogaitet gjithashtu edhe puna qe duhet te kyhet pe te lagua nje nga a P kate ngakesat ndaj te te tjeat qe nuk levizin. q Ue 4 a W q *[V(P ) V(P )] q * V(P ) ku dhe V(P ). q* C nga ku maim V(P ) 83V q.5 Dy ngakesa pozitive te njejta me vlee q= -9 C jane ne nje distance fikse a=5cm; atojane shume lag nga nje cift tjete ngakesash te njejta negative me vlee q=- -9 C te vendosua edhe ato ne nje distance a=5cm. Sa pune kyejne focat elektostatike pe te afua dy stuktuat ne menye qe te fomohet ombi I tegua ne figue. 8 C. P 4 q W 4 a 5 7 J. Faqe 7

4 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm.6 Dy pengesa te lehta me mateial jo pecjelles te gjata l=5m jane vendosu ne menye qe te fomojne nje kend te dejte nidis tye; distanca e pikes P nga kendi I dypengesave eshte d=m. pecaktoni vleen e fushes elektostatike mbi piken P nqs mbi secilen nga pengesat y eshte shpenda njetajtesisht ngakesa q=5-9 C. E 4 q E(P) 6V / m. d(d ) d P d X.7 Dy ngakesa q = C dhe q = C jane shpenda njetajtesisht ne dy unaza te njejta me eze =3cm te vendosu si ne figue mbi dy plane paalelene ne distance d=3mm. Llogaitni focen F midis dy unazave si dhe punen qe duhet te kyhet pe ti lagu me mm. ku d<< njehesojme focen siku fijet te jene dejtvizoe df EdS ds d q q 3 F 45 N d d 4 d 6 Puna eshte W 69 J. Faqe 8

5 .8 Nje gimce me mase m= -3 kg dhe me ngakese - q C eshte vendosu ne qende te nje unaze me eze =cm ku eshte shpenda njetajtesisht ngakesa -8 q C. gimca spostohet me x =5cm pegjat boshtit dhe leshohet. Te tegohet qe gimca lekundet me levizje hamonike eth oigjines dhe te pecaktohet peioda T e lekundjeve te lehta dhe enegjia kinetike e gimces ku kalon nga oigjina. Fusha mbi aksin e unazes pe (x / ) eshte: qx E(x) ; 3 4 foca qe vepon mbi q eshte pothuajse lineae me lagesine nga e cila levizja eshte hamonike dhe jepet me ekuacionin d x qq m x 3 dt 4 fekuenca kendoe eshte: 3 qq / 4m dhe peioda T / 66s ndesa enegjia kinetike ka vleen: E 3 J k q X Faqe 9

6 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm. Bashkevepimi elektostatik I ngakesave me shpendaie sipefaqesoe. Nje ngakese q=39-8 C eshte shpenda me densitet sipefaqeso te njetajtshem mbi nje kuoe ethoe te sheshte me eze te bendshme =cm dhe eze te jashtme =3cm. Pecaktoni shpehjet e fushes elektostatike E(x) dhe te potencialit V(x) mbi boshtin e kuoes. Te llogaitet enegjia kinetike me te cilen nje elekton I lene I lie ne nje pike P me koodinata x=cm ain qenden O dhe focen vepuese mbi nje dipol elektikme me moment p=p o u x me p o = - Cm te vendosu ne O. dhe ne fund te llogaitet fekuenca e lekundjeve te vogla pegjat boshtit x peeth qendes O te nje gimce me mase m e ngakese q. Densiteti i ngakeses eshte: 8 q / ( ) 886 C / potenciali pe kete densitet jepet: V(x) x x dhe intensiteti i fushes: x E(x) x x E k 7eV E F p x m x p u x N P X Faqe

7 x x E(x) F(x) q E(x) m x / ( )q / m. Nje unaze me eze e vendosu ne planin xy dhe me qende ne oigjine zoteon nje ngakese te shpenda me densitet sin ku eshte kendi Y I fomua me boshtin x. Te pecaktohet fusha elektostatike ne qende dhe ne distance te madhe si pegjat boshtit x edhe pegjat boshtit y. X E 4 sind cos u u y 4 duke ndae unazen ne pjese paalele me aksin y secila pjesez ekuvalenta me nje dipol me moment dp d sin dhe integua nga ne p u y. Duke e quajtu q ngakesen e gjysemunazes pozitive x 4 sind sin u q sind ku p qu y. Ne distancen pegjat aksit x E p / 4 x E p / 4 y 3 3 dhe pegjat aksit y y Faqe

8 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm.3 Ne unaze e vendosu ne planin xy me qende ne oigjinen e boshteve me =cm e = -8 C/m. llogaitni momentin ezultant M te focave vepuese mbi unaze ne pani te nje fushe elektostatike te njetajtshme E= 4 V/m qe fomon nje kend =3 o me boshtin x. O P X m p E ku p u y ( shih pob..) momenti i foces eshte i dejtua pegjat aksit z dhe e ka vleen ne 6 modul E sin 6 7 Nm.4 Ne nje shtese dielektike te afshet dhe te pafundme te ngakua me densitet sipefaqeso te njetajtshem = - 6 C/m eshte hapu nje vime ethoe me eze =m. Mbi aksin e vimes ne nje pike P ne lagesine x= nga qenda O e vimes eshte vendosu ne ekuilibe nepemjet nje fije te kapu ne pjesen supeioe te vimes nje sfee me mase m= -3 kg dhe ngakese q. Te llogaitet vlea e q dhe puna qe duhet kye pe te spostua sfeen nqs lihet e lie nga P ne O. Te pecaktohet puna e nevojshme qe duhet pe te kye te njejtin spostim te nje dipoli me moment p=p o u x me p o = - Cm. Duke asyetua si ne pob.. x E Eafsh Edisk x u x E( P) Faqe

9 7 4 nga kushti i ekuilibit: q 46 C w 57 J. de 6 pe dipolin dw Fdx p dx pde w 4 J dx.5 Nje ngakese pozitive q eshte vendos ne distannce d=4cm nga nje plan te pafundem me ngakese unifome me densitet =886 - C/m. Nje dipol elektik me moment p= - Cm paalel dhe I peputhshem me vektoin OA lagesia e te cilit nga ngakesa dhe nga plani I nenshtohet foces F=5. -9 N. Te llogaitet vlea e ngakeses q si dhe shpejtesia me te cilen nje elekton qe niset nga A me shpejtesi v A =3 6 m/s ain ne piken B p v A lag d/4 nga ngakesa. d Duke quajtu u dejtimin njesi te OA q E u de 3 F p pq / 4 4 d domethene dejt O; ezulton q 9 C. Difeenca e potencialeve duke pae nga elektoni eshte q q 3 d 55V 4 d / 4 4 d 4 6 nga ku v B 54 m / s..6 Te plane te pafundem paalel jane te ngakua me densitet unifom = =- 3 = me = C/m. Faqe 3

10 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm Te pecaktohet fusha elektostatike ne hapesien jasht planeve dhe ne hapesien midis planeve. (. 6) 3 P P P 3 P 4 Nga jashte E( P ) E( P4 ) ux Ne hapesien midis planeve 4 E( P ) ux ux uxv / m Dhe E P ) E( ) ( 3 P.7 Dy plane te pafundem paalel me distance d=cm jane te ngakua me densitet unifom =77-8 C/m dhe = /.te pecaktohet potenciali V(x) duke e mae te baabate me zeo ne piken e mesit O midis dy planeve oigjina e koodinatave. Te pecaktohet edhe enegjia kinetike minimale E kmin qe duhet te kete nje poton ne piken A(x=-d)pe te aitu ne nje pike gjeneike O. Nqs nje elekton lihet I lie ne piken A me shpejtesi ku ain? Ne te zonat kemi d x 3 4 E ux 5 u x V m P v O O A d d X Faqe 4

11 V ( x) (3x d) d d x 4 E ux.5 u d x 3 4 E3 ux 5 u x V m V m V ( x) x ) x V3 ( x) ( 3x d ( d / ) V ( A) 3 d / 4 V V V 5 E k. 5KeV min Elektoni ndalet ne nje pike me x pozitv i tille qe V ( x) V ( A) ose me sakte ( 3x d) d nga ku x d / cm..8 Ne nje zone te hapesies potenciali elektostatik eshte dhene nga shpehja V=V (x +y ) me V = 7 V/m. Nje gimce me apot ngakese mbi masen te baabate me q/m=5 6 C/kg gjendet ne castin t= ne piken A me koodinata (x ) me shpejtesi v=v. u y ; vleat numeike jane x =cm v = 5 m/s. Pecaktoni tajektoen e gimces. y Ekuacionet e levizieve jane d x V m qex q qv x dt x x v X Faqe 5

12 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm d y V m qey q qv y dt x duke pasu paasysh kushtet fillestae zgjidhjet shkuhen v x x cost y t sin me 7 qv / m ad / s. Meqenese x / tajektoja eshte nje eth me eze x v Faqe 6

13 3. Bashkevepimi elektostatik I ngakesave me shpendaie vellimoe 3. Nje ngakese pikesoe q=5-8 C gjendet ne mesin e planit te pafundem dhe te ngakua unifomisht me densitet 8 3 C / m dhe tashesi d=cm. Te llogaitet puna e kye nga focat e fushes elektostatike pe te tanspotua ngakesen q ne nje pike P e vendosu ne ekstem te zones se ngakua dhe ne distance h=3cm nga plani me I afet. Pedoim teoemen e Gausit d x pe x E( x) ux d d pe x E( x) ux d V () V ( d / ) 8 dh V ( d / ) V ( h) 8 V 4V W 6 J d h P X 3. Nje ngakese eshte shpenda ne bendesi te nje sfee me eze me densitet jo unifom p()=c/ c eshte nje kostante. Te pecaktohen shpehjet e fushes elektostatike E() dhe te potencialit V() pe. Faqe 7

14 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm Ne bendesi pe 4 Ebend. q( ) / c me q( ) 4 d c E bend. c / Jashte sfees pe q / 4 E jasht Qe nga dhe me q c E jasht c / C( ) E jashtd c / Ne vacanti V ( ) c / pe c V()-V()= V() - V() E bend. d ( ) c c V ( ) ( ) dhe ne qende V (). pa konstante. 3.3 Midis dy sipefaqeve sfeike koncentike me eze =cm dhe =cm eshte shpenda nje ngakese elektike me densitet unifom p=658-8 /m 3. Pecaktoni shpehjen e fushes elektostatike E() ne funksion te distances nga qenda e sistemit. Nqs nje elekton lihet I lie mbi sipefaqen e jashtme sa kohe I duhet pe te kapecye teheqjen e bendshme? Faqe 8

15 Pe E ; pe 4 E bend. q( ) / me q( ) ( ) E bend. ( ) / Pe q ( ) q / 4 ( ) / E jasht 3 3 V V E k ev 6 J v 593 m / s t 33 7ns 3.4 Midis dy sipefaqeve cilindike me bosht te njejte me eze =cm dhe =cmeshte shpenda nje ngakese me densitet kostant p= C/m. Te pecaktohet shpehja e fushes elektostatike ne funksion te distances nga boshti I sistemit dhe te llogaitet puna duhet qe kyhet pe te sjelle nje poton ne sipefaqen e jashtme te boshtit. Pe E ; pe ngakesa pe njesi te gjatesise (densiteti linea) eshte q( ) ( ) Faqe 9

16 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm ndekohe pe q ( ) keshtu qe E jasht q( ) / E benda q / E jasht V E bend. d W 87eV 9 E jasht ln 7 J 87V 3.5 Nje ngakese eshte shpenda ne bendesi te nje sipefaqeje cilindike te pafundme me densitet p=p (a-b) duke qene lagesia nga boshti dhe p ab kostante. Pecaktoni shpehjen e fushes elektostatike ne funksion te. Densiteti linea i ngakeses pe eshte: a b q( ) 3 nga ku E q a b bend. ( ) / 3 ndeohe jasht cilindit E q a b jasht. / 3. Faqe

17 3.6 Te tegohet qe nje elekton I lene ne qetesi ne bendesi te nje ngakese te shpendae unifomisht midis dy planeve paalel ne bendesi te nje cilindi te pafundem te ngakua unifomisht dhe ne bendesi te nje sfee njetajtesisht te ngakua kyen nje levizje hamonike fekuenca e te ciles eshte e / m ku = pe shpendajen e afshet =/ pe shpendajen cilindike =/3 pe shpendajen sfeike. Ne te te astet pedoim ligjin e Gausit dhe gjejme: E me / / 3 espektivisht pe u shpendaien e afshet cilindike sfeike. Foca e ushtua mbi elektonin eshte: F e E e qendesynuese e tipit elastik pe u me tepe shohim se elektoni eshte fillimisht ne qetesi levizja eshte hamonike me fekuence k e / ) k e ku me eshte masa e elektonit m e m e ( 3.7 Nje fije dejtvizoe e pafundme eshte e ngakua me densitet linea ; nje sipefaqe cilindike e pafundme me eze =cm qe ka kete fije si bosht eshte e ngakua me Faqe

18 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm densitet sipefaqeso. Nqs d.p. V midis nje pike P me distance =cm nga boshti dhe nje pike P me distance =4cm nga boshti eshte zeo sa eshte apoti /? Fusha e fijes E u fusha e sipfaqes eshte zeo pe dhe pe eshte Es u. V E d Esd ln 59m P P 3.8 Benda nje cilindi me eze eshte hapu nje vime cilindike paalele me boshtin me eze a /4; distanca midis boshtit te cilindit dhe boshtit te vimes eshte b. Nqs. cilindi eshte I ngakua me densitet kostant te llogaitet si ndyshon fusha elektostatike ne vimen pegjat bashkimit te dy b boshteve. Peseitni llogaitjet pe nje vime sfeike me eze a me distance b a nga qenda e nje sfee njetajtesisht te ngakua me eze. Faqe

19 Fusha elektostatike ne vime mund te mendohet si shuma e fushes te nje cilindi me eze te ngakua pozitvisht dhe e fushes se nje cilindi qe ka dimesionet e vimes te ngakua negativisht. Ne distance nga qenda pegjat vijes se bashkimit te dy akseve b E u ( b) u u e pa vau nga. b Ne menye analoge maim pe sfeen E u Te tegohet qe funksioni V(xy)=ax +bxy-ay me a dhe b kostante mund te paaqese nje funksion potencial. Te pecaktohet fusha elektostatike dhe densiteti I ngakeses (x y). V V Llogaitet fusha elektostatike E x y dhe vetetojme qe E E x y E E x y E u z. Dhe E y x x y dhe keshtu ( x y). Shikohet edhe qe funksioni i popozua eshte zgjidhja e ekuacionit te Laplace (Laplasi Faqe 3

20 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 4. Potenciali ecipok dhe kapaciteti 4. Dy sfea pecjellese S dhe S me eze dhe jane vendosu ne boshllek ne nje distance x midis qendave shume te madhe ne kahasim me dhe. Sfea S e izolua ka nje ngakese q dhe sfea S eshte mbajtu ne potencial V ne kahasim me infinitin. Te llogaitet potenciali V (x) I sfees S ngakesa q (x) e sfees S dhe foca F(x) midis sfeave ne funksion te distances x. q V X>> ; q q ( x) q ( x) q V ( x) 4 x V 4 x nga ku: q q ( x) 4 V x q V V ( x) 4 x x qq ( x) q q F( x) 4 V. 4 x 4 x x 4. Nje sfee e vogel pecjellese me eze =mm eshte vendosu mbi boshtin e nje disku me eze =cm njetajtesisht e ngakua me densitet = - C/m ; qenda e sfees ka nje distance d=3cm nga qenda e diskut. Sfea eshte e lidhu me token nga nje fije e holle pecjellese Faqe 4

21 keshtu potenciali I saj eshte zeo. Te llogaitet ngakesa q e induktua ne sfee. d q V= Njehesojme potencialin qe kijon disku ne vendin ku eshte sfea 3 V diskut 9 V dhe potencialin qe kijon vet sfea V s qi duhet qe V disk V s 4 q 5 i C. qe nga gjejme 4.3 Ne nje laste te afshet pecjellese shume te holle eshte hapu nje zgave midis faqeve me distance d=5cm; ajo eshte e ngakua me densitet sipefaqeso kostant =886-8 C/m. Te pecaktohet enegjia kinetike minimale E kmin qe duhet te kete nje poton ne piken A pe te aitu dei ne piken B duke kalua nga nje vime e vogel e hapu ne nje faqe. Sa kohe I duhet nje elektoni te lene te lie ne B me enegji A B kinetike E k min pe te aitu ne A? Lagesia e A nga lasta eshte l=cm (ne vizatim nuk jane dhene pemasat). d 7 8 E k min KeV v e 65 m / s t d / ve 87 s 8 8 t / ve 5 s t t t 338 s 4.4 Dy flete metalike te umbullaketa me tashesi te papeshkueshme koncentike me eze =cm dhe Faqe 5

22 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm =5cm jane lidhu me nje fije te holle pecjellese. Nje ngakese q= - C eshte vendosu ne qende te sistemit dhe nje ngakese q =q eshte vendosu ne nje pike B ne distance d=5cm nga fleta e jashtme. Te llogaitet foca e ushtua nga q mbi secilen flete dhe puna qe duhet te kyhet pe te sjelle q nga pika B ne piken A me distance x =5cm nga qenda e sistemit. d q q Pe vepimin e ekanizimit elektostatik mbi q nje foce vetem fleta e jashteme: F 9 8 N VA VB 5V W.5 J. ushton 4.5 Pese flete metalike sfeike me tashesi te papefillshme te gjithe koncentike duke patu eze pekatesisht 345cm jane lidhu me fije te holla pecjellesish si ne figue. Sistemi eshte fillimisht I pa ngakua. Nje ngakese q= - C eshte vendosu ne sipefaqen me te bendshme. Te llogaitet ngakesa pekatese mbi secilen sipefaqe te umbullaket dhe enegjia elektostatike U e te gjithe sistemit. Te pecaktohen si ndyshojne fusha elektostatike dhe enegjia elektostatike ku; sfea eshte vendosu ne kontakt me sfeen sfea 3 eshte vendosu ne kontakt me sfeen 4 sfea 5 eshte lidhu me token. s C B A o Faqe 6

23 q q q q C q q q C 3 5 E q / 4 ne zonen A B C ndesa ne zonat e tjea eshte zeo U U U U s A B C 4 q q q 9 35 J Ne qofte se vendoset kontakti ne sipefaqet dhe fusha anullohet ne zonen A dhe si jedhim anullohet edhe U q 9 U s 5 J 8 negative (zvogelohet); ne zonen e jashteme nuk ndodh asgje pe vetite e ekanizimit. Ne qofte se vendoset kontakti ne sipefaqet 3 dhe 4 fusha anullohet edhe ne zonen B U 9 U s 36 J ne bendesi dhe jashte nuk ndodh asgje se fundi ne qofte se vendoset kontakti ndemjet tokes dhe sipefaqes 5 fusha jashte eshte zeo U 9 U s 9 J ne bendesi nuk ndyshon asgje asgje 4.6 Kate kondensato jane vendosu si ne figu. Nje gjeneato eshte lidhu ne skajet A dhe B dhe nje elektoskop midis C dhe D pe te matu d.p.v C -V D. Te tegohet qe elektoskopi tegon zeo nese C C /C =C 3 /C 4 (ky dispozitiv eshte C C mae si ue kapaciteti lejon te A B E matet kapaciteti I nje kondensatoi pavaesisht nga te te tjeet). C D 3 C 4 - V + B c A Faqe 7

24 V V Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm q C VA C q 4 B VD. C4 V q 3 D VA C3 Ne ekuilibe ( V V ) kemi C D q q 3 q4 C C3 C C4 q V q 4 B VC C4 q ; ku C dhe C jane lidhu ne sei kemi q dhe ne menye analoge q3 q4 ; C C3 atehee C C Te kondensato me kapacitet C = F C = F C 3 =4 F jane lidhu si ne figue. D.p.e aplikua midis A dhe B eshte V=V. Te llogaitet kapaciteti ekuivalent midis A dhe B ngakesa dhe d.p. pe secilin kondensato enegjia totale elektostatike e sistemit. B C ekuvalente C C3 C 333F V V C C 4 q C V C ngakesa totale eshte dhe 3 q C ek V q q3 q q 33 C V q C 66 7V V A 4 C / C C 3 C U s Cek V 67 J. 4.8 Pasi kemi kaikua dy kon me kapacitet C =5 F dhe C =4 F me d.p. V =3V dhe V =5V lidhen midis tye Faqe 8

25 pllakat pozitive dhe pllakat negative dhe u vihet paalel dy kondensatoeve te pae nje kondensato I tete I pa ngakua me kapacitet C= F. Te pecaktohet ngakesa ne fund e secilit kondensato dhe vaiacioni I enegjise ne poces. 3 3 q 5 C q C 3 q q q 5 C q U fil lim 35J ne fund V fund 5V C C C q 5 C q C q3 5 C U fund 33J U. 37J 4.9 Nje kondensato I afshet me kapacitet C =6 F duke pasu pllaket sipefaqesoe Σ me lagesi h=cm lidhet me nje gjeneato qe funizon d.p. V = 3 V. Nje laste peciellse me faqe te afshta eshte paalele me sipefaqe Σ me tashesi x=4mm vendoset paallelisht midis pllakave. Te llogaitet me sa ndyshon kapaciteti dhe sa pune kyejn focat e fushes n.q.s. gjat pocesit qendon konstante ngakesa mbi pllakat ose d.p. midis tye. h 3 x x x h x C h dhe C C F. h x C h x ndekohe C h Faqe 9

26 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 3 Ngakesa fillestae eshte q 6 C dhe U fillestae 3J ; me ngakese konstante U fund 8J U J. Zvogelimi I enegjise elektostatike shkon pe kyejen e punes pe teheqien e lastes. Neqoftese qendon konstante potenciali ne vleen V atehee q 3 fund C U fund 5J U J. Puna qe kyhet nga gjeneatoi eshte W gjen 4J : gjysma shkon pe te itjen e enegjise elektostatike dhe gjysma tjete shkon pe punen pe teheqien e lastes. 4. Te pecielles te afshet shume te holle me sipefaqe Σ=.m paalele midis tye jane lidhu midis tye si ne fig. me nje gjeenato me d.p. V. Faqia qendoe me mase m= kg mund te levize vetikalisht duke qendua paalele me dy te tjeat ku distanca eshte d=6mm. Gjendet se faqia qendoe eshte ne ekuilibe ku distanca eshte d/4 nga faqia e sipeme. Te llogaitet vlea e V; ngakesa e peciellsit qendo dhe enegjne elektostatike te sistemit. Peciellsi qendo spostohet pesei ne menye qe te jete ne distanca te baabata nga dy peciellsit e tjee. Te llogaitet puna e kye nga focat elektostatike n.q.s. gjeneatoi qendon I lidhu ose jo gjat spostimit Ekuilibi i focave E E m g me E 4V / d dhe E 4V / 3 d : - V+ d/4 3d/4 Faqe 3

27 3 m g qe nga V d 748V. 8 Gjendia fillestae C fil lim 788pF q 7 C fillesta U fillestae. J kapaciteti pefundimtae C fund 59pF -Potenciali konstant: U 4 fund 65 4 J 55 J W (povoni se W gjen U s U ) -Ngakesa konstante U 4 fund 93 4 J 73 J W U s s 4. Nje kondensato eshte fomua nga dy pllaka katoe me binje me nje pjesi shume te vogel si ne figue ne menye te tille qe d<<d dhe keshtu dejtimet e foces mund te kunsideohen paalel. Te llogaitet kapaciteti I kondensatoit ne funksion te d/d dhe te C kapaciteti me pllakat ne esht. Me hipotezen qe C =5 F d/d= dhe qe kondensatoi ka ngakesen q= -4 C te llogaitet puna e nevojshme pe te jeshtua d pllakat me ngakese kostante. d ds dc d s sin x sin tg d x dx dx dx ds dc ; sin d d d x Faqe 3

28 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm Maim ne konsideat te gjith kondensatoet elementa si te lidhu ne paallel dhe gjejme kapacitetin si integalin e dc. d ds s d d C d C dc d ln d d d d d x d d me C. d q q q C 4 U s 35 J C C C C E njejte me punen e kye pe te cua pllakat paalelisht. 4. Nje top sfeik me eze =5m eshte bee me nje mateial elastik metalik. Nqs I komunikohet topit ngakese q= - C fitohet nje zgjeim dei ne eze =7m. Te llogaitet shtypja elektostatike pefundimtae ne sipefaqe te topit dhe puna e focave te fushes slektostatike ne zgjeim. q p 5 Pa 4 W 57 J x Faqe 3

29 5. Bashkevepimi elektostatik ne dielektik 5. Ne nje mateial dielektik me kostante dielektike elative k=3 egziston nje fushe elektostatike unifom E =. 3 V/m. Mbi dielektikun eshte hapu nje zgave e gjate dhe e holle e oientua kundejt E si ne figue. Te llogaitet fusha elektostatike E ne bendesi te zgaves nqs. =3. E Nga dhe E cos E cos ke sin sin 3 Gjejme 6 E346 J E κ α β E 5. Nje kondensato I afshet me pllaka katoe me sipefaqe Σ=4cm distanca d=mm eshte mbushu gjysem me mike (k =5) dhe gjysem me paafine (k =). Te llogaitet kapaciteti I kondensatoit. Nqs ushtohet nje d.p. V= 3 V midis pllakave te llogaitet densiteti I ngakeses mbi pllaka densiteti I ngakeses I polaizimit mbi sipefaqet e dielektikut enegjia elektostatike e kondensatoit. V C 6 pf ; E 6 V / m 5 ke 443 C / m 5 ke 77 C / m Faqe 33

30 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm k 5 p 354 C / m k k 6 p 886 C / m k 3 W 4 J 5.3 Ne dy kondensatoe te afshet me kapacitet C =5pF dhe C =pf te lidhua ne sei eshte lidhu nje gjeneato qe mban nje d.p. kostante V=4V. Nje laste dielektike me kostanten dielektike elative k=4 futet ne C deisa mbushet plot. Te llogaiten ndyshueshmeia e ngakeses se C ndyshimin e d.p. ne kapacitetin e C ngakesen e polaizimit mbi secilen faqe te dielektikut enegjine e funizua nga gjeneatoi gjate pocesit. Ne fillim kemi C fil lim 333 3pF 7 q fil 33 C lim mbas vendosies se lastes ne C kemi: 7 C kc dhe C fund pf q 34 C q 7 fil 33 C V q fund / C 33V lim ndekohe V q fil C 66V V 33V ; W gjen lim / V q V ( q fund q Faqe 34 5 fil lim ) Dy kondensato me kapacitet C =pf dhe C =pf jane vendosu ne paalel dhe jane kaikua nga nje d.p. V =4V. Me pas hapesia e ndodhu midis pllakave V C C J k

31 te C mbushet plotesisht me uje te distilua ( k=8). Te llogaitet ndyshimi I ngakeses se C ndyshimi I d.p. ne kapacitetin e C ngakesen e polaizimit mbi faqet e dielektikut vaiacionin e enegjise elektostatike te sistemit. V C C k Ne fillim q 8 C q 4 C q 48 C 9 5 C F U s 96 J mbas vendosies se lastes ne C kemi: 8 8 C kc 6 F dhe C 7 F V 8 V 8 8 q 45 C q37 C V V 37 8V 5 5 U s 68 J U s 89 J k q 446 C. k q p Dy kondensato te afshet te njejte duke pasu pllakat katoe me binje l=cm distance h=5mm jane lidhu me dy gjeneato qe mbajne nje d.p. V =5V ne skajet e te pait dhe V =V ne skajet e te dytit. Nje laste dielektike me pemasa.. 5cm 3 dendesi =5 3 kg/m 3 dhe kostantja dielektike elative k=5 mund te leviz pa fekim ndemjet amatuave duke mbajtu gjithmon nje ekstem benda nje kondensatoi dhe nje benda tjetit. Njehsoni kohen qe I duhet lastes pe te peshkua nje uge x=5cm nqs ne kohen t= eshte ndalu densiteti I ngakeses se polaizimit mbi laste. Faqe 35

32 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm Foca qe vepon mbi dielektik eshte: ( k ) 4 F ( V V ) 53 N ; h masa eshte m h 3kg ; 3 a F / m 77 m / s t 7 5s V 6 p ( k ) 3.54 C h V 6 p ( k ) 79 C h + + V V Nje kondensato I afshet duke pasu pllakat vetikale me sipefaqe Σ=5cm distance d=cm eshte lidhu me nje gjeneato me d.p. V= 3 V. Nje laste dielektike me tashesi h=6 cm dhe kostante dielektike elative k=4 eshte vendosu midis pllakave dhe eshte mbeshtetu tek ajo me ngakese negative. Pllakes pozitive I eshte mbeshtetu nepemjet nje file te holle izolanti nje top me mase m= -3 kg dhe ngakese q =5. -9 C qe qendon ne ekuilibe me fijen ne kendin me vetikalen. Te llogaitet vlea e fushes elektike qe vepon mbi top nga kendi I ekuilibit nga ngakesa qe eshte ne pllaka dhe nga ngakesa e polaizimit qe eshte mbi sipefaqen e dielektikut. 5 E 8 V / m 53 ; nga kushti i ekuilibit: Faqe 36

33 8 8 q 86 C q p 6.4 C. 5.7 Te kondensato sfeike te lidhu koncentikisht me tashesi te papefillshme kane eze =cm =cm 3 =4cm. Nje ngakese q eshte depozitua ne pecjellesin me te bendshem dhe vihet e se midis dy kondensatoeve me te 3 jashtem eshte nje d.p. V - V3 9 V. Mbushet plotesisht boshlleku midis pecjellesave me eze e 3 me nje leng dielektik me kostante dielektike elative k dhe vihet e se 3 d.p. V - V3 zbet ne vleen V' -V' 3 3 V. Te llogaitet vlea e k ndyshimi I enegjise elektostatike ne pocesin e mbushjes ngakesa e polaizimit mbi sipefaqen e dielektikut. A ka ndyshua d.p. V -V midis dy pecjellesve me te bendshem dhe potenciali i pecjellesit te jashtem? k Konstantia dielektike elative e likuidit eshte e njejte me apotin e d.p. ne fillim me d.p. ne fund. 3 3 k 9 / 3 3 nga q 3 8 V V3 9 V 4 q 4 C 3 q 4 fillimisht U 36 J 8 q 4 U 8 J 8 3 q 4 U 3 8 J 8 3 Faqe 37

34 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 4 U s U U U 3 7 J. Ne poces ndyshon vetem U : 4 U U / k 6 J. 4 Dhe U s 6 J U / U 67 q 8 p 67 C d.p. V V dhe potenciali V3 nuk ndyshojn s 5.8 Te kondensatoe sfeik te lidhu koncentikisht me tashesi te papefillshme kane eze =cm =cm 3 =4cm. Ne fillim boshlleku midis dhe 3 eshte I mbushu me oksigjen te lenget (thyeshmeia =5 mase molae A=3 dendesia =. 3 kg/m 3 ) dhe d.p. midis pecjellesit te bendshem dhe atij te jashtem eshte mbajtu fikse V=6V. Te llogaitet ngakesa q e pecjellesit te bendshem vlea e polaizimit P ne nje pike Q ne distance =5cm nga qenda vleen e pebeeses se momentit te dipolit p te molekules se O ne dejtim te E gjithmon ne distance =5cm nga qenda. Me pas zbazet boshlleku midis dhe 3 dhe mbushet boshlleku midis dhe. Sa pune kyen gjeneatoi gjate pocesit te kalimit te lengut. k q q 8 8 C P ( Q).4 C / m k n.6 molekula / m p P / n.85 Cm mbas tejcimit q s C W gjen. 84 J Faqe 38

35 5.9 Nje kondensato cilindik shume te gjate pllakat e te cilit kane eze =cm dhe =4cm eshte pjeseisht I mbushu me nje shtese dielektike me eze dhe dhe konstante dielektike elative k=5. Nje gjeneato ka d.p. V=5. 3 V midis pllakave. Te llogaitet foca me te cilen dielektiku eshte ithithu ne kondensato dhe pe nje avancim x=5cm vaiacioni I enegjise elektostatike. F ( k ) V ln( / ) W J gjeneatoi duhet te jap enegjine N 4 U s W 4 J 5. Nje cilinde pecielles me diamete d=5cm eshte vendosu vetikalisht tek nje suste me koeficent elastisiteti k=n/m; pjesa e poshteme eshte vendosu ne nje cilinde te dyte pecielles me diamete te bendeshem D=6cm koaksial me te pain. Hapesia midis peciellseve eshte mbushu me nje dielektik me konstante dielektike elative k=4. Ku midis cilindave eshte aplikua d.p. V=4. 3 V nepemjet nje gjeneatoi vihet e qe cilindi I pae ulet me x. Llogaitni vleen e x dhe ngakesen e polaizimit pe njesi te gjatesise mbi sipefaqet e dielektikut ne kontakt me peciellsit. F kv ; F k x ln( / ) Faqe 39 x

36 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm x 9 8cm pe njesi te gjatesise kv q C V 49 ln( D / d) 6 6 C q p 37 C 5. Nje sfee peciellese me eze =cm ka nje ngakese q=6. -8 C dhe eshte e ethua nga nje mbuoje sfeike dielektike jo homogjene me eze te bendeshme dhe eze te jashteme =3cm. Konstantia dielektike elative e mbuojes ndyshon me distancen nga qenda e sfees sipas ligjit k=c/ me c=9. -4 m. Te llogaitet fusha elektostatike E() ne te gjith hapesien enegjia elektostatike e sistemit dhe densiteti i ngakeses se polaizimit veifikoni qe ngakesa totale e polaizimit eshte zeo D( ) q / 4 pe pe c / k ( ) D / k q / 4 c U pe s E E() q/4. E d E d me d 4 d : U s J 54 J 9 J k ( c ) q P( ) D k 4c c 8 q p 4 P( ) q 533 C c Faqe 4

37 c q p 4 P( ) q c q 8 q p q p ( ) 533 C. c Duke qene e ndyshme nga zeo ngakesa sipefaqesoe e polaizimit ne vellim duhet te shpendahet nje densitet P qe njehesojme nepemjet p d q p ( P) d c Ngakesa e polaizimit ne vellim eshte: q p ( )4 p d q c ( ) 533 ne total ngakesa e polaizimit eshte zeo. 8 C ; 5. Nje cilinde I vogel me mateial dielektik (k=3) eshte vendosu ne distance =5 nga qenda e nje sfee pecjellese te izolua me eze =cm me potencial V= 4 V. Vellimi e cilindit eshte =mm 3 dhe pemasat e tij jane te pa endesishme ne kahasim me. Te llogaitet foca qe vepon mbi cilindin. P P Fusha ne bendesi eshte E E me P E nga k ku P E dhe momenti I dipolit te cilindit eshte k Faqe 4

38 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm k q p P ; E q / 4 dhe p foca mbi k 4 de k q dipol eshte F p ne teheqje 5 d k 8 Ngakesa e sfees eshte q F me V dhe pefundimisht F 38 8 N Faqe 4

39 6. Levizia e ojentua e ngakesave elektike yma dhe ezistenca elektike 6. Nje peshpejtus linea peshpejton elektonet dei ne enegjine E k =45GeV. Paisja funksionon ne egjim impulsiv ne cdo impuls qe zgjat s jane peshpejtua N= 4 elektone; fekuenca e peseitjes eshte =5Hz. Njehsoni intensitetin maksimal te ymes i max dhe ate mesata i mes te tufes se elektoneve fuqine maksimal P max dhe mesata P mes. Ne hipotezen qe tufa ka nje diamete d=3mm njehsoni pevec densitetit maksimal te ymes j max dhe mesata j mes densitetin maksimal dhe mesata te elektoneve. Te supozohet qe elektonet kane shpejtesi c=3 8 m/s. 3 i Ne / 6A i mes NE / T 8 A 8mA ; max 9 P Vi W 7GW max max 8 Pmes Vimes 3 W 36MW ; d / 4 6 jmax imax /.6 A / m j nec 3 3 ( ne) max jmax / c 7.53 C / m 6 3 ( ne) mes 3.77 C / m 3 j mes.3 A / m 6. Ne nje fije bake qe peshkohet nga nje yme me densitet j=a/mm shpejtesia e levizjes se elektoneve eshte d =.5mm/s. Te llogaitet vlea e fushes elektike E qe mban ymen ne fije nxitimin a te elektoneve te pecueshmeise midis dy peplasjeve te njepasnjeshme Faqe 43

40 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm kohen qe I duhet nje elektoni pe te aie d fuqine P pe njesi te vellimit te haxhua pe te qakullua ymen. -8 ezistenca e bakit eshte.67 m. E j 334 V / m a P 9 4 ee / m 587 m / s v d / a 56 s je W / m 668 W / mm 6.3 Nje pecjelles elektik me vime ne mes me gjatesi d=cm ka eze a=mm dhe b=5mm; ato jane ndetua nga nje substance me ezistence m. Nje f.e.m. V mund ti ushtohet pecjellesit ne menye qe yma te jedhe paalelisht me aksin e cilindit ose pingul nga sipefaqja e bendshme ne ate te jashtme. Te llogaitet b b a a ne te dy astet intensiteti I ymes i qe d d J peshkon pecjellesin J fuqine e shpendae dhe densitetin e ymes mbi sipefaqet teminale. asti d / ( b a ) 66 3 i 33mA P i 66W j i / ( b a ) 5A / m e njejte ne hyje dhe ne dalje Faqe 44

41 asti b b d d / d d ln 4 6 d a i 37A P 7 4W 3 j a i / ad 545 A / m a j b 3 7 A / m 6.4 Nje ezistence ka fomen e nje tungu konik me gjatesi d dhe me eze te jashtme a dhe b. Te llogaitet ezistenca dhe te veifikohet fomula pe a=b (cilinde). b a b x d dx dx d [ b ( b a) x / d] d d d d (nqs kons tan te ) ( b a) a b ab pe astin ku a b d / a fomula e njohu pe nje pecielles cilindik. 6.5 Nje levozhge gjysem sfeike silici ( =3 m) ka ezen e bendshme a=cm dhe ezen e jashtme b=cm; ajo eshte e lidhu me nje gjeneato qe ka nje d.p. V=v midis sipefaqeve qe e pekufizojne. Te llogaitet ezistenca e levozhges ymen qe e peshkuan dhe fuqine e shpenda densitetin e ymes midis sipefaqeve te jashtme. Keto jane lye me nje shtese te holle ai ne menye qe te meen me potencial kostant. d a b dx Faqe 45

42 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm d d / b d 83k a b a i ma P W j a i / a 75A / m j b a b V i / a 44A / m. 6.6 Ne qakun ne figue gjeneatoi ka f.e.m..5v dhe ezistencen e bendshme i ; ezistenca eshte e ndetua nga nje fije alumini me gjatesi d=5m dhe me sipefaqe Σ=.5mm ; ezistenca dhe koeficienti temik jane 8 8 m ne tempeatuen C dhe 39 3 / K. Te llogaitet yma i ne qak ne o C tempeatuet t ne te cilen yma behet i.95i potencialin e shpenda mbi ne te dy situatat. Supozohet i kostante. ( ) / 4 d /( ). i ( i ) / i 43A ( t) / t 35. C t 55. C P i 39 W P i 45 W i Faqe 46

43 6.7 Nje fije nikelkomi ( =4-4 o C - ) i nje sobe jep nje fuqi P =5W ku d.p. e aplikua eshte V=V dhe tempeatua t =8 o C. Duke supozua qe ajo mbahet ne tempeatuen t = o C duke e zhytu ne nje banje vaji te llogaitet fuqia P dhe yma qe peshkuan fijen ne te dy astet. ( t C) P P P 6W ( t C) P / V i 5A i P / V 3 6A 6.8 Te batei qe kane te njejten f.e.m. 6V dhe te njejten ezistence te bendshme i mund te lidhen te gjitha ne sei ose te gjitha ne paalel me nje ezistence me =6. Te llogaitet ne te dy astet ezistenca e plote e gjeneatoeve ne skajet A dhe B te yma qe qakullon pegjat fuqia e plote e shpenda nga gjeneatoet dhe ate te tansfeua tek. 3 3 asti 3 AB 3 i i 3 /(3i ) A P gjen 3 i 36W B A P i 4W P / P gjen asti B A Faqe 47

44 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 3 33 i /( AB ) 95A AB / i P gjen i 5 7W P i 5 4W / 95 P P gjen 6.9 Ne qakun ne figue V V 3 8V =5 = 3 =. Te llogaitet yma ne secilen ezistence d.p. midis pikave A dhe B fuqine e plote te shpenda ne sistem te veifikohet qe eshte e njejte me ate te shpenda nga gjeneatoet. Me anen e metodes se ymave kontuoe 3 i i 3i3 i3 i i i 3 3 i i i 3 47A 38A 365A VA VB 3 3i3 4 35V i i i 3 46W 3 3 3i i3 i 3 46W A 3 + i i 3 i B 6. Ne qakun ne figue 4V 8V V 3 Faqe 48

45 Te llogaitet d.p. midis A dhe B dhe midis pikave C dhe D. Pikat A dhe B lidhen me nje fije; te llogaitet d.p. V c -V D fuqine e shpenda nga te gjeneatoet fuqine e tansfeua mbi sistem ( 3 4 ) i i 667A V V V ( i A B d 3 ) V B V D VA VB 67V VC VD 8 67V ( 3 ) i ( ) i 3 ( 3 ) i ( 4 ) i3 i i i3 i 643A i 56A i3 699A VC VD ( ) i 8 5V. P gjen i i i 5 37W 3 3 P z ( ) i i ( ) i 4. 46W e pe te veifikim 3 P 4 ( i i i3 ). 9W Pgjen P 3 C A B i i 3 i D e z Faqe 49

46 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 6. Ne qakun ne figue 3V 6V 6. Te llogaitet ne fillim me celesin T te hapu dhe pastaj me T te mbyllu d.p. ja V A -V B dhe fuqia e shpenda nga gjeneatoet. T i hapu / ekuiv. i / ekui.. 3A VA B i 9 V / V P gjen i 9W T i mbyllu ( ) i i / i 885A ( / 3) i i / i 836A i i i i 49A VA VB i / 66V P gjen i i 5 6W 6. Nje gjeneato me f.e.m. 9V dhe ezistence te bendshme i eshte lidhu me nje jet ezistencash te gjitha te njejta me vlee =6. Te llogaitet ezistenca ekuivalente eq e jetit duke u nisu nga gjeneatoi ymen I qe qakullon ne secilen ezistence fuqine e plote te tansfeua nga gjeneatoi ne A jet. i i i A B i T B Faqe 5

47 Pikat C Ο D jane me potencial te njejte si jedhim ne peciellsat CO dhe OD nuk jedh yme; ( / 3) 4 A i ekuivalent e /( ekui. i ) 5A ne cdo ezistence kemi: P ekui. i 6i 9W i 5A 6.3 Ne figue eshte tegua nje zinxhi I pafundem ezistencash te gjitha te njejta me vlee =. Te llogaitet ezistenca ekuivalente eq e zinxhiit dhe fuqia qe I tansfeohet zinzhiit nqs ne skajet e tij lidhet nje gjeneato me f.e.m. 9V dhe ezistence te bendshme. i ezistenca midis pikave A dhe B eshte ekui. ndesa ezistenca midis pikave A dhe B pa mae paasysh ezistancat e mepashme eshte pesei ekui. ezistencave vazhdon ne pafundesi atahee skema ekuivalente eshte si ne figuen dhe: ek / ek / /( ek ) i /( ) A i ek 5 ne cdo ezistence sepse zinxhii I i 5A P i 6i W ε B i A A' A ek 9 C O D B B B i A A' B B ekui.. Faqe 5

48 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 6.4 Ne qakun ne figue V i = = 3 =4 yma qe qakullon ne gjeneato eshte I=5A. Enegjia elektostatike e magazinua ne C dhe ne C eshte pekatesisht U =4-6 J dhe U = -6 J. Te llogaitet vlea e C dhe C. /( ) ek i 3 / i 4 4 ; 6 V i V C U / V F 6 V i 4V C U / V 5 F 6.5 Ne qakun ne figue 5V = =4 3 =8 4 = 5 =5 C=3 F. Te llogaitet d.p.v B -V A ne kushte te qendueshme dhe nqs zgjidhet gjeneatoi ne sa kohe i i i 3 ngakesa e kondensatoit behet sa nje e C A B dhjeta e asaj fillestae 5 4 ek 5 34 i / ek 3A 5 ( i i V V )( ) i i A i i i A V i V V V i V A Q 8 B VA 6V ; i C B Q C Q Faqe 5

49 ( 3 )( 4 ) 3 6 eshkakimi t 3 4 eshk. C s t ln 4 8 9s 6.6 Celesi T I qakut ne figue mbyllet ku hapet ku V C 3 si ne figue. Nqs =4 = VC 3 dhe. ezultati eshte se V c ka sjelljen e tegua -6 C F. Te llogaitet sa eshte koha e kaikimit t c shkakeses t s dhe peioda e V lekundjes. koha e Ngakimi behet pemes ezistencave dhe Vc kalon vleen / 3 pe kohen t dhe ain vleen / 3 pe kohen t ; c C s tc t t c ln 69 3s ; shkakimi shkakimi fillon nga / 3 dei ne / 3 dhe behet pemes ezistences C s t ln 3 9s s s T t t 83s / T khz. c s s T C 3 3 V C C Faqe 53

50 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 7. Levizja e gimcave te ngakuaa ne fushe elektike dhe magnetike 7. Nje poton me enegji kinetike E k =6MeV hyn ne nje zone te hapesies ne te cilen egziston nje fushe magnetike B=T pingul me planin e tajektoes duke fomua me aksin y kendin =3 o. Te llogaitet kendi nga dejtimi I daljes me aksin y dhe lagesine pegjat y i pikes se daljes dhe asaj te hyjes. B ' y 3 ; 3 E K 6MeV 96 J p mv mek 567 kgm / s mv / qb 354m y sin 3554m. y ' B Y 7. Nje poton me enegji kinetike E k =5MeV leviz pegjate aksit x dhe hyn ne nje fushe magnetike B=.5T pingule me planin xy dhe del nga x= ne x=l=m. Njehsoni ne dalje te fushes kendin qe shpejtesia e potonit fomon me aksin x dhe koodinaten y te pikes se daljes nga fusha. E k 5MeV 8 J v y L x 9 mv mek 64 kgm / s mv / qb 4m sin L / v Faqe 54

51 y ( cos) 6m 7.3 Ne dispozitivin ne figue nje gup jonesh me ngakese q=6-9 C dhe mase m duke u nxitua nga nje d.p. =45V kalon nepe nje te cae F ne nje zone ne te cilen egziston nje fushe magnetike B= - T unifome kendedejte me vizatimin. Jonet qe kalojne me nje kend te dejte (simbas O-M) aijne mbi nje zbulues ne piken N me MN=35cm. Ato qe kalojne ne nje dejtim qe fomon me nomalen nje kend te vogel (simbas O-F) aijne mbi zbuluesin ne nje pike P me distance d nga N. Te llogaitet masa m e joneve dhe vlea e pe te cilen d MN 3. Njesia atomike e 7 mases eshte m u.66 kg. F M P N mv / qv mv / qb 8 m / q B / V 65 kg / C m 6 kg 6Nj. at. masas ( mu ) cos n.q.s. eshte e vogel cos 3 d / MN 447ad 56. Flitet se kemi nje fokusim magnetik M M Ο θ cosθ N P Faqe 55

52 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 7.4 Nga nje pezgjedhes shpejtesie qe vepon ne nje fushe elektike E 5 V / m dhe ne nje fushe magnetike B. 5T del nje tufe e njejte jonesh 7 Li +. Ne piken O tufa hyne ne nje zone ne te cilen egziston nje fushe magnetike B unifome paalel me planin e vizatimit dhe fomon kendin me aksin x. Pas nje kohe t=6.8-6 s nje pjesez eshte lagua nga O me nje distance d=6.8cm duke peshkua xhio peeth B. Te llogaitet shpejtesia e joneve vlea e B vlea e ezja e tajektoes elikoidale. 7 q / m e / 7mu 38 C / kg ; v O d B 5 v Ev / Bv m / s qb / m 7 T m / qb t / N 68 s B m / qt 73T ; d vt cos cos d / vt 5 6 mvsin / qb 73 3 m B v E v 7.5 Ne dispozitivin e tegua ne figue pegjate te caes F dalin elektone te peshpejtuaa nga nje d.p. V=3 3 V. Pegjat aksit z ne zonen petej te caes eshte nje fushe magnetike B unifome paalel me z aksin z dhe nje ekan fluoeshent S S L me distance L=cm nga F. Nqs B kendi eshte I vogel duke egullua ne kete ast B eshte e x F mundu qe ne distancen L tajektoet e elektoneve takojne ekanin S duke Faqe 56

53 dashu te njejten hapesie si ne F. Te pecaktohen vleat e B te nevojshme. v x vsin v v z vcos v( /) v ev/ m mv sin / eb mv / eb kalon eliken h vz T v z / vm / eb : n.q.s. eshte e vogel tajektoet elikojdale kane eze te ndyshme po kalojne njekohesisht; nga L=nh me n te plote mv n 8mv kane B n58 T. eh L e Tajektoet afohen eth vijave te fushes magnetike dhe nuk divegjojne. 7.6 Nje zone e hapesies eshte qende e nje fushe elektike E=-Eu z me E= 5 V/m dhe e nje fushe magnetike B=Bu z me B=.T. Nje poton vendoset ne zone me 6 shpejtesi v 5 m / s duke fomua nje kend =3 me aksin z. Te tegohet qe potoni peshkuan nje obit ekuloidale aksi I te cilit eshte paalel me aksin z te llogaitet ezja e helikes dhe distanca z e peshkua nga potoni ne xhion e pae. Te llogaitet gjithashtu edhe distanca z e peshkua paa se potoni te ndyshonte levizjen e tij pegjate aksit z. Pegjat aksit z levizja unifomisht e z v E B Faqe 57

54 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm peshpejtua me anen e ekuacionit qe mdv z / dt qe v z v cos t m qe z vt cos t ; m dv pingul me aksin z m qv B dt levizja ethoe unifome mvsin / qb qb / m T /. Hapi i elikes nuk eshte konstant. Numeikisht. 6m ad / s T 6.56 s z. 78m z mv cos / qe. 98m 7.7 Dy gila G dhe G metalike paalelel shume te gjea ne distance d=4cm midis te cilave eshte aplikua nje d.p. V ndajne dy zona ne te cilat egziston nje fushe magnetike B=.8T unifome pingul me figuen. Ne nje pike A hyne nje poton me shpejtesi qe ne castin t= kalon gilen ne kend te dejte. Pas nje kohe t=. -7 s potoni ikalon G ne te njejtin dejtim ne piken A me distance h=5.cm nga A. Te peshkuhet tajektoia qe peshkon potoni nga A ne A dhe te llogaitet d.p. V e aplikua midis gilave dhe shpejtesite e te potonit ne te dy zonat ne te cilat ka fushe magnetike. m 8 t t t s qb 6 v v d / t 4 m / s ; 6 v m / s v A v v A d h Faqe 58

55 V m ( v v ) 48 q 4 V 7.8 Nje cikloton me magnet supepecjelles ka nje eze =8cm dhe nje fushe magnetike B=4.T. me hipotezen qe ajo peshpejton jonet 7 Li + 7 ( q/m.38 C/kg ) te llogaitet shpejtesia maksimale vmax dhe enegjia kinetike E kmax te aie nga jonet vleen V te d.p. peshpejtuese deisa nje cikel I nxitimit zgjat t=4. s numin N te xhiove te kyea ne nje cikel fekuencen te izhvillimit. Nqs konsideohet koektesia elative sa peqind ndyshon fekuenca e izhvillimit nga fillimi ne fund te ciklit. 7 v qb / m 463 m / s v / c 545 max max max E k 5 J 77 8MeV t B / V max 5 V B / t V N Ek / qv 39otul lim e V qb / m 9 MHz max faktoi elativist eshte / v / v ( ) / % max max dhe 7.9 Duke kalua nje yme I=A ne nje pecjelles me seksion kato me sipefaqe 4 - cm te zhytu ne nje fushe magnetike B=.8T kijohet nje tension I Hall -6 H.85 V. Te llogaitet dendesia n e sjellesve te ngakeses shpejtesia e devijimit te elektoneve fushen vd elektike E qe mban ne levizje elektonet nqs pecjellshmeia Faqe 59

56 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 7 e mateialit eshte = 6.4 dhe fushes Hall E H. E 4 / 44 V m H H / 3 m j apotin ndemjet E 6 i / 5 A/ m n jb / ee H / m ; v d j / ne.53mm / s E j / 8. V / m E / 9 7. Nje fije metalike e ngute me fome te cfadoshme ka dy ekstemet C dhe D qe mund te eshkasin pa fekim mbi dy shina hoizontale ne distance d=cm. Shinat jane vendosu ne nje fushe magnetike B=.5T unifome dhe vetikale. Qaku eshte peshkua nga nje koent kostant I=A e dhene nga gjeneatoi G. nqs masa e fijes eshte m=g te llogaitet shpejtesia e fijes dhe zhvendosia x e peshkua pas nje kohe t =.s me hipotezen qe pe t= fija ndodhet ne pehje. B E H D G C x d D F i ds B icd B ibdu x C v ibdt / m m / s x ibdt / m. 5m 7. Nje spie katoe me binje a=5cm eshte peshkua nga nje yme i. Momenti magnetik I spies eshte m m u m u me m -3 x.6 Am m y Am x x. Spia eshte zhytu y y Faqe 6

57 ne nje fushe magnetike unifome B Bxu x Bzu z me B x.5t B z.3t. Te llogaitet vlea e ymes I moduli I momentit mekanik M kendi midis m dhe B enegjia potenciale magnetike U p. m 3 mx mz Am i m / a 4A ; B Bx Bz. 39T ; M m B m B u m B u m B u y z x 3 M ( m m ) B m B.36 Nm x y z y x ne modul M mb sin sin M / mb ; U m B m B 4.5 J P x x x z x y x z 7. Nje spie katoe me binje a=cm eshte vendosu ne planin xy dhe eshte peshkua nga yma I=5A ne dejtimin e tegua. Ajo ndjen vepimin e fushes magnetike B xu z me.t/m. Te llogaitet foca F qe vepon mbi spie dhe enegjia potenciale U p. z F F SP F PQ F Q F i a i a u y i a u x u y i a S u x P S Q B x Faqe 6

58 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm ne modul F. 4N i ndyshem nga zeo sepse B nuk eshte unifom tenton ne spostimin e spies ne menye qe fluksi magnetik te itet; U P a x dm B iadxu xu z z ia a ia xdx Nje spie dejtekendeshe e ashpe me binje PQ=S=a=cm e Q=SP=b=cm ka nje mase pe njesi gjatesie =5 - g/cm dhe peshkuhet nga nje yme i. Ajo mund te otullohet pa fekim peeth PQ qe eshte paalel me aksin hoizontal. Ku mbi spie vepon nje fushe magnetike unifome dhe vetikale B=Bu z me B= - T ajo otullohet me nje kend =3 o. Te llogaitet vlea e ymes I dhe puna W te kye nga focat magnetike pegjat otullimit. M m B iabb cos b M peso ( a b) g sinu x ne ekuilibe g a b M M peso i tg. A; B a W Md iabb 3 u x cosd iabb sin 3 X Q Z B 3 S P J J y Faqe 6

59 8. Bashkevepimi I peciellsave me yme elektike 8. Nje bobine e ashpe katoe me binje a=cm e fomua nga N= spie te ngjeshua eshte peshkua nga nje yme i b =A dhe eshte vendosu ne distance y nga nje fije e pafundme qe peshkuhet nga nje yme i=5a. Kahet e ymes jane tegua ne figue. Te llogaitet foca magnetike F(y) qe vepon mbi bobine tegoni se pe y>>a F m db/dy nqs m eshte momenti magnetik I bobines dhe B fusha e fijes. Te llogaitet gjithashtu puna W e kye nga foca magnetike pe te spostua bobinen nga y =cm ne y =cm dhe y S pune W te kye nga foca i b magnetike pe te otullua me 8 P Q bobinen y=y 3 =cm. y Niiba F FPQ FS y Niiba pe y a F u y y u y a y i x Niiba u y( y a) duke shenua m Niba dhe B i / y do te kemi: F m db / dy W y y Niiba Fdy Niiba y ( y ln y ( y y y dy y( y a) a) 3.4 a) i W U P mb( y3) Niba.6 y 6 J 3 6 J y ; Faqe 63

60 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm 8. Dy fije te pafundme me distance a=4cm paalel me aksin x jane peshkua nga e njejta yme I=5A me kahet e teguaa ne figue. Te llogaitet fusha magnetike B (z) mbi aksin e te dy fijeve dhe ne cilen distance nga qenda O kapet nje magnet I vogel I leshua me shpejtesi =7. - m/s nga O pegjat aksit z me mase m K = kg dhe moment magnetik m=.am paalel dhe peputhet me B. Supozohet qe aksi z meet hoizontal. (Nuk ndihet efekti i gavitetit) Z a B i cos u z u z m g v z cm ( a ia z mi mia a ( a z ) ) ; α O X z B B z α O a B Y X 8.3 Dy fije te pafundme me distance a=4cm paalel me aksin x jane peshkua nga e njejta yme I=5A simbas aksit x. Te llogaitet fusha magnetike B(z) mbi aksin e dy fijeve dhe ne cilen distance nga qenda O nje gjelpee e vogel magnetike e oientua Z paalelisht me B ndjen nje foce. iz B ( a z ) u z ; X O a Y Faqe 64

61 F mdb / dz ; pe z a cm ne kete pike moduli i B(z) eshte maksimale B B B z α O a z X 8.4 Te fije te gjata pecjellese jane midis tye paalel dhe jane vendosu ne kulmet e nje tekendeshi baabinjes me binje a=5cm. Ato jane peshkua nga e njejta yme I=A simbas aksit x. Te llogaitet fusha magnetike B c ne qenden C te tekendeshit dhe focen F pe njesi te gjatesise mbi fijen e vendosu ne P. B ; nga poblemi 8.3 C i 3 BP u y ( z a 3 ) 4a i 3 F iu x BP u z 4a 4 F 3 N / m z B P P B a F B C 3 B O y 8.5 Kate fije te gjata pecjellese jane midis tye paalel dhe jane vendosu ne kulmet e nje katoi me binje a=cm; ne secilen fije qakullon yma I=3A me kahet e teguaa ne figue. Te llogaitet fusha magnetike B c ne qenden C te katoit fushen magnetike B p ne kulmin P(aa) z C P B B B 3 B 4 B C B P a O a α F y Faqe 65

62 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm te katoit dhe focen F pe njesi te gjatesise ne fijen e vendosu mbi P. i B 4 C u z B C T ; a i 3i 5 BP u y u z (5 u y 45 4a 4a 3 4 F iu B (35 u 45 u ) N 5 x P y z / 3 F 4 N / m 84. u ) T ; z m 8.6 Ne dy qaqet ne figue ezet e gjysem atheve jane a=cm dhe b=5cm. Nqs. yma eshte I=A te llogaitet pe secilin fusha magnetike B o ne qenden O te gjysematheve dhe momenti magnetik m. z z O y O y asti i i i B ux ux ux 4b 4a 4 b a 5 B T (pjesa lineae jep kontibut zeo) m i ( b a ) u x m 39Am asti i 5 B u x B 5 T 4 b a Faqe 66

63 m i ( b a ) u x m Am 8.7 Nje flete metalike pecjellese pafundesisht e gjate me seksion kendedejte me binje a=cm dhe h=.cm (e tegua ne figue) eshte peshkua nga nje yme me densitet unifom j=a/mm. Te llogaitet fusha magnetike pegjat aksit y te pllake dhe momentin mekanik M qe vepon mbi nje gjelpee te vogel magnetike me momemt m=.u y Am e vendosu ne distance y =4cm nga fleta. Te tegohet qe pe a qe tenton ne infinit fitohen ezultatet e shembullit 8.8 ( plani i pafundem) dhe y pe a<<y ezultatet e shembullit 8.5 (pecielles dejtvizo). di jhdx di db cosu x (poblemi 8.) nga figua ezulton dx cos d jh db d u x jh B db u jh a x actg u x y m jh a 4 M m B actg u z M 87 Nm ; y h a z j db d db db a x x Faqe 67

64 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm jh a / B u x ; i a y a / y B u x y 8.8 Nje yp I holle metalik me gjeesi h=cm eshte peshkua nga yma I=A. Te llogaitet vlea e fushes magnetike B(x) ne distance nga skaji I ypit (ne vecanti pe x>>h) dhe momenti mekanik M qe vepon mbi nje gjelpee te vogel magnetike me moment m=.u Am e vendosu ne z y distance x=cm. di i ds / h di db ( x s) h i h ds x s uz u z i x h B db ln uz h x h h ds s pe h x ln x x i h i B uz u z fusha e nje fije te pafundeme; h x x M m B mu ( Bu ) mbu mi M ln3. h x 5 z Nm. y h i di m z x db y x Faqe 68

65 8.9 Dy spia ethoe me eze kane te njejten aks dhe ndodhen si te ngutesua ne plane paalele me distance d=; ato peshkohen ne te njejtin dejtim nga e njejta yme i. Duke e quajtu B o vleen e B ne piken O ne mes midis dy spiave te tegohet qe ne nje pike P ne distance x nga O fusha magnetike B(x) ndyshon nga B o vetem nga temat e endit te katet ne x/ dhe te endeve me te lata se kate. Te llogaitet distanca x mga O ku fusha B(x ) ndyshon nga B me %. Dispozitivi njihet si bobinat e Helmholtz. O x i B( x) 3 / 3 / ; [ ( d x) ] [ ( d x) ] 8i B B() ; 5 5 duke zbethye ne sei ne lidhje me piken x d 5 8d d 4 B( x) B x x 4 ; ( d ) 8 ( d ) duke gjykua pe d / 44 4 B ( x) B ( x / ) 5 ; B B( x ) 4.5( x / ). x. 35 B 8. Dy pecjelles cilindik shume te gjate me eze paalel midis tye dhe me distance te konsideueshme njei nga tjeti jane peshkua nga ymat i dhe i ne dejtime te kundeta. cikulacioni I fushes magnetike pegjate atheve te Faqe 69

66 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm mbyllu C dhe C te tegua ne figue vlen pekatesisht 7 ( B ) dhe ( B ) Tm. Te llogaitet i dhe i. 3 B) i 8 i ( i i / / C C / / i i 3 7 ( B) i i Tm 4 4 i 6A i 3A 8. Nje pecjelles cilindik me vime me eze a dhe b eshte peshkua nga nje yme e shpenda ne menye unifome. Te llogaitet fusha magnetike B() ne vaesi te distances nga aksi dhe te veifikohet qe pe a= fitohen ezultatet e shembullit 8.5 elativ pe nje pecjells cilindik te plote. Duke pedou teoemen e Ampeit ne nje qak me eze : a B ( ) i a a b B( ) ( b a ) i b B( ) ; pe a b dhe a B( ) j j b a a B Faqe 7

67 8. Nje pecjelles cilindik shume I gjate me eze a=cm ka ne bendesi te saj nje zgave cilindike me eze b=.3cm edhe ajo eshte shume e gjate. Akset e dy cilindave jane paalel dhe me lagesi d=cm. Ne pecjelles qakullon nje yme i A e shpenda njetajtesisht. Te tegohet se fusha magnetike B ne bendesi te zgaves eshte kostante llogaitni modulin dhe dejtimin. Te llogaitet gjithashtu enegjia mekanike dhe induktiviteti pe njesi te gjatesise te pecjellesit. Do te imagjinojme cilindin te plote dhe te peshkua te gjithin nga a d nje yme pozitive me densitet j ndasa do ti shtojme kesaje yme nje yme negative qe jedh ne cilindin bosh me te njejtin densitet j b x j j B ( sin u x cos u y ) (sin u x cos u y ) j j ( sin sin ) u x ( sin cos ) u y id 4 u B T; y ( a b ) j 4 i / ( a b ).63 A/ m i j a 46A i j b 46A 5 U m ( i i ) 5 J / m 6 y y B B + B j + j - x Faqe 7

68 Poblema të zgjidhua në Elektomagnetizëm a b 8 L U m / i 5 H / m 8 a b 8.3 Te konsideohet nje pecjelles me zgave me te njejtat pemasa te atij te poblemin me sipe po me nje zgave tjete te njejte me te paen dhe te vendosu sistematikisht pekundejt aksit; qendat e zgavave jane ne aksin y. Pecjellesi eshte peshkua nga nje yme e shpendae njetajtesisht. Cikulacioni I fushes magnetike pegjat nje ethi me eze h=.5cm koncentike me pecjellesin eshte 5 ( B ) Tm. Te llogaitet densiteti I ymes j fusha magnetike B ne pikat P (h) dhe P (h) shpehja e fushes magnetike ne distance >>d. y P i ( B) / 8A j 3 i / ( a b 667 A/ m ; i j a 8 38A i j b 9A a b d d b P x ne P i ih B u y Bu y h h d 4 B.644 T ; P y B + B B B + P x B B Faqe 7