Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng"

Transkript

1 Trần Thành Minh Phan Lưu iên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H Ọ 10 h ư ơng. Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng Save Yur Time and Mney Sharpen Yur Self-Study Skill Suit Yur Pace

2 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 1.Tích vô hướng của hai vectơ.tóm tắt giá kha : 1. Góc giữa hai vectơ : a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạ bởi hai tia có chung gốc.số đ a ( tính bằng độ ) của một góc hình học thỏa : 0 a 180 Nếu 0 a 90 và a không phải là góc đặc biệt (0 ;0 ; 5 ;60 ;90 ) càc giá trị lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi y Nếu 90 < a 180, ta dùng góc bù để tính giá a trị lượng giác của a : sin a = sin(180 a) b cs a = cs(180 a) tan a = tan(180 a) ct a = ct(180 a) O b) Góc giữa hai vectơ : h vectơ a ; b ( 0 ) ; Vẽ các vectơ O = a ; O = b Góc O được gọi là góc giữa vectơ a ; b Ký hiệu : ( ab, ). Tích vô hướng của hai vectơ : a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ ab, ký hiệu là ab. là một số xác định bởi : ab. = a bcs( a, b ) x b) Tính chất : ab. = ba. a.( b+ c) = ab. + ac ( ka) b = k( ab. ) = a.( kb) D Ta cũng có các kết qủa sau : F E a = a ; ab. = 0 a b hú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức : ( a+ b) = a + ab. + b ( a+ b)( a b) = a b c) ông thức hình chiếu : h hai vectơ bất kỳ, ; D. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của, D xuống đường thẳng. Ta có công thức : D. = EF. d) ông thức về tọa độ : h các vectơ : a = ( a, a ) ; b= ( b, b ). Ta có các công thức : 1 1

3 hương. Tích vô hướng và ứng dụng a = a1 + a ab. = ab 1 1+ ab a b ab 1 1+ ab= 0 ab 1 1+ ab cs( ab, ) = a a b b Áp dụng : ài tán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : MM. = k(1) (, cố định ; k là hằng số ) Gọi I là trung điểm của, ta có : (1) ( MI + I)( MI + I) = k MI I = k IM = k + I k+ I > 0: Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I, k+ I = 0: Tập hợp các điểm M là : { I } k+ I < 0 : Tập hợp các điểm M là tập rỗng k + I ) ài tán : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn. h đường tròn tâm I, bán kính R và một điểm M. Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường tròn taị và. iểu thức MM. được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (I). Ta có : M Ρ /( I) = M. M = M. M ' = ( MI + I).( MI + I ') = MI I ( d I ' = I) T = MI R M hú ý : D biểu thức trên, ta cũng có : Ρ /( I) = MT M ( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ). Giải tán : Dạng tán 1 : Sử dụng máy tính fx-500ms để tính giá trị lượng giác của một góc Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau a)sin 65 '6"; b) tan(6 5'16"); c) ct( 1') Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ Deg Rad Gra 1 Ấn phím 1 để chọn đơn vị đ góc là độ a) Ấn liên tíêp các phím : sin = 0,9115 b) Ấn liên tiếp các phím :tan = 1,915 c) Ấn liên tiếp các phím : 1 tan 1 = 1,108 Vậy sin 65 '6" = 0,9115; tan(6 5'16") = 1,915;ct( 1') = 1,108 I ' Ví dụ : Tính x biết : a) sinx = 0,50 b) tanx = c) ctx =,619

4 hương. Tích vô hướng và ứng dụng a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin = màn hình hiện lên 0 9'58" Vậy : x = 0 9'58" b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan = màn hình hiện lên 6 6'5" Vậy : x = 6 6'5" c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( ) = màn hình hiện lên 0 5'5" Vậy : x = 0 5'5" Dạng tán : Tính giá trị lượng giác của góc giữa vectơ Ví dụ 1 : h hình vuông D ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau : ( ; ). ( ; D) Ta có : : = D (, ) = (, D) = D = 5 D đó : sin(, ) = sin 5 = cs(, ) = cs 5 = tan(, ) = tan 5 = 1 = ct(, ) Tương tự, vẽ E = D ; α = (, D) = (, E) = 15 và ta có : sinα = sin15 = sin 5 = ;csα = cs15 = cs 5 = ; tanα = tan15 = tan 5 = 1; ctα = 1 D (vì 15 ; 5 bù nhau ) E Ví dụ : h hình chữ nhật D có = cm ; D =cm. Tính các góc : a = (, D) ; b= (, ) Ta có : a = góc D Suy ra : D tan a = = = 1, a = 5 7 ' D b= (, ) = (, E) ; ( E = ) Suy ra b = góce.mà góce và góc D bù nhau Nên b = ' = 16 5' D Dạng tán : Tinh tích vô hướng Ví dụ 1 : h tam giác đều cạnh bằng a. M, N là hai điểm thuộc cạnh sa ch M = MN = N Tính những tích vô hướng sau :. ;. ; MN. Ta có 1 9a. =. cs 60 = a. a. = M N E E

5 hương. Tích vô hướng và ứng dụng Vẽ E = ; (, ) = ( E, ) = E = a. =. cs10 = a. a.( ) = M. N = ( M )( N ) = M. N. M. N + = M. N cs 0. M cs 60. N cs = a. a.1 aa. ( ) a. a( ) + a.a 1 = a Ví dụ : h tam giác, trọng tâm G ; M là m ộ t đi ểm tr ên đường thẳng (d) qua G và vuông góc với cạnh. hứng minh rằng ( M + M + M). = 0 5 Ta có : M + M + M = MG ( M + M + M). = MG. = 0 vì MG Ví dụ : h hình vuông D c ạnh bằng a ; M, N lần lượt là trung điểm của và D. Tính các tích vô hướng sau :. M ; MN Ta có :. M = ( + M ) = +. M = a + 0 = a ( M. M = 0) M N = ( + M )( D + DN) =. D +. DN + M. D + M. DN = 0 +. DN cs0 + M. D cs0 + 0 M D N a a = a a.1 = a ( D; M DN) Dạng tán : Sử dụng định lý chiếu Ví dụ 1 : h tam giác vuông tại và. = ;. = 9. Tính ba cạnh của tam giác Ta có :, có hình chiếu xuống đường thẳng lần lượt là,.d đó : =. =. = =. Tương tự : 9 =. =. = = = + = + = 9 1 Ví dụ : h tam giác. Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức:.( M ) = 0 (1) (1) M. = M. = Gọi, M lần lượt là hình chiếu của, M xuống đường ' M' M 5

6 hương. Tích vô hướng và ứng dụng thẳng, the định lý hình chiếu, ta có : M. = M ' '. D đó : M ' '. = > 0 Suy ra vectơ ' M ', cùng hướng D đó ; M ' '. = M ' '. = M ' ' = Vậy điểm M cố định ( vì cố định và khôngđổi ) D đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với tại M Ví dụ : h tam giác có ba đường ca là :,,. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của,,. hứng minh : ' M. + ' N. + ' P. = 0 Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác, ta có :,, lần lượt là hìmh chiếu của H xuống,,. M, N, P lần lư ợt là hìmh chiếu của O xuông,, D đó : ' M. = HO. (the định lý hình chiếu ) Tương tự : ' N. = HO. : ' P. = HO. D đó : ' M. + ' N. + ' P. = HO.( + + ) = HO. O = 0 Dạng tán 5 : hứng minh một hệ thức giữa các độ dài Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất = N ' ' ' M O P 6 Ví dụ 1 : h tam giác có góc = 10 ; = ; = 6 Tính cạnh Ta có = = ( ) = + = 6.6.cs = = 6 = 6 = 7 Ví dụ : h tam giác trọng tâm G ; = a ; = b ; = c a) hứng minh rằng +. = b) Tính G the ba cạnh a, b, c Ta có : = = ( ) = +. = Gọi M là trung điểm của, ta có : 1 G = M =. ( + ) 1 1 G = G = ( + ) = ( + +. ) = ( b + c + b + c a ) = (b + c a ) Vậy : G = b + c a + 6

7 hương. Tích vô hướng và ứng dụng Ví dụ : h hình vuông D tâm là O, cạnh bằng a.hứng minh rằng với mọi điểm M ta có : M + M + M + MD = MO + a Ta có : M = M = ( MO + O) = MO + O + MO. O M = M = ( MO + O) = MO + O + MO. O M = M = ( MO + O) = MO + O + MO. O MD = MD = ( MO + OD) = MO + OD + MO. OD M + M + M + MD = MO + O + MO( O+ O+ O+ OD) a = MO + ( ) + 0 = MO + a a ( O + O + O + OD = O ; O = O = O = OD = ) Dạng tán 6 : hứng minh vectơ vuông góc (hay đường thẳng vuông góc) 1 Ví dụ 1 : h a = 6; b = ;cs( a, b) = hứng minh rằng hai vectơ ( a+ b) ; ( a b ) 6 vuông góc Ta có ( a+ b).( a b) = a ab+ ba. b = 6 ab = 6 ab. = = ( a+ b) ( a b) 7 Ví dụ : h hình thang vuông D có đáy là D = a ; = a ; đường ca = a. hứng minh rằng hai đừơng ché và D thì vuông góc với nhau Ta có. D= ( + )( + D) =. +. D+. +. D D =. cs D cs 0 = a.a ( 1) + a. a.1= 8a + 8a = 0 D Vậy hai đường ché và D vuông góc với nhau Dạng tán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ Ví dụ 1 : h tam giác vớí ( 10, 5 ) ; (, ) ; ( 6, -5 ).hứng minh rằng tam giác vuông tại. Ta có : = ( 10, 5) = ( 7, ) ; = (6, 5 ) = (, 7) 7

8 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 8 Suy ra :. = ( 7).() + ( ).( 7) = 0. Vậy tam giác vuông tại Ví dụ : h tam giác có (, 1 ) ; ( -1, -1 ) ; ( 6, 0 ) a) Tính góc của tam giác. *b) Tính tọa độ gia điểm của đường tròn đường kính và đường tròn đường kính O Ta có : = (, ) ; = (, 1). + ( ).( 1) 10 1 cs = cs(, ) = = = Vậy góc bằng 15 *b) Gọi M là gia điểm của đường tròn đường kính và đường tròn đường kính O, ta có : M ( x, y ) ; M= ( x,1 y); M = ( 1 x, 1 y); M = (6 x, y); MO = ( x, y) và M M M. M = 0 ( x)( 1 x) + (1 y)( 1 y) = 0 M MO M. MO = 0 (6 x)( x) + ( y)( y) = 0 x + y x = 0(1) x = 0[(1) ()] x + y 6x= 0 () x + y 6x= 0 x = 1 x = 1 1+ y 6= 0 y =± 5 Vậ y có hai gia điểm M : M1(1, 5) ; M(1, 5) Ví dụ : h tam giác có ( 5, ) ; (, - 1 ) ; ( -1, 5 ) a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác b) Tính tọa độ chân đường ca vẽ từ a) Gọi H( x, y ) là tọa độ trực tâm, ta có : H = ( x 5, y ); = (,6); H = ( x, y + 1); = ( 6,) H H. = 0 ( x 5)( ) + ( y )(6) = 0 H H. = 0 ( x )( 6) + ( y + 1)() = 0 x y = 1 x= x y = 7 y = Vậy tọa độ trực tâm H là : H(, ) b) Gọi ( x, y ) là tọa độ chân đường ca vẽ từ, ta có : ' x y = 1(1) ( tương tự câu a ) ' = ( x, y + 1) ; ' cùng phương = (,6). Suy ra : 6( x ) + ( y + 1 ) = 0 ().Giải (1) và () ta có : x = y = 1 Vậy tọa độ chân đường ca vẽ từ là : ( 1, 1 ) Dạng tán 8 : Tìm tập hợp điểm a)( M+ M).( M M) = 0(1) Ví dụ 1 :h tam giác. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : b) M + MM. = 0 () 8

9 hương. Tích vô hướng và ứng dụng a) Ta có : M+ M = MI ; M M = ( I là trung điểm của ) ( 1 ) MI. = 0 MI : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông góc với () M + M. M = 0 M.( M + M) = 0 b) M. MI = 0 M MI Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính I ( I là trung điểm của ) 9 *Ví dụ : h hình vuông D cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : a amm ). = bmm ). + MMD. = a c)( M+ M+ M).( M+ M) = a Gọi O là tâm hình vuông ( cũng là trung điểm ). Ta có : a a M. M = ( MO + O).( MO + O) = a MO O = ( d O = O) a a a a a OM = O = = OM = a Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng T ươ ng tự, ta có : M. M + M. MD = a MO O + MO O = a a MO = a OM = a ( d O = O = ) Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng a Ta có M + M+ M = MG ; M+ M = MO ( G là trọng tâm tam giác ). D đó : a ( M + M + M).( M + M) = a MG. MO = 6 a a 1 a 1 a 6a MJ JO = JM = + ( GO) = + (. ) = a 6 JM = 1 ( J là trung điểm của OG ; JO = 1 ; 1 1 a GO GO = O =. ) a 6 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 Dạng tán 9 : Tính phương tích. Tính đạn tiếp tuyến. Ví dụ 1 : h điểm ( -, 1 ) ; (, 7 ) ; M( 0, ) ; N(-, - 5 ) Tính phương tích của điểm M, N đối với đường tròn đường kính 9

10 hương. Tích vô hướng và ứng dụng Ta có : tọa độ tâm I của đường tròn ( cũng là trung điểm của ) : I (, ) I( 1, ) Ta cũng có : I = ( 1,1 ) = (, ) R = I = 9+ 9= 18 M IM = (0 1, ) = ( 1, ) Ρ /( I) = IM R = (1 + ) 18 = 1 N IN = ( 1, 5 ) = (, 9) Ρ /( I) = IN R = ( ) 18 = Ví dụ : h điểm ( -, - 1 ) ; ( - 1, ) ; (, ) ; M( 5,- ). hứng minh rằng điểm M ở ngài đường tròn ngọai tiếp tam giác và tính đạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ( T là tiếp điểm ) Gọi I ( x, y ) là tâm đường tròn (),ta có : I = ( x +, y + 1); I = ( x + 1, y ); I = ( x, y ) I = I ( x + ) + ( y + 1) = ( x + 1) + ( y ) I = I ( x + ) + ( y + 1) = ( x ) + ( y ) ` x+ 5y = 6 x= 1 x+ y = 5 y = 1 Suy ra : I( 1, 1 ) ; MI = (5 1) + ( 1) = = 5 ; R = I = 9 + = 1 M D đó : Ρ /( ) = MI R = 5 1 = 1 MI > R Vậy điểm M ở ngài đường tròn () M Ta cũng có : MT =Ρ /( ) = 1 MT = 1 =.. ài tập rèn luyện :.1 h tam giác đều cạnh bằng a. Tinh các tích vô huớng sau : G. ; M. ; ( ) ( G là trọng tâm tam giác và M là trung điểm của )..h tam giác vuông tại : = ; =. T ín h cá c g óc (, ) ; (, ) và các tích vô hướng sau :. ;...h tam giác vuông tại ; =, =. Trên tia lấy điểm D sa ch D = Tính các tích vô hướng sau :. D; I. ( I là trung điểm của D ).. h tam giác đều, c ạ nh bằ ng a, G là trọng tâm tam giác ; M là một điểm bất kỳ. hứng minh rằng T = ( MG. + MG. + MG. ) có giá trị không đổi. Tính giá trị này..5. h hình vuông D, cạnh bằng a. Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô hướng s au : D. ; ( + D).( D ) ; ( O+ O+ O). ( O là tâm hình vuông ) *.6. h tam giác đều, cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : a ( + ). M =. 7.h tam giác có trọng tâm là G.hứng minh rằng : 10

11 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 1 G. G + G. G + G. G = ( G + G + G ).8. h hình vuông D cạnh bằng a ; I là trung điểm của D. Tính các tích vô hướng sau : DI. ; IG. ( G là trọng tâm tam giác D ).9.h hình chữ nhật D có = ; D = và điểm M thỏa M = k.định k để đường thẳng và DM vuông góc. 10. h tam giác vuông tại. Trên tia đối của tia,lấy điểm D sa ch D = ; trên tia đối của tia, lấy điểm E sach E =. hứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác DE thì vuông góc với. 11. h : a = 6; b =.Định x để hai vectơ sau vuông góc với nhau ( a+ xb) ; ( a xb). 1. h tam giác vuông tại ; D thuộc tia và D = hứng minh rằng 1 ( G = + 16 ) (G là trọng tâm tam giác D ) 9 *.1. h tứ giác D a) hứng minh rằng ; + D D = D b)suy ra rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác D có đường ché vuông góc là + D = + D. 1. h tam giác. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : a)( + ). M = 0 * b) M.( M+ M+ M) = 0 *.15. h tam giác đều, cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : ( M+ M). M = a. 16. h hai điểm ( 1, ) ; ( 6, ). Tìm tọa độ điểm nằm trên trục Ox biết rằng tam giác vuông tại h điểm ( - 1, 0 ) ; ( 0, ) ; (, ) ; D( 5, - ). hứng minh rằng tứ giác D là một hình thang vuông. Tính diện tích của hình thang này. D. Hướng dẫn giải hay đáp số a a.1. G =. G.cs0 = a.. = a 1 a. M =. M.cs 60 = a.. =. 1.( ) =. = a a. a.cs 60 = a a. = 0.. (, ) vá góc bù nhau ;cs = ( : 5) = 0,6 Suy ra = 5 7 '8" (, ) = 7 '8" = 16 5'1"

12 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 1 cs= = = 0,8 5 (, ) = = 90 = 6 5'1". =..( ) =.5.( ) = =.. =.5. = D =. D.csD = 5..( ) = 1 5. I = ( I ) =. I (. = 0) 1 1 =. ( + D) = = 8..Ta có : M = G GM ; M = G GM ; M = G GM T = GG. + GG. + GG. GM( G+ G+ G) = G. G.cs10 + G. G.cs10 + G. G.cs10 0 I D a 1 a a a = ( ).( ) = ( d G = G = G =. =.5.. D =. = a ( + D)( D ) =. D = D. D = a a a ( O + O + O). = O. = O. O = O = ( ) = *.6. Ta có : Vẽ I = ; + = + I = I ( I cố định và tam giác I là nửa tam giác đều) ( + ). M = I. M = I. M ' a a 1 The giả thiết : I. M ' = M ' = = I Vậy tậphợp các điểm M là đường trung trực của đạn I M M' I. 7.T a có : G + G + G = 0 G + G + G + G. G + G. G + G. G = 0 1 G. G + G. G + G. G = ( G + G + G ).8. 1

13 hương. Tích vô hướng và ứng dụng DI. = D. ( D+ ) = D +.( + D) a = D = ( a ) + a =. 1 1 I. G = ( + D) ( + D + ) 1 a = (0 + a + a + a ) = 6.9. DM. DM = 0 ( + D)( M D) = 0 ( + D)( k D) = 0 9 k D = 0 k.16 9= 0 k = Gọi I là trung tuyến của tam giác DE, ta có : 1 I = ( D + E ) 1 1 I. = ( D + E).( ) = (0 + D. E. 0) 1 = (.. ) = 0 I. 11. x = ±.1.Ta có : 1 1 G = ( + + D) = ( + + ) 1 ( 16 G = G = ) ( 16 ) = a) + D D = + D D = ( + )( ) + ( D + D)( D D) = ( D + D) = ( D D) =. D b) D. D = 0 + D D = 0 + D = + D.1. a) Tập hợp các điểm M là đường thẳng d qua và vuông góc với trung tuyến I của tam giác M( M + M + M) = 0 M.( M + M + M + M) = 0 b) M.(MJ + MI) = 0 M. MK = 0 M MK ( J, I, K lần lươt là trung điểm của,, IJ).Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn dường kính K 1

14 hương. Tích vô hướng và ứng dụng a.15.( M + M). M = a MI. M = a MJ J =. a a 8a + a 11a a 11 JM = + ( ) = = JM = ( I, J lần lượt là trung điểm của, I ). Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn ( J, a 11 ) 16, ó hai điểm : (, 0 ) ; ( 7, 0 ) 17. Hình thang D vuông tại và D. Diện tích của hình thang này bằng Hệ thức lượng trng tam giác. Tóm tắt giá kha 1.Định lý csin : Trng một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh đó nhân với csin của góc xen giữa chúng. a = b + c bccs b = c + a cacs c = a + b abcs c b Suy ra : a b + c a c + a b a + b c cs = ;cs = ;cs = bc ca ab.định lý sin : Trng một tam giác, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngại tiếp tam giác a b c = = = R sin sin sin.ông thức tính độ dài đường trung tuyến. m m m a b c ( b + c ) a = ( c + a ) b = ( a + b ) c = m b m a mc ( = c ; = a ; = b ; m ; m ; m là các trung tuyến vẽ từ,, ) a b c. ông thức tính diện tích : Diện tích S của tam giác được tính bởi các công thức sau : 1

15 hương. Tích vô hướng và ứng dụng S = absin = bcsin = casin abc S = R S = pr c h a b S = p( p a)( p b)( p c) a 1 ( với p = (a+b+c) ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp ; r là bán kính đường tròn nội tiếp ) 5. Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. Giải tán Ví dụ 1 : h tam giác có = 0cm ; = 1cm ; = 7cm Tinh góc nhỏ nhất của tam giác. Ta biết rằng : đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất.ta lại có : < < nên < <. Vậy là góc nhỏ nhất. The công thức ta có : c + a b cs = = = = 0,959 ca = 18 55' Vậy góc nhỏ nhất của tam giác là góc và = 18 55' Ví dụ : h tam giác vuông tại và = ; =. Trên cạnh lấy điểm D sa ch D =. Tính các cạnh D, D ; các góc, D, của tam giác D ; bán kính đường tròn ngọai tiếp và diện tích của tam giác này Giải Ta có = + = = 5; D = = 10 cs = = ; sin = = 5 5 D = + D. D cs = = 7 5 D = 7 D Ta cũng có 15

16 hương. Tích vô hướng và ứng dụng cs = =0,6 = 5 7' 5. D sin = sin D = = 5 = 0, 808 sin D sin D 7 D = 16 18' + = 110 5' Suy ra : D = 180 (5 7' 16 18') án kính đường tròn ngọai tiếp tam giác D ch bởi công thức : D R = = = = 5, sin 8 5 Ta lại có tam giác và D có diện tích bằng nhau (vì có chung đường ca vẽ từ và cạnh đáy,d bằng nhau ) D đó : 1 S D = S =... =.= 1 Ví dụ : h tam giác có = 5cm ; = 7cm ; cs= Tính diện tích, bán kính 5 đường tròn ngọai tiếp, nội tiếp của tam giác và đường ca vẽ từ Ta có : sin = 1 cs = = ; S =..sin = 5.7. = = 10, 5cm = +..cs = = 18 = cm 5 5 R= R= = = cm sin sin S 1 r = = = cm p S 1 7 S = H. H = = = cm Ví dụ : h hình vuông D có cạnh bằng 6cm ; E là trung điểm của D. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác E và càc góc của tam giác này Tacó D E 16

17 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 17 = 6 cm ; E D DE 5 cm; E 5 = = + = = E 5 10 R( E ) = = = cm sin E D 6 sin ED = = = 0,89 => ED = 6 5' E 5 E = ' = 116 5' => E = 180 (116 5' + 5 ) = 18 5' Ví dụ 5 : Trng một tam giác bất kỳ, chứng minh rằng : ah ) a = Rsinsin bs ) = R sin sin sin ( là đường ca vẽ từ ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp và S là diện tích của tam giác ) h a Ta có : 1 S bc Rsin.Rsin S = aha ha = = = =Rsinsin a a Rsin a = Rsin a b c ( d = = = R b = R sin sin sin sin c = Rsin The câu a) ta cũng có : 1 1 ( sin ).( sin sin ) S = aha = R R = R sin sin sin Ví dụ 6 : h hình vuông D có cạnh bằng a. Một đường tròn có bán kính bằng đỉnh, và cắt cạnh tại E. Tính đạn E và góc E a 6, qua Ta có :E = 5 và bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác E bằng a 6 D đó, the định lý sin E a 6 a 6 a =. E =.. = sin 5 Tam giác vuông E ch : a cs E = E 0 E = a = => = E Ví dụ 7 : h tam giác có = 10.D là phân giác trng của góc (D thuộc cạnh ).hứng minh rằng tổng hai bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác D và tam giác D bằng bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác Ta có D 17

18 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 18 D = D = 60 sin D = sin D = sin = The định lý sin, ta có : D D D D R ( D) = = ; R( D ) = = sin D sin D R D + D = = = = R sin + R R = R + R ( ) ( D) ( D ) ( ) ( D) ( D ) Ví dụ 8 : h tam giác vá điểm M thuộc cạnh.iết rằng : bcsin( α + β ) M = α ; M = β.hứng minh rằng M = csinα + bsin β Ta có : 1 1 S( ) =..sin= bcsin( α + β) 1 1 S( M ) =. M.sin M = M. c.sinα 1 1 S( M ) =. M.sin M = M. b.sinβ Mà : 1 1 S( ) = S( M ) + S( M ) bcsin( α + β) = M( csinα + bs in β) bcsin( α + β) Suy ra M = c sinα + b sin β Ví dụ 9 : hứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác vuông tại là m + m = 5 m ( m, m, m là trung tuyến vẽ từ,, ) b c a a b c Ta có : ( c + a ) b ( a + b ) c ( b + c ) a mb + mc = 5ma + = 5 c + a b + a + b c = 10b + 10c 5a 9 9( ) a = b + c a = b Vậy tam giác vuông tại + c Ví dụ 10 : h tam giác có = c = 5 ; = b = ; = 87. Tính các cạnh và các góc còn lại Ta có : 18

19 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 19 a = b + c bccs87 = cs87 = 898 a = 898 = 5,8 c + a b cs = 0,805 ca =.5.5,8 = = 6 ' = 180 ( ') = 56 8'. ài tập rèn luyện.. 18.h tam giác có ba cạnh bằng 10cm ; 1cm ; 17cm. Tính diện tích,bán kính đường tròn ngọai tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác. 19. h tam giác vuông tại ; = ; =. Trên tia lấy điểm D sach D = 7 ; trên tia lấy điểm E sa ch E = 5.Tính các cạnh và các góc của tam giác DE c. 0 Tam giác có cạnh là = a ; = b ; = c và trung tuyến M = hứng minh rằng ; sin sin sin b = a c = +.1 h tam giác nhọn có = cm ; = cm và diện tích S = cm Tính cạnh và.đường ca H của tam giác này... h hình vuông D cạnh bằng a, O là tâm của hình vuông và E là trung điểm của. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp, diện tích và các góc của tam giác OE..h tam giác có = a ; = b ; = c.hứng minh rằng tan c + a b = tan b + c a.. h tam giác có : = 60 ; = 7 ; =. Tính cạnh và các góc của tam giác này.5. h tam giác có = a ; = b ; = c và các cạnh này thỏa điều kiện b + c = 5a hứng minh rằng hai trung tuyến vẽ từ và thì vuông góc với nhau. 6. h tam giác có : = cm ; = x(cm) ; = 5cm. a) Định điều kiện của x (để là một tam giác ) b) Định x để góc = 60 *. 7. a) h tam giác MPQ có trung tuyến là MR.hưng minh rằng PQ MP + MQ = MR + b) h tam giác vuông tại và có = 6. Trên đường thẳng lấy điểm D và E sa ch D = E = 1.hứng minh rằng D + E + = 7.8.h hình thang vuông D ( = = 90 )và =cm ;D = cm ; = 11cm. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác D.. D. Hướng dẫn giải hay đáp số

20 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 0 1 p = ( ) = 0 cm S = p( p a)( p b)( p c) = = 10 = 6,80cm abc R = = = = 8,5cm S.10 S 10 r = = =, cm p = + = = 5 D = = 1 E = + 5= 8 DE = D + E D. E.cs 6 = = DE = 9,6 5 5 cs = = 0,6 = 5 7 ' 5 DE E E sin sin = = 0,8 ; = sin D= 5 sin sind DE 8.0,8 sin D= = 0,665 D= 1 8' 9,6 180 E = (1 8' + 5 7') = 7515'.0. Áp dụng công thức về đường trung tuyến : ( b + c ) a c ( b + c ) a M = ma = = a c = b The định lý sin, ta có : a = Rsin ; b =Rsin ; c = Rsin nên : R sin R sin = ( R sin ) sin sin = sin sin = sin + sin.1.p dụng công thức : 1 1 S =..sin =..sin ( vì góc nhọn ) sin = = 60 Ta lại có : = +..cs 60 = = 1 => = 1 S. 6 9 H = = = Ta có : 1 0

21 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 1 a a 5 = 15 ; = + = + = EO E E a E a 5 a 10 R( EO ) = = = sin EO. E a 1 OE = E ;tan E = = = = 0,5 a OE = E = 6 ' D O E OE = 180 ( ') = 18 7'..Ta có : a b + c a sin abc cs ( ) sin = ;cs = tan = = R bc R b + c a sin abc tan c + a b tan = = => = cs R( c + a b ) tan b + c a..đặt = x ( x > 0 ). Ta có : = +..cs 1 = x + x x x = x= = : sin 60 = sin = = = 0,656 sin sin 7 = 0 5' ; = 180 ( ') = 79 7'.5. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Để chứng minh M vuông góc với N ta chỉ cần chứng minh tam giác G vuông tại G. Ta có: G + G = ( M ) + ( N) ( c + a ) b ( ). a + b c = M = ( ) ( ) N 9 c + a b + a + b c 1 1 = ( a + b + c ) = (a + 5 a ) = a = G 9 9 Vậy tam giác G vuông tại G.6 a) Điều kiện để là một tam giác là : < < < x < 5+ 1 < x < x 5 cs = =...x b) Ta lại có : + 7 x x 8= 0 x= ( d1< x< ) 1

22 hương. Tích vô hướng và ứng dụng.7. a) MP + MQ = MP + MQ = ( MR+ RP) + ( MR+ RQ) = MR + RP + MRRP. + MR + RQ + MRRQ. = MR + RP + RQ + MR( RP + RQ) PQ PQ = MR + ( RP = RQ = ; RP + RQ = 0) The câu a), ta có : DE D + E = + = + ( d DE = ) D + E + = + + = ( + ) + = + = + = D = + ( D) = = 80 D = 5 D = D ;sin D = = D 5 R (D ) D 5 = = = 5 5 sin D 5 D D E. Đề. âu hỏi trắc n ghiệm cuối chương 1 1. h a = b = 1; ab. =. Góc ( ab, ) (tính ra độ ) bằng : a. 60 b. 10 c. 0 d. một đáp số khác. h a = b = 1;( a+ b) ( a b). Tích vô hướng ab. bằng : a. 1 b. 1 c. d.. h a = 1; b = ; ( a+ b) = 5. Tích vô hướng ab. bằng : a. b. c. d. một đáp số khác. h hình vuông D cạnh bằng a. Nếu M = + D thì đạn M bằng : a.a b. a c. a 5 d.một đáp só khác 5. h hình chữ nhật D có = 5 ; D = và điểm I xác định bởi

23 hương. Tích vô hướng và ứng dụng I = k. Nếu đường thẳng và I vuông góc với nh au thì k bằng: a. 0,6 b. 0,6 c, 0,6 d. một đáp số khác 6. Tam giác có = a = x + 1 ; = b = ; = c =. Nếu góc của tam giác bằng 60 thì giá trị của x là : a. b. c. d. một đáp số khác 7.h tam giác có cạnh thỏa : = Góc của tam giác gần bằng góc nà dưới đây nhất : a. 109 b.110 c. 70 d Tam giác có = 0 ; = 5. Hệ thức nà sau đây đúng a. = b. = c. = d. = 9. Trng một tam giác, nếu tổng bình phương đường trung tuyến bằng 0 thí tổng bình ph ương cạnh của tam giác sẽ bằng : a. b. 6 c. 8 d.một đáp số khác 10. h tam giác có ba cạnh là : m ; m ; 6m.Góc lớn nhất của tam giác gần bằng góc nà dưới đây nhất 0 a. 6 b. 6 0 c d h tam giác vuông tại và có = a ; = a. E là một điểm thuộc tia đối của tia. Nếu bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác E bằng a thì đạn E sẽ bằng a. a b. a c. 5a d. một đáp số khác 1.h hình vuông D cạnh bằng a. Trên tia đối của tia, lấy điểm E sa ch E = a. án kính của đường tròn ngọai tiếp tam giác E bằng a.5a b. a c.a d. một đáp số khác 1. Một tam giác có ba cạnh là, 5, 7. Đường ca nhỏ nhất của tam giác này gần bằng số nà dưới đây nhất a.,8 b. c., d., 1. Tam giác có : + = 6 ; sin + sin = 1,5. Hệ thức nà dưới đây đúng : a. = sin b. = sin c. = sin d = 6sin 15. Tam giác vuông tại và có = a ; = a. Trên tia đối của tia lấy điểm D sa ch D = a.đạn D gần bằng đạn nà dưới đây nhất : a.,a b.,5a c.,6a d.,7a 16.h tam giác có = ; = 5. Gọi R,R lần lượt là bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác M và tam giác M ( M là một điểm thuộc cạnh ) Hệ thức nà sau đây đúng a. R = 0,5R b. R = 0,6R

24 hương. Tích vô hướng và ứng dụng c. R = 0,7R d. R = 0,8R 17.Tam giác có các cạnh thỏa = +. ; = +. Góc của tam giác bằng : a. 0 b. 5 c. 60 d. một đáp số khác 18. Tam giác có cá c cạnh thỏa : = + ; = +. 5 cs của tam giác bằng : a. 0,5 b.0,6 c. 0,7 d.0, Tam giác có = ; = 10 ; trung tuyến M =. ình phương của cạnh bằng : a. 50 b. 51 c. 5 d. một đáp số khác 0. h tam giác có bán kính đường tròn ngọai tiếp là R =.Nếu sin + sin = 1 thì ( + ) bằng : a.5 b.6 c.7 d.8. ảng trả lời 1. b 6.b 11.a 16.b.a 7. a 1.c 17.c.d 8.b 1.a 18.d.c 9.d 1. c 19. c 5.b 10.d 15.c 0.d. Hướng dẫn giải : 1 ab. = a. bcs( a, b) = 1.1cs( a, b) 1b. Ta có 1 cs( ab, ) = ( ab, ) = 10 ( a+ b) ( a b) ( a+ b)( a b) = 0 a ab. + ba. b a. 1 ab. = 0 ab. = 1 a+ b = 5 ( a+ b) = 5 a + 6 ab. + 9b = 5 d ab. + 9.= 5 ab. = b. ( ) M = M = + D = + D + D.. = 5 a ( d. D= 0) M = a 5b. 5

25 hương. Tích vô hướng và ứng dụng I I. = 0 ( + I)( ) = 0. + k = 0( d I = k = k ;. = 0) k = 0 k = = 0, b. Định lý cs ch a = b + c bccs x+ 1 = x = 1 7a. Định lý cs ch : = +..cs + +. = +. cs 1 cs = = 0, = 109 9' ( cs 70 1' = 0, và là góc bù của góc này ) 8b. Định lý sin ch = = = sin sin sin 0 sin 5 1 = 9d. The công thức tính độ dài đường trung tuyến,ta có : ( b + c ) a + ( c + a ) b + ( a + b ) c ma + mb + mc = ( a + b + c ) 0 = a + b + c = 0 10d. Đối diện với cạnh lớn nhất = 6m sẽ là góc lớn nhất,mà b + c a = = = 0, 58 cs= bc.. = ' 11a. Tam giác là nửa tam giác đều.định lý sin ch : E E = R R = = a sin 0 sin 0 E a 1c. Ta có E = 15 ; = R R = = a sin15. 1 a. Đường ca nhỏ nhất h là đường ca tương ứng với cạnh lớn nhất nghĩa là cạnh bằng 7. Ta lại có 5

26 hương. Tích vô hướng và ứng dụng 6 1 p = ( ) = 8 S = p( p a)( p b)( p c) = = 6 S 8 6 h = = =, c. Định lý sin ch : + 6 = = = = = sin sin sin sin + sin 1,5 = sin 15c. Tam giác là nửa tam giác đều D = 10 ; D = D +. D.cs10 1 D = 9a + a. a. a.( ) = 1a D = a 1 =, 605a 16b. Ta có sinm = sinm (góc bù nhau ) Định lý sin ch R R= ; R' = = = = 0,6 sin M sin M R ' 5 R= 0,6 R' 17c. Giả thiết ch = = 60 = 60 18d. Tam giác vuông tại (d = + ) Hệ thức hai ch : 9 cs = cs = sin = 1 cs = 1 = =0, c. ông thức tính độ dài trung tuyến ch ( + ) M = (16 + ) = = ( ) = 5 0d. Định lý sin ch : + R = = = = sin sin sin sin + sin + 8 = 1 6

Cuô c bâ u cư Hô i đô ng công xa va Hô i đô ng ti nh năm 2015

Cuô c bâ u cư Hô i đô ng công xa va Hô i đô ng ti nh năm 2015 THÔNG TIN Cuô c bâ u cư Hô i đô ng công xa va Hô i đô ng ti nh năm 2015 Thông tin quan tro ng cho ba n la ngươ i se bo phiê u Tiê ng Viê t Vietnamesisk Nga y bâ u cư la 14.09. Nhơ giâ y tơ tuỳ thân! Bâ

Detaljer

P r in s ipp s ø k n a d. R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e

P r in s ipp s ø k n a d. R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e P r in s ipp s ø k n a d R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e O pp d ra g s n r : 2 0 1 50 50 O pp d ra g s n a v n : Sa n d s ta d g å r d

Detaljer

Bản dịch tiếng Việt thơ thứ 1 của BCH HNVTN gơ i cho BTV qua Espen Wæhle * Bản tiếng Na Uy bên dưới

Bản dịch tiếng Việt thơ thứ 1 của BCH HNVTN gơ i cho BTV qua Espen Wæhle * Bản tiếng Na Uy bên dưới Bản dịch tiếng Việt thơ thứ 1 của BCH HNVTN gơ i cho BTV qua Espen Wæhle * Bản tiếng Na Uy bên dưới HÔ I NGƯƠ I VIÊ T TI NA N TA I NA UY Pb. 633 Sentrum, 0166 Oslo / Đi a chi thăm viê ng: Nha Viê t Nam

Detaljer

Europa-Universität Viadrina

Europa-Universität Viadrina !"#!$% & #' #! ( ))% * +%, -.!!! / 0 1!/ %0 2!!/ 0.!!!/ /! 0 / '3 %0 #$ '! 0 4!""2 " '5 + -#! & %%! ( 6+ * $ '. % & 7 7 8 (8 *& *& *( ** *8, 8 87 - - -! )- % 4!!# &! -! ( - / 9:0 ; ; & * 7 4! + /! ) %

Detaljer

Mục lục A. ĐẶT VẤN ĐỀ:... 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ... 2 PHẦN I: LÝ THUYẾT... 2 I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG...

Mục lục A. ĐẶT VẤN ĐỀ:... 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ... 2 PHẦN I: LÝ THUYẾT... 2 I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG... Mục lục A. ĐẶT VẤN ĐỀ:... B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ... PHẦN I: LÝ THUYẾT... I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG.... 1. Định nghĩa:.... Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:... 3. Các phép

Detaljer

!" #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-!" (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % -

! #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-! (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % - !" #$$ % &'& ( * +$ $ %,% '!" (,+% %#&. /000( '', 1('2# 34.566,*,, 7 8, +$,+$#& *! +&$ % + 8 ( 9( :.,;(.

Detaljer

Nh ng y u tâ v hiv vø aids (sida)

Nh ng y u tâ v hiv vø aids (sida) Nh ng y u tâ v hiv vø aids (sida) Vietnamesisk/norsk Fakta om hiv og aids Aids er en alvorlig sykdom som siden begynnelsen av 1980-tallet har spredd seg over hele verden. Aids skyldes et virus, hiv, som

Detaljer

NORSK LOVTIDEND Avd. I Lover og sentrale forskrifter mv. Utgitt i henhold til lov 19. juni 1969 nr. 53.

NORSK LOVTIDEND Avd. I Lover og sentrale forskrifter mv. Utgitt i henhold til lov 19. juni 1969 nr. 53. NORSK LOVTIDEND Avd. I Lover og sentrale forskrifter mv. Utgitt i henhold til lov 19. juni 1969 nr. 53. Kunngjort 6. februar 2017 kl. 14.50 PDF-versjon 10. februar 2017 03.02.2017 nr. 118 Forskrift om

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

(+ /$0 &&&" 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5

(+ /$0 &&& 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5 !"#$$%% &%$$'$!"#$'$(&$'&))'!$ *$ +! " #$%& ' $&%!)'&##!(&%!)'&))'!$ *$ () *+%+ $ $),% $ -. #,&)-&%!).#,$$)%&%!)$%&)%$)&)$'")$% &%$$'&"%! &%!)$)"%,&)% '$!"#$/ (+ /$0 &&&" *+%$ " 1&& 2 )$02 0!#!&)%'")!'$,$'&"%1$)%-&%!)2

Detaljer

URBAN MINING GJENNVINNING AV METALLER FRA EE-AVFALL. Rolf Tore Ottesen Norges geologiske undersøkelse

URBAN MINING GJENNVINNING AV METALLER FRA EE-AVFALL. Rolf Tore Ottesen Norges geologiske undersøkelse URBAN MINING GJENNVINNING AV METALLER FRA EE-AVFALL Rolf Tore Ottesen Norges geologiske undersøkelse REGJERINGENS MINERALSTRATEGI Næringsminister Trond Giske TEMA FOR FOREDRAGET Tradisjonell gruvedrift

Detaljer

FAGKONFERANSE KONTROL L OG TILSYN GARDERMOEN JUNI A RSMØTE I FORU M FO R KONTROLL OG TILSYN 5. JUN I 2013

FAGKONFERANSE KONTROL L OG TILSYN GARDERMOEN JUNI A RSMØTE I FORU M FO R KONTROLL OG TILSYN 5. JUN I 2013 FAGKONFERANSE KONTROL L OG TILSYN GARDERMOEN 5.- 6. JUNI 201 3 A RSMØTE I FORU M FO R KONTROLL OG TILSYN 5. JUN I 2013 09. 0 0 1 0. 0 0 R E G I S TR E R I NG N o e å b i t e i 10. 0 0 1 0. 15 Å p n i ng

Detaljer

Ord og begreper. Norsk Morsmål: Tegning (hvis aktuelt)

Ord og begreper. Norsk Morsmål: Tegning (hvis aktuelt) Ord og begreper Norsk Morsmål: Tegning (hvis aktuelt) Få Ít Mange Nhiều Venstre Trái Høyre Phải Øverst Trên cùng Nederst Dưới cùng Lite Ít Mye Rất nhiều (không thể đếm được) Flest Færrest Oppe Nhiều nhất

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D e t t e e r i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n er a l f o r s a m l i n g. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s m e l d i n g o g r e g n s k a

Detaljer

Hvorfor hydrogen? Bjørg Andresen Spesialrådgiver Institutt for energiteknikk

Hvorfor hydrogen? Bjørg Andresen Spesialrådgiver Institutt for energiteknikk Hvorfor hydrogen? Bjørg Andresen Spesialrådgiver Institutt for energiteknikk www.ife.no Innhold Hva er hydrogen Produksjon Fra naturgass ZEG -konseptet Fra vann Sluttbruk Marked Grunnstoff med kjemisk

Detaljer

NO/EP2212249. P a t e n t k r a v

NO/EP2212249. P a t e n t k r a v (12) Translation of european patent specification (11) NO/EP 2212249 B1 (19) NO NORWAY (1) Int Cl. C01B 33/037 (2006.01) Norwegian Industrial Property Office (21) Translation Published 201.0.11 (80) Date

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

Nh ng y u tâ v chˆng vi m gan lo i A, B vø C vø cæch ph ng ng a { b n kh ng bfi l y bÿnh

Nh ng y u tâ v chˆng vi m gan lo i A, B vø C vø cæch ph ng ng a { b n kh ng bfi l y bÿnh Vietnamesisk/norsk Nh ng y u tâ v chˆng vi m gan lo i A, B vø C vø cæch ph ng ng a { b n kh ng bfi l y bÿnh Fakta om hepatitt A, B og C og om hvordan du unngår smitte Hva er hepatitt? Hepatitt betyr betennelse

Detaljer

yt o me e e Av n le et b s e tå a n p lo o d i te e k te e s k a p e e te r sr d e g te se l e t a il n n jk e t d ø n g A R 5 g it g % i 10 t v ve

yt o me e e Av n le et b s e tå a n p lo o d i te e k te e s k a p e e te r sr d e g te se l e t a il n n jk e t d ø n g A R 5 g it g % i 10 t v ve VDGG V-_ ) B ( ; y få N. b å y. f j f b f h å b y j ( å y h D å. ) f h æ y b - B j c j : CH j = D Ny : : : % : b b : : CH G G Y B y b : I y N : : / b - Ø y y : å - F b b f å j - j B - F j f H y j å HC

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s a m l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n

Detaljer

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010

INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i S / E S o r g e n f r i g a t e n 3 4, a v h o l d e s o ns d a g 1 0. m a rs 2 0 1 0 k l. 1 8. 0 0 i K l u b b r o m m

Detaljer

Varenummer Felg informasjon Salgspris pr.felg Salgspris pr.sett (4.stk) Lagerstatus Bilde

Varenummer Felg informasjon Salgspris pr.felg Salgspris pr.sett (4.stk) Lagerstatus Bilde Varenummer Felg informasjon Salgspris pr.felg Salgspris pr.sett (4.stk) Lagerstatus Bilde C10415380 aluminium velg 6.5x15 4x100 ET38 Dezent F kr 1 220,00 kr 3 904,00 4 DM C035523B Wheel Concerto 20x8.5

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! 1 H o v i n B o r e t t s l a g K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

apple К apple fl 0 0

apple К apple fl 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 6 0 7 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 7 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 4 0 4 0 0 9 0 0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 4 0 0 0 5 0 0 9 0 4 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 Кapple 6 0 6 5 0 8 0 6 0 4 0 0

Detaljer

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L

S T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

! #$ % & '! (! ' )!!!* +

! #$ % & '! (! ' )!!!* + !"#$%$ !"! #$ % & '! (! ' )!!!* + ,-./01-23 45167.8 49-:/ %%; ?69@8A 73/9> BC.8 58@DE/18 18,-98=/127-F 0611-23A,9-4>=D1G 61H/1I927I:JA,9K@C2.-4I:J 8 BC3-4I:J 2384/B L2,DM1D BC.C =-7-10/1C,E/=/4MG@

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! 1 K e y s e r l ø k k a Ø s t B o r e t t s l a g K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E

I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t W al d em a rs H a g e, a v h o l d e s t o rs d a g 1 8. j u n i 2 0 0 9, k l.

Detaljer

näüi dung cuía âiãöu âang âæåüc noïi âãún nãúu chuïng ta hiãøu biãút vãö caïc phæång hæåïng.

näüi dung cuía âiãöu âang âæåüc noïi âãún nãúu chuïng ta hiãøu biãút vãö caïc phæång hæåïng. RETNINGER Det er fire hovedretninger: øst, vest, nord og sør. Det er også fire retninger til som ligger mellom de fire hovedretningene: nord-øst, sør-øst, nordvest, sør-vest. Vi bruker retningene for å

Detaljer

Kondisjonstest. Algoritmer og datastrukturer. Python-oppgaver. Onsdag 6. oktober Her er noen repetisjonsoppgaver i Python.

Kondisjonstest. Algoritmer og datastrukturer. Python-oppgaver. Onsdag 6. oktober Her er noen repetisjonsoppgaver i Python. Algoritmer og datastrukturer Kondisjonstest Python-oppgaver Onsdag 6. oktober 2004 Her er noen repetisjonsoppgaver i Python. Som alltid er den beste måten å lære å programmere på å sette seg ned og programmere

Detaljer

K j æ r e b e b o e r!

K j æ r e b e b o e r! K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s b e r e t n i

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r

2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G 2 0 1 0 O r d i n æ r g e n e r a l f o r s a m l i n g i, a v h o l d e s m a n d a g 3. m ai 2 0 1 0, k l. 1 8 0 0 p å T r e

Detaljer

Plan 200813735 / Detaljplan for Hans Jægers kvartal Illustrasjoner, diagrammer, sol og skygge. s 1

Plan 200813735 / Detaljplan for Hans Jægers kvartal Illustrasjoner, diagrammer, sol og skygge. s 1 P / Dj f H Jæ kv Iuj, imm, ky Aic kik AS www.k. Kii Auu, O + P / Dj f H Jæ kv / Aiv A / V: iuj /.. Pkiv f h Aic kik AS www.k. Kii Auu, O + P / Dj f H Jæ kv / Aiv A / V: iuj /.. Fukiv f Fukiv f ø Fukiv

Detaljer

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper

Detaljer

Giới thiệu SEO Tools Google Webmaster Tools Google Analytics phân tích traffic SEO Power Suite, web auditor để onpage Ahrefs, phân tích từ khóa và Lin

Giới thiệu SEO Tools Google Webmaster Tools Google Analytics phân tích traffic SEO Power Suite, web auditor để onpage Ahrefs, phân tích từ khóa và Lin Giới thiệu SEO Tools cơ bản Seo Manager + Seo Guy Giới thiệu SEO Tools Google Webmaster Tools Google Analytics phân tích traffic SEO Power Suite, web auditor để onpage Ahrefs, phân tích từ khóa và Link

Detaljer

; k Bergvesenet. BV 1852 Trondheim. Sporelementer i jordprøver og bekkesedimenter, Romundstad. Volden, Tore L Orkla Industrier A/S NGU

; k Bergvesenet. BV 1852 Trondheim. Sporelementer i jordprøver og bekkesedimenter, Romundstad. Volden, Tore L Orkla Industrier A/S NGU ; k Bergvesenet Postboks 0, 700 Trondhem Rapportarkvet Bergvesenet rapport nr Intern Journal nr Internt arkv nr Rapport lokalserng Graderng BV Trondhem Kommer fra..arkv Ekstern rapport nr Oversendt fra

Detaljer

EKSAMEN. Hva er defmisjonsmengden og verdimengden til en funksjon?

EKSAMEN. Hva er defmisjonsmengden og verdimengden til en funksjon? EKSAMEN Emnekode: MA94 Emnenavn: FUNKSJONER Dato: 9. mai 202 Varighet: 09.00 5.00 Antall sider inkl. forside 8 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Formelark følger med oppgaven Merknader: alle oppgavene

Detaljer

KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG Høgskolen i Østfold Avdeling for ingeniør- og realfag EKSAMENSOPPGAVE Fag: IRK104 Grunnleggende kjemi Sensurfrist : tirsdag 23. september 28 Lærer : Birte J. Sjursnes Grupper : K3A Dato : 02.09.28 Tid

Detaljer

Forskrift om forurensningslovens anvendelse på radioaktive stoffer og radioaktivt avfall

Forskrift om forurensningslovens anvendelse på radioaktive stoffer og radioaktivt avfall Forskrift om forurensningslovens anvendelse på radioaktive stoffer og radioaktivt avfall Fastsatt med hjemmel i lov 13. mars 1981 nr. 6 om vern mot forurensninger og om avfall (forurensningsloven) 6 nr.

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

(12) Oversettelse av europeisk patentskrift

(12) Oversettelse av europeisk patentskrift (12) Oversettelse av europeisk patentskrift (11) NO/EP 2114970 B1 (19) NO NORGE (51) Int Cl. C07F 9/58 (2006.01) A61K 31/44 (2006.01) A61P 1/00 (2006.01) A61P 11/06 (2006.01) A61P 19/02 (2006.01) A61P

Detaljer

Så vi lagde en tilbudsavis der alle tilbudene var fra annonser på FINN.no.

Så vi lagde en tilbudsavis der alle tilbudene var fra annonser på FINN.no. i v d i FINN ø Hv ojd, ooi jvhd iom i dm. Jo o MEGATILBUD oy i idi h md ijom. I FINN y vi d o o hd v hvd. D i jo vi v i jd om h i i jv S vi d idvi d id v o FINN.o. Vi d h yio 3? I i 25,- i Ex. B i Ad o

Detaljer

c) 6 c) x

c) 6 c) x FASIT.0 7 7 7 7. [0, 7 7 C, 7 7 7 7, ] 7 C, 7. 7 7, 0 7 7 C, ] [ C, 7 7 7, 7. 7 7 7 7 e) 7 f) 7.0 8 80 C. C 78. C0 C 0.. 7 C.0. 8... _ 8 _. C _ 0 8 7 7 0 _..7.8.0. 0 C. + _ 8 C 0 C C 0 C.0 8. C8. 7 C.....7

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 10

Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Kapittel 5 Exercise 6 Hva er innavlskoeffisienten for individ I i følgende stamtre? Svar: Her er det best å bruke en annen metode enn løkkemetoden. Slektskapskoeffisientmetoden

Detaljer

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes.

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Dagens tema Dagens tema C-programmering Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Adresser og pekere Parametre Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Hvordan ser minnet

Detaljer

Nye varer til lager februar 2015

Nye varer til lager februar 2015 1097801 Belden 8471NH 1p AWG16 LON 933100 1241445 TREKKEFJÆR 15M LAVFRIKSJON 1214100 1241446 TREKKEFJÆR 30M LAVFRIKSJON 1214100 1342899 Caddy Speed Link SL2/2 2mm/2m 45kg 1347000 1341101 1406401 BRYTER

Detaljer

NORGES TEKNISK NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI

NORGES TEKNISK NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI NORGES TEKNISK NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI EKSAMEN I KJ 2031 UORGANISK KJEMI VK Mandag 31. mai 2010 Tid: 09.00 13.00 Faglig kontakt under eksamen: Karma Mathisen, Realfagbygget

Detaljer

JULETENTAMEN 2016, FASIT.

JULETENTAMEN 2016, FASIT. JULETENTAMEN 2016, FASIT. DELPRØVE 1. OPPGAVE 1 709 + 2598 = 3307 540-71 = 469 c: 2,9. 3,4 116 870 9,86 d: 30,6 : 0,6 = 306 : 6 = 51 30 6 6 OPPGAVE 2 440 kr 4 = 110 kr c: 7 4 7 2 = 7 4+2 =7 6 (Godtar også:

Detaljer

(12) Oversettelse av europeisk patentskrift

(12) Oversettelse av europeisk patentskrift (12) Oversettelse av europeisk patentskrift (11) NO/EP 2310382 B1 (19) NO NORGE (51) Int Cl. C07D 401/12 (2006.01) A61K 31/4412 (2006.01) A61P 35/00 (2006.01) C07D 401/14 (2006.01) C07D 403/12 (2006.01)

Detaljer

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes.

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Dagens tema C-programmering Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Adresser og pekere Parametre Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Hvordan ser minnet ut? Variabler,

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

! " # $ #!!" #$ %&#"'

!  # $ #!! #$ %&#' !"#$#!!"#$%&#"' % ($ ) * %,, # # ($-.. * %,, # # ($ * - %,, # # ($/..,, */%/012"# & ' (!)"*,-. /0 / # 12# 3 4",56"78" "9,5):"5;

Detaljer

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 1 S a m e i e t S o l h a u g e n I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t S o l h a u g e n, a v h o l d e s o n s d a

Detaljer

HALLSTRÖMS INTERIOR. innkledningssystem. www.swegon.no

HALLSTRÖMS INTERIOR. innkledningssystem. www.swegon.no HALLSTRÖMS INTERIOR innkledningssystem www.swegon.no ENKELT Vårt innkledningssystem består av få deler som enkelt kan monteres av en håndverker. RASKT Ett gjennomtenkt system, kostnadseffektivt og smidig

Detaljer

Forskrift om forurensningslovens anvendelse på radioaktiv forurensning og radioaktivt avfall

Forskrift om forurensningslovens anvendelse på radioaktiv forurensning og radioaktivt avfall Forsrift om forurensningslovens anvendelse på radioativ forurensning og radioativt avfall Fastsatt av Miljøverndepartementet med hjemmel i lov 13. mars 1981 nr. 6 om vern mot forurensninger og om avfall

Detaljer

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e

I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i L i s a K r i s t o f f e r s e n s P l a s s S E, a v h o l d e s o ns d a g 9. m a r s

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Versjon: 1.0 HELSE MØRE OG ROMSDAL. Risikovurdering av. reduksjoner i aktivitet ved Mork Rehab.senter. Anbefalt: Dato: Godkjent: Dato:

Versjon: 1.0 HELSE MØRE OG ROMSDAL. Risikovurdering av. reduksjoner i aktivitet ved Mork Rehab.senter. Anbefalt: Dato: Godkjent: Dato: Versjn: 1. HELSE MRE G RMSDAL Risikvurdering av reduksjner i aktivitet ved Mrk Rehab.senter Anbefalt: Dat: Gdkjent: Dat: H ELSE MRE G RMSDAL INNHLDSFRTEGNELSE: Bakgrunn fr risikvurderingen...3 mfang...

Detaljer

(12) Oversettelse av europeisk patentskrift

(12) Oversettelse av europeisk patentskrift (12) Oversettelse av europeisk patentskrift (11) NO/EP 2178851 B1 (19) NO NORGE (51) Int Cl. C07D 261/08 (2006.01) A61K 31/42 (2006.01) A61P 3/06 (2006.01) C07D 413/12 (2006.01) Patentstyret (21) Oversettelse

Detaljer

EL NINJO. 15 år i toppen! kr 1199,- kr 499,-

EL NINJO. 15 år i toppen! kr 1199,- kr 499,- EL NINJO 15 å 1199,- 499,- m u Ju, 9 9 3 1 a f u u 5 f a 3 Ta h å a Tv å å 599,- ER N N I V T TE h a Bma m 1 44 mm ufm. F ff m avu fa, u avfy am fy hmm m va fa u 599,PHANTOME OF THE NIGHT NB Amy x Fav

Detaljer

Rettelser til. Øistein Bjørnestad Tom Rune Kongelf Terje Myklebust. Alfa. Oppgaveløsninger

Rettelser til. Øistein Bjørnestad Tom Rune Kongelf Terje Myklebust. Alfa. Oppgaveløsninger Rettelse til Øistein Bjønestad Tom Rune Kongelf Teje Myklebust Alfa Oppgaveløsninge 007 Kapittel S. 7: Fasit til oppgave.9e): Slik oppgaven stå, skal svaet væe 065 (noe ha falt ut i oppgaveteksten). S.

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

14-15. november 2011, fagdag økonomi. Økonomirapportering/prognoser

14-15. november 2011, fagdag økonomi. Økonomirapportering/prognoser 14-15. mb 2011, fd økm Økm/ O u m m b m k u m ø 1 3. 0 4. 1 1 1. Nku øk budjmd d fuj kmm k budj/k d å å. 2. Nku øk md / md md - m d u m md. I d må d m k f båd f fø d fø. D k k få - md hk bø m fø d k k

Detaljer

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 2: Trigonometri

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 2: Trigonometri Løsningsskisser til oppgver i Kpittel : Trigonometri.07 Treknten i figuren hr: (Alle mål i cm.) grunnlinje: g 5 1 høyde: h Tilhørende sirkelsektor spenner over vinkelen v, der cosv 5 v 1.159 Arel Treknt

Detaljer

Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl Antall oppgaver 9. Oppgave 1.

Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl Antall oppgaver 9. Oppgave 1. Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl. 13.00 Antall oppgaver 9 Løsningsforslag Oppgave 1 a) sin A = BC AC 3, 2 cm = = 0, 627 5, 1 cm A = sin 1 0, 627

Detaljer

4990,- 3390,- 750,- Velkommen til. Knallpriser! Skyvedørsgarderobe. Innredning. Fra. Fra. Din fagmann på. Vera ytterdør

4990,- 3390,- 750,- Velkommen til. Knallpriser! Skyvedørsgarderobe. Innredning. Fra. Fra. Din fagmann på. Vera ytterdør Di fama på BYGGEVARER Gj upp! Kampaj jl m. 20. p. 2014 Kallpi! Syvab Fa Ii Fa Va m/fa ifl. 9970,- 120/130/140x200/210 750,- Vlmm il Va y 4990,- Lv u i hvi m la la l ii. 90x200/210 100x210 ampaja H få u

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

Avlsforsking og avlsarbeid. Bjarne Gjerde AKVAFORSK

Avlsforsking og avlsarbeid. Bjarne Gjerde AKVAFORSK Avlsforsking og avlsarbeid Bjarne Gjerde AKVAFORSK Aftenposten 23. desember 2002 Avlsmål Disposisjon Arveleg variasjon i viktige produksjonseigenskapar - kysttorsk kontra skrei - mellom familiar og enkeltfisk

Detaljer

Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR

Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR HC med håndgrep med skult. ( rustfritt stål med benk og skap Volumhette- for mopper Mini med innebygd kjøleskap og komfyr HC tilpasset

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Dagens tema INF1070. Vektorer (array er) Tekster (string er) Adresser og pekere. Dynamisk allokering

Dagens tema INF1070. Vektorer (array er) Tekster (string er) Adresser og pekere. Dynamisk allokering Dagens tema Vektorer (array er) Tekster (string er) Adresser og pekere Dynamisk allokering Dag Langmyhr,Ifi,UiO: Forelesning 23. januar 2006 Ark 1 av 23 Vektorer Alle programmeringsspråk har mulighet til

Detaljer

Vektorer. Dagens tema. Deklarasjon. Bruk

Vektorer. Dagens tema. Deklarasjon. Bruk Dagens tema Dagens tema Deklarasjon Vektorer Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Adresser og pekere Dynamisk allokering Alle programmeringsspråk har mulighet til å definere en såkalte vektor (også

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert

Detaljer

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin

Detaljer

K@&&M@ffi@ ry@b@reega. tua n @ta- ,6orr"/*/ar *ft. hr /en. 3, s pt. 9R. ry@&w&&ffnrygkape?f

K@&&M@ffi@ ry@b@reega. tua n @ta- ,6orr/*/ar *ft. hr /en. 3, s pt. 9R. ry@&w&&ffnrygkape?f y@b@re K@&&M@@,6"/*/ * h / u @- 3, p 9R y@&w&&nykape?f \ O R D R E I S AK O \ \ 1 U \ E \OTEBOK PROTOKOLL FRAMTE: q4+p 5' ' 9 ' 9? ' M O T E D A T O :d m? ' M O T E S T E D F R A K L : q 9 0, 0 T L K L

Detaljer

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1 Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Eksamen 1T våren 2011

Eksamen 1T våren 2011 Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0

Detaljer

Rettelser til NORMARC - 17. januar 2012

Rettelser til NORMARC - 17. januar 2012 Rettelser til NORMARC - 17. januar 2012 Det er gjort følgende endringer i teksten: 008 INFORMASJONSKODER ALLE MATERIALTYPER 15-17 Utgivelsesland. Standardkoder for land, NS 4058 (ISO 3166), brukes. En

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

!"#$%&&'&()*+"(, -!"#. "$ *'&(*&!*,/!"# &$*!$*01$*'!22 3, &9 *$ "&$*2 "*( /. )* * - 1*((&$'&&2$!$*2$&* 7* -

!#$%&&'&()*+(, -!#. $ *'&(*&!*,/!# &$*!$*01$*'!22 3, &9 *$ &$*2 *( /. )* * - 1*((&$'&&2$!$*2$&* 7* - !"#$%&$ $"$ ' ($)$)($'!"#$%&&'&()*+"(, -!"#. "$ *'&(*&!*,/!"# &$*!$*01$*'!22 3,!'$ $*$+, $)-$%&4 $($5 6!$"'&' 7!(*2 3'&(* 7& *2 38 ("(3 2* 4 &9 *$ "&$*2 "*( / &! 3'&(*:!* $&2 7*'&(*"2 *2 3&$*2 "*('&. )*

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det

Detaljer

Formelsamling Kalkulus

Formelsamling Kalkulus Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007

Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007 Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG1341-4. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 15, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MY er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer