Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24
2
NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert integrsjon I disse nottene skl vi studere hvordn mn integrere funksjoner v flere vrible, og vi skl vise noen enkle nvendelser v multiple integrler. L oss stret med en kort rekpitulsjon v envribelteorien; så l f være en funksjon som er kontinuerlig på et intervll [, b]. Integrlet F x) = x fx)dx hr flere egenskper: Antiderivert. Vi vet t dersom vi deriverer et integrlet med hensyn på den øvre grensen, finner vi tilbke funksjonen vi integrerte: d dx x fx)dx = fx). Dette er en v de mest fundmentle egenskpene til integrlet, og den ligger til grunn for hvordn vi kn beregne integrler. I boken til TG blir dette også ttt som definisjonen v integrlet. Geoemetrisk tolkning: L for en stund f være positiv på hele intervllet [, b]. D vet vi t den geometriske tolkningen v x fx)dx er størrelesen på relet mellom grfen til f og x-ksen. Generelt, dersom f ikke nødvendigvis er positiv i hele sitt definisjonsområde, må vi regnet relet lgenrisk; det deler v det som ligger under x-ksen regnes med negtivt fortegn, mens de som ligger over, selvsgt, regnes postivt. En tredje egenskp som er viktig for mnge v nvendelsen, er: iemnnsum: Hvis vi tenker oss t intervllet [, b] er inndelt i en rekke delintervller ved hjelp v delingspunkter = < < 2 <... < n = b, og vi velger ett punkt x i i hvert delintervll ltså x i [ i, i+ ] så vil summen som ltså klles eniemnnsum) n fx i ) i+ i ) i= være en god pproksimsjon til integrlet fx)dx. Dette gjelder når lengden v delintervllene er små, ltså når x i er liten. Vi hr her innført notsjonen x i = i+ i for lengden v det i-te delintervllet.
2 I grensen, når x i gjelder til og med likhet: fx)dx = n lim x i i= fx i ) x i L oss nå se på en funksjon v to vrible, fx, y). Vi skl studere denne over et område i plnet, og vi tenker oss, i første omgng, t f er positiv i hele. Vi skl innfœret dobbelt integrlet i nlogi med den ndre egenskpen ovenfor til enkelt integrlet som volumet V v legemet L som ligger mellom grfen til f og xy-plnet og som ligger over omådet. Vi skl prøve å sette opp et utrykk for dette volumet. Presist kn dette legemet beskrives slik: L = {x, y, z) x, y), z fx, y)}. Området kn h mnge former, og det er en v de store forskjellene fr envribelteorien, men som en strt, skl vi nt t er et rektngel. Mer presist, vi skl nt t x-koordintene til punkter i ligger i et intervll [, b] og y-koordintene i et intervl [, d]. Vi tenker oss t vi deler opp legemet vårt i en rekke skiver ved å legge snitt prllelt med xz-plnet. Disse snittene er er gitt ved t y = t der t er et tll i intervllet [, d]. Arelet v et slikt snitt, gitt ved y = t, vi kller vi At), og vi kn beregne det ved integrlet: At) = fx, t)dx Vi kn nemlig tenke på et slikt snitt som delen v et pln plnet y=t) mellom x-ksen og grfen til funksjonen fx, t). Vi tenker oss så t det opprinnelige legemet L tilnærmes med et nytt legeme. Vi velger delpunkter =... < i <... < n = d i intervllet [, d] og for hver i, i < n dnner vi oss en ny, rett skive med grunnflte lik snittet y = i og tykkelse y i = i+ i ; mer presist kn en slik skive beskrives slik: x, y, z) z fx, i ), y [ i+, i ]. Volumet v skiven er jo lik grunnflten gnger høyden, og er ltså lik A i ) y i, og summerer vi opp lle volomuene v lle de rette skivene, finner vi følgene tilnærming til volumet v legemet L: n A i ) y i. i=
.. DOBBELT INTEGALET OVE EKTANGLE OG ITEET INTEGASJON3 Dette er jo nettopp en iemnnsum for integrlet d Ay)dy, og lr vi nå delingspunktene i [, d] ligge tettere og tettere, det vil si t vi lr y i gå mot null, vil vi i grensen v iemnnsummene finne dette integrlet. På den nnen side, når skivene velges tynnere og tynnere, får vi en bedre og bedre tilnærming til legemet vårt, og i grensen finner vi volmuet vi søkte. Vi hr ltså: n lim y i i= A i ) y i = d og setter vi inn uttrykket for Ay) ovenfor, finner vi d fx, y)dx)dy. Ay)dy, I ord: Vi bestemmer volumet V ved først å integrere f med hensyn på x, fr til b, og dernest integrere f med hensyn påy, fr til d. Dette klles iterert integrsjon, eller gjenttt integrsjon. Eksempel: L oss finne volumet V som vgrenses v xy-plnet, plnene x = og x = 5, plnene y = og y = 6 og grfen til fx, y) = xy. Dette legemet ligger mellom xy-plnet og grfen til f og over rektnglet der x [, 5] og yı[, 6]. Volumet er gitt ved dobbeltinegrlet 6 5 xydx)dy som vi beregner ved iterert integrsjon. Vi finner 6 5 xydx)dy = 6 5 2 x2 y)dy = 6 25 25 ydy = 2 2 6 2 y2 = 25 35 4 Den første bemerkningen er t vi kunne like gjerne delt opp legemet L i skiver som vr prllelle med yz-plnet, og så gjenneomført et tilsvrende resonnement. D ville vi h funnet: d fx, y)dy)dx Her integrerer vi først med hensyn på y og så med hensyn på x, som ltså er den motstte rekkeføgen fr det vi gjorde ovenfor. Vi finner selvsgt smme svr volumet er jo det smme unsett hvordn vi beregner det), så morlen er: Ved iterert integrsjon kn vi velge rekkefølgen t de vrible vi integrere med hensyn på.
4 For et dobbeltintegrl bruker vi som regel notsjonen: fx, y)dxdy og leser dobbeltintegrlet v f over. Dersom er et rektngel som ovenfor, kn vi beregne integrlet ved iterert integrsjon: fx, y)dxdy = d fx, y)dy)dx = d fx, y)dx)dy. Den ndre bemerkningen er t vi ikke nødvendigvis trenger å nt t f er positiv i hele. Dobbeltintregrlet kn llikevel beregnes ved iterert integrsjon, i hvilken rekkefølge vi vil, men det vi d finner, er det lgebriske volumet; deler v legemet som ligger under xy-plnet, teller negtivt, mens deler over teller positivt. Oppgver: x2 + y 2 )dxdy der er området begrenset v x =, x =, y = og y =. x4 y 2 + x 2 y 4 )dxdy der er området begrenset v x =, x =, y = og y = xexy )dxdy der er området begrenset v x =, x =, y = og y = Eksempel på nvendelse: Mssen til et et området i plnet. Vi tenker oss som en tynn plte lget v et mterile med vribel tetthet som beskrives ved en funksjon fx, y). Det beyr t tettheten i punktet x, y) er gitt som fx, y) i pssenende enheter, for eksempel kg/m 2. Den totle mssen til plten er d gitt ved M = fx, y)dxdy. Hvis for eksempel tettheten er gitt ved x 2 + y 2, og er rektngelet med hjørner, 2),, 3), 2, 2) og 2, 3) blir mssen: M = 3 2 x 2 dy)dx = x 2 dx = 2 3 x3 = 7 3.
.2. DOBBELTINTEGALET OVE ANDE OMÅDE 5 Mn kn også finne tyngdepunktet til slike områder; x-koordinten, x, til tyngdepunktet er gitt ved x = xfx, y)dxdy M og y-koordinten,ȳ, ved ȳ = M yfx, y)dxdy. For eksempelet ovenfor finner vi ȳ = 3 7 3 2 yx 2 dy)dx = 3 7 3 2y 2 x 2 )dx = 3 7 5x 2 )dx = 2 5x 3 3 = 35 7. Oppgve: Finn x-koordinten til tyngdepunktet i dette eksempelet..2 Dobbeltintegrlet over ndre områder Vi skl nå se på dobbeltintegrlet over noe mere generelle områder enn rektngler, nemlig slike som ligger områder som ligger mellom to grfer. Presist ser de slik ut: = {x, y) x b, gx) y hx)}. De klles ofte for områder v type I. For enkelhets skyld, skl vi igjen nt t f er positiv i hele området, og vi tenker på t vi skl beregne volumet v legemet mellom xy-plnet og grfen til f over området. Vi bruker smme fremgngsmåte som for rektngler og legger snitt prllelle med yz-plnet. Slike snitt er gitt ved ligningen x = t. Arelet v et slikt er igjen gitt ved et enkelt integrl. For å finne det presise uttrykket ser vi nøyere på snittet. Siden er vgrenset v grfene til de to funksjonene gx) og hx), må y-koordinten til et punkt i snittet tilfredstille gt) y ht), mens z-kordinten tilfredstiller z ft, y). Vi ser t relet v snittet er lik relet v området mellom y-ksen og grfen til ft, y) der det nå er y som er den vrible) over intervllet [gt), ht)]. Derfor er dette relet lik At) = ht) gt) ft, y)dy.
6 En tilsvrende prosess som den vi gjennomførte ovenfor, med tilnærming ved hjelp v rette, tynne skiver, og en grenseovergng der tykkelsen på skivene går mot null, gir oss følgende utrykk for volumet til legemet: hx) gx) fx, y)dy)dx. Igjen er dette en iterert integrsjon, men i motsetning til hv vi fnt ovenfor for rektngler, er grensene i det innerste integrlet nå funksjoner v x. Eksempel: er området gitt ved ulikhetene x 2 og y x 2. Finn dobbeltintegrlet xydxdy. Her er gx) = og hx) = x2. Vi regner: xydxdy = x 2 xydy)dx = 2 x2 2 xy2 dy)dx = 2 x5 dx = 2 2 x6 = 63 2. Vi hr nå sett på områder v type I. Det finnes også, selvsgt, områder som sies å være v type II. Disse vgrenses v kurver på formen x = gy), ltså grfer der x-ksen og y-ksen hr byttet roller. Presist er et slikt mråde gitt ved: = {x, y) y d, gy) x hy)} og formelen for dobbeltintegrlet v en funksjon fx, y) over et slikt område er d hy) fx, y)dxdy = fx, y)dx)dy. Her må vi ltså først integrere med hensyn på x for så å foret en integrsjon med hensyn på y. Det er å bemerke t vi i begge disse tilfellene ikke lltid kn bytte om integrsjonsrekkefølgen det kn kun gjøres dersom området både er v type I og v type II. Eksempel: Beregn y2 sinxy)dxdy der er området mellom x = y og x = og der y [, ]. Vi regner: fx, y)dxdy = gy) y y 2 sinxy)dx)dy = y osy 2 )dy = sin2 ). 2
.3. DOBBELTINTEGALET I POLAKOODINATE 7.3 Dobbeltintegrlet i polrkoordinter Et svært viktig teknikk til å beregne integrler i en vribel, er substitusjon, som også kn betrktes som et vribel skifte. Vi setter x = gt) i integrlet fx)dx. D blir dx = g t)dt og de nye grensene er gitt ved g) og gb), slik t integrlet blir lik fx)dx = gb) g) fgt))g t)dt. Vi skl i et sener vsnitt fortelle hv som skjer om vi skifter vrible i et dobbeltintegrl, men forelœpig skl vi nœye oss med ett bestemt koordintskifte, nemlig polrkoordinter. Vi minner om t vi i dette koordintsystemet som koordinter bruker rdiusvektor, r, ltså vstnden fr punktet vårt til origo, og φ, vinkelen mellom den positive x-ksen og rdiusvektor, målt i positiv omdreiningsretning. Smmenhengen mellom de krtesiske koordintene og polrkoordintene er gitt ved x = r os φ y = r sin φ. Vi skl se på dobbeltintegrlet v en funksjon fx, y) over et område og tenker på dette integrlet som volumet mellom grfen med riktig fortegn), og xy-plnet og vi skl bruke polrkoordinter. Vi deler opp området i små skivebiter, ltså områder der rdiusvektor vrirer mellom to nære verdier r og r + r og φ vrierer mellom to nære verdier φ og φ + φ. En slik skivebit er begrenset v to stålebiter fr origo og to buedeler v sirkler med sentrum i oriogo og rdius henholdsvis r og r + r. De er tilnærmet et rektngel med sider r φ buebitene) og r strålebitene), slik t relet v en slik skivebit pproksimtivt blir lik r r φ. Approksimtivt finner vi d for volumet under grfen V fx i, y j )r r φ = fr i os φ i, r j sin φ j )r r φ. I grensen, når r og φ går mot null finner vi: fx, y)dxdy = fr os φ, r sin φ)rdrdφ
8 Her betegner det området i rφ-plnet som består v de verdiene for polrkoordinter som tilsvrer punkter i integrsjonsområdet. Eksempel Finn xdxdy der er sirkelesektoren med rdius mellom x-ksen og linjen gjennom origo som dnner vinkelen π/3 med x-ksen. Området er gitt ved r og φ π/3 som er et rektngel i rφ-plnet. Vi finner: I = π/3 r 2 os φdr)dφ == π/3.4 Det generelle vribelskiftet 3 3 os φdφ = 3 3 π/3 sin φ = 2 3 sin π/3 = 6 3 3. Et generelt vribelskifte i et dobbeltintegrl er gitt ved å gi både x og y som funksjoner v to nye vrible: x = gu, v) y = hu, v). Det er to ting som kommer inn. For det frste må vi bestemme hvilke verdier v de nye koordintene som tilsvrer punkter i intergrsjonsområdet vårt. For det ndre, kommer det inn en relforndringsfktor: Et lite rektngel i uv-plnet tilsvrer en liten bit v intergrsjonsområdet som kn h v rierende form lt etter hvilke koordintskifte vi bruker. Vi må finne et uttrykk for relet v disse bitene illfll pproksimtivt. Til dette bruker mn den såklte Jobi-determinnten: Dette gir: Ju, v) = g u h u g v h v. fx, y)dxdy = fgu, v), hu, v)) Ju, v) dudv