Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 6 Beregning v treghetsmoment 61 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentkse r m en liten punktformet prtikkel med msse m h en vstnd r fr en kse D er denne prtikkelens treghetsmoment om ksen definert ved = m r ksen klles gjerne for momentkse i kn tenke oss t et legeme estår v mnge slike prtikler D får vi: Dersom et legeme estår v n prtikler der prtikkel nr i hr msse mi og vstnd ri fr en momentkse, er legemets treghetsmoment om denne momentksen n = i i= 1 mr i egg merke til t treghetsmomentet er ikke en egenskp ved et legeme slik for eksempel msse er Treghetsmomentet vhenger v legemets posisjon i forhold til momentksen prksis er det vnligvis ikke mulig å foret en summering slik definisjonen ovenfor ngir i entter heller integrsjon D ntr vi t legemet er gd opp v småiter, der en it med msse dm hr vstnd r fr ksen D får vi: Treghetsmomentet til et legeme om en kse er = rdm der r er vstnden fr et msse-element dm til ksen, og integrsjonen ts over hele legemet Denne definisjonen fører til t vi generelt må integrere i rommet, noe som krever kjennskp til trippelintegrl i skl imidlertid egrense oss til spesielle situsjoner der vi klrer oss med vnlige enkelt-integrl i skl også se på et pr hjelpesetninger som vil forenkle eregningen v treghetsmoment 6 Treghetsmomentet for en linje i et pln i skl nå eregne treghetsmomentet for et legeme som kn etrktes som en tnn linje i et pln i skl l momentksen stå vinkelrett på legemets pln i skl forutsette t det tnne legemet er homogent, noe som l inneærer t tettheten er konstnt For et slikt legeme er det nturlig å uttrkke tettheten i kg/m Dersom legemet hr lengde og msse m, og vi plukker ut et tilfeldig lite element med lengde ds og msse dm, er tettheten Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side m dm m ρ = = dm = ds ds D lir treghetsmomentet om en kse vinkelrett på legemets pln m m = rdm= r ds= rds der r er vstnden fr ksen til et ue-element ds, og vi integrerer over hele legemet Eksempel 61: Finn treghetsmomentet for en tnn stv med lengde og msse m om disse ksene: ) ksen står vinkelrett på stven gjennom stvens ene ende ) ksen står vinkelrett på stven gjennom stvens midtpunkt C (stvens mssesenter) øsning: ) Situsjonen er illustrert nedenfor: Her er d et lite msse-element på stven, mens er vstnden fr msse-elementet til ksen D lir treghetsmomentet om ksen gjennom : m m 1 m 1 1 = d m = = = ) Situsjonen er illustrert nedenfor: Nå lir treghetsmomentet om ksen gjennom C: m m 1 m 1 1 C = d ( ( ) ( ) ) m 1 = = = i skl senere vise t når vi kjenner treghetsmomentet til et legeme om legemets mssesenter, kn vi ruke Steiners setning (prllellkse-setningen) til å finne legemets treghetsmoment om enhver nnen kse prllell med ksen gjennom mssesenteret Neste eksempel er dskillig mer komplisert, og inneholder en integrsjonsteknisk finesse Eksempel 6: Finn treghetsmomentet for en tnn ring med rdius og msse m om en kse lngs en dimeter øsning: i vet t lengden v ringen er = π Så plsserer vi ringen med sentrum i origo som vist på figuren til venstre nedenfor, og ruker -ksen som momentkse i plukker ut et lite ue-element ds Nå lir integrsjonene enklest dersom vi entter vinkelen θ som integrsjonsvriel v figuren ser vi t = cosθ idere vet vi t når vinkler måles i rdiner, lir Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side ds dθ = ds = dθ D får vi: m θ= π m π = ds ( cos ) d = θ θ θ = π m π = cos θdθ π ntegrlet løses enklest når vi husker t 1 1 cos( θ ) = cos θ 1 cos θ = + cos ( θ ) D lir m π m π 1 1 m π 1 1 1 = cos θdθ ( cos ( θ) ) dθ θ sin ( θ) π = π + = π + m 1 1 1 1 m 1 = ( π + sin 4 ( 4π) sin 4 ) = π = m π π Oppgve 61 6 Treghetsmoment for plnt legeme For et plnt legeme (ei flte) er det nturlig å uttrkke tettheten i kg/m Dersom legemet er homogent, lir tettheten m dm m ρ = = dm = d d der m og er flts msse og rel, mens dm og d er msse og rel til et lite flte-element D lir treghetsmomentet om en kse gitt ved: m m = rdm= r d = rd der r er vstnden fr flte-elementet til ksen, og vi integrerer over hele flt i skl i første omgng egrense oss til et spesiltilfelle: Flt vgrenses v grfene til to funksjoner f og = f, og v de to rette linjene = og = Dessuten skl 1 = 1( ) ( ) vi l -ksen være momentkse Se figuren nedenfor til venstre r = d = f () - 1 1 = f 1 () Her merker vi oss t det skrverte flte-elementet med redde d og høde h= 1 hr vstnd fr - ksen og rel d = h d = ( 1) d Hvis > 1 når, lir flts treghetsmoment om -ksen m m = rd ( 1) d = Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 4 Eksempel 6: Finn treghetsmomentet til en rettvinklet treknt om en v trekntens kteter øsning: Setter t trekntens kteter hr lengder og Plsserer treknten i et koordintsstem som vist til venstre D vgrenses treknten v koordintksene og grfen til den rette linj = + 1 relet v treknten er = Treghetsmomentet om -ksen lir m m ( ) m = d d d d = + = + m m = + = + = 4 1 1 4 1 m 4 1 6 4 Hittil hr vi kun sett på treghetsmoment om -ksen Men vi kn finne treghetsmoment om - ksen på smme måte Oppgve 6 (Du får ruk for resulttene i neste oppgve) Dersom vi kjenner treghetsmomentene for ei pln flte som ligger i -plnet om åde - og -ksen, kn vi finne treghetsmomentet for flt om en kse som står vinkelrett på plnet gjennom origo ved hjelp v setningen nedenfor: Setningen om det polre treghetsmomentet: Et plnt legeme plsseres i -plnet Treghetsmomentene om -ksen og om -ksen klles henholdsvis og D lir treghetsmomentet om en kse vinkelrett på det plne legemet gjennom origo = + z Bevis: z r m Figuren viser et plnt legeme som ligger i -plnet vstnden fr origo til et mssepunkt m i er r i v figuren ser vi t ri = i + i D lir treghetsmomentet til det plne legemet om z- ksen = mr = m + ( ) z i i i i i = m + m = + Nedenfor ser du et eksempel på ruken v denne setningen i i i i Eksempel 64: Finn treghetsmomentet til en rettvinklet treknt om en kse vinkelrett på treknten gjennom ktetenes skjæringspunkt Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 5 øsning: Fr Eksempel 1 vet vi t treghetsmomentet for treknten om - 1 ksen er = m En omtting v - og - ksene gir direkte 6 1 t treghetsmomentet om -ksen må lir = m D lir 6 treghetsmomentet om z-ksen (en kse vinkelrett på plnet gjennom origo) 1 1 1 1 = + = m + m = m + = ml z ( ) 6 6 6 6 der den siste omformingen følger direkte v Ptgors Oppgve 6 64 Treghetsmoment for rotsjonssmmetrisk legeme i skl igjen forutsette t legemet er homogent, slik t tettheten ρ er gitt ved m dm m ρ = = dm = d d der m er mssen og er volumet til legemet D lir treghetsmomentet til et romlegeme om en kse gitt ved m m = rdm= r d = rd der vi må integrere over hele legemet Generelt vil det kreve et trippel-integrl Men noen gnger kn vi klre oss med vnlige integrl Dette gjelder spesielt hvis legemet er rotsjonssmmetrisk og smmetriksen er momentkse D kn vi eregne treghetsmomentet ved hjelp v slinderskllmetoden som du forhåpentlig kjenner fr før r = ( ) = f r = h= f ( ) g( ) h= f ( ) g( ) ( ) = g For sikkerhets skld skl vi repetere hovedtrekkene ei flte i -plnet være vgrenset v grfene til de to funksjonene 1 = f ( ) og = g( ), linjene = og = slik figuren til venstre ovenfor viser Jeg skffer meg et rotsjonslegeme med -ksen som smmetrikse ved å rotere denne flt om -ksen inj PQ som hr vstnd fr ksen skper d ei slinderflte med rel = π h = π( f ( ) g( ) ) Utenpå denne slinderflt legger vi et tnt sjikt med tkkelse d D får vi et slinderskll med volum d = d = π f g d ( ( ) ( )) Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 6 slik t treghetsmomentet til hele legemet om -ksen lir = m = m = dm = d π ( f ( ) g ( ) ) d = = = π m = ( f ( ) g ( )) d Noen gnger må vi også finne volumet til legemet Det gjør vi også med slinderskll- metoden: = π ( f ( ) g( ) ) d nnsetting og forkorting v π gir nå t treghetsmomentet om -ksen lir = m ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f g d f g d Prøv selv å sette opp formel for treghetsmomentet om -ksen når -ksen er smmetrikse! Eksempel 65: En rett slinder hr høde h og sirkelformet rdius Finn treghetsmomentet til denne slinderen om smmetriksen øsning: et t volumet v en slinder er = π h formelen for treghetsmoment settes f ( ) = h og g( ) =, og vi får t treghetsmomentet om -ksen lir π m π m m ( ( ) ( )) = f g d ( h ) d h d = π h = h m 1 4 m 1 4 1 = = = m 4 4 Eksempel 66: En rett kjegle hr høde h og sirkelformet rdius Finn treghetsmomentet til denne kjeglen om kjeglens smmetrikse øsning: et t kjeglen hr volum h koordintksene og grfen til den rette linj = + h roterer om -ksen (se figur til 1 = π h Kjeglen frmkommer når flt vgrenset v h Eksempel 1) formelen for treghetsmoment settes d f ( ) = + h og g( ) =, og vi får t treghetsmomentet om -ksen lir πm πm h = ( f ( ) g( ) ) d h d 1 = π h + 6m 4 6m h 1 5 1 4 = d h d h 5 4 h h + = h + 6m 1 4 1 4 = ( h + h 5 4 ) = m 1 h Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 7 Eksempel 67: Finn treghetsmomentet for ei kule med msse m og rdius om en kse gjennom kuls sentrum øsning: r = h= = Her hr jeg stt inn t volumet v ei kule er Figuren til venstre viser den sirkeluen som roterer om - ksen, og som dnner øvre hlvkule Nedre hlvkule lir helt lik D lir treghetsmomentet om -ksen: π m = ( ) d π m = ( )( d) 4 π 4 = π, og hr husket t når nedre hlvkule ts = idere hr jeg foreredt sustitusjonen med lir høden h du =d u = = u Jeg setter inn, forkorter, og entter t når = er u =, og når = er u = D lir m 1 m m 5 = ( u)( u)( du) ( u u ) du u u 5 = = m 5 m 4 5 = ( 5 ) = = m 15 5 Oppgve 64 65 Smmenstte legemer nt t et legeme er stt smmen v to ndre legemer som hr treghetsmoment = rm og rm 1 i i 1 = i i om smme momentkse Det smmenstte legemet får d treghetsmoment = rm= rm+ rm= i i i i i i 1+ 1+ 1 Denne formelen kn lett utvides til flere del-legemer i kn ltså legge smmen treghetsmomentene til de to legemene prinsippet er dette enkelt prksis kn det oppstå prolemer fordi den formelen for treghetsmomentet til det smmenstte legemet som vi skl frm til, inneholder mssen til hele legemet, mens formlene for treghetsmomentene til del-legemene inneholder mssene til disse del-legemene Dersom dellegemene hr smme tetthet kn vi løse dette prolemet slik: m1 og 1 være henholdsvis msse og volum til del-legeme 1, mens m og er msse og volum til hele det smmenstte legemet D er m1 m 1 ρ = = m1 = m 1 På denne måten finner vi mssen til hvert del-legeme uttrkt ved mssen til hele legemet Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Eksempel 68: Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 8 Et legeme med msse m estår v en rett slinder med rdius og høde H, som hr en rett kjegle med rdius og høde H festet til toppflten Slinderen og kjeglen hr felles smmetrikse Finn treghetsmomentet til legemet om smmetriksen øsning: Slinderen hr volum S = π H, mens kjeglen hr volum volum for hele legemet er d 1 H H 4 = + = π + π = π H S K m være mssen til det smmenstte legemet Slinderens msse lir d S π H ms = m = m = m, 4 4 π H mens kjeglens msse lir 1 π H K 1 mk = m = m = m 4 4 π H i hr llerede funnet t slinderens treghetsmoment om smmetriksen er 1 S = m S, og t kjeglens treghetsmoment om smmetriksen er K = m 1 K egemets treghetsmoment om smmetriksen lir d 1 1 1 9 = + = m + m = m + m = m S K S 1 K 4 1 4 K 1 = π H Smlet i kn ruke smme prinsipp dersom vi fjerner en it fr et legeme Dersom et legeme med treghetsmoment frmkommer ved t vi fjerner en it med treghetsmoment 1 fr et nnet legeme med treghetsmoment, lir = 1 Det forutsettes t lle treghetsmomentene regnes om smme kse Eksempel 69: Et legeme med msse m frmkommer ved t en hlvkuleformet hulning med rdius freses ut v toppflten i en slinder med høde H = og rdius Hlvkul og slinderen hr felles smmetrikse Finn treghetsmomentet til dette legemet om smmetriksen øsning: olumet til legemet er 1 4 4 = = π H π = π π = π S 1 K Mssen til slinderen (før utfresingen v hlvkul) vr S π ms = m = m = m, 4 π mens mssen v den utfreste hlvkul er Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 9 1 4 1 K π 1 m1 = m = m = m K 4 π Treghetsmomentet til slinderen (før utfresingen v hlvkul) vr 1 1 = m = m = m S S 4 Hlvkul hr hlvprten så stort treghetsmoment (om smmetriksen) som ei hel kule Men mssen til hlvkul er også hlvprten så stor som mssen til ei hel kule Dermed får vi t 1 1 1 1 = m = m = m = m = m ( k) ( ) ( ) 1 K 5 k 5 5 1 K 5 5 lt i lt lir nå treghetsmomentet til legemet vårt om smmetriksen 1 11 = = m m = m S 1 K 4 5 Eksempel 61: Bruk dette prinsippet til å finne formelen for treghetsmomentet til en hul slinder med msse m, indre rdius 1 og tre rdius øsning: i tenker oss t den hule slinderen frmkommer ved t vi strter med en mssiv 1 slinder med volum 1 = π 1 H og treghetsmoment 1 = m 1 1 Så freser vi ut en slinder 1 med volum = π H og treghetsmoment = m Når mssen til den hule slinderen er m, lir mssene til disse to slinderne: 1 1 H m = 1 m m m = π π H π1 H = 1, 1 H m = m m m = π π H π1 H = 1 D lir treghetsmomentet til den hule slinderen 1 1 1 m 1 m1 = 1 = m m 1 1 = 1 ( + )( ) 1 1 = = = + 4 4 1 1 1 1 1 1 m m m 1 1 ( 1 ) Dette resulttet kn vi også finne ved å entte frmgngsmåten i Eksempel 65, og integrere fr til 1 En liten kontroll til slutt: Dersom slinderveggen er så tnn t 1 =, lir treghetsmomentet = m 1 ( + ) = m Det er jo helt nturlig, siden lle mssepunktene d hr smme vstnd fr ksen Oppgve 65 Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 66 Steiners setning (prllellkse-setningen) Det er vnlig t teller oppgir formler for treghetsmoment om en kse gjennom legemets mssesenter Dersom vi hr ruk for treghetsmomentet til legemet om en nnen kse prllell med ksen gjennom mssesenteret, kn vi ruke setningen nedenfor: Steiners setning (prllellkse-setningen): C være treghetsmomentet for et legeme med msse m om en kse gjennom mssesenteret P være treghetsmomentet for dette legemet om en nnen kse som er prllell med ksen gjennom mssesenteret, i vstnd D fr denne D er = + md P C Beviset for setningen er litt kronglete, og er dttet ut i et vedlegg i skl heller se på hvordn setningen kn rukes Eksempel 611: is t resulttene fr Eksempel 61 stemmer med Steiners setning 1 øsning: i fnt t stvens treghetsmoment om mssesenteret vr C = m Steiners 1 setning gir nå t treghetsmomentet om en prllell kse gjennom et endepunkt er 1 1 1 1 = + m = m + m = m C ( ) 1 4 Dette stemmer med resulttet i Eksempel 61 Eksempel 61: Beregn treghetsmomentet til en slinder om en kse lngs slinderens sideknt, prllelt med smmetriksen 1 øsning: Siden treghetsmomentet for en slinder om smmetriksen er C = m, og mssesenteret ligger på smmetriksen, lir treghetsmomentet om en kse lngs en sideknt i vstnd fr smmetriksen 1 = + m = m + m = m P C Oppgve 66 Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1