Fasthetslære. HIN Teknologisk avd. RA Side 1 av 8

Transkript

1 HIN Teknologisk vd. R Side 1 v 8 sthetslære Irgens: utdrg fr kp. 11. Hieler: Kp 8+9. Konstruksjonsmteriler Konstruksjonsmteriler er fste stoffer og skl i tillegg skl h god evne til å henge smmen. Deres evne til å eholde sin form og å henge smmen vil vi etegne fstheten. K R R 1 Et tårn er elstet med krften K. I tillegg kommer tårnets egentyngde. Det løper krefter gjennom tårnets konstruksjonsdeler. Et gitt sted i tårnet skl en del v tårnets konstruksjon overføre en krft. Denne krften skl fordele seg i mterilet på stedet. I noen tilfeller (f.eks. i en trykkstv, slik det kn være her) kn vi regne med t krften fordeler seg jevnt i tverrsnittet. D vil spenningen i mterilet være (en trykkspenning i dette tilfellet). Mterilfsthet. Spenning i mteriler Tårnet må være lget v et mteril som tåler å overføre kreftene. Er kreftene store, må vi enten ruke mye mteril (grove dimensjoner) eller ruke et sterkt mteril = et mteril med høy fsthet. Konstruksjonsmteriler som inngår i en konstruksjon hr som oppgve å overføre krefter. nt t krften i en del v tårnet er kjent, 5 kn = 5000 N. Dersom denne krften fordeler seg jevnt over tverrsnittet v en konstruksjonskomponent med rel 50 mm lir spenningen i mterilet 5000 N 100 N/mm 50 mm

2 HIN Teknologisk vd. R Side v 8 Regnestykket vr enkelt og greit, men vi ønsker å ruke metriske enheter: m = 1000 mm. 1 m 1000 mm 10 mm, og omvendt: 1 mm m 10 m Regnestykket med metriske enheter lir: 5000 N m N/m P = 100 MP or 0-30 år siden vr det vnlig i Norge å oppgi spenning i mteriler i N/mm. I dg skl mn ifølge stndrder ruke megpscl, MP. Heldigvis ser mn v regnestykket t 1 MP = 1 N/mm, så det lir ikke noen omregning. Trykkspenning og strekkspenning. En krft som forårsker strekk i et mteril er pr. definisjon en positiv krft. Dermed lir en trykkspenning en negtiv krft. Likeledes lir strekkspenning positiv og trykkspenning negtiv. Det er ikke lltid enkelt å eregne hv spenningene er på forskjellige steder i en konstruksjon. En jelke er et lngt stykke mteril som rukes på en slik måte t det lir øyepåkjenninger. I en jelke vil det oppstå åde trykk- og strekkspenninger, se figuren. Bjelke. Mn kn se t det er strekkspenninger i overknten og trykkspenninger i underknten på denne jelken. Det lir et mer komplisert regnestykke å finne verdien på spenningene.

3 HIN Teknologisk vd. R Side 3 v 8 Spenningstyper Spenninger eregnes som krft fordelt på en flte. De kreftene vi etrkter inne i mterilene er snitt-krefter. Vi ser ort fr momenter (krftpr) siden disse kn dels opp i strekk- og trykkområder. Dermed er det to typer snittkrefter, normlkrft, N og skjærkrft, V. Ut fr dette defineres to typer spenninger: Normlspenning Skjærspenning N V ormlene over kn rukes for vilkårlige flter når vi kn nt t krften er jevnt fordelt over hele flten. Hvis krften ikke fordeler seg jevnt over snittflten, må mn gjøre en nlyse og utvikle formler for spenningene. Mterilers respons på spenning. Elstisk og plstisk deformsjon. Hvis mn drr i en gummistrikk forlenges den. Så går den tilke til sin opprinnelige form og lengde når dr-krften fjernes. Hvis en lng stålstng øyes litt, vil den fjære tilke til utgngspunktet når lsten fjernes. Disse deformsjonene klles elstiske. Hvis stålstngen øyes krftig, vil den få en vrig formendring. Dette klles en plstisk deformsjon. Merk spesielt t når mn vil øye stålet til en estemt form, må mn øye litt ekstr v hensyn til tilkefjæringen. Den elstiske ndelen v deformsjonen er ltså til stede helt til de ytre kreftene fjernes. Lngt fr lle mteriler kn deformeres plstisk. Strikken går lltid tilke til opprinnelig form, med mindre mn elster så den ryker. Det smme gjelder en glsstv som

4 HIN Teknologisk vd. R Side 4 v 8 øyeelstes. Derimot vil lle mteriler deformeres elstisk under elstning. Dersom du drr i en stålstv, lir den fktisk litt lenger! Ikke mye nturligvis, men litt. L en stng med lengde l 0 li elstet med en liten strekkrft. Stngen vil d forlenges med et lite stykke l. l l 0 Et stykke duktilt metll (for eksempel en spiker) elstes så krftig med øyning t det lir plstisk deformsjon på midten. Når lsten ts vekk vil det li en tilkefjæring. l Vi definerer tøyningen som l0 I prksis må vi måle lengden før og etter, l disse være hhv. l 0 og l, d lir tøyningen: l l0 l 0 Tøyningen er dimensjonsløs, og lir et røk-tll, en desimlrøk. Mn kn gnge med 100 og få prosenttllet. Den smlede deformsjonen er lik summen v elstisk og plstisk deformsjon. ltså totl tøyning er elstisk plstisk lyt, flytespenning Dersom et mteril hr evnen til plstisk flyt, sier vi det er duktilt. Den spenningen som skl til for å få et mteril til å flyte klles flytespenningen og etegnes i konstruksjonseregninger med f y. Elstisk deformsjon, Hooke s lov. Elstiske mterilprmetere Så lenge vi ikke får rudd eller plstisk deformsjon, gjelder Hooke s lov for mteriler:

5 HIN Teknologisk vd. R Side 5 v 8, eller E E E er proporsjonlitetskonstnten ved elstisk deformsjon uttrykt som tøyning. Denne klles elstisitetsmodulen, forkortet E-modulen, og uttrykker mterilstivheten Den hr smme enhet som spenningen, men er for mnge mteriler et stort tll og ngis oftest i gigpscl, GP. Den hr meget stor vrisjon. Gummi hr lv E-modul, ned mot 0,001 GP (1 MP). Stiv plst hr E-modul omkring 1 GP. Trevirke er omkring 10 GP ved elstning i fierretningen. Betong ligger omkring 30 GP. Glssfierkompositt er typisk GP, luminium 70 GP, stål 00 GP og høymodul kronfierkompositt kn være opp mot 400 Gp i firenes retning. Hooke s lov gjelder under forutsetning v t den elstiske grensen ikke er overskredet. Den elstiske grensen er det smme som ruddgrensen for sprø mteriler. or duktile mteriler er den elstiske grensen den spenningen der det lir plstisk (vrig) deformsjon. iguren under viser strekkprøving v en luminiumslegering. Mn ser t flytegrensen ligger omkring 80 MP Strekkprøving v luminium (HiN-L) ndre elstiske mterilprmetere Når mn legger en strekkspenning på et prøvestykke, lir det en forlengelse. Dessuten lir prøvestykket tynnere. Denne grden v tynning, vrierer noe mer forskjellige mteriler, og er definert med Poisson-tllet,. l l0 l l l 0 0 Poissontllet er forholdet mellom tøyningene på lngs og på tvers, legg merke til fortegnet: l l 0 t Poissontllet vrierer mellom 0 og 0,5. Det kn vises t poissontll 0,5 tilsvrer t

6 HIN Teknologisk vd. R Side 6 v 8 volumevring under elstningen (trykk eller strekk). Kompkte og meget myke mteriler hr poissontll opp mot 0,5 (eks. gummi). Kompkte og stive mteriler hr poissontll omkring 1/3 (stål og luminium, de fleste metller). Porøse mteriler hr lvere poissontll (grått støpejern, etong, kork). MP Nominell Herdet stål Nominell 600 Herdet luminium MP HDPE Gummi 0 Duktilt stål GRP 0,5 % Nominell 0 % 5 % 100 % Nominell Prinsipielle spenning -tøynings kurver for noen mteriltyper Kurven for duktilt stål hr en liten "vsts" der mterilet flyter ved konstnt spenning. GRP er glssfier rmert plst, f.eks. epoxyimpregnert glssfierduk herdet ved 160 C. HDPE er High Density Polyetylen en plsttype. Kurvene er ment som illustrsjon. Isotropi og nisotropi Mterilene som er omtlt under Hooke's lov nses for å være isotrope. Det vil si t de mekniske egenskpene er like i lle retninger. Det er åpenrt t firete mteriler ikke er isotrope, men nisotrope. Trevirke hr E-modul omkring 10 GP i fierretningen. På tvers v firene er E-modulen lngt lvere. Kller vi E- modulen i fierretningen for E, kn vi klle E-modulen på tvers v fierretningen E. x Dermed lir Poissontllet også mer komplisert, idet det nå åde vil finnes xy og yx. Det smme vil gjelde for fierrmerte kompositter, der firene legges i ønskede retninger for å optimlisere egenskpene. Legg merke til t fierkompositter v denne typen lltid hr to retninger (x- og y), som kn kontrolleres med firene og en z-retning (ut v plnet), der det ikke er forsterkning v fire. Meknisk nisotropi finner mn også i vlsede metllplter. Vlsingen påvirker mterilegenskpen og gir forskjellige egenskper i vlseretning, på tvers v vlseretningen, smt på tvers v plteplnet. y

7 l l HIN Teknologisk vd. R Side 7 v 8 Beregninger med elstiske mteriler Eksempel 1 Stål hr E-modul 10 GP. sthetsklssen v stål, S355, hr flytegrense 355 MP. En 5 meter lng stng v stål S355 elstes så den forlenges noen cm. Hr den egynt å flyte? Kn vi regne ut spenningen ut fr E-modulen? P 3 Tøyning ved flyt: E 1, E 1010 P L 3 3 orlengelse ved flyt: L L 51, ,45 10 m 8,45 mm L Når stngen forlenges mer enn 8,45 mm vil den flyte. Svret er: J, den hr egynt å flyte. Og: Nei, vi kn ikke eregne spenningen ved hjelp v E-modulen. Ønsker vi å vite spenningen må vi ruke en strekkprøvingskurve for det ktuelle metllet. Eksempel En stiv jelke B med tyngde 180 kn er opphengt i stver, se figuren. Det er 3 stver i lt, to stver v typen med lengde l og en stv v typen med lengde l. Stvene er lget i luminium: Tverrsnitt 1000 mm, E-modul E 70 GP og flytespenning f 150 MP. y Stven er lget v stål: Tverrsnitt 800 mm, E- modul E 10 GP og flytespenning f 50 MP. Vi skl eregne kreftene som virker i stvene. y B N N 180 kn N Vi kn formulere 3 likevektsligninger. Ligningen x 0 gir ingen opplysninger d ll lst er vertikl. En momentligning gir smme opplysning som symmetrietingelsen, nemlig t kreftene i de to stvene v type er like. D står vi igjen med: 180 kn y 0: N N (1) Det er to ukjente krefter. Prolemet er ltså sttisk uestemt. Vi trenger en til ligning for å kunne løse prolemet. Dette t jelken regnes å være stiv etyr t stvene og forlenges like mye, og vi kn formulere en forskyvningsetingelse: l l l l () N r mterilligningene og E får vi så

8 HIN Teknologisk vd. R Side 8 v 8 N N E og (3) E N N E (4) E (3) og (4) settes inn i (): N N l l N 4,8N (5) E E som settes inn i (1) N 4,8N 180 N 6.5 kn innstt i (5) får vi så N 17 kn. Beregningene forutsetter t elstisk grense ikke er overskredet. Vi må kontrollere t flytespenningene ikke er overskredet: N 6, 4 MP f y(l). OK N 160 MP f y( stål). OK Dermed kn vi konkludere: N 6.5 kn og N 17 kn