Kosmologisk perturbasjonsteori: Einsteintensoren vender tilbake

Transkript

1 Kosmologisk perturbsjonsteori: Einsteintensoren vender tilbke Vi hr funnet Boltzmnnligninger for fotoner, bryoner og mørk mterie. Om vi hdde ønsket det, kunne vi også stt opp ligningene for msseløse nøytrinoer. De hr den smme venstresiden df/dt som for fotonene, men de vekselvirker så svkt seg imellom og med omgivelsene t de kn regnes som kollisjonsløse, og dermed blir høyresiden lik null. Oppskriften for å sette opp Boltzmnnligninger kn oppsummeres slik: Strt med df dt = C[f]. Skriv ut df/dt, regn ut de nødvendige koeffisienter forn de forskjellige leddene til 1. orden i perturbsjonene ved å bruke geodetligningen. For fotoner og msseløse nøytrinoer: sett inn rekkeutvikling v fordelingsfunksjonen f, bestem df/dt til 1. orden. Regn ut kollisjonsleddet til smme orden. For nøytrinoer er det lik null. For CDM og bryoner: t de to lveste momentene v Boltzmnnligningen, neglisjer lle ledd v orden p /E og høyere. For bryonene er det også et kollisjonsintegrl som må regnes ut. Skift til konform tid dη = dt/. Fouriertrnsformer ligningene. Husk t under en fouriertrnsformsjon. x i ik i = ik i Når vi tr med rubbel og bit v ulike komponenter, og i tillegg tr hensyn til t strålingsfeltet kn være polrisert, ender vi opp med syv ligninger med ni ukjente. Med ndre ord trenger vi to nye ligninger for å lukke systemet. Hittil hr vi ikke sgt noe som helst om hvordn perturbsjonene i metrikken, Ψ og Φ, utvikler seg i tiden. De to ligningene vi trenger er de som bestemmer deres tidsutvikling. Disse får vi fr Einsteinligningen. Du vet hv det betyr: en ny runde med beregninger. 1

2 Slme ved reisens begynnelse Melodi: Postmnn Pt Perturber! Perturber! Sett opp metrikken og perturber! Vi skl regne lenge, ndre orden slenge, til vi hr funnet lle ligninger! Gi meg Γ! Gi meg R! D kn vi regne ut en vkker G! Så må vi tenke riktig, slite helt vnvittig, og få med lt som bidrt til vår T. Ble det null, eller tull? Føles ditt hode som et lite, sort hull? L din hjerne hvile, ldri må du tvile på t slitet er verdt sin vekt i gull. Perturbert Einsteinligning Utviklingen v Ψ og Φ er bestemt v energi-impulstensoren T µν gjennom G µν = 8πGT µν. Strtegien er i prinsippet enkel: vi regner ut venstresiden og høyresiden til første orden i perturbsjonene. Jeg minner om t metrikken er gitt ved g 00 = 1 Ψ x, t g 0i = 0 g ij = tδ ij [1 + Φ x, t]. Vi må regne ut Einsteintensoren, hvilket betyr t vi først må regne ut Christoffelsymbolene, deretter Riccitensoren, så Riccisklren, før vi endelig er de lykkelige eiere v en Einsteintensor. Vi strter med Γ 0 µν. For å spre litt skriving bruker jeg notsjonen / xµ =,µ. Γ 0 µν = 1 g0α g αµ,ν + g αν,µ g µν,α = For µ = ν = 0 får vi 1 + Ψ g 0µ,ν + g 0ν,µ g µν,0. Γ 0 00 = 1 + Ψ g 00,0 = 1 + Ψ Ψ,0 = Ψ,0 Ψ,0, der betegner t vi gjennomfører en fouriertrnsformsjon. Formelt sett burde vi bruke en notsjon som skilte mellom Ψ og dens fouriertrnsformerte og

3 tilsvrende for ndre størrelser, men vi følger Dodelson og lr det være. Potensielt forvirrende, men skånsomt mot mine håndledd og skuldre. Nok preik, l oss fortsette med µ = 0, ν = i: Γ 0 0i = 1 + Ψ g 00,i + g 0i,0 g 0i,0 = og dette er også lik Γ 0 i0. Videre 1 + Ψ Ψ,i = Ψ,i ik i Ψ, Γ Ψ ij = g 0i,j + g 0j,i g ij,0 1 + Ψ = δ ij [ 1 + Φ] = 1 Ψ [ δ ij d ] Φ 1 + Φ + dt [ = δ ij 1 Ψ d ] dt + d Φ Φ + dt [ = δ ij d dt + d dt Φ + Φ,0 d ] dt Ψ = δ ij [H + HΦ Ψ + Φ,0 ] δ ij [H + HΦ Ψ + Φ,0 ]. Så fortsetter vi med Γ i µν = 1 giα g αµ,ν + g αν,µ g µν,α ] = 1 gii g iµ,ν + g iν,µ g µν,i. Vi hr t g ii = 1 + Φ slik t g ii = 1 Φ/ til første orden. Det gir Dermed Γ i µν = 1 1 Φg iµ,ν + g iν,µ g µν,i. Γ i 00 = 1 Φ g i0,0 + g i0,0 g 00,i = 1 Φ Ψ,i = 1 Ψ,i ik i Ψ. Γ i j0 = 1 Φ g ij,0 + g i0,j g j0,i = 1 Φ = 1 Φ δ ij δ ij 1 + Φ d dt + 4d dt Φ + Φ,0 = 1 Φδ ij H + HΦ + Φ,0 = δ ij H + HΦ + Φ,0 HΦ = δ ij H + Φ,0 δ ij H + Φ,0. 3

4 der Dermed Γ i jk = 1 Φ g ij,k + g ik,j g jk,i, g ij,k = δ ij x k 1 + Φ = δ ij Φ,k δ ij ik k Φ. Γ i jk 1 Φ Φδ ij ik k + δ ik ik j δ jk ik i = iφδ ij k k + δ ik k j δ jk k i. Dette vr gøy, og heldigvis er ikke moro på lngt nær over. Nå skl vi t ftt på Riccitensoren, den vidunderlige tensoren som generelt er gitt ved Først finner vi der bidrget fr ledd med α = 0 blir R µν = Γ α µν,α Γ α µα,ν + Γ α βαγ β µν Γ α βνγ β µα. R 00 = Γ α 00,α Γα 0α,0 + Γα βα Γβ 00 Γα β0 Γβ 0α, Γ 0 00,0 Γ0 00,0 + Γ0 β0 Γβ 00 Γ0 β0 Γβ 00 = 0, slik t vi bre trenger å se på t α = i, en romlig indeks. De enkelte bidrgene blir d Γ i 00,i = ik i Ψ,i ki k i Ψ = k Ψ, i i Γ i 0i,0 = H + Φ, 0 i dh 3 dt + Φ,00 d /dt = 3 H + Φ,00 Γ i iβγ β 00 = Γi i0γ Γ i ijγ j 00 3HΨ,0, der bre det første leddet bidrr til 1. orden, siden en rsk titt på det ndre leddet vil vise deg t det er v. orden i perturbsjonene. Deretter: Γ i β0γ β 0i = Γ i 00Γ 0 0i Γ i j0γ j 0i = δ ij δ ji H + Φ,0 H + Φ,0 i j 3H + HΦ,0 4

5 der det første leddet i øverste linje ikke bidrr, siden det er v. orden i perturbsjonene. D kn vi smle smmen bitene: R 00 = k Ψ /dt 3d + 3H 3Φ,00 + 3HΨ,0 3H 6HΦ,0 Nå skl vi regne ut R ij : = 3 d /dt Vi tr for oss de enkelte leddene: k Ψ 3Φ,00 + 3HΨ,0 Φ,0. R ij = Γ α ij,α Γα iα,j + Γα βα Γβ ij Γα βj Γβ iα. Γ α ij,α = Γ 0 ij,0 + Γ k ij,k δ ij [ H + HΦ Ψ + Φ,0 ] + k = δ ij { d dt [H + HΦ Ψ + Φ,0] + [ d /dt H + d /dt H Φ Ψ + HΦ,0 Ψ,0 + Φ,00 ]} + k Andre ledd: k k δ ki k j + δ kj k i δ ij k k Φ = δ ij { d dt [H + HΦ Ψ + Φ,0] + [ d /dt H + d /dt H Φ Ψ + HΦ,0 Ψ,0 + Φ,00 ]} + k i k j k j k i + δ ij k Φ = δ ij { d dt [H + HΦ Ψ + Φ,0] + [ d /dt H + d /dt H Φ Ψ + HΦ,0 Ψ,0 + Φ,00 ]} k i k j Φ + δ ij k Φ. ik k iφδ ki k j + δ kj k i δ ij k k Γ α iα,j = Γ 0 i0,j Γk ik,j ik i ik j Ψ k ik j iφδ ki k k + δ kk k i δ ik k k = k i k j Ψ + k k j Φδ kk k i = k i k j Ψ + 3k i k j Φ. 5

6 Tredje ledd: Γ α βαγ β ij = Γ α 0αΓ 0 ij + Γ α kαγ k ij δ ij [H + HΦ Ψ + Φ,0 ]Ψ,0 + δ ij [H + HΦ Ψ + Φ,0 ] δ mm H + Φ,0 m = δ ij HΨ,0 + 3δ ij H[H + HΦ Ψ + Φ,0 ] + 3δ ij HΦ,0 = δ ij [ HΨ,0 + 3 H + 6 H Φ Ψ + 6 HΦ,0 ]. Det ndre leddet i første linje vr v ndre orden i perturbsjonene og ble derfor droppet. Fjerde ledd: Γ α βjγ β iα = Γ α 0jΓ 0 iα Γ α kjγ k iα = Γ 0 0j Γ0 i0 Γm 0j Γ0 im Γ0 kj Γk i0 Γm kj Γk im 0 m δ mj H + Φ,0 δ im [H + HΦ Ψ + Φ,0 ] k δ kj [H + HΦ Ψ + Φ,0 ]δ ki H + Φ,0 0 = δ ij H + Φ, 0[H + HΦ Ψ + Φ,0 ] δ ij H + Φ, 0[H + HΦ Ψ + Φ,0 ] = δ ij [H + H Φ Ψ + HΦ,0 ] Dermed kn vi sette leddene smmen: R ij = δ ij { d dt [H + HΦ Ψ + Φ,0] + [ d /dt H + d /dt H Φ Ψ + HΦ,0 Ψ,0 + Φ,00 ]} k i k j Φ + δ ij k Φ + k i k j Ψ + 3k i k j Φ + δ ij [ HΨ,0 + 3 H + 6 H Φ Ψ + 6 HΦ,0 ] δ ij [H + H Φ Ψ + HΦ,0 ] = k i k j Φ + Ψ + δ ij [ H + 4 H Φ Ψ + H Φ,0 + d dt H + d /dt H Φ Ψ + HΦ,0 Ψ,0 + Φ,00 + k Φ + HΨ,0 + 3 H + 6 H Φ Ψ + 6 HΦ,0 H 4 H Φ Ψ 4 HΦ,0 ] = k i k j Φ + Ψ + δ ij [4 H Φ 4 H Ψ + HΦ,0 + d dt + H + d dt Φ d dt Ψ H Φ + H Ψ + HΦ,0 HΨ,0 + Φ,00 + k Φ + HΨ,0 + 6 H Φ 6

7 6 H Ψ + 6 HΦ,0 4 H Φ + 4 H Ψ 4 HΦ,0 ] = k i k j Φ + Ψ + δ ij [ d dt + H + 4 H Φ + d dt Φ 4 H Ψ d dt Ψ + 6 HΦ,0 HΨ,0 + Φ,00 + k Φ] = k i k j Φ + Ψ + δ ij [ d dt + H + d dt + H Φ d dt + H Ψ + H6Φ,0 Ψ,0 + Φ,00 + k Φ] = k i k j Φ + Ψ + δ ij [ H + d 1 + Φ Ψ dt + H6Φ,0 Ψ,0 + Φ,00 + k Φ]. Etter dette er det bre en ting vi hr lyst til: å regne ut Riccisklren. Og det får vi lov til nå: R = g µν R µν = g 00 R 00 + g ij R ij = 1 + Ψ [ 3 d /dt ] k Ψ 3Φ,00 + 3HΨ,0 Φ,0 + 1 Φ δ ij {k i k j Φ + Ψ + δ ij [ H + d 1 + Φ Ψ dt i j + H6Φ,0 Ψ,0 + Φ,00 + k Φ]} = 1 + Ψ[ 3 d /dt k Ψ 3Φ,00 + 3HΨ,0 Φ,0 ] + 1 Φ {k Φ + Ψ + 3[ H + d 1 + Φ Ψ dt + H6Φ,0 Ψ,0 + Φ,00 + k Φ]}. Vi kn skille ut nullteordensbidrget: 3 d /dt + 6H + 3 d /dt = 6 H + d /dt. og sitter d igjen med Det Herlige Førsteordensbidrget lovet være dets ledd δr = k Ψ + 3Φ,00 3HΨ,0 Φ,0 6 d /dt Ψ + k Φ + Ψ + 6 H + d /dt Φ Ψ + 3H6Φ,0 Ψ,0 + 3Φ, k Φ 6 H + d dt Φ = k Ψ + 4k Φ + 6Φ,00 3HΨ,0 + 6HΦ,0 6 d /dt Ψ 7

8 1H Ψ 6 d /dt Ψ + 18HΦ,0 3HΨ,0 = 1Ψ H + d /dt k Ψ + 6Φ,00 6HΨ,0 4Φ,0 + 4 k Φ. Vi hr to ukjente, Φ og Ψ, og skl nå forsøke å lge to ligninger. Av forskjellige grunner er det enklere å hnskes med T ν µ enn med T µν eller T µν, så vi skl bruke Einsteinligningen på formen G µ ν = 8πGT µ ν. Det betyr selvfølgelig t vi må gjennom en ny runde med utregninger for å heve en indeks på tensorene vi hr regnet ut. Jippi. Vi setter opp 00-komponenten v ligningen, og husker t G µ ν = g µα G αν. D får vi t G 0 0 = g 0α G α0 = g 00 G 00 = g R g 00R = 1 + ΨR 00 1 R = 1 + Ψ [ 3 d /dt + 6Ψ H + d /dt + 3HΨ,0 4Φ,0 k Φ ] k Ψ 3Φ,00 + 3HΨ,0 Φ,0 k Ψ 3Φ,00 og med kun førsteordensleddene ttt med blir dette δg 0 0 = k Ψ + 3Φ,00 3HΨ,0 Φ,0 6Ψ d /dt + 6Ψ H + d /dt k Ψ 3Φ,00 + 3HΨ,0 4Φ,0 k Φ = 6HΦ,0 + 6H Ψ k Φ. Bidrget til energi-impulstensoren fr en komponent med fordelingsfunksjon f i og ntll indre frihetsgrder lik g i er gitt ved T ν µ dp1 dp dp 3 = g i π 3 detg αβ 1/ P µ P ν P 0 f i x, p, t. Siden metrikken er digonl, er det en sml sk å regne ut determinnten: detg µν = Ψ1 + Φ 3 = Ψ1 + 6Φ = Ψ + 6Φ, 8

9 og dermed er detg µν 1/ = Ψ + 6Φ 1/ = 3 1 Ψ 3Φ, Vi ser på bidrget fr fotonene de ndre er mye enklere. For disse fnt vi tidligere t og d blir og P 0 = p1 Ψ = E1 Ψ P i = pˆp i1 Φ, P 0 = g 0µ P µ = g 00 P 0 = 1 + ΨE1 Ψ = E1 + Ψ, P i = g iµ P µ = g ii P i = 1 + Φpˆp i1 Φ = pˆp i 1 + Φ. D finner vi t T Φ 3 d 3 p = g i π Ψ 3Φ P 0 P 0 P 0 f i x, p, t d 3 p = g i π Φ1 Ψ 3Φ1 + ΨEf i x, p, t = g i d 3 p π 3 Ef i x, p, t. Det er interessnt å legge merke til t dette er det smme uttrykket vi ville h stt opp dersom vi så bort ifr perturbsjonene i metrikken. For å regne ut fotonbidrget må vi huske t g i =, Ep = p, og Dermed: T0 0 = f = f 0 p f0 p Θ. ] [f 0 p f0 p Θ d 3 p π 3 p d 3 p f0 = ρ γ + p Θˆp, x, t π 3 p dpp 4 f 0 = ρ γ + 0 π 3 dω p Θˆp, x, t p = ρ γ + 8π { } π 3 Θ 0 [p 4 f 0 ] 0 4 dpp 3 f 0 8π = ρ γ Θ 0 π 3 4 dpp f 0 0 d 3 p = ρ γ 4Θ 0 π 3 pf0 = ρ γ 4Θ 0 ρ γ = ρ γ 1 + 4Θ

10 Bidrget fr msseløse nøytrinoer blir identisk i formen T 0 0 = ρ ν 1 + 4N 0. Bidrget fr CDM og bryoner er per definisjon v perturbsjonsvriblene ρ i 1 + δ i, der i = dm, b. Fr δg 0 0 = 8πGδT 0 0 får vi d dvs. 6HΦ,0 + 6H Ψ k Φ = 8πG[ρ dmδ + ρ b δ b + 4ρ γ Θ 0 + 4ρ ν N 0 ], 3HΦ,0 + 3H Ψ k Φ = 4πG[ρ dmδ + ρ b δ b + 4ρ γ Θ 0 + 4ρ ν N 0 ]. Vi skifter så til konform tid, og husker på t d er H = ȧ/. Dermed 3 ȧ 1 Φ + 3ȧ 4 Ψ k Φ = 4πG[ρ dmδ + ρ b δ b + 4ρ γ Θ 0 + 4ρ ν N 0 ], som kn ordnes om til k Φ + 3ȧ Φ Ψȧ = 4πG ρ dm δ + ρ b δ b + 4ρ γ Θ 0 + 4ρ ν N 0. Vi trenger en ligning til. Hvis vi tr utgngspunkt i G i j = g [R ik kj 1 ] g kjr = δik 1 Φ R kj 1 δij R = Aδ ij + k ik j Φ + Ψ, der A inneholder mnge ledd som du helst ikke vil t jeg skl skrive ned. Dodelson, som den smrte lille rkkeren hn er, klrer å lge en ligning til uten å involvere leddene i A. Det gjør hn ved å gnge ligningen med projeksjonsopertoren ˆk iˆkj δ j i /3. Siden ˆk iˆkj 1 3 δj i δ ij = ˆk iˆki 1 3 δ ij δ j i i = 1 1 δ ii = 1 1 = 0, 3 ˆk iˆkj 1 3 δj i G i j = 0 + ˆk ki k j Φ + Ψ iˆkj 1 k i k j Φ + Ψ 3 δj i = k Φ + Ψ 1 Φ + Ψ 3 = k Φ + Ψ i k j

11 Vi må gjennomføre smme opersjon på Tj i, gitt ved for én prtikkeltype Tj i dp1 dp dp 3 = g i π 3 detg αβ 1/ P i P j P 0 f i x, p, t d 3 j p iˆp = g i ]pˆp π 3 E f i x, p, t. Siden ˆk iˆkj 1 3 δj i ˆp iˆp j = ˆk ˆp 1 3 ˆk ˆkˆp ˆp = µ 1 3 = 3 3 µ 1 = 3 P µ, der µ er cosinus til vinkelen mellom k og p og P er Legendrepolynomet v grd. Dermed ser vi t ˆk iˆkj 1 3 δj i T ij d 3 p = g i π 3 3 P µ p E f i x, p, t, som viser seg å være forskjellig fr null bre for fotoner og nøytrinoer. Bidrget fr den perturberte delen v fotonenes fordelingsfunksjon blir 0 dpp +1 f0 p π 3 p 1 dµ 3 P µθµ = 8 3 ρ γθ, og tilsvrende for nøytrinoene. Disse bidrgene klles på dårlig norsk for nisotropisk stress. Den ndre ligningen vår blir dermed 3 k Φ + Ψ = 8πG 8 ρ γ Θ + ρ ν N, 3 det vil si k Φ + Ψ = 3πG ρ γ Θ + ρ ν N. Tensorperturbsjoner Nå hr vi stt opp ligningene for sklre perturbsjoner. Men perturbsjoner kommer i flere vrinter, og en nnen viktig type for kosmologi er såklte tensorperturbsjoner. På grunn v noe som heter frkoblingsteoremet beskrevet nærmere i Dodelson utvikler sklr- og tensorperturbsjoner uvhengig v hverndre. Vi skl få et glimt v hvorfor det er slik i det følgende. Tensorperturbsjoner klles mer populært for grvitsjonsbølger. Det dreier seg med ndre ord om periodiske vrisjoner i strukturen til tidrommet. Ved å 11

12 velge guge på riktig måte kn slike perturbsjoner beskrives med en metrikk på formen g 00 = 1, g 0i = 0 og g ij = t 1 + h + h 0 h 1 h = t t h + h 0 h h = tδ ij + H ij Skrevet på denne måten beskriver denne tensoren perturbsjoner i xy-plnet, og bølgevektoren k er vlgt lngs z-ksen. Legg merke til t tensoren H som beskriver perturbsjonene er symmetrisk og trseløs. Siden k z er den eneste komponenten v k som er forskjellig fr null, hr vi også t k i H ij = k j H ij = 0, som er fourierromsvrinten v ligningen som sier t tensoren også er divergensløs og etter ytterligere noen sider med lgebr vil den også være venneløs. Vi må finne ligningene som beskriver tidsutviklingen til disse perturbsjonene, og må derfor t ftt på en ny runde med Christoffelsymboler, Riccitensor og Riccisklr. Christoffelsymboler: Vi husker ikke t Γ µ αβ = 1 gµν g αν,β + g βν,α g αβ,ν, derfor skrev jeg den opp en gng til. Strter vi med ser vi strks t Γ 0 ij = Γ0 i0 = 0, og Γ 0 αβ = 1 g00 g α0,β + g β0,α g αβ,0, Γ 0 ij = 1 g00 g ij,0 = 1 g ij,0 = 1 Hg ij + H ij,0 = Hg ij + 1 H ij,0. Videre: Γ i 00 = 1 giν g 0ν,0 + g 0ν,0 g 00,ν = 0, Γ i 0j = 1 giν g 0ν,0 + g jν,0 g 0j,ν = 1 gik g jk,0 = 1 gik Hg jk + H jk,0 = Hδ ij + 1 δ ik H jk,0 = Hδ ij + 1 H ij,0. 1

13 Γ i jk = 1 giν g jν,k + g kν,j g jk,ν = 1 gim g jm,k + g km,j g jk,m = 1 δ im H im g jm,k + g km,j g jk,m. Her hr vi brukt t g ij = 1 δ ij H ij til første orden, noe du kn sjekke selv ved å kontrollere t g ik g kj = δ ij. Vi hr t g jm,k = x k δ jm + H jm = x k H jm ik k H jm, slik t Γ i jk = 1 δ im ik k H jm + k j H km k m H jk = i k kh ij + k j H ik k i H jk. For å inspirere meg selv til å regne ut Riccitensoren, skriver jeg ned det generelle uttrykket for den en gng til: Det hjlp. D strter jeg: R µν = Γ α µν,α Γα µα,ν + Γα βα Γβ µν Γα βν Γβ µα. R 00 = Γ α 00,α Γ α 0α,0 + Γ α βαγ β 00 Γα β0γ β 0α = Γ i 0i,0 Γi j0 Γj 0i = i Hδ ii + 1 H ij,0 Hδ ii + 1 H ii,0 Hδ ij + 1 H ij,0 = 3 dh dt H ij δ ij δ ij Hδ ij H ij,0 Her hr jeg blnt nnet brukt t = 3 d /dt + 3H 3H 0 = 3 d /dt. δ ij H ij, 0 = δ ij H ij,0 = TrH,0 = 0. Det du bør legge merke til, er t R 00 ikke får noe bidrg til første orden fr tensorperturbsjonene. Dette gir et hint om t tensorperturbsjoner og 13

14 sklrperturbsjoner som bidro til R 00 ikke bryr seg så mye om hverndre. Så tr vi ftt på R ij : Vi tr de to første leddene for seg: Vi trenger R ij = Γ α ij,α Γ α iα,j + Γ α αβγ β ij Γα βjγ β iα. Γ α ij,α Γ α iα,j = Γ 0 ij,0 Γ k ij,k Γ k ik,j. Γ 0 ij = 1 g ij,0 Γ k ik = i k k H ki + k i H kk k k H ik k = i k i H kk = 0 k Γ k ij,k = i x k k jh ki + k i H kj k k H ij k 1 k j k k H ik + k i k k H jk k k k k H ij. k Vi hr vlgt å legge z-ksen lngs k. Det betyr t vi må h j = k = 3 for å få bidrg forskjellig fr null, men siden H j3 = 0 blir vi bre sittende igjen med og dermed Γ k ij,k = 1 k k k k k H ij = k H ij, Γ α ij,α Γ α iα,j = 1 g ij,00 + k H ij. Nå kommer det en morsom overrskelse: vi regner ut det fjerde leddet før vi regner ut det tredje! Vi jubler og regner videre Γ α βj Γβ iα = Γ 0 βj Γβ i0 + Γk βj Γβ ik = Γ 0 0jΓ 0 i0 + Γ 0 mjγ m i0 + Γ k 0jΓ 0 ik + Γ k mjγ m ik = Hg mj + H mj,0 Hδ mi + 1 H mi,0 + Hδ kj + 1 H kj,0 Hg ik + H ik,0 + ledd v ndre orden = H g ij + 1 Hg mjh mi,0 + HH ij,0 + H g ij + 1 HH ij,0 + 1 Hg ikh kj,0 14

15 = H g ij + HH ij,0 + 1 Hδ mj H mi,0 + 1 Hδ ik H kj,0 = H g ij + HH ij,0 + 1 HH ij,0 + 1 HH ij,0 = H g ij + HH ij,0. Nå hr jeg holdt dere på pinebenken lenge nok: her kommer det tredje leddet: Γ α αβ Γβ ij = Γ k k0 Γ0 ij + Γk kl Γl ij = Γ k k0γ 0 ij + ledd v ndre orden [ = Hδ kk + 1 ] H kk,0 Hg ij + H ij,0 k = 3H Hg ij + H ij,0 = 3H g ij + 3 HH ij,0. Men vi hr også t dvs. slik t g ij,0 = Hg ij + H ij,0, Hg ij = g ij,0 H ij,0, D kn vi kombinere leddene: der Γ α αβ Γβ ij = 3 Hg ij,0 3 HH ij,0 + 3 HH ij,0 = 3 Hg ij,0. R ij = 1 g ij, k H ij + 3 g ij,0 H g ij HH ij,0, g ij = δ ij + H ij g ij,0 = Hg ij + H ij g ij,00 = dh Hg ij,0 + g ij dt + HH ij,0 + H ij,00 Dermed: = 4H g ij + HH ij,0 + d /dt g ij H g ij + HH ij,0 + H ij,0 = H g ij + d /dt g ij + 4 HH ij,0 + H ij,00. R ij = H g ij + d /dt g ij + HH ij,0 + H ij,00 15

16 + k H ij + 3H g ij + 3 HH ij,0 H g ij HH ij,0 d /dt = g ij + H + 3 HH ij,0 + H ij,00 + k H ij. Vi ser til slutt på Riccisklren: R = g 00 R 00 + g ij R ij. Både g 00 og R 00 er v nullte orden i perturbsjonene, så det første leddet trenger vi ikke tenke noe mere på. I det ndre leddet legger vi først merke til t det første leddet i R ij er proporsjonlt med g ij, og t g ij g ij = 3, så dette leddet gir igjen kun et bidrg v nullte orden. De resterende leddene i R ij er v første orden i perturbsjonene, og d trenger vi bre å t med nullteordensleddet i g ij, som er lik δ ij /. D ser vi t lle bidrgene vil inneholde kombinsjonen δ ij H ij = TrH = 0. Med ndre ord er det ingen ledd i Riccisklren som vil bidr til ligningene for førsteordens tensorperturbsjoner! Det betyr t for den biten v Einsteintensoren som kommer fr førsteordensperturbsjoner hr vi Vi må regne ut R i j = gik R kj : R i j = g ik [ g kj d /dt = δ ij d /dt δg i j = δri j. + H + 3 HH kj,0 + H kj,00 + k H kj + H + δ ik 3 HH kj,0 + 1 H kj,00 + k H kj og d ser vi t førsteordensbidrget er 3 δrj i = δ ik HH kj,0 + 1 H kj,00 + k H kj. Vi ser d t 3 δg 1 1 = δ 1k HH k1,0 + 1 H k1,00 + k H k1 = 3 HH 11,0 + 1 H 11,00 + k H 11, og tilsvrende δg = 3 HH,0 + 1 H,00 + k H = δg 1 1, siden H 11 = h + = H. D får vi t δg 1 1 δg = δg1 1 = 3Hh +,0 + h +,00 + k h +. ], 16

17 Vi skifter til konform tid og bruker t Dermed d = 1 d dt dη d dt = 1 d 1 d dη dη = 1 d dη ȧ d 3 dη H = d/dt = ȧ. δg 1 1 δg = 3 ȧ ḣ+ ḧ+ ȧ 3 ḣ+ + k = 1 ḧ + + ȧ ḣ+ + k h +. h + For t Einstein skl bli fornøyd, må dette være lik δt1 1 δt. Ser vi på fotoner, så hr vi t Tj i = d 3 i p pˆp ˆp j π 3 f x, p, t. E Med z-ksen lngs k hr vi t ˆp 1 = cosφsin θ ˆp = sin φsin θ ˆp 3 = cosθ. Førsteordensbidrget δtj i kommer fr Θ-leddet i rekkeutviklingen v fordelingsfunksjonen f. Dersom Θ bre vhenger v µ = cosθ hvilket vi ntr vil integrlene som gir δt1 1 og δt være identiske, bortsett fr den delen som går over φ, som vil være gitt ved for 11, π 0 π 0 dφcos φ = π, dφsin φ = π, for. Derfor vil vi h δt 1 1 δt = 0 for fotoner. De ndre bidrgene kn også vises å være lik 0. Dermed får vi t tensorperturbsjonen h + oppfyller ligningen ḧ + + ȧ ḣ+ + k h + = 0. Dette er bølgeligningen for grvitsjonsbølger i et Robertson-Wlkerunivers. En liten ekstrregning viser oss t ligningen for h blir identisk: Ser på 1- komponenten, δg 1 = 3 HH 1,0 + 1 H 1,00 + k H 1 17

18 Vi hr også t for fotoner = 3 Hh,0 + 1 h,00 + k h 1 = ḧ + ȧ + k h. ḣ T 1 = d 3 j p pˆp iˆp π 3 E f, og for førsteordensbidrget under ntgelse om t Θ er φ-uvhengig hr vi, siden ˆp 1ˆp = sin φcosφsin θ, t φ-integrlet gir π 0 dφsin φcosφ = 0, så δt 1 = 0. Dermed blir bølgeligningen for h ḧ + ȧ ḣ + k h = 0. Dermed kn vi oppsummere ligningene som beskriver tidsutviklingen v tensorperturbsjoner i der α = +,. ḧ α + ȧ ḣα + k h α = 0, Nchspiel: frkoblingsteoremet og guger Vi hr behndlet tensorperturbsjonene som om de utvikler seg uvhengig v sklrperturbsjonene og omvendt. Det hr vi lov til å gjøre fordi et generelt teorem sier t sklr, vektor og tensorperturbsjoner til første orden ikke kobler til hverndre. For vårt vlg v perturbert metrikk kn vi se t dette stemmer i tilfellet v sklr- og tensorperturbsjoner. Ligningene for sklrperturbsjonene fikk vi fr G 0 0 og ˆk iˆk j δ ij /3G i j. Vi hr llerede sett t tensorperturbsjonene ikke bidrr til R 00 og R, slik t sklrligningen som kommer fr G 0 0 ikke blir påvirket v dem. Det gjenstår bre å se på det eventuelle bidrget fr tensorperturbsjoner til G i j. Siden vi hr vlgt z-ksen lngs k hr vi k = kˆk 3, og dermed ˆk i ĥ j 1 3 δ ij δg i j = δ i3 δ j δ ij HH ij,0 + 1 H ij,00 + k H ij 3 = HH 33,0 + 1 H 33,00 + k H 33 1 [ 3 3 HTrH,0 + 1 ] TrH,00 + k TrH. 18

19 Men H 33 = og TrH = 0, så hele suppedssen er lik null. Dermed vil ingen v ligningene for sklre perturbsjoner, Ψ og Φ, få bidrg fr tensorperturbsjoner. Både Dodelson og jeg hr tidligere hintet om t vårt vlg v metrikk for sklre perturbsjoner og også for tensorperturbsjoner, men de lr vi ligge nå ikke er unikt. Det finnes ndre muligheter. Å bestemme seg for en måte å skrive g µν på klles å velge guge. Guger hr morsomme nvn: den vi hr brukt klles for konform newtonsk guge. Andre rriteter er romlig flt guge og synkron guge. Så lenge mn vet hv mn gjør, kn mn velge å regne i den gugen som er mest bekvem for nledningen. Vårt vlg v guge er bekvemt dersom mn ønsker å h en forholdsvis enkel relsjon til resultter fr newtonsk grvitsjonsteori. Den romlige flte gugen er imidlertid enklere å bruke i nvendelser på inflsjon, og synkrongugen gir perturbsjonsligninger som hr snillere numeriske egenskper enn de vi hr fått ut fr vårt gugevlg. Med så mnge muligheter er det viktig å vite hvordn mn relterer perturberte vrible i ulike guger til hverndre. Et gugevlg svrer i bunn og grunn til et vlg v koordinter, så vi må se på hvordn vriblene i en metrikk med sklre perturbsjoner oppfører seg under koordinttrnsformsjoner. Den mest generelle metrikken med sklre perturbsjoner kn skrives som g 00 = 1 + A x, t B x, t g 0i = B,i = x i g ij = [δ ij 1 + ψ E,ij x, t], og vi ser t den vhenger v fire funksjoner: A, B, ψ, E. Vår guge svrer til A = Ψ, ψ = Φ, B = E = 0. For å finne ut hvordn disse funksjonene trnsformerer, tr vi utgngspunkt i t linjelementet er en sklr: g αβ xd x α d x β = g µν dx µ dx ν, der... mrkerer trnsformerte størrelser. Siden kn denne ligningen skrives d x α = xα x µ dxµ, g αβ x xα x µ x β x ν = g µνx. Den mest generelle koordinttrnsformsjonen kn skrives t t = t + ξ 0 x, t x i x i = x i + ξ,i x, t, der ξ 0 og ξ skl oppfttes som små størrelser og behndles på smme ufine måte som perturbsjonene i metrikken: bre ledd v første orden skl ts hensyn 19

20 til. I det følgende må vi også huske på t sklfktoren endres under disse trnsformsjonene: t ã t = t = t + ξ 0 = t + d dt ξ0 = 1 + Hξ 0.. L oss finne ut hvordn A trnsformerer. Det gjør vi ved å se på 00- komponenten v metrikken: 1 + A = g αβ x α x β = 1 + Ã t ã B,i x i + ã δ ij 1 + ψ Ẽ,ij xi x 0 x j. En rsk gjennomgng v de enkelte leddene over vil overbevise deg om t bre det første inneholder noe som bidrr til første orden. I det ndre leddet er for eksempel B v første orden, men det er også x 0 / = ξ 0 /, så dette leddet er v ndre orden. Dermed ender vi opp med som gir t 1 + Ã = 1 + A, 1 A = 1 + Ã 1 + ξ0 = 1 + Ã 1 + ξ0 og d ser vi t = 1 Ã ξ0 A Ã = A ξ0 = A 1 ξ 0, der vi i den siste overgngen hr byttet til konform tid. Så ser vi på 0ikomponenten: B,i t = 1 + Ã t x i + ã B,k t x k x i + ã B,k xk t x i + ã δ km 1 + ψ Ẽ,km xk ξ 0 = 1 + Ã 1 + ξ0 x i B,k 1 + ξ0 x m x i δ ik + ξ,ik B,k ξ,k0 ξ 0,i + δ km 1 + ψ Ẽkmξ,k0 δ ik + ξ,ik = ξ 0,i B,i + ξ,i0. 0

21 De fleste overgngene burde være greie å forstå hvis du husker t vi bre skl h med ledd v nullte og første orden. Dette er også grunnen til t vi kn ersttte ã med. Vi får ltså: B,i = B,i ξ 0,i + ξ,i0, slik t vi på en uinteressnt integrsjonskonstnt nær hr B = B ξ0 + ξ,0 = B 1 ξ0 + ξ. Så ser vi på ij-komponenten, med i j: E,ij = g αβ x xα x β x i x j = 1 + Ãξ0,iξ,j 0 ã B,k ξ,iδ 0 kj + ξ,kj ã B,k δ ki + ξ,ki ξ 0,j + ã δ km 1 + ψ Ẽ,kmδ ki + ξ,ki δ mj + ξ,mj = δ ij 1 + ψ Ẽ,ij + ξ,ij + ξ,ij = Ẽ,ij + ξ,ij, der vi i den siste overgngen hr brukt t i j. Vi får derfor t E,ij = Ẽ,ij + ξ,ij som gir Til slutt ser vi på tilfellet i = j: Ẽ = E + ξ. t 1 + ψ E,ii = 1 + A x i + ã B t,k x i xk x i + ã δ km 1 + ψ Ẽ,km xk x m x i x i = ã δ km 1 + ψ Ẽ,kmδ ki + ξ,ki δ mi + ξ,mi = ã 1 + ψ Ẽ,ii + ξ,ii. Bruker vi trnsformsjonsligningen for E, får vi t 1 + ψ = ã 1 + ψ = 1 + Hξ ψ = 1 + Hξ ψ = 1 + Hξ 0 + ψ, som gir ψ = ψ Hξ 0. Vi kn velge ξ 0 og ξ fritt,og vi bruke denne friheten til å eliminere v de 4 funksjonene som inngår i metrikken. Det er med ndre ord bre to v A, B, ψ, E som hr noen betydning. Av og til er det nyttig å h tilgjengelig størrelser som 1

22 ikke endrer seg under koordinttrnsformsjonen vi herjet med over, såklte gugeinvrinte vrible. To slike er Φ A = A + 1 ȧ [Ė B] = A + Ė B + Ë Ḃ η Φ H = ψ + HB Ẽ. Merk t når vi skl trnsformere disse, så kn vi sette ã =, siden sklfktoren multipliserer størrelser som llerede er v første orden. Det er forholdsvis enkelt å sjekke t disse to vriblene er gugeinvrinte: og Φ A = Ã + ȧ Ẽ B + Ẽ B = A 1 ξ 0 + ȧ Ė + ξ B + ξ0 ξ0 + Ë + ξ Ḃ + ξ 0 ȧ ξ0 ξ = A 1 ξ 0 + ȧ ȧ Ė B + ξ + ȧ ξ0 ȧ ξ 0 ξ + Ë Ḃ + ȧ ξ0 = A + ȧ Ė B + Ë Ḃ = Φ A, Φ H = ψ + H B Ẽ = ψ + Hξ 0 + H B ξ0 + ξ Ė ξ = ψ + Hξ 0 Hξ 0 + HB Ė = ψ + HB Ė = Φ H. I vår guge hr vi E = B = 0, og Φ A = Ψ, Φ H = Φ. De som vil dille videre med dette, kn lge gugeinvrinte størrelser v vriblene som inngår i energi-impulstensoren også. Utgngspunktet er trnsformsjonsligningen T αβ x xα x β x µ x ν = T µνx, og mn kn vise t størrelsene V = ikb + ˆk i Ti 0 ρ + P ǫ m = 1 T 0 0 ρ + 3H k ρ ki Ti 0 er gugeinvrinte. Ligningene er her skrevet ned i fourierrommet, og P er trykket.

23 Vår triumf er nå komplett: vi hr lle ligningene vi trenger for å kunne regne på hvordn perturbsjonene vil utvikle seg i tiden på forskjellige lengdeskler. Men differensilligninger trenger initilbetingelser, og neste oppgve er derfor å finne ut hvor de kommer fr og hv de er. 3