Kosmologisk perturbasjonsteori: I ditt ansikts sved skal du ete ditt brød

Transkript

1 Kosmologisk erturbsjonsteori: I ditt nsikts sved skl du ete ditt brød Vi skl nå gjennomgå en tålmodighetsrøve. Jeg håer t det skl komme ut noe fysikk til slutt, men først og fremst er det som følger en grisejobb. L oss begynne. Boltzmnnligningen for fotoner Boltzmnnligningen er generelt df dt Cf. Vi skl først regne ut venstresiden, deretter høyresiden. Begge deler til første orden i erturbsjonene. Gled dere. Den erturberte metrikken vi skl se å er ds 1 + Ψdt + t1 + Φdx + dy + dz. Fordelingsfunksjonen f vhenger v x µ t, x, y, z og firerimulsen P µ dx µ /dλ, der λ er en rmeter som vrierer monotont lngs bnen til fotonet, x µ x µ λ. Bnen er bestemt v geodetligningen, som igjen vhenger v metrikken. Vi vet t fotonet er msseløst, og det gir oss en føring å firerimulsen: P g µν P µ P ν. Setter vi inn for metrikken, gir dette Vi innfører g ij P i P j, og ser d t 1 + ΨP + g ij P i P j. P 1 Ψ. 1 + Ψ 1/ Den siste likheten gjelder bre til første orden i Ψ. Vi er interessert i å sette o ligningene for førsteordens erturbsjonsteori, og vi skl derfor konsekvent rekkeutvikle lle funksjoner v Ψ og Φ til første orden. Jeg kommer til å bruke likhetstegn i slike overgnger, selv om de strengt ttt bre er gyldige til første orden. I den newtonske grensen er Ψ grvitsjonsotensilet, som er lik GM/r for en sfærisk kilde. Dette indikerer t jo tettere et område er, jo mer negtiv er Ψ. Siden P gir energien til fotonet, ser vi t fotonet mister energi når det beveger seg ut v et tett område. Det virker fornuftig. Siden P vi relsjonen over er bestemt v, trenger vi ikke t med denne frihetsgrden i f. Vi lr f vhenge v og dens retning, definert v enhetsvektoren med komonenter ˆ i ˆ i, der δ ij ˆ iˆ j 1. D kn vi skrive df/dt som df dt f + f dx i x i dt + f d dt + f dˆ i ˆ i dt. 1

2 Men i det siste leddet er begge fktorene v første orden i erturbsjonene. Til lveste orden er nemlig f f 1/e /T 1, dvs. bre en funksjon v, og ikke v retningen til bevegelsesmengden. Og i frværet v erturbsjoner er det ingenting som får fotonet til å endre retning, slik t dˆ i /dt må være v minst første orden i erturbsjonene. Dermed er dette leddet totlt v minst. orden, og kn derfor neglisjeres i førsteordens erturbsjonsteori. De ndre leddene vil imidlertid bidr, og nå må vi først bestemme dx i /dt. Siden P i dx i /dλ og P dt/dλ, hr vi t dx i dt dxi dλ dλ dt P i P. Men vi hr også t den ite komonenten v P må være lik et tll C gnget med enhetsvektor i den ite retningen, Det gir oss t P i Cˆ i. g ij C ˆ iˆ j 1 + Φδ ij ˆ iˆ j C 1 + ΦC som fører til t og dermed Dette viser t vi hr og d finner vi t 1 + Φ 1/ C 1 + ΦC, C Φ 1 Φ. P i ˆ i1 Φ, dx i dt P i P ˆi 1 Φ/ 1 Ψ ˆi 1 Φ1 + Ψ, og gnger vi ut rentesen smtidig som vi stryker ledd v høyere orden enn første i erturbsjonene, så ender vi o med dx i dt ˆi 1 + Ψ Φ. Denne fktoren skl multiliseres med f/ x i. Igjen ser vi t til lveste orden er f uvhengig v x i, slik t f/ x i må være v minst første orden i erturbsjonene. Vi kn derfor neglisjere Φ og Ψ i uttrykket for dx i /dt, fordi roduktet v f/ x i med disse vil være v minst. orden. Dermed hr vi så lngt funnet df dt f + ˆ i f x i + f d dt.

3 Vi må nå regne ut d/dt. Vi strter med geodetligningen d x µ dλ dx α dx β Γµ αβ dλ dλ. Siden P µ dx µ /dλ, kn vi skrive denne som Vi ser videre å µ -komonenten: Deretter skriver vi Dermed kn ligningen skrives slik: Så og dp µ dλ Γµ αβ P α P β. dp dλ Γ αβ P α P β. d dλ dt d dλ dt P d dt 1 Ψ d dt. 1 Ψ d dt 1 Ψ Γ αβp α P β. d dt 1 Ψ P α P β Γ αβ 1 Ψ 1 Γ P α P β αβ 1 + Ψ, d 1 Ψ dψ dt dt P α P β Γ αβ 1 + Ψ. Gnger vi hele ligningen med 1 + Ψ vil det første leddet å venstresiden bli redusert til d/dt, siden 1 Ψ1 + Ψ 1 Ψ 1 til første orden i Ψ. I det ndre leddet å venstredsiden blir vi stående igjen med dψ/dt, siden dψ/dt llerede er v første orden i erturbsjonene. Dermed får vi t d dt dψ dt Γ αβ Siden Ψ Ψ x, t, får vi t P α P β 1 + Ψ dψ dt Γ αβ dψ dt Ψ + Ψ dx i x i dt Ψ + ˆi Ψ x i, P α P β 1 + Ψ. der vi hr brukt resulttet for dx i /dt, og husket å t lle ndreordensledd skl strykes. Dermed: d Ψ dt + ˆi Ψ x i Γ P α P β αβ 1 + Ψ. 3

4 Vi hr t Christoffelsymbolet er gitt ved Γ αβ gν gαν x β + g βν x α g αβ x ν, der vi husker t g µν som mtrise betrktet er den inverse til g µν. Produktet P α P β som vi skl multilisere med og summere over α og β, er symmetrisk under ombytte v α og β. De to første leddene i klmmerentesen vil derfor gi smme bidrg: strter vi med g αν x β P α P β α β g αν x β P α P β, så kn vi bytte om summsjonsindeksene α og β og få α β Derfor kn vi skrive g αν x β P α P β β Γ P α P β αβ gν α g βν x α P β P α g βν x α P α P β. g να x β g αβ P α P β x ν. Nå er g µν og g µν digonle, slik t i summsjonen over ν er det bre leddet med ν som gir bidrg: Γ P α P β αβ g g α x β g αβ P α P β x g α x β g αβ P α P β 1 Ψ 1. Videre hr vi t slik t og g αβ P α P β g α δ α 1 + Ψ, g α x β δ Ψ α x β, g Ψ δ ij Ψ δ ij Ψ δ ij P P g ij P i P j P i P j 1 + Φ ȧ1 + Φ + Φ Φ + H1 + Φ P i P j P i P j 4

5 Men så Videre: Dermed: Γ P α P β αβ g αβ δ ij P i P j j 1 Φ δ ij ˆ iˆ 1 Φ, P α P β g α P α P β x β Ψ Φ + H1 + Φ 1 Φ. Ψ P α P β δ α x β 4 Ψ P P β x β 4 Ψ x β P β. 4 Ψ 1 ΨP β x β { 1 + Ψ 4 Ψ x β P β + Ψ Φ } + H1 + Φ 1 Φ 1 + Ψ 4 Ψ x β P β + Ψ Φ H + 4HΦ 4HΦ 1 + Ψ 4 Ψ x β P β + Ψ Φ H 1 + Ψ Ψ 4 P + P i Ψ x i + Ψ Φ H 1 + Ψ 4 Ψ + ˆi Ψ x i + Ψ Φ H 1 + Ψ Ψ ˆi Ψ Φ x i + Ψ + H 1 + Ψ Ψ ˆi Ψ Φ x i + H. Setter inn i ligningen for d/dt: d dt det vil si Ψ + ˆi Ψ x i Γ αβ Ψ + ˆi P α P β 1 + Ψ Ψ Ψ1 Ψ xi Ψ + ˆi Ψ x i Ψ ˆi Ψ x i ˆi Ψ x i Φ H, Ψ 1 d dt ˆi Ψ x i Φ H. 5 ˆi Φ + H Ψ Φ x i + H

6 Dette kn vi sette inn i uttrykket for df/dt: df dt f + ˆi f x i + f f + ˆi f x i f 1 d dt H + Φ + ˆi Ψ x i. 1 Men dette vr bre begynnelsen! Nå må vi velge en form for fordelingsfunksjonen f for å komme videre. Vi ser å små erturbsjoner rundt en homogen fotongss, så vi forventer t Bose- insteinfordelingen skl være en god tilnærming. Motivert v dette kn vi røve oss med fx,, ˆ, t { ex Tt1 + Θx, ˆ, t 1} 1. Det er en ntgelse som er gjort her om t Θ ikke vhenger v. Dette funker fordi ikke endres i kollisjoner mellom fotoner og ikke-reltivistiske elektroner og rotoner. Med dette in mente kn vi nå Tylorutvikle f rundt Θ til første orden i Θ: f f fθ + T 1 e /T 1 + Vi skriver f 1/e /T 1 og ser t og slik t Dermed: TΘ Θ T e/t 1 1 TΘ. f T 1 e /T 1 T e /T e /T T e /T 1, f 1 1 e /T 1 T e/t T f T, T f T f. f f f Θ. Vi kn nå sette inn denne rekkeutviklingen i uttrykket vi fnt for df/dt. Vi vil d få noen ledd som ikke inneholder Φ, Ψ eller Θ. Dette er ledd v te orden i erturbsjonene. I Dodelson er det vist hvordn disse leddene til smmen gir ligingen dt/dt/t d/dt/, som igjen gir det gode, gmle resulttet T 1/. Vi går videre til første orden. Vi får d df dt f f Θ 6 + ˆi x i f Θ

7 f f H + Φ + ˆi f H f ˆi Θ f x i +H f Θ f Θ ˆi Θ f x i +HΘ f f Vi ser nærmere å det første leddet: f Θ f f f f + f Θ Ψ x i f Θ Φ + ˆi Ψ x i Φ + ˆi Θ Θ f Θ ΘdT f dt T Θ ΘdT dt Θ + ΘdT/dt T Ψ x i. T f f H Så førsteordensbidrget til df/dt blir husk t vi fr te orden hr dt/dt/t H: df dt f ˆi f Θ + ΘdT/dt T Θ f x i + HΘ Φ + ˆi Ψ x i. f f Dermed, og endelig: df f Θ dt + ˆi Θ x i + Φ + ˆi Ψ x i. Kollisjonsleddet orienteringsstoff Men det er ikke over ennå. Fotonene vekselvirker med elektronene vi Comtonsredning, så Boltzmnnligningen hr et kollisjonsledd. Dette må vi nå regne. 7

8 ut til første orden i erturbsjonene. Comtonsredning er rosessen e q + γ e q + γ. I det følgende skl vi regne ut kollisjonsleddet fr denne rosessen, i grensen der fotonenergien er mye mindre enn elektronets hvileenergi. Beregningen er gnske komlisert, og du trenger ikke å skjønne lle detljene. t enkelt, men viktig oeng som vi kn lese ut v kinemtikken til rosessen, bør du imidlertid t med deg: i grensen vi ser å, vil sredningsrosessen ikke endre størrelsen å fotonets bevegelsesmengde, bre retningen. Dersom vi ser å rosessen i refernsesystemet der elektronet til å begynne med er i ro q, finner vi ved å kreve bevring v energi og bevegelsesmengde t 1 + m 1 cosθ, der θ er vinkelen mellom og. I grensen m, ser vi d t. Kollisjonsleddet er å formen Cf 1 d 3 q π 3 q q d 3 q π 3 e q d 3 π 3 M π 4 δ + q q δ + e q e q f e q f f e qf. Fotonene er ultrreltivistiske slik t, mens elektronene er ikkereltivistiske og ofyller q m e + q e m e, der det siste leddet er en liten korreksjon til det første. D kn vi skrive Cf 1 d 3 q d 3 q d 3 π 3 m e π 3 m e π 3 M π 4 δ + q q δ + q q m e m e f e q f f e qf d 3 q m e π 3 m e π4 π 3 δ + q q + m e m e f e q + q f f e qf π d 3 q d 3 4m e π 3 π 3 M δ f e q + q f f e qf. d 3 π 3 M + q q + m e m e 8

9 nergien som overføres til elektronet i kollisjonen er e q e q + q m e q + m e q q q m e, m e der q er mye større enn både og. Det betyr t energioverføringen i kollisjonen er liten i forhold til de ndre energiene som er involvert i kollisjonsrosessen. D kn vi Tylorutvikle deltfunksjonen i den grd det gir noen mtemtisk mening: δ + q q + δ e q e q m e m e δ + e q e q e q δ + eq e q e der vi hr brukt t Vi gjør også tilnærmingen fx y x δ + q m e δ, fx y. y f e q + f e q, og d blir Cf π 4m e π 4m e d 3 q π 3 d 3 q π 3 f e q d 3 π 3 M d 3 π 3 M δ + q δ m e δ + q δ m e f e qf f e qf f f. For å komme videre, trenger vi å vite mlituden M for Comtonsredning. Denne vhenger generelt både v vinkelen mellom bevegelsesretningen til det innkommende og det utgående fotonet, og v deres olrissjonsvektorer. Vi følger imidlertid Dodelson og setter sredningsmlituden lik en konstnt. Såvidt jeg kn skjønne, må dette svre til å si t Comtonsredning og Thomsonsredning er det smme når elektronene hr liten energi. I Dodelsons enheter er d M 8πσ T m e. Jeg hr vært for lt til å finne ut v hvorfor konstntene forn σ T velges kkurt slik. Men uvhengig v min ltsk får vi d Cf π 4m e 8πσ Tm e d 3 q π f e q d 3 π 3 δ + q δ m e 9

10 π σ T π σ T π σ T π σ T n e d 3 q π f d 3 e q π 3 δ + q δ m e d 3 π 3 δ d 3 q π 3 f d 3 q δ e q + m e π 3 f e q q d 3 π 3 n e δ + n e q δ m e f f d 3 π 3 δ + δ v b f f. Vi setter nå inn rekkeutviklingen v fotonenes fordelingsfunksjon. D blir f f f f f Θˆ + f Θˆ, og Cf π n e σ T d 3 π 3 f f f n eσ T d dω 4π δ f δ + δ v b Θˆ + f Θ f f Θˆ + f Θˆ + f f δ v b. Vi innfører størrelsen Θ x, t 1 4π dω Θˆ, x, t, og legger merke til t siden v b er konstnt under integrsjonene, kn vi velge og legge z-ksen lngs denne og få +1 dω v b πv b dcosθcos θ. D finner vi, ved å bruke delvis integrsjon i integrlet som inneholder den deriverte v deltfunksjonen, Cf n eσ T 4π 1 d δ f 4πΘ + 4π f Θˆ + 4πf f δ v b n eσ T f Θ Θˆ 1

11 + n e σ T v b f d δ f f n e σ T Θ Θˆ + n e σ Tˆ v b d δ f f f n e σ T Θ Θˆ + n e σ Tˆ v b f n eσ T Θ Θˆ + ˆ v b. d δ f f + f Boltzmnnligningen for fotoner, fiks ferdig Dermed er vi endelig ferdige med kollisjonsleddet. Nå trenger vi bre å sette dette lik førsteordensresulttet for df/dt: f det vil si Θ + ˆi Θ x i + Φ + ˆi Ψ x i f n eσ T Θ Θˆ + ˆ v b, Θ + ˆi Θ x i + Φ + ˆi Ψ x i n eσ T Θ Θˆ + ˆ v b. Men tror du vi er fornøyde med dette? At vi endelig kn sle v? Selvfølgelig ikke. Nå skl vi først inføre konform tid, dη dt/, slik t lle 1/-fktorene i ligningen forsvinner. D blir den seende slik ut: Θ + ˆ i Θ x i + Φ + ˆ i Ψ x i n eσ T Θ Θ + ˆ v b, der rikkede størrelser er derivert med hensyn å konform tid. Denne ligningen er en rtiell diffligning, men ved å fouriertrnsformere kn vi gjøre den om til en ordinær egentlig: et sett v uvhengige ordinære diffligninger. Vi innfører den fouriertrnsformerte v en størrelse som Θx d 3 k π 3 ei k x Θ k, og tilsvrende for ndre størrelser. Setter vi dette inn i ligningen, og innfører µ k ˆ/k, kn ligningen skrives som d 3 k π 3 ei k x Θ + ikµ Θ + Φ + ikµ Ψ n e σ T d 3 k π 3 ei k x Θ Θ + ˆ v b. 11

12 Dodelson ntr så t v b ˆ ṽ b µ, og innfører den otiske dybden ved τη slik t τ n e σ T. D får vi endelig η η dη n e σ T, Θ + ikµθ + Φ + ikµψ τθ Θ + µv b, der vi nå hr fulgt Dodelson og droet tilder over fouriertrnsformerte størrelser. Dette er Boltzmnnlignignen for fotoner til første orden i erturbsjonene. Hurr. Boltzmnnligningen for kld mørk mterie tter denne strålende triumfen går vi med stort mot løs å Boltzmnnligningen for kld mørk mterie CDM. Det er to viktige forskjeller mellom CDM og fotoner: CDM-rtiklene er ikke-reltivistiske, og de vekselvirker så svkt seg imellom og med ndre rtikler t de kn regnes som kollisjonsløse. Dermed slier vi i det minste, o fryd, å regne ut et kollisjonsledd for dem. llers er gngen i greiene gnske lik som for fotonene, ihvertfll i strten. Først v lt må vi se litt å kinemtikken. Fordi CDM-rtiklene er mssive med msse m så hr vi t g µν P µ P ν m, Ved å sette inn for metrikken får vi d + m g ij P i P j. m 1 + ΨP +, som gir P 1 + Ψ 1 Ψ. Siden P i Cˆ i, med δ ij ˆ iˆ j 1 finner vi t g ij ˆ iˆ j C δ ij ˆ iˆ j 1 + ΦC 1 + ΦC, slik t C 1 + Φ 1/ 1 Φ, og dermed kn vi skrive P µ 1 Ψ, ˆ i1 Φ. 1

13 Dodelson velger å bruke som vribel i dette tilfellet og skriver df dt f + f dx i x i dt + f d dt. Igjen hr vi sløyfet et leddet som inneholder den deriverte v f med hensyn å ˆ i, siden dette leddet er v ndre orden i erturbsjonene. Vi må nå gå gjennom det smme dillet som for fotonene for å regne ut leddene i dette uttrykket. Først v lt, siden P i dxi dλ og P dt dλ finner vi t dx i dt dxi dλ dλ dt P i P ˆi 1 + Ψ Φ. For å bestemme den ndre koeffisienten, må vi igjen ty til geodetligningen: som kn skrives dt dλ Venstresiden blir dermed 1 Ψ d dt dp dt dp dλ Γ αβp α P β, P dp dt Γ αβp α P β. d dψ 1 Ψ 1 Ψ dt dt, og ved å skrive ut dψ/dt som i fotontilfellet og så gnge ligingen med 1 + Ψ får vi t d Ψ dt + ˆi Ψ x i Γ P α P β αβ 1 + Ψ. Bre brnemt. Men nå blir det værre: g να Γ P α P β αβ gν 1 + Ψ 1 + Ψ 1 + Ψ 1 + Ψ x β g αβ P α P β x ν g α x β g αβ P α P β 4 Ψ P P β x β g αβ P α P β 4 Ψ x β 1 ΨP β g αβ P α P β 4 Ψ x β P β g αβ P α P β. 13

14 Vi regner så litt å det siste leddet i rentesen: Vi hr t så g αβ g αβ P α P β P α P β g Ψ δ ij P P g ij P i P j δ ij P i P j 1 Φ, Ψ Φ Ψ Φ + H1 + Φ + H1 + Φ Φ + H. P i P j. 1 Φ Dermed får vi t Γ P α P β αβ Det gir d dt 1 + Φ 1 + Ψ 1 + Ψ Ψ + ˆi + 1 Ψ Ψ + ˆi d/dt Ψ 4 4 Ψ P + Ψ x i P i + Ψ Φ + H Φ 4 Ψ ˆ i x i + Ψ H Ψ Ψ ˆ i x i Φ + H. Ψ x i Ψ Ψ ˆ i x i Ψ x i Ψ Ψ x i ˆ i Φ ˆi Ψ x i. Φ + H 1 + Ψ Φ H D kn vi endelig sette o Boltzmnnligningen for kld mørk mterie: f + ˆi f x i f d/dt + Φ + ˆi Ψ x i. Veien videre fr denne ligningen er litt nnerledes enn for fotoner. Siden rtiklene er ikke-reltivistiske, kn vi neglisjere ledd v orden / og høyere. D viser det seg t hvis vi tr momenter v Boltzmnnligningen reduseres den til to 14

15 koblede hydrodynmiske ligninger. Først integrerer vi rett og slett ligningnen over : d 3 π 3 f + 1 d 3 x i π 3 f ˆi d/dt + Φ d 3 f π 3 1 Ψ d 3 f x i π 3 ˆi. Det siste integrlet er forskjellig fr null kun for den erturberte delen v f, siden f til nullte orden ikke vhenger v retningen å, og ˆ i lene integrert over lle retninger gir null. Det betyr t dette leddet er v minst. orden i erturbsjonene og dermed kn strykes. Så husker vi å t d 3 n π 3 f v i 1 n d 3 π 3 f ˆi husk t hstigheten til en rtikkel er gitt ved v /. Dette er motivert v t vi i sesiell reltivitetsteori hr γm og γm v, der γ 1/ 1 v. D gir den integrerte utgven v Boltzmnnligningen t n + 1 d/dt x i nvi + Φ d 3 f π 3. Det siste integrlet må vi gjøre noe med. Siden + m hr vi og dermed d d + m, f f d d f. Det gir oss t d 3 f π 3 d 3 f π 3 4π π 3 d 3 f { 4π 3 π 3 f } 3 d f 3 3n. Dermed får vi n + 1 nv i d/dt x i Φ n. d 3 π 3 f De to første leddene kjenner vi igjen som kontinuitetsligningen fr hydrodynmikk. Det siste leddet skyldes, som vi ser, universets eksnsjon og erturbsjonene. Vi må nå finne ut hvordn denne ligningen ser ut til første orden 15

16 i den erturberte fordelingen v mørk mterie. Til nullte orden blir ligningen bre som gir n + 3 d/dt n, n 3 som løsning, kkurt som vi burde forvente. Til første orden kn vi skrive n n 1 + δ x, t, og setter vi dette inn i ligningen finner vi n 1 + δ + 1 x i n v i + 3 d/dt n1 + δ + 3 Φ n, som etter litt ommøblering gir n 1 + δ + 3 d/dt n δ + n + 1 v i Φ n + 3n xi. Det første leddet i ligningen er lik null.g.. nullteordensligningen. Dermed sitter vi igjen med, etter å h forkortet bort n : δ + 1 v i x i + 3 Φ. Vi ser t denne ligningen i tillegg til δ inneholder en ny ukjent: hstighetsfeltet for mørk-mteriefluidet, v i. Derfor trenger vi en ligning til. Det kn vi få ved å t nok et moment v Boltzmnnligningen. Vi gnger den med ˆ j / og integrerer over : d 3 π 3 f ˆj + 1 d 3 j ˆ iˆ x i f π 3 d/dt + Φ d 3 f 3ˆ j π 3 1 Ψ x i d 3 f ˆ iˆ j π 3. Det ndre leddet å høyresiden kn vi neglisjere, siden det er v orden /. Det første leddet kjenner vi igjen som nv j /. Videre: d 3 f 3ˆ j d 3 f ˆ j π 3 π 3 dωˆ j π 3 d 4 f { dω ˆj 4 } 4 3 π 3 f df 5 3 dωˆ j 4 π 3 d f 4 d 3 π 3 f ˆj 4nv j. 16

17 Og: d 3 f ˆ iˆ j d 3 f π 3 π 3 ˆiˆ j dω π 3 ˆiˆ j d f { dω π 3 ˆiˆ j 3 f } 3 d f dω 3 π 3 ˆiˆ j d f Dermed blir ligningen d/dt nvj 3 1 4π 3 δij π 3 δ ij + Φ d f d 3 π 3 f δij n. 4nv j 1 Ψ x i δij n. 3 I det ndre leddet kn vi neglisjere Φ/ fordi v llerede er v første orden. Vi ender d o med nvj + 4 d/dt nv j + n Ψ x j. Siden lle leddene i ligningen llerede er v første orden, kn vi sette n n 3. Setter vi inn dette og ordner o, så får vi v j + d/dt v j + 1 Ψ x j. Minner om den første ligningen vi utledet: δ + 1 v i x i + 3 Φ. Vi ser nå t systemet er lukket med hensyn å δ og v. Den siste ligningen vi utledet inneholder ingen nye ukjente. Det skyldes ene og lene t rtiklene vi ser å er ikke-reltivistiske, slik t vi kn neglisjere ledd v orden /. Dette ville ltså ikke h funket med fotonene. At den mørke mterien er ikke-reltivistisk er ltså grunnen til t vi kn behndle dem som et fluid. Vi introduserer konform tid igjen, og fouriertrnsformerer. D blir ligningene slik: δ + ikv + 3 Φ v + ȧ v + ikψ. Vi hr nttt t hstighetsfeltet er rllelt med k, v i k i v/k, og vi hr også droet tilder over fouriertrnsformerte størrelser. 17

18 Bryoner Hlleluj! Bryonene det vil si rotonene og elektronene er også ikke-reltivistiske. Utregningen v df/dt blir derfor kkurt den smme som for CDM, så derfor slier vi å gjøre dette igjen. Men, hver gledesstund du hr å jord betles skl med sorg : rotonene og elektronene vekselvirker med hverndre og med fotonene, slik t Boltzmnnligningene for dem vil h et kollisjonsledd. lektronene er koblet til fotoner vi Comtonsredning rotonene også, men fordi rotonmssen er så mye større enn elektronmssen kn vi se bort ifr dette, og rotonene og elektronene er koblet vi Coulombsredning. På grunn v ldningsnøytrlitet hr vi δ e δ δ b. Coulombsredningen er dessuten så effektiv t rotonene og elektronene ofører seg som en væske med en felles hstighet, v e v v b. Tr mn det første momentet v Boltzmnnligningen for elektroner, viser det seg t kollisjonsleddet forsvinner, siden dette momentet svrer til elektrontllet, som er en bevrt størrelse i lle kollisjoner. Dermed blir den første ligningen nøyktig den smme som for CDM: δ b + ikv b + 3 Φ. Det neste momentet gir oss mer trøbbel, og nå hr jeg ærlig tlt fått nok. Du får røve å integrere kollisjonsleddet ditt sjøl. ventuelt konsultere Dodelson. Det vi ender o med her illefll Her er og mer generelt v b + ȧ v b + ikψ τ 4ρ γ 3ρ b 3iΘ 1 + v b. +1 dµ Θ 1 i 1 µθµ, Θ l 1 +1 dµ i l 1 P lµθµ, der P l µ er Legendreolynomet v grd l. 18