Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen som hr fått hns nvn ser ut til å h vært kjent lenge før hns fødsel. Setningen gjelder for en rettvinklet treknt og er følgende: = + Kvdrtet v lengden v den lengste siden (hypotenusen) er lik summen v kvdrtet v de to korteste sidene (ktetene). A B Figur 3.6 Det kn være vnskelig å oppftte innholdet i setningen. Vnskeligheten ser ut til å ligge i hv kvdrtene står for; nemlig som relet v kvdrter med, og som sideknter eller som kvdrttll. Det er også slik t svært få hele tll gjør t setningen er riktig. Det er mnge forskjellige evis for setningen. Her er noen: 1. Ved å sette relet v hele kvdrtet lik summen v de 4 like store trekntene og det lille kvdrtet får vi: ( + ) = 4 + som gir og + + = + Figur 3.7 + =. 64 Utgitt v spr forlg s www.spr.no
. Den tidligere meriknske presidenten Grfield g også et evis for setningen: Figuren kn etrktes som tre treknter eller et trpes. Ved å sette relet v trpeset lik summen v relene v de tre trekntene får vi: Figur 3.8 ( + )( + ) = + som også gir + =. 3. Puslespill Klipp ut de 5 nummererte itene. Legg disse itene som et puslespill slik t de kkurt dekker det store kvdrtet. Til diskusjon: Det er vnlig å innføre Pythgors setning på ungdomstrinnet. På hvilke lderstrinn kn puslespillet rukes? 1 4 5 3 Figur 3.9 3. Euklids figur som evis for setningen Trekntene HSE og HLE er formlike. Derfor (etter mellomproporsjonlsetningen, side 69) er: HL HE = HE HS som gir: HE = HL HS. Dette etyr t HIKL og HEFG hr smme rel. På tilsvrende måte kn det vises t KPSL og ESTU hr smme rel. Dette viser setningen. F G H I Figur 3.30 E K L U S P T KAPITTEL 3 65 Utgitt v spr forlg s www.spr.no
5. Pulus Gerdes, Mozmique. Pulus Gerdes viser hvordn mn kn se gyldigheten v Pythgors setning ved å t utgngspunkt i knpper som er vevet v ønder i Mozmique. Det er en tegning v knppen til venstre under. Ved å rette ut noen linjer, får vi tegningen til høyre. Figur 3.31 Arelet v hele knppen kn settes lik relet v en omformet «knpp». A = = = B A B Figur 3.3 Ved å se på relene v kvdrtene, lir kvdrtet A = kvdrtet B + kvdrtet. 66 Utgitt v spr forlg s www.spr.no
Et Pythgoreisk tlltrippel, er tre (hele) tll, og som psser inn i likningen + =. Et eksempel på et slikt tlltrippel er: =3, =4 og =5. Et nnet tlltrippel som psser er 6, 8 og 10. Disse tllene klles snekkertriplet fordi de kn rukes for å sjekke om en vinkel er rett, f. eks. i et hjørne eller liknende. Oppgve 3.19 Finn flere Pythgoreiske tlltripler. Oppgve 3.0 Et erømt prolem fr mtemtikkens historie er «det rukkete musprolemet», som stmmer fr eldre kinesisk mtemtikk: En musstokk er 10 hih høy. Stokken rekker, og toppen v stokken rører kken 3 hih fr foten v stmmen. Hvor høyt oppe på stmmen er ruddet? Figur 3.33 Oppgve 3.1 Under er det et mønster. Det finnes ofte som mønster på gensere, tepper osv. Hvor hr dere sett det? Hvor mnge sorte ruter er det? De sorte rutene kn settes smmen til et kvdrt. Hvor lng er en side i kvdrtet? Hvor mnge hvite ruter er det? De hvite rutene kn også settes smmen til et kvdrt. Hv er sidelengden i dette kvdrtet? Bruk linjl og trekk opp linjer mellom hjørnene som er ringet inn. Du får et kvdrt. Diskuter hvorfor flteinnholdet v dette kvdrtet er likt flteinnholdet v hele mønsteret. Figur 3.34 KAPITTEL 3 67 Utgitt v spr forlg s www.spr.no
Bruk rutene i mønsteret til å tegne en treknt som hr rett vinkel og sider lik 3, 4 og 5 ruter. Prøv å tegne opp et liknende mønster som hr 5 sorte ruter og 16 hvite ruter. Still liknende spørsmål som det vi gjorde over. Hv lir svrene nå? Utforsk videre; lg nye mønstre og still nye spørsmål! Oppgve 3. (fr eksmen i grunnskolen 1986) ) Konstruer en treknt ABD der AB=6,0 m, AD er 9,5 m og ABD=90º. ) Hvor stor er BD? ) Treknt ABD er en del v en firknt ABD der D=B og AB=135º. Konstruer firknten. d) Hvor stort er relet v firknten? e) Konstruer en sirkel med sentrum O på BD og slik t den erører (tngerer) AD i E. Rdien er 3,0 m. f) Bevis t ABD og OED er likeformede (formlike). g) Beregn OD. h) Hvor stor er digonlen A? Oppgve 3.3 (fr eksmen i grunnskolen 1987) ) Konstruer treknten ABD der AB=1 m, AD=6 m og DAB=60º. ) Hvor store er vinklene i treknten ABD? ) Regn ut lengden BD. d) Normlen fr D på AB skjærer AB i E. Konstruer normlen. e) Forklr t AED er likeformet (ensformet, formlik) med ADB. f) Treknten ABD er en del v firknten ABD. ligger like lngt fr B som fr D, og på prllellen til AB gjennom D. Konstruer firknten. g) Regn ut vinklene i treknten BD. h) Regn ut omkretsen v firknten ABD. i) Konstruer en sirkel som omskriver firknten ABD. j) En del v sirkelen ligger utenfor firknten. Regn ut relet v denne delen. 68 Utgitt v spr forlg s www.spr.no
Mellomproporsjonlen Gitt en rettvinklet treknt AB, med som den rette vinkelen. Høyden fr treffer AB i D. Figur 3.35 A D B Hvorfor er trekntene AB, DB og AD formlike? På grunn v formlikhet hr vi AD D = eller D = AD DB. D DB D klles mellomproporsjonlen mellom AD og DB. I vsnittet om konstruksjoner (3.) står det nevnt t mellomproporsjonlen kn rukes til å konstruere kvdrtroten v et linjestykke. Hvis AD= og DB=1, vil D = AD DB = 1 =. Dette etyr t D =. Figuren over kn også enyttes til å vise Pythgors læresetning. Pg. formlikhet er AB B B = og AB BD A A =. Siden AB=AD+DB, gir AD ( ) =. Settes AB AD = A dette: B = AB AB AD AB AB AD inn i uttrykket over, gir dette: B = AB A eller: AB = B + A. Oppgve 3.4 Mellomproporsjonlen kn også rukes til å konstruere lengden v kvdrtrøtter på en nnen måte. Hvis f. eks. D = 6, d er D = 6 = 3. Du kn nå konstruere treknt AB når AD= og DB=3. Konstruer på tilsvrende måte: 3, 7, 10, 1 osv. Oppgve 3.5 En eske er 5,0 m lng, 3,0 m red og 1,0 m høy. En nål skl legges i esken. ) Hvor lng kn nålen være hvis den skl legges i unnen v esken? ) Hvor lng kn nålen være hvis den kn legges digonlt i esken KAPITTEL 3 69 Utgitt v spr forlg s www.spr.no
fr nederst i det ene hjørnet til øverst i motstt hjørne? Oppgve 3.6 (fr eksmen i grunnskolen 1995) ) Konstruer en treknt AB der AB=5,0 m, A=90º og B = 8,0 m. ) Regn ut A. Treknt AB er en del v en firknt ABD der AB= AD og D=90º. ) Konstruer ferdig firknt ABD. d) Skriv forklring til konstruksjonen v firknt ABD. e) Vis t treknt AB er formlik med treknt DA. f) Regn ut AD. g) Forklr hvorfor firknt ABD er et trpes. Punktet E ligger på forlengelsen v A slik t relet v treknt DE er lik relet v treknt AD. h) Finn punktet E og forklr hvordn du tenkte for å finne punktet. Mrker punkt E på konstruksjonen. Oppgve 3. 7 Diskuter hvilke kunnskper i geometri det lir spurt etter i oppgven forn. oooooo I kpittel 5 er det flere oppgver der mye v dette stoffet kommer til nvendelse. 3.8 Arelegrepet mngeknter og sirkler Mngeknter Arel er et mål for en todimensjonl utstrekning; en fltestørrelse. Måleenhet for rel er m, slik t et kvdrt med sideknter 1,0 m hr et rel på 1,0 m. Andre rukte enheter for rel er mm, m, km, mål, r og dekr. 1 mål = 1 dekr = 1000 m, og 1 r = 100 m. Eks: Et rektngel er 4,0 m lngt og 3,0 m redt. Arelet er 1,0 m. Dette kommer v t det er mulig å plssere 1 stk v en relenhet på 1,0 m inne i rektnglet. Hvis sidene i rektngelet hdde vært 4,1 m og 3, m, ville relet v rektngelet vært 13,1 m. Dette kn illustreres ved t 70 Utgitt v spr forlg s www.spr.no