. juni 7 EKSAMEN Løsningsorslag Emnkod: ITD Emnnavn: Matmatikk ørst dlksamn Dato: 6. juni 7 Hjlpmidlr: - To A-ark md valgritt innhold på bgg sidr. - Formlht. - Kalkulator som dls ut samtidig md oppgavn. Eksamnstid: 9.. Faglærr: Christian F Hid Om ksamnsoppgavn og pongbrgning: Oppgavsttt bstår av sidr inklusiv dnn orsidn og t vdlgg på én sid. Kontrollr at oppgavsttt r kompltt ør du bgnnr å bsvar spørsmåln. Oppgavsttt bstår av oppgavr. Vd snsur vil all d oppgavn tll lik m. Dr dt r mulig skal du vis utrgningr og hvordan du kommr ram til svarn. Snsurrist: 8. juni 7 Karaktrn r tilgjnglig or studntr på Studntwb snst virkdagr ttr oppgitt snsurrist. www.hio.no/studntwb
Oppgav Gitt ølgnd vktorr i dt uklidsk rommt R : v = i j + k w = i j + k Finn krssproduktt mllom diss vktorn, altså v w. v w = i j k i j k (( ) ( )) i ( ( )) j + ( ( ) ( ) ( )) k = ( + 6) i (8 + ) j + ( 6 ) k = i j 7k Oppgav Gitt to komplks tall z i 6 w i Finn summn av diss, altså z w. For å summr diss talln, r dt nklst drsom vi ørst konvrtrr dm til rktangulær orm (også kalt kartsisk orm): i 6 z (cos 6 isin 6 ) i i w i i i (cos( ) isin( )) Vi år da z w i i ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid av
Oppgav Et lslskap har bstmt sg or ølgnd bgrnsningr på bagasjn: All bagasj må vær ormt som n rktangulær boks md kvadratisk grunnlat. Summn av lngd (l), dbd (d) og hød (h) må ikk ovrstig cm. Finn dimnsjonn av bagasjn som gir størst volum. h l d Sidn grunnlatn skal vær kvadratisk, må l og d vær lik. Vi kan kall dn om vi ønskr: h Volumt av boksn r da V ldh h h Vidr har vi bgrnsningn at summn av sidkantn skal vær cm, altså og altså h h Sttr vi dtt inn i uttrkkt or volumt, år vi V ( ) h ( ) Vi kan så drivr or å inn hvilk -vrdir som gjør unksjonn maksimal/minimal: dv d 6 Ekstrmalvrdin innr vi dr dn drivrt r : som gir 6 ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid av
6 og altså 6 = gir i volum, så dtt r ikk t maksimum. = kan vær t maksimum llr t minimum. At dt r t maksimum kan bgrunns på lr måtr. For ksmpl kan vi s på dn annndrivrt til volumt: d V d I punktt = blir dnn 6. Vi sr at dn annndrivrt r ngativ, og volumunksjonn V () krummr dror ndovr. Altså r = t lokalt maksimum. Dimnsjonn som gir bagasjn størst volum r ølglig = l = d = cm og h = cm. Vi år altså størst volum md bagasj hvor all sidn r lik lang (altså n kub). Oppgav Finn ølgnd grnsvrdi drsom dn ksistrr: lim Vi sr at dtt r t ubstmt uttrkk: lim Sidn dtt r t lim uttrkk, kan vi bntt l Hôpitals rgl: lim Vi sr at dtt igjn blir t uttrkk, sidn ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid av
lim Vi må dror bruk l Hôpitals rgl n gang til, og innr: lim lim lim Oppgav Drivr ølgnd unksjon: ln ( (hint: bntt logaritmisk drivasjon) ) Før vi drivrr tar vi logaritmn på bgg sidr: ln ( ) ln ln Vi brukr så rgln ln a b bln a på hør sid av uttrkkt, og år ln ( ) ln ln Vi kan så drivr bgg sidr. Når vi drivrr vnstr sid må vi bruk kjrnrgln, og når vi drivrr hør sid må vi bruk produktrgln: ( ) ( ) ln ln Så gangr vi bgg sidr md () og år ln ln ln ln ln ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln ln ln ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid av
Oppgav 6 Bstm ølgnd intgral: cos d cos d d cos d d d sin C sin C Oppgav 7 Bstm ølgnd intgral: cos( ) d Hr kan vi bruk substitusjonn som gir u og altså du d d du Brukr vi dtt i intgralt, år vi cos( ) d cosu du sin u C sin C cosu du ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid 6 av
Oppgav 8 Bstm ølgnd intgral: ln d Hr kan vi bruk dlvis intgrasjon. Rgln or dlvis intgrasjon kan skrivs Hr vlgr vi u v d uv uv d som gir u og v ln Vi år da u og v ln d ln d ln d ln C ln ln C C Oppgav 9 Følgnd ligning bskrivr n kurv i plant: ln Bstm ligningn til tangntn til kurvn i punktt (, ). Vi kan bntt implisitt drivasjon or å inn stigningn til tangntn: Ordnr vi dnn, år vi ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid 7 av
Stigningskoisintn i punktt (, ) r ølglig (,) Vi kan så bruk ttpunktsormln or å inn ligningn til tangntn: a( ) ( ( )) Oppgav Gitt ølgnd unksjon: (, ) Finn d partilldrivrt av. og. ordn til dnn unksjonn. 6 ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid 8 av
Oppgav Følgnd ligning har én rll løsning i intrvallt [, ]: Bruk Nwtons mtod md to itrasjonr til å inn. Bntt Løsningn av dn gitt ligningn, r altså Nwtons mtod kan skrivs slik: som startpunkt. n n ( n) ( ) n Hr r ( ), og ølglig ( ). Vi år da ( ) ( ) 6 8. ( ).. ( ).. ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid 9 av
- -,6 -, -,8 -,,,8,,6 Oppgav Gitt n kontinurlig unksjon () som r dinrt på dt åpn intrvallt D,. Funksjonn r ukjnt, mn vi kjnnr gran til unksjonns drivrt, altså gran til Dnn gran r vist i igurn ndnor. - - - () (). Du kan anta at gran til dn drivrt (altså dn blå kurvn i igurn) skjærr -aksn i punktn.8,.8,. 8 og..8 () i) Angi i hvilk intrvallr unksjonn r voksnd og avtagnd. Funksjonn r voksnd dr dn drivrt r positiv og avtagnd dr dn drivrt r ngativ. () r voksnd i ølgnd intrvallr:,.8.8,.8.8, () r avtagnd i ølgnd intrvallr:.8,.8.8,.8 ii) For hvilkn llr hvilk -vrdir har unksjonn sin lokal maksimums- og minimumsvrdir? Forklar og bgrunn ditt svar. Sidn unksjonn r dinrt på t åpnt intrvall, har dn ingn kstrmalvrdir i dinisjonsmngdns ndpunktr. Funksjonn har sin kstrmalvrdir dr dn drivrt r null. Funksjonn har lokal maksima or ølgnd -vrdir:.8 og.8. Funksjonn har lokal minima or ølgnd -vrdir:.8 og.8. ITD Matmatikk, ørst dlksamn, juni 7 Sid av