5 Mer om lger Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne regne me rsjonle og kvrtiske uttrykk me tll og okstver og ruke kvrtsetningene til å fktorisere lgeriske uttrykk løse likninger, ulikheter og likningssystemer v første og nre gr og enkle likninger me eksponentil- og logritmefunksjoner åe ve regning og me igitle hjelpemiler omforme en prktisk prolemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse ette og vurere gyligheten v løsningen STIFINNEREN 5. Brøkregning og fktorisering Sti Sti Sti 500, 50, 50, 50, 505, 5 50, 50, 506, 508, 509, 50, 5, 5 50, 50, 507, 508, 50, 5, 5 5. Kvrtsetningene 5, 5, 55, 56, 57, 59, 50, 5, 55 5, 5, 55, 59, 50, 5, 5 5, 5, 55, 58, 59, 5, 5, 55, 56 5. Førstegrslikninger 57, 58 57, 58, 59 58, 59, 50 5. Likningssett 5, 5, 55, 58 5, 5, 5, 58, 59, 50 5, 5, 5, 58, 59, 50, 5 5.5 Anregrslikninger 5, 55, 556, 557 5, 5, 59, 550, 55, 55, 556, 558 5, 5, 56, 57, 59, 550, 55, 55, 556, 558, 559, 56 5.6 Ulikheter v første gr 56, 56, 568 56, 56, 565, 568 56, 56, 565, 568, 570 5.7 Ulikheter v nre gr 57, 57, 57, 57, 575 57, 57, 57, 57, 575 57, 57, 57, 57, 575, 576 5.8 Eksponentillikninger og potenslikninger 577, 580, 58 577, 580, 58, 58 577, 58, 587, 588 5.9 Logritmelikninger 590 590, 59, 59 590, 59, 59 5 rette eller gle: s. Blnee oppgver (59 X5.): s. Utvlgte løsninger: s. 77 Skriftlige ferigheter: 58, 58 Leseferigheter: 58, 56, 59, 550 Digitle ferigheter: 557, 56, 57, 590 Grunnleggene ferigheter: Muntlige ferigheter: 58, 58 Interktive oppgver: Lokus.no
Kpittel 5: Mer om lger 5. Brøkregning og fktorisering 500 Regn ut uten lommeregner. 5 5 6 7 : 5 6 e f : : 5 8 6 5 g 5 h i : 50 På en skole er et 60 gutter. Det er fire sjueler v lle elevene. Hvor stor røkel v elevene er jenter? Hvor stor prosentel v elevene er gutter? Hvor mnge elever er et til smmen på enne skolen? 50 Fktoriser. 6 e 6 f 0 5 50 Forkort røkene hvis et er mulig. 5 0 6 6 0 5 5 5 6 * e 9 6 9 f g h 6 8y y 50 Regn ut. 6 6 5 : 8 505 Trekk smmen. e g 5 f 9 : 8 6 5 6 5 7 6 Du kn få en go kontroll på t ine svr på e seks oppgvene er riktige. Velg en veri for (og ), større enn. Regn ut e oppgitte uttrykkene og ine svr for en vlgte -verien og smmenlikn. Bruk enne metoen på noen v oppgvene i enne oppgven.
Kpittel 5: Mer om lger 5 506 Trekk smmen. 8 5 6 5 507 Trekk smmen. 509 e g f 5 5 e f Regn ut uten lommeregner. 5 5 : 5 6 7 5 : 5 6 5 0 h 5 7 6 0 508 Gjør røkene urune uten å ruke lommeregner. 5 5 5 7 7 50 Kri joet som visu og tjente 6000 kr. Hun kjøpte en CD til 500 kr. Av et som vr igjen, rukte hun tre femeler til en ferietur. Hvor mye rukte hun på ferieturen? Hvor stor røkel v lønn he hun igjen? 5 Fktoriser 9 5. Fktoriser ve å sette utenfor en prentes. Fktoriser ve å sette utenfor en prentes. Fktoriser 8 0, 5 ve å sette 8 utenfor en prentes. e Fktoriser ve å sette 6 utenfor en prentes.
6 Kpittel 5: Mer om lger 5 Regn ut. e 5 5 5 : 6 : 6 : 6 f 5. Kvrtsetningene 5 Regn ut. ( 9) ( ) ( 8 5) e f ( ) ( 5) 5 Regn ut. ( ) ( ) ( ) 5 e f 55 Regn ut. ( 7) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) f 56 Fktoriser. 8 00 5 e 6 f 9 9 57 Hoeregning (eller elvis hoeregning) kn noen gnger li lettere hvis vi ruker en kvrtsetning klengs. Se på isse eksemplene: 8 = ( 0 ) ( 0 )= 00 = 96 5 = ( 0 5) = 00 00 5 = 65 8 = ( 8 ) ( 8 )= 0 6 = 80 Lg selv noen eksempler er u ruker kvrtsetningene ve hoeregning. I en rettvinklet treknt er hypotenusen 7 m og en ene kteten 8 m. Finn lengen v en nre kteten uten å ruke lommeregner.
Kpittel 5: Mer om lger 7 58 ( ) = ( ) = Bruk figuren til å forklre t. Lg en figur og forklr ut fr figuren t. 59 50 5 5 Fktoriser. 50 9 6 5 ( ) ( ) ( 6) 6 5 8 e 9 f ( ) ( ) ( ) ( ) g h i * Forkort røkene hvis mulig. 9 6 e f 8 g 9 8 h Regn ut. : 6 8 8 6 Trekk smmen. 5 5 ( ) 9 6 9 5 0 9
8 Kpittel 5: Mer om lger 5 Regn ut uttrykket ( ) ( ) ( ) ( ). Sett = 6 i uttrykket i oppgve og regn ut. Sett = 6 i et svret u fikk i oppgve, og regn ut. Smmenlikn me et svret u fikk i oppgve. Kn u være sikker på t svret u fikk i oppgve, er rett når u får smme tll som svr i oppgve og oppgve? Begrunn svret itt. 5 55 Trekk smmen. 5 9 Fktoriser ve å ruke en v kvrtsetningene klengs. 6 9 9 9 e f 56 Regn ut. 9 6 6 9 : 9 5. Førstegrslikninger 57 Løs likningene. 5 = = 7 6 5 5 = 8 6 = 0 5 5 58 Løs likningene. ( ) 5 = 0 ( 7)= ( ) 8( 7) ( )= ( )= 8 ( ) 59 50 Løs likningene. ( 5 )= 6 8 7 = 6 8 9 6 = Venstresien i en likning er ( ) Lg en høyresie i likningen slik t 5 lir en løsning. Lg en høyresie i likningen slik t likningen ikke får noen løsning. = 5 0
Kpittel 5: Mer om lger 9 5. Likningssett 5 Løs hvert likningssett grfisk på ppir. Løs også likningssettene grfisk på lommeregneren. Smmenlikn grfen u hr tegnet på ppir, me grfen på lommeregneren. y = y = y = y = * 5 Bruk innsettingsmetoen til å løse likningssettene. y = y = 7 y = 0 y = y = 06, y =, y = y = 6 y =, 5 y = 5, y = 05, y = 5 Summen v to tll er 79. Forskjellen på tllene er. Finn tllene. Lrs spør tnte Lise hvor gmmel hun er. Tnte Lise svrer: «Til smmen er vi to 5 år. Tr vi min ler og trekker fr in ler, får vi 0 år.» Hvor gmmel er tnte Lise? 5 På loppemrkeet selger skolekorpset kffe og kker. Én kopp kffe og to kkestykker koster til smmen 6 kroner. To kopper kffe og tre kkestykker koster til smmen kroner. L være prisen for én kopp kffe og y prisen på ett kkestykke. Sett opp et likningssett og finn prisen på én kopp kffe og prisen på ett kkestykke. 55 Fmiliene Olsen og Khn esøker sommerlnet Sol. Fmilien Olsen estår v fire voksne og tre rn. De etler til smmen 5 kr. Fmilien Khn estår v to voksne og to rn. De etler til smmen 750 kr. Finn illettprisen for rn og for voksne. 56 Bestem konstnten slik t likningssettet y = 5 y = 9 får en løsning er =. 57 En rett linje me likningen y = går gjennom punktene (, 57) og ( 67, 6). Sett opp et likningssett er konstntene og er e ukjente. Bruk likningssettet til å regne ut veriene for og.
0 Kpittel 5: Mer om lger 58 I læreok lærte u å løse likningssett ve å ruke innsettingsmetoen. I enne oppgven skl vi vise en nnen løsningsmetoe, isjonsmetoen. Når vi ruker isjonsmetoen, multipliserer vi likningene me hvert sitt tll slik t en ene ukjente fller ort når vi legger smmen likningene. Vi skl ruke isjonsmetoen til å løse likningssettet y = y = Vi estemmer oss for t skl flle ort når vi erer smmen likningene. Vi multipliserer me, og me. D får vi 6 9y = 6 8y = 7y = y = 7 y = Sett inn for y i eller, og finn. I steet for å multiplisere me og kunne vi h multiplisert me og me. D ville y flle ort når vi l smmen likningene. Gjennomfør en utregningen også. Løs ette likningssettet ve å ruke isjonsmetoen: y = 5 y = Løs oppgve 5 ve å ruke isjonsmetoen. 59 * 50 Kffehuset selger sitt eget kffemerke Super. Super er en lning v kffemerkene Arom og Lu. Kffehuset selger Super for 56,50 kr per kg, Arom for 60 kr per kg og Lu for 50 kr per kg. Hvor mnge prosent Arom og hvor mnge prosent Lu er et i lningen? Elevrået ve en skole selger melk og yoghurt til elevene. I løpet v en måne le et solgt krtonger melk og y krtonger yoghurt. Melken kostet 8 kr og yoghurten kr per krtong. Til smmen le et solgt 5085 krtonger til en smlet sum v 6 60 kr. Hvor mye le et solgt v melk og yoghurt? 5 En eske me 0 tletter veier 80 g. Me 0 tletter i esken er vekten 50 g. Hv veier esken me 00 tletter?
Kpittel 5: Mer om lger 5.5 Anregrslikninger Løsningsprogrm for nregrslikninger (Tes): Se s. 8. 5 Løs likningene. = 6 89 = 0 6 = 0 6= 0 e 0, 5= 0 f 6 = 0 5 Løs likningene ve å ruke -formelen. 6 = 0 = 0 5 = 0 5 = 0 e = f 6 6 = g 0 6 = 0 h 8 = 0 i = 0 j 5 = 0 k 5 8 = 0 l = 0 5 55 Løs likningene. 60 = 80 = 0, 6 = 0 y y = e 8 0 ( )= ( 5) f ( ) 5= 0 ( 5 ) Løs likningene ve å ruke prouktregelen. ( ) = 0 5 ( ) ( )= 0 ( ) ( 8 )= 0 = 0 e 9 7 = 0 f 9 8 = 0 56 Vi kn fktorisere uttrykket 9 ve å ruke treje kvrtsetning klengs. 9= ( )( ) De to siene er like for lle verier v. Derfor er e også null for e smme -veriene, et vil si for = og =. Dette gir oss nøkkelen til en ny metoe for å fktorisere nregrsuttrykk. Vi strter me å finne nullpunktene til uttrykket. Vi skl fktorisere 6. Vi setter uttrykket lik null og får = eller =. D må en ene fktoren være. og en nre må være, 6 = ( )( ) Dette kn vi formulere i følgene regel: Hvis et nregrsuttrykk er lik null for lik og for =, kn uttrykket fktoriseres slik: = ( )( ) Bruk metoen og fktoriser 6 8 0 e 6 0 f 9 * 57 Fktoriser. Forkort røken. Trekk smmen og skriv svret enklest mulig: 7
Kpittel 5: Mer om lger 58 Figuren er ttt fr en jpnsk læreok i mtemtikk. Dette er en lgoritme som inngår i et tprogrm for å løse likninger. Hv reier enne elen seg om? Lg en tekst i steet for en jpnske elen v teksten. 59 I læreok skrev vi opp -formelen uten å egrunne t en er riktig. Nå skl u være me på å utlee formelen. Men først løser vi likningen 5 = 0 uten formel. 5 = 0 Vi flytter over konstntleet og ivierer me på egge sier. 5 = 5 Vi legger til kvrtet v på egge sier. 6 5 5 5 6 = 6 5 6 = 6 5 5 = eller = 6 6 6 6 5 = 5 eller = 6 6 = eller =
Den viktigste overgngen er fr likning til likning. Her gjør vi tre ting på én gng: 5 Vi hlverer fktoren i førstegrsleet og får. 6 5 5 Vi kvrerer og får 6 6. 5 Vi erer på egge sier v likhetstegnet. 6 Dette kn vi summere opp i en enkel huskeregel: hlvere, kvrere, ere. Venstre sie i likning lir ofte klt et ufullstenig kvrt. Venstre sie i likning lir klt et fullstenig kvrt. 5 Det vr for å få et fullstenig kvrt på venstre sie i likning t vi l til på egge sier. 6 Merk: Dersom vi he fått null på høyre sie i likning, ville likningen htt re én løsning. Dersom vi he fått et negtivt tll på høyresien i, ville ikke likningen htt noen løsning. Bruk metoen ovenfor til å løse likningene 5 5 0= 0 0= 0 8 = 0 8= 0 Bruk metoen ovenfor til å utlee -formelen. 550 Denne oppgven forutsetter t u hr joet me oppgve 59. Huskeregelen hlvere, kvrere, ere rukes ikke re ve løsning v likninger. Den kn også rukes ve fktorisering v nregrsuttrykk. Som eksempel vil vi fktorisere 0. Her setter vi først utenfor en prentes. Deretter ruker vi huskeregelen ovenfor på fktoren i et nye nregrsleet. Men nå er et ikke ktuelt å ere på egge sier. Her må vi først ere og så sutrhere et smme. (Hvorfor?) 0 = ( 0) Hlverer, kvrerer, erer og sutrherer = 0 = 9 7 = 7 = ( 5) ( ) Kpittel 5: Mer om lger Bruk enne metoen til å fktorisere 6 8 6 8 5 0 e 6 8 f 0 6
Kpittel 5: Mer om lger 55 Hvis vi ivierer me i en generelle nregrslikningen =0, får vi =0 Setter vi = p og = q, kn likningen skrives slik: p q =0 Bruk -formelen til å vise t likningen p q =0 hr løsningene p± p q Vi kller løsningene og. Regn ut og. Bruk svrene u får til å vise t vi også kn skrive = og = Bruk svrene fr oppgve til å lge en nregrslikning som hr løsningene og. 55 * Lengen v et rektngulært svømmesseng er 5 m større enn reen. Finn et uttrykk for lengen når reen er m. Arelet v ssenget er 6 m. Bestem lengen og reen v ssenget. Tone er år elre enn Jens. Skriv et uttrykk for leren til Tone når Jens er år. Hvor gmmel er Jens når leren til Jens multiplisert me leren til Tone er 8? 55 Det ukentlige overskuet ve prouksjonen v en vre er gitt ve O ( ) = 0, 00 8000 Her er O ( ) overskuet i kroner når et prouseres og selges enheter per uke. Regn ut overskuet når et lir prousert 00 enheter 00 enheter Løs likningen 0, 00 8000 = 0 Hv forteller svret? Unersøk om et er mulig å få et ukentlig oversku på 500 kr 5000 kr Hvor mnge enheter må et i så fll prouseres per uke?
Kpittel 5: Mer om lger 5 55 Finn nullpunktene til f ( )= 8ve regning. Finn skjæringspunktene mellom grfene til f ( )= 8 og g ( )= 5 ve regning. Finn skjæringspunktene mellom f ( )= og g ( )= ve regning. 555 Du skl lge en lufteplss for en hun. Innhegningen skl h form som et rektngel og skl stå inntil en husvegg. Du hr 0 meter me gjere. Vi lr kortsien i rektnglet være meter. Den ene lngsien skl ligge inntil husveggen (uten gjere). Vis t relet v lufteplssen lir A ( )= 0, er A ( ) er ntll kvrtmeter. Hv er siene i rektnglet når lufteplssen hr relet m? Unersøk om lufteplssen kn få relet 5 m. 556 557 Totlkostnen per uke ve å prousere enheter v en mskinel er gitt ve K ( ) = 0, 0 5000. Inntekten er gitt ve I = 80. Finn et uttrykk for overskuet O ( ). Når er overskuet 00 kr? Finn svret ve regning. Løs likningssettene grfisk på lommeregneren og ve regning. y = 5 y = 0 y = 7 y = 0 y = 0 y = 5 y = 8 y = 558 Løs likningssettene ve regning. Kontroller svrene ve å løse likningssettene grfisk. y = y = y = y 5 = y = y = y = y = 559 Løs likningen 6 = 0 grfisk. Omform likningen i ve å sette = u. Bruk ette til å løse likningen i oppgve ve regning. Løs likningen 6 6 6 = 0 ve regning. 560 Bruk -formelen til å løse likningen 5 = 0. For hvilke verier v hr likningen = 0 to løsninger én løsning ingen løsning
6 Kpittel 5: Mer om lger 56 Hnsen hr en rektngelformet hge som er 6 m lng og m re. Hn hr plntet lomster lngs tre v ytterkntene. Resten v hgen er plen. Arelet v plenen er 60 m. Blomstereet er like ret overlt. Finn enne reen. 56 Løs likningssettet y = 6 y = 0 grfisk. Bruk lommeregneren og unersøk når likningssettet y = 6 y = 0 hr én, to eller ingen løsning. 5.6 Ulikheter v første gr 56 Løs ulikhetene ve regning. Kontroller svrene ve å løse ulikhetene grfisk. > < 5 * 5 8 e > 5 5 f 5 5 56 Jon Arne løste ulikheten 5 slik: 5 ( ) > ( ) > 5 > > > Kontroller overgngene i Jon Arnes løsning. ( ) 565 Løs ulikhetene ve regning. < ( ) ( ) > 8 ( ) ( ) < < 6 6 566 567 Vi hr to eholere me vnn. I eholer A er et 00 liter vnn, og et renner ut 0 liter vnn per minutt. I eholer B er et 00 liter vnn, og et renner inn liter vnn per minutt. Still opp en ulikhet u kn ruke til å finne hvor lng ti et tr før et er mest vnn i eholer B. Løs ulikheten. For en vre er etterspørselen y kg når prisen er kr. y = 500 60 Løs ulikheten y > 600. Hv forteller svret?
Kpittel 5: Mer om lger 7 568 Melemskpet i treningsstuioet Form koster 50 kr per måne. D kn u trene så ofte u vil. Uten melemskp må u etle 5 kr hver gng u trener. L være ntll gnger u trener per måne. Sett opp en ulikhet og regn ut hvor mnge gnger u må trene for t et skl lønne seg å li melem. 569 Kjøper u et sesongkort til 50 kr på Beussen, koster hver tur 5 kr. Uten sesongkort koster hver tur 0 kr. Hv kn ulikheten 50 5 < 0 fortelle oss? Løs ulikheten og tolk svret. ( ) < 570 I ulikheten er en konstnt. Bestem slik t ulikheten får 5 løsningen <. 5.7 Ulikheter v nre gr 57 Tegn grfen til y = 6 på lommeregneren. Løs ulikheten 6 < 9 grfisk. Løs ulikheten 6 6 grfisk. 57 Tegn fortegnslinj til 6 57 Løs ulikhetene ve regning. > 0 < 0 6 0 > 0 e > 0 f 5 0 57 575 576 Løs ulikhetene ve regning. * > < < > 5 6 e f 7 < 9 Et firm prouserer og selger kulepenner me reklmetrykk per g. Kulepennene selges for 6,00 kr per stykk. Det koster K ( ) krå prousere kulepenner på en g. K ( ) = 0, 0 5, 6 85 L I ( ) være slgsinntektene når et selges penner per g. Still selv noen spørsmål og svr på em ve å ruke K ( ) og I ( ). Løs ulikhetene ve regning. < > 5 < 50 > 0 e 5 < 7 7 f 6 > 8 g 5 h 0 < 5
8 Kpittel 5: Mer om lger 5.8 Eksponentillikninger og potenslikninger 577 Løs likningene ve regning. = 07, = 5, = 60 Løs likningene ve regning. 7 = 8 5 = 0 = 5 Lg en oppgve som psser til likningen 00 000 0, 85 = 55 000 Løs likningen. Lg en oppgve som psser til likningen = 50 578 579 * 580 58 Løs likningene ve regning. 000, 05 = 6000 = 5 = 0 5 6 ( ) 50= 0 e f 0 = 0 = 0 Løs likningene ve å skrive venstre sie og høyre sie som potenser me smme grunntll. = 6 7 = 6 = = 8 Ulrik kjøpte en il for 8 000 kr i egynnelsen v 006. Vi regner me t ilens veri synker me 5 % per år. Finn ve regning ilens veri ve egynnelsen v 008 00 Finn ve regning i løpet v hvilket år verien hr sunket til 50 000 kr 00 000 kr Hvilket år er ilens veri hlvert? I en perioe me konstnt utetempertur le vrmen i et hus slått v. Målinger viser t timer etter t vrmen le slått v, vr innetemperturen (i elsiusgrer) me go tilnærming gitt ve formelen T ( ) = 5, 0 5, 0, 955 Hv vr temperturen i huset vrmen le slått v? Regn ut og fyll ut tellen 5 0 5 T ( ) Tegn grfen til T for -verier mellom 0 og 5. Finn ve regning hvor lng ti et tok før temperturen i huset le C. e Christin stuerer formelen for T ( ) og sier t temperturen i huset snk me,5 % per time. Hr Christin rett? Gi grunn for svret itt.
Kpittel 5: Mer om lger 9 58 Et mleri le verstt til 0 000 kr i 005. I 006 le verien stt til 7 00 kr. Hvor mnge prosent økte verien fr 005 til 006? Hvilken vekstfktor svrer et til? Vi regner me t veristigningen i prosent vil være en smme e neste årene. Hv vil verien v ilet li i 00? Finn ve regning hvor lng ti et vil t før verien hr økt til 00 000 kr. 58 Temperturen i en steikeovn er gitt ve T ( ) = 00 80 0, 75, er er ntll minutter etter t ovnen le slått på. Hv vr temperturen i steikeovnen vi slo en på? Temperturen i steikeovnen vil etter hvert nærme seg en konstnt veri, T konstnt. Finn T konstnt. Når temperturen er 99 % v T konstnt, slokner termosttlmp. Hvor lng ti tr et før termosttlmp slokner? Finn svret grfisk og ve regning. 58 I Tutnkhmons grv i Egypt hr en funnet trerester er innholet v C- vr 66 % v mengen i levene tre. Bestem leren på enne treiten. Hlveringstien for C- er 570 år. 585 I 990 kjøpte Pelle og Kri en leilighet for 505 000 kr. I 005, etter 5 år, solgte e leiligheten for 650 000 kr. Regn ut gjennomsnittlig veristigning per år i prosent. Verien v en mskin gikk ne fr 00 000 kr til 60 000 kr på tre år. Hvor stor vr negngen i prosent? Hvor stor prosentvis negng per år svrer et til? 586 587 En frikk slipper ut 5 tonn forurensning per måne i en elv. Frikken lir pålgt å reusere utslippene me 5 % per måne. Hv er vekstfktoren for utslippene? Etter hvor mnge måneer vil utslippet være hlvert? Etter hvor mnge måneer vil utslippene være omtrent 5 % v en opprinnelig verien? Løs oppgve og åe grfisk og ve regning. En fmilie vnt i Lotto. De kjøpte seg en il som kostet 600 000 kr og en myntsmling som kostet 50 000 kr. Verien v ilen vtok me 7 % per år, mens verien v myntene steg me 5 % i året. Hvor mnge år tok et før ilen og myntsmlingen he smme veri? Finn svret grfisk og ve regning. 588 Folkemengen i Norge vr. 0 000 i 98 og. 60 000 i 006. Hv vr økningen i prosent? Hv vr en prosentvise økningen per år fr 98 til 006? Bruk svret i oppgve til å nslå folketllet i Norge i 00.
0 Kpittel 5: Mer om lger 589 Et tre vokste fr 0 m til 8 m på 0 år. Hvor mnge prosent årlig økning svrer et til? Per mente t ette vr enkelt. Treet vokste 80 % på 0 år. Det etyr 8 % per år. Pål mente t e først måtte sette opp en vekstfunksjon. Hv mener u? 5.9 Logritmelikninger 590 Løs likningene grfisk og ve regning. lg =, lg = 05, lg 0, 85= 0 * lg 0, 85=, 5 e lg ( )= 0, 8 f lg lg 0, 85= 59 59 59 Lystyrke måles i esiel, B. Lystyrken, L, er gitt ve L = 0lg I 0 I er lyeffekten i W/m. Den svkeste lyen vi kn oppftte, hr en lyeffekt på 0 W/m. Hvor mnge esiel svrer et til? En vnlig smtle hr en lyeffekt på. 0 6 W/m. Hvor mnge esiel svrer et til? Lystyrken i en hovegte måles til 70 B. Hvor stor er lyeffekten? Hv skjer me lystyrken ersom lyeffekten oles? Fornøyelsesprken Thunerir åpnet igjen etter å h vært stengt i flere år. De første gene vr ntll esøkene per g gitt ve f ( ) = 000 lg( ), D = [ 0, 0] Her er er ntll ger etter t prken åpnet. ( = 0 svrer til åpningsgen, = er gen etter åpning, osv.) Tegn grfen til f. Hvor mnge esøkene vr et på åpningsgen? Når psserte ntll esøkene 500? Finn svret grfisk og ve regning. Kjemikere ruker ph-verien når e skl oppgi surhetsgren for en væske. ph er et tll i intervllet [ 0, ]. Dette tllet er et mål for konsentrsjonen v HO -ioner i væsken. Hvis konsentrsjonen v HO -ioner i en væske er 0 5 mol per m, sier vi t ph-verien til væsken er 5. Generelt hr vi t Konsentrsjonen v HO = 0 ph. ph = lg ( konsentrsjonen v HO -ioner) Hvis ph for en væske er minre enn 7, er væsken sur. Er ph-verien større enn 7, er væsken sisk. Det er 70 0, mol HO -ioner per m i en væske. Hvilken ph hr en?
En væske hr en ph på,. Finn konsentrsjonen v HO -ioner. Væske A hr ph =, og væske B hr en ph på. Finn forholet mellom konsentrsjonene v HO -ioner i e to væskene. 5 rette eller gle En nregrslikning hr llti to løsninger., f ( ) = er eksempel på en potensfunksjon. Vi må snu ulikhetstegnet når vi trekker fr et negtivt tll på egge sier i en ulikhet. Vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliser me et negtivt tll på egge sier i en ulikhet. 5 Uttrykket er llti minre enn null. 6 Vi kn ikke fktorisere ve å ruke nre kvrtsetning klengs. 7 Et likningssett me to førstegrslikninger hr llti en løsning. 8 Vi ruker e smme reglene når vi løser en førstegrsulikhet som når vi løser en førstegrslikning. 9 > for lle verier v. 0 Det fins ulikheter v nre gr som hr re én -veri som løsning. Hvis et ikke fins noen veri for som gjør t VS = HS, så hr ikke likningen løsning. kn lri li større enn. 05, er et smme som 5,. Når vi fktoriserer, får vi ( ) ( ). 5 For > 0 er større enn. Kpittel 5: Mer om lger Blnee oppgver 59 Følgene setning gjeler for lle nturlige tll: Hvis n er et oetll, så er ( n ) n elelig me 8. Sett opp en tell og kontroller t ette gjeler for,, 5, 7 og 9. I oppgve så u t setningen gjeler for e fem første oetllene, men ette er ikke noe evis for t setningen llti gjeler. Et oetll kn llti skrives på formen n = k, er k er et positivt heltll eller null. Bruk ette til å evise setningen. I oppgve eviste u t når n er et oetll, så er ( n ) n elelig me 8. Den omvente setningen er: Hvis ( n ) n er elelig me 8, så er n et oetll. Kn u evise et?
Kpittel 5: Mer om lger 595 En trimgruppe skl rrngere en tur og innhenter tilu fr reiseselskpet Turussen. Turussen skl h 6500 kr pluss 000 kr for hver eltker. Hvor mye vil turen koste til smmen hvis et lir me 0 eltkere? Hvor mye må hver enkelt person etle? Når personer lir me, koster turen til smmen K ( )kr. Finn et uttrykk for K ( ). Tegn grfen til K for -verier mellom 0 og 0. Trimgrupp får også et tilu fr reiseselskpet Gofoten. Gofoten skl også h et fst eløp kr pluss et eløp kr for hver eltker. Hvis 0 personer eltr, kommer turen til smmen på 5 000 kr. Me 0 eltkere kommer turen til smmen på 6 000 kr. Regn ut og. Skriv et uttrykk P ( ) for et turen vil koste til smmen etter tiluet fr Gofoten. Hvor mnge må mele seg på turen for t tiluene fr Turussen og Gofoten skl være like? e Turussen enrer sitt tilu og gir 5 % rtt på en vrile elen (000 kr per eltker). Den fste elen (6500 kr) forlir uenret. Hvor mnge prosent utgjør rtten v et opprinnelige tiluet hvis et reiser 0 personer? 596 Funksjonen f er gitt ve f ( ) = 05, 5,. Tegn grfen til f i et koorintsystem. Velg fr til når u tegner. Finn funksjonens nullpunkter, åe grfisk og ve regning. Grfen til en lineær funksjon g går gjennom punktene (, 5) og ( 8, 7). Finn funksjonsuttrykket for g. Tegn grfen til g i smme koorintsystem som grfen til f. Finn skjæringspunktene mellom grfene grfisk og ve regning. e Bestem en største lorette vstnen mellom grfene i et områet er grfen til f ligger over grfen til g. 597 Fktoriser 5 6. Forkort røken 5 6. Trekk smmen. 5 6 Fktoriser Trekk smmen 5 9. Forkort røkene. 6 8 6 5 5 777 66 Regn ut 777 66 uten å ruke lommeregner. e Skriv enklest mulig uten å ruke lommeregner. 8 ( )( ) ( ) ( 8 8)
598 Teofyllin er et stoff som rukes til ehnling mot stm. En psient får stt en sprøyte me teofyllin. Konsentrsjonen v teofyllin i loet (et vil si ntll milligrm teofyllin per liter lo) er gitt ve moellen f ( ) = 0, 85, er er ntll timer etter t sprøyt lir stt. Hv er konsentrsjonen like etter t sprøyt lir stt etter 8 timer Finn ve regning hvor lng ti et tr før konsentrsjonen lir,7 mg/l. Hvor mnge prosent vtr konsentrsjonen fr timer til timer etter t sprøyt lir stt fr timer til timer 599 Likningen = 8 hr én løsning. Finn. Løs ve regning likningen ( 6) (, 5, 5)= 0 uten å ruke -formelen. For hvilke verier v hr likningen 8 = 0 én løsning to løsninger ingen løsninger X5. Tegn grfen til funksjonen f gitt ve f ( )= Velg -verier i intervllet [, ]. Bruk grfen i og estem grfisk for hvilke verier v k likningen = k hr ingen løsninger hr én løsning hr to løsninger Fktoriser og forkort uttrykket (Eksmen MX høsten 005) X5. Figuren viser nen til en golfll etter et perfekt slg. y Kpittel 5: Mer om lger A B C Bllen strter i A og lner i C. Vi legger et koorintsystem me -ksen gjennom A og C og me origo i A. Bnen til llen psser got me grfen til funksjonen f gitt ve f ( ) = 0, 005 0, 5
Kpittel 5: Mer om lger er vstnen fr A i meter, og f ( ) er høyen over kken i meter. Løs likningen 0, 005 0, 5 = 0 Finn vstnen fr A til C. Hvor høyt vr llen i et høyeste punktet på nen? I punktet B står et et tre som er m høyt. Bllen sneier kkurt toppen v treet. Du skl finne ut hvor lngt fr C treet står. Vis t ette prolemet leer til å løse nregrslikningen 00 000 = 0 e Finn ut hvor lngt fr C treet står når vi vet t et står nærmere C enn A. (Eksmen MY våren 005) X5. Funksjonen f er gitt ve f ( )= 6 Finn slik t f hr nullpunktene og 9. Finn slik t f hr re ett nullpunkt. (Eksmen MX våren 005) X5. Skriv uttrykket så enkelt som mulig: ( ) ( ) Løs likningen 5= 0 Fktoriser og forkort uttrykket. (Eksmen MX våren 005, enret) X5.5 Lufttrykket vtr me høyen over hvet. Vi måler trykket i millir. Normlt lufttrykk ve hvoverflten er 0 millir. Lufttrykket vtr me % per 000 meter over hvet. Hv er normlt lufttrykk 000 meter over hvet? Funksjonen f er gitt ve f ( ) = 0 0, 88 Forklr t f er en mtemtisk moell for lufttrykket når er høyen over hvet målt i kilometer. Tegn grfen til f. Velg -verier fr 0 til 0. Bruk grfen til å finne normlt lufttrykk på toppen v Glhøpiggen, 69 meter over hvet, og Mount Everest, 8850 meter over hvet (ifølge e siste målingene). e På en fjelltur hr u me eg et rometer som måler lufttrykket. Hvor høyt over hvet er u når rometeret viser 800 millir? (Eksmen MY høsten 00)
Kpittel 5: Mer om lger 5 X5.6 Vnn er gjennomsiktig, men sorerer en el lys. Kommer en lngt nok ne i vnnet, er et stummene mørkt. Funksjonen I viser hvor mye lysstyrke som er igjen (målt i prosent) meter uner hvoverflten, og er gitt ve I ( ) = 00 0, 95 Tegn grfen til I i et koorintsystem. Velg -verier mellom 0 og 50. Hvor mnge prosent v lysstyrken er igjen på 0 meters yp? Hvor ypt må en ykke før lysstyrken er hlvert? Finn svret åe grfisk og ve regning. I Svrtehvet viser målingene t lysstyrken vtr me 0 % for hver 0. meter. Lysstyrken vtr me en fst prosent for hver meter. Bestem enne prosenten ve regning. (Eksmen MY våren 00) X5.7 Forkort røken. Trekk smmen og skriv så enkelt som mulig Lengen v et rektngel øker me 0 %, og reen minker me 0 %. Unersøk hvilken påstn som er snn: «Arelet fornres ikke.» «Om relet minker eller øker, vhenger v hvor lnge siene vr opprinnelig.» «Arelet lir større.» «Arelet lir minre.» (Eksmen MX våren 00) X5.8 y 5 5 5 5 Du kn ruke linjene i koorintsystemet ovenfor for å løse et likningssystem. Hv lir løsningen på ette likningssystemet? Skriv et likningssystem som svrer til isse to linjene. (Eksmen MX våren 00)
6 Kpittel 5: Mer om lger X5.9 Fktoriser uttrykket Trekk smmen ( ) ( ) Skriv så enkelt som mulig 9 : 7 98 (Eksmen MX høsten 00) X5.0 Tegn inn en rett linje gjennom punktene, og, 6 i et koorintsystem. Bestem likningen for enne linj. Velg m som enhet på egge ksene. 8 ( ) ( ) 6 6 8 Funksjonen g er gitt ve g ( )=. Grfen til funksjonen er tegnet i koorintsystemet ovenfor. Hvilken veri hr? Tegn grfen til g i smme koorintsystem som u rukte i. For hvilke verier v skjærer grfene hvernre? Finn svret grfisk og ve regning. (Eksmen MX høsten 00)
X5. Ekstr lett melk inneholer 0,7 % fett. Lettmelk inneholer,5 % fett. Helmelk inneholer,9 % fett. Hvor mnge grm fett er et i en liter helmelk når en liter veier kg? En g er kjøleskpet til Grethe tomt for lettmelk, men hun hr helmelk og ekstr lett melk. Hun estemmer seg for å lge liter lettmelk ve å lne ekstr lett melk me helmelk. Hun skriver følgene på en lpp: : ntll liter ekstr lett melk : ntll liter helmelk Kpittel 5: Mer om lger 7 = 0, 007 0, 09 = 0, 05 Forklr hv likning eskriver. Forklr hv likning eskriver. Hvor mye melk v hver sort skl hun lne? (Eksmen MX høsten 00) X5. Grunnstoffet kron (C) fins i flere utgver. En utgve klles C-. Når en orgnisme ør, egynner mengen v C- i orgnismen å minke. Mengen lir hlvert i løpet v 570 år. Vi lr M være en mengen v C- som er igjen i orgnismen t år etter t en øe. Vi kn regne ut M me enne formelen: t M = 05, 570 Eksempel: Hvis vi setter t = 500 inn i formelen, finner vi t M 08,. Det etyr t 500 år etter t orgnismen øe, er 8 prosent v en opprinnelige mengen C- til stee i levningene. Bruk formelen til å finne ut hvor mnge prosent C- som er igjen etter 000 år. Det er gjort funn v yreknokler hvor et vr igjen 77,8 prosent C-. Hvor lenge er et sien ette yret øe? Finn en formel for tien t uttrykt ve M. (Eksmen MX våren 00, enret)
8 Kpittel 5: Mer om lger Løsningsprogrm for nregrslikninger (Tes) Tes TI-8 hr et løsningsprogrm uner APPS som løser nregrslikninger. (Se sie 8 og oppgve 5.8 i læreok.) På Tes TI-8 og elre moeller kn u lste ne et slikt progrm, eller u kn skrive et inn selv. Kolonnen til venstre viser et ferige progrmmet. Kolonnen til høyre viser hvorn u legger inn progrmlinjene. PRGM ENTER Du lir nå et om å skrive nvnet på progrmmet. Trykk for eksempel A B C ENTER. PRGM 8 ENTER PRGM A (Trykk ALPHA først) ENTER PRGM B ENTER PRGM C ENTER B A C STOË D ENTER PRGM D TEST 50 ENTER PRGM '' INGEN LOESNING '' ENTER PRGM D TEST 50 ENTER PRGM 0 ENTER ( ( ) B AB D ) ) ( A ) STOË E ENTER ( ( ) B AB D ) ) ( A ) STOË F ENTER PRGM E TEST F ENTER PRGM '' X,T,q,n TEST X,T,q,n TEST '', E ENTER PRGM E TEST F ENTER PRGM X,T,q,n TEST '' '' X,T,q,n TEST '' '' PRGM 9 ENTER For tsten '' : Trykk ALPHA For tsten mellomrom: Trykk ALPHA 0 Når progrmmet er lgt inn, trykker u QUIT., F ENTER, E, For å kjøre progrmmet trykker u PRGM, velger progrmmet fr list, og trykker ENTER to gnger. Kommentr: Ovenfor hr u sett et eksempel på progrmmering i mtemtikkfget. Hv me å unersøke progrmmeringsmulighetene i et igitle verktøyet u ruker?