Kpittel 4 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling 4. Representsjon v kurver Kurveintegrler spiller en viktig rolle i mnge grener v fysikken. Senere skl vi se eksempler på integrler som svrer til væsketrnsport gjennom profiler og trykkintegrler som gir krefter på flter i væsk. Før vi ser nærmere på integrlene skl vi kort diskutere mtemtiske representsjoner og egenskper til kurver. En kurve i R 2 kn uttrykkes f(x, y) = 0, (4.) der f er en funksjon v to vrible. Kurven er d mengden v de tllpr (x, y) som oppfyller likningen ovenfor. Viktige eksempler på kurver definert på en slik måte er ekvisklrlinjer for sklrfelter slik de er beskrevet tidligere. En ekvisklrlinje for en funksjon g(x, y) er gitt ved g(x, y) = der er en konstnt. Dette svrer til (4.) med f(x, y) = g(x, y). En kurve på formen (4.) kn h en komplisert form og kn også bestå v ulike deler som ikke henger smmen. En følge v dette er t vi ikke lltid kn finne en entydig løsning for, feks., y uttrykt ved x fr (4.). I R 3 vil en enkelt sklrlikning f(x, y, z) = 0 definere enn flte og ikke en kurve. Legger mn til en nnen sklrlikning q(x, y, z) = 0 frmkommer d en kurve som skjæringen v fltene definert ved hhv. f = 0 og q = 0. Vi skl ikke benytte oss mye v kurver beskrevet som skjæringen mellom to flter her. Ofte er det mer hensiktsmessig å prmetrisere en kurve enn å uttrykke den ved hjelp v relsjoner mellom koordintene. I R 3 innfører vi d en prmeter t og skriver r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, (4.2) der x(t), y(t) og z(t) er sklrfunksjoner v t og prmeteren t kn gjennomløpe feks. et endelig intervll, hlvuendelig intervll eller hele tllinj. For en gitt kurve er det mnge mulige vlg v t. Dersom vi hr en nnen prmeter s, slik t t = t(s) for det ktuelle intervllet for t, kn kurven prmetriseres i s ved r(s) = r(t(s)). Selve kurven er d nturligvis ikke endret. I noen nvendelser vil t svre til tiden og r(t) til posisjonen v et legeme eller prtikkel, men ofte vil t h en nnen tolkning. Noen gnger vil prmeteren
2 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling y dr x Figur 4.: Den deriverte v r = ( 3 t + 2 t2 )i + ( 6 5 t 5 t2 )j i t = t 0 = 0.4 smmen med de dividerte differensene (r(t ) r(t 0 ))/(t t 0 ) og (r(t 2 ) r(t 0 ))/(t 2 t 0 ) der t = 0.8 og t 2 =.2. Dersom vi frmstiller fysiske størrelser med benevning på denne måten vil lengden v differenser og deriverte i forhold til kurven vhenge v vlg v enheter/sklering. tilsvre en v koordintene, feks. x, slik t r(t) = ti + y(t)j + z(t)k. Som regel bruker vi d koordintens nvn, i stedet for t, og skriver r(x) = xi + y(x)j + z(x)k. 4.. Tngenter, buelengder og normler. Prmetriseringen (4.2) definerer en vektorevluert funksjon v t. Denne kn deriveres på vnlig vis dr = lim r(t+ t) r(t) t 0 t ( x(t+ t) x(t) t = lim t 0 = x (t)i + y (t)j + z (t)k, i + y(t+ t) y(t) t ) j + z(t+ t) z(t) t k (4.3) der x er det smme som dx. Vi kommer til å blnde disse skrivemåtene for de deriverte mhp. prmeteren t i det følgende. Grenseovergngen i (4.3) er illustrert i figur 4. der vi merker oss t dr er en tngent til kurven. Dersom r er en posisjonsvektor og t er tiden vil dr representere hstighet. Vi kn også putte den deriverte inn i en smmenheng
4.. REPRESENTASJON AV KURVER 3 mellom endringen v r og endringen v t dr = dr = x i + y j + z k = dxi + dyj + dzk Hvis vi regner buelengden fr en gitt t-verdi, feks. t =, og betegner den med s(t) vil ds = dr = dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 eller ved å dele på (som er regnet positiv) s (t) = dr = (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2, (4.4) En enhetstngent er d gitt ved t = dr s (t). For en kurve i R 3 vil vi h mnge normlvektorer til kurven i ett gitt punkt. Disse vil utspenne et pln normlt t. I R 2 vil det bre være en normlretning til en kurve. D finner vi enkelt en normlvektor ved å krysse tngenten med en enhetsvektor normlt (x, y) plnet N = dr k = y i x j. (4.5) Vi merker oss t N = dr = s (t). En enhetsnorml er d gitt ved n = N s (t) = y i x j s = (t) y i x j (4.6) (x ) 2 + (y ) 2. Nturligvis er også n en enhetsnorml til kurven i R 2. Hr vi gitt kurven på formen (4.) kn en normlvektor lterntivt finnes som f. 4..2 Eksempler på kurver En rett linje På formen (4.) kn en rett linje i R 2 uttrykkes x + by + c = 0, der, b og c er konstnter og minst en v og b er ulik null. En rett linje kn prmetriseres ved hjelp v ett punkt r 0 = (x 0 i + y 0 j) og en retningsvektor v = u x i + v x j x(t)i + y(t)j = r(t) = r 0 + vt = (x 0 + v x t)i + (y 0 + v y t)j Vlget v r 0, v og tolkningen v prmeteren t er ikke entydig, men for t frmstillingene skl svre til smme linje må en del relsjoner mellom, b, c og r 0,v være oppfylt. Det overltes til leseren å finne disse relsjonene. En tngent finnes nå ved dr = v = u xi + v x j,
4 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling mens en enhetsnorml er n = v k v = v yi v x j. vx 2 + vy 2 Dersom b er ulik null kn linj også prmetriseres ved å bruke x som prmeter y = c b b x. Denne svrer til et spesielt vlg v r 0 og v. (Hvilket?) En ellipse En ellipse med hlvkser og b kn skrives f(x, y) = x2 2 + y2 b 2 = Vi merker oss dersom vi løser denne med hensyn på enten x eller y får vi ikke en entydig løsning. Feks. y = ±b x2 2. En enhetsnorml er gitt ved n = f f = En vnlig prmetrisering v ellipsen er 2 xi + b 2 yj 4 x 2 i + b 4 y 2. r(t) = x(t)i + y(t)j = cos ti + b sintj, 0 t < 2π. En tngent er dr = sinti + b cos tj. Vi legger merke til t dette også kn skrives dr = b yi + b xj. Bruker vi dette finner vi t enhetsnormlen n = dr k, dr blir den smme som den ovenfor etter litt omforming. 4.2 Kurveintegrler Det eksisterer en rekke former for kurveintegrler. Vi skl definere noen som blir viktige for oss senere. De hr lle det til felles t de kn tilbkeføres til vnlige integrler over et intervll når kurven er prmetrisert.
4.2. KURVEINTEGRALER 5 4.2. Integrl v sklrprodukt Dette integrlet dukker opp i viktige smmenhenger senere. Vi skl først motivere det med det fysiske begrepet rbeid. Det enkleste uttrykket for rbeid hr vi når et et legeme beveger seg lngs en rett linje påvirket v en konstnt krft prllelt med denne linj. Arbeidet blir d W = F s, der F er størrelsen v krften og s er veien legemet forflytter seg. Vi merker oss t benevning, i SI enheter, blir Nm = J. Dersom krften stdig er konstnt, men dnner en vinkel med veien, kn vi for rettlinjet bevegelse uttrykke rbeidet som et sklrprodukt fordi det bre er krftens komponent i veiretningen som utfører rbeid W = F r. (4.7) Vi vil nå generlisere rbeidsbegrepet til det tilfellet t veien er en kurve og krften en funksjon v legemets posisjon. I tillegg kunne vi h inkludert t krften vhenger eksplisitt v tiden, men i mnge eksempler er dette ikke tilfelle og vi holder denne muligheten utenfor. Krften kn d uttrykkes som et vektorfelt F(r). Legemets posisjon (egentlig posisjonen til krftens ngrepspunkt på legemet) er gitt som en kurve,, prmetrisert som r(t), t b. Prmeteren t kn her svre til tiden, men kn også være definert på nnet vis. Et diskret estimt v rbeid lngs en kurve Tilnærmede uttrykk for rbeidet kn vi finne ved å diskretisere kurven og bruke uttrykket (4.7). Å diskretisere kurven innebærer her å ersttte den med en serie rette linjestykker. På hvert linjestykke tilnærmer vi F med en konstnt verdi og bruker (4.7). Når vi legger smmen verdiene for W fr lle linjestykkene får vi et tilnærmet uttrykk for det totle rbeidet. Vi ser først på to enkle diskretiseringer v kurven.. Et sett punkter, r...r n velges på kurven. Mellom disse trekkes rette linjer og vi får et polygondrg som vist i figur 4.2. 2. Denne diskretiseringen tr utgngspunkt i prmetriseringen. Vi deler opp prmeterintervllet [, b] i n delintervller [0, h], [h, 2h],..,[(n )h, nh] der h = (b )/n slik t h er intervll-lengden og nh = b. Mipunktet i intervll i betegnes med t i = (i 2 )h. For hvert intervll tilnærmes den tilsvrende bit v kurven med en tngent gjennom r(t i ) med lengde r (t i ) h = s (t i )h. Resulttet blir en sekvens v seprte, rette linjer som vist i figur 4.2. For den videre utvikling v kurveintegrlet psser lterntiv 2 best, mens diskretisering kommer vi tilbke til i en oppgve. Når vi bruker (4.7) på hver tngent, med F innstt r(t i ) kn de legges smmen til et totlt rbeid som vhenger v n W(n) = n i= F(r(t i )) dr(t i) h = n F i r i, (4.8) i=
6 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling y () r n y (b) r(t 5 ) r(t ) r(t 2 ) r x x Figur 4.2: To diskretiseringer v en kurve. () Et interpolerende drg v rette linjestykker. (b) Tngentlinjer for vlgte verdier v prmeteren t. der r i er (tilnærmet) veiendring som hører til prmeterdelintervll i og F i er krften mi i dette. Denne formelen gir et estimt v rbeidet lngs kurven. Ulike vlg v n gir ulike verdier og ndre diskretiseringer, som lterntiv, gir igjen ulike verdier. Dess finere en diskretisering blir, dvs. jo større n er, dess nærmere ligger den diskrete kurven til den egentlige og dess mer vil summen (4.8) svre til en rimelig oppftning v hv rbeidet er. Vi vil først demonstrere t (4.8) nærmer seg en verdi når n øker for et gitt eksempel. Deretter vil vi diskutere konvergens når n litt mer stringent. Eksempel på diskretisering Vi velger et todimensjonlt krftfelt og en som svrer til en kvrtsirkel om origo med rdius i xy-plnet r = costi + sintj, t [0, π 2 ] F = 4 (x y)i + ( 2 x + 3 2 y2 )j (4.9) der gjennomløpes slik t vinkelen t strter i 0. Kurven og krftfeltet er vist i figur 4.3(). I dette eksemplet er det underforstått t krft og posisjon er gitt med smme typen enheter eller er gjort dimensjonsløse. Eksemplet skriver seg heller ikke fr et fysisk problem. Vi bruker nå (4.8) med ulike vlg v n. Resulttene i tbellen n 2 5 0 20 00 500 W(n) 3.5659.29244 0.96508 0.9643 0.96406 0.96405 er regnet ut med dobbel presisjon (64 bits ritmetikk) og ntyder t vi fktisk nærmer oss en grenseverdi for store n, dvs. fin oppdeling.
4.2. KURVEINTEGRALER 7 y () g(t) (b) x 0 t 4 2 π t Figur 4.3: (): Kurve i eksempel med piler for F lngs kurven. Tetthet v vektorer tilsvrer n = 7. (b): Integrnd, g(t), med diskretisering svrende til (4.8) med n = 7. Det skyggelgte relet er er den diskrete tilnærmelsen til kurveintegrlet, som tilsvrer relet under den gltte linjen. Relsjon til vnlig integrl, feilestimt Dersom vi oppftter F(r(t)) r (t) som en vnlig funksjon v en vribel, klt g(t), kn (4.8) uttrykkes n W(n) = g(t i )h, (4.0) som svrer til mipunktmetoden nven på integrlet (se figur 4.3(b)) W = b i= g(t). (4.) Grenseverdien for (4.8), når n blir stor, må d svre til integrlet i (4.). For eksempelet ovenfor kn dette vises ved å utføre integrlet b g(t) = 2 π 0 ( 4 (cos t sint)( sin t) + ( 2 cos t + 3 2 sin2 t)cos t Vi kn nå også finne et estimt på feilen fr delintervll nummer i E i = t i + 2 h t i 2 h g(t) g(t i )h ) = 3 8 +3π 6 0.964049... Vi ntr t g er kontinuerlig og innfører en ntiderivert, G, slik t G (t) = g(t). Feilen kn d skrives E i = G(t i + 2 h) G(t 2 h) g(t i)h.
8 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling Innsetting v Tylorpolynom med restledd og G (t i ) = g(t i ) etc., gir så G(t i + 2 h) = G(t i) +g(t i ) h 2 + 2 g (t i ) ( ) h 2 + 6 g (c + ) ( h G(t i 2 h) = G(t i) +g(t i ) h 2 g(t i )h = g(t i )h 2 2 g (t i ) ( h 2 ) 2 + 6 g (c ) ( h 2 2 )) 3 ) 3 E i = h 3 48 (g (c ) + g (c + )), der t i c + t i + 2 h og t i 2 h c t i. Dersom g er kontinuerlig finnes det en c slik t 2 (g (c ) + g (c + )) = g(c). Vi kn d skrive E i = h3 24 g (c) E i h3 24 M (4.2) der M er mksiml tllverdi v g på intervllet. Ved å legge smmen bidrgene fr lle intervllene får vi den globle feilgrensen b n g(t) g(t i )h bh2 M, (4.3) 24 i= der M nå er mksimum v g i intervllet [, b]. Vi merker oss t feilen vtr mot 0 som h 2 når n. Titter vi igjen på eksemplet i (4.9) kn vi studere feilen W W(n) delt på h 2. I følge (4.3) skl dette forholdet nærme seg en konstnt verdi når n øker. Tbellen n 2 5 0 20 00 500 W W(n) 2.6 3.3 0.0 0 3 2.6 0 4.0 0 5 4. 0 7 W W(n) h 2 4.2 3.327 4.92 4.73 4.67 4.67 viser t dette fktisk er tilfelle. Notsjoner for kurveintegrl Vår beregning v rbeid som en sum v diskrete bidrg ene med rbeidet uttrykt som et integrl i vribelen t W = b F(r(t)) dr(t). (4.4) En kn vise t dette integrlet er uvhengig v vlget v prmetrisering, det vil si t to prmetriseringer som gir smme kurve også gir smme integrl. Vi ønsker derfor også en skrivemåte som er uvhengig v prmetervlg. Tidligere hr vi skrevet r = dr. Innføres dette i (4.4) får vi den lterntive skrivemåten W = F dr, (4.5)
4.2. KURVEINTEGRALER 9 der vi hr merket integrlet med kurven med. Fysisk kn vi uttrykke dette som summen v rbeid fr hvert element dr over hele kurven. Vi kn også innføre komponenter i integrnden ved F = F x i + F y j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F x dx + F y dy) = F x dx + F y dy. (4.6) De to siste integrlene kn beregnes uvhengig, men det er viktig å huske t feks. F x(x, y)dx ikke kn integreres ved å ntiderivere med hensyn på x og sette inn endepunktene i. Både x og y vil vriere lngs. Dette blir tydelig hvis vi innfører prmeteren t i integrlene F x dx = b F x (x(t), y(t))x (t), F y dy = b F y (x(t), y(t))y (t). I forbindelse med definisjon v divergens og virvling får vi bruk for feilestimtet (4.2) uttrykt på formen F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, (4.7) der er kurvebiten prmetrisert over intervllet [ˆt 2 h, ˆt + 2h] og R er begrenset v ekstremverdiene v d 2 24 (F dr 2 ) på dette intervllet. Sklrproduktintegrler på formen (4.5) opptrer ikke bre i forbindelse med rbeid, men i en rekke ndre smmenhenger der F erstttes v vektorfelt med en nnen fysisk tolkning. Ett eksempel er sirkulsjonsintegrlet som er beskrevet senere i dette kpitlet. Integrlet v en grdientvektor I et viktig spesiltilfelle kn vektorfeltet vledes v et potensil. Dette vil si t det eksisterer en β(x, y, z) slik t vi kn skrive Kurveintegrlet blir nå b F = β. F(r(t)) dr(t) b = Kjederegelen gir β(r(t)) r (t) = dβ(r(t)) b F(r(t)) dr(t) b = og β(r(t)) dr(t). dβ(r(t)) = β(r(b)) β(r()). Integrlet er ltså uvhengig v veien og er differensen v β i endepunktene v kurven. Bruker vi formen (4.5) og innfører dβ = β dr kn vi skrive utregningen mer direkte. β dr = dβ = β b β, (4.8)
0 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling der det siste integrlet kn leses som endringen v β integrert opp lngs kurven som blir den totle endringen v β fr strtpunktet til sluttpunktet v kurven. (4.8) er kurveintegrsjonens motstykke til nlysens fundmentlteorem d c f (x)dx = f(d) f(c). Dersom F er et krftfelt vil β svre til minus den potensielle energien. Dvs. t den potensielle energien er definert ved V = F. Endringen i potensiell energi er d lik minus det rbeidet som krften F utfører lngs V b V = F dr. Dersom dette rbeidet går til å øke den kinetiske energien til legemet vil summen v potensiell og kinetisk energi holde seg konstnt. Smmenstte kurver Så lngt hr vi stilltiende nttt t kurvene hr vært gltte slik t dr er veldefinert overlt. Gnske snrt får vi bruk for smmenstte kurver, i betydningen en kurve som er stt smmen v gltte deler, men som kn h knekker der disse er føyd smmen. I et slikt tilfelle kn vi regne ut kurveintegrlet for hver gltt del for seg og ddere resulttene for å finne det totle kurveintegrlet. 4.2.2 Integrlet for volumfluks I en væske, eller et nnet medium med kontinuerlig mssefordeling, vil hstigheten v ngi hvor stor volumstrømmen pr. flte er for en flte som er norml på v. Dette betyr t gjennom et flteelement dσ trnsporteres det et volum pr. tid lik dq 3 = ± v dσ. Vi merker oss t benevningen for dq 3 er m 3 /s og t fortegnet vhenger v hvilken vei vi definerer trnsporten som positiv. Den tilsvrende mssestrømmen er ρdq 3, der ρ er tettheten, og hr benevning kg/s. For å finne volumstrømmen gjennom en flte v endelig utstrekning må vi d summere opp bidrgene over flten. Dette bringer oss til flteintegrler som vi først skl behndle senere. Her skl vi begrense oss til todimensjonl strøm. Dette betyr t hstigheten v(x, y) = v x (x, y)i + v y (x, y)j, er rettet prllelt med xy-plnet og er uvhengig v z. Videre ser vi på volumer som er skiver med konstnt tykkelse B i z-retning. Grunnflten v en slik skive er d vgrenset v en kurve,, i xy-plnet gitt ved r(t) = x(t)i + y(t)j. Normlvektorene til sidefltene v skiven er d lik normlvektorene til og er rettet prllelt med xy-plnet. Det er bre volumstrøm ut gjennom sidekntene. Ser vi på
4.2. KURVEINTEGRALER sidefltesegmentet, med tykkelse B, som tilsvrer et segment dr lngs vil relet være B dr = Bds. Dersom v er rettet normlt, og derved til flten, blir volumstrømmen pr. tid dq 3 = ± v Bds. Fordi strømmen og geometrien er uniform i z-retningen er det mer hensiktsmessig regne trnsport pr. tid og pr. tykkelse dq = dq 3 /B = ± v ds som hr benevning m 2 /s. Nturligvis er hstigheten som regel ikke norml på hvert eneste flteelement vi betrkter. Er hstigheten prllell med flten vil den feks. ikke trnsportere volum gjennom flten i det hele ttt. Hr vi en hstighetskomponent både prllelt og normlt flten er det d bre den siste som forårsker en trnsport. Betegner vi enhetsnormlen til med n er normlkomponenten v hstigheten v n og volumstrøm pr. tid og pr. tykkelse blir dq = v nds (4.9) Summert over hele kurven blir d fluksen Q = v nds (4.20) Et kurvesegment dr tilsvrer en prmeterendring slik t dr = r (t). Bruker vi (4.6) kn d (4.2) skrives om dq = v nds = v ns (t) = v (y i x j). (4.2) Hstighetskomponenter og en geometrisk tolkning v fluksen er gitt i figur.
2 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling () v n = (v n)n (b) v n v v n n ds v s ds v h = v n Figur 4.4: Vi betrkter volumstrømmen gjennom et lite segment v sideflten med lengde ds v en skive. Vi ser segmentet ovenfr slik t splnet svrer til ppirplnet. I tråd med vnlig bruk v differensiler (ds er forsvinnende liten) frmstiller vi kurvesegmentet som en rett linje. (): Dekomponering v hstigheten i komponenter som står normlt og tngentielt til flten. (b): Det skrverte området svrer til den væsken som strømmer ut v flteelementet i tiden. Arelet, som er trnsportert væske pr. tykkelse, er gitt ved hds = ds v n.
4.2. KURVEINTEGRALER 3 Integrlet kn d skrives Q = v nds = (v x y v y x ) = (v x dy v y dx). (4.22) Om vi vil kn vi også definere et felt som står normlt på hstigheten v ved ˆv = k v = v y i + v x j og skrive fluksen som Q = ˆv dr = (v x dy v y dx). (4.23) Nturligvis må vi også for fluksintegrlet huske t både x og y vrierer med kurven slik t det normlt ikke nytter å ntiderivere mhp. hhv. y og x i de to siste leddene i (4.22) eller (4.23). 4.2.3 Trykkintegrl Trykk er definert som krft pr. flte og er rettet normlt på flten. Hr vi et fltesegment dσ og en enhetsnorml n blir trykk-krften som virker på segmentet df = pndσ, (4.24) der minustegnet dukker opp fordi krften virker inn mot flt og n er en utdrettet norml. Siden trykk hr benevning N/m 2 får df benevning N, slik den skl h. I nlogi med hv vi gjorde i forrige seksjon ser vi på en todimensjonl geometri med et todimensjonlt trykkfelt p(x, y). Krften pr. tykkelse på sidekntene v en skive blir d df 2 = df/b = pndσ/b = pnds, der B er tykkelsen v skiv. Størrelsen df 2 hr benevning N/m og den totle krft pr. tykkelse summert lngs sidefltene v skiv blir F 2 = pnds. (4.25) Vi merker oss t dette integrlet gir en vektor med i og j komponent som resultt. Bruker vi igjen (4.6) kn vi omskrive integrlet til F 2 = pns (t) = p(y i x j) = i pdy + j pdx. (4.26) Eksempel: trykk-krft på demning Dette eksemplet vr en del v eksmenoppgven høsten 2008. Et vnnreservor er begrenset v en demning som hr en profil gitt ved x = b(y), der y ksen peker vertiklt oppover slik t tyngdekrft pr. msseenhet er gitt ved g = gj. En definisjonsskisse er gitt i figur 4.5. Når det er likevekt i væsk vil trykket være hydrosttisk. Dette betyr t trykket på flter i væsk må blnsere tyngden v
4 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling y g p = p 0 x dr n v = 0 x = b(y) y = H Figur 4.5: Definisjonsskisse v dm og reservor. væskesøyl som ligger ovenfor punktet pluss lufttrykket på overflten som her er stt til p 0. Siden skl vi vise t dette gir p = p 0 ρgy, der ρ er mssetettheten v væsk, men foreløpig tr vi bre dette uttrykket for gitt. Vi vil finne den totle trykk-krften, pr. tykkelse, som virker på demningen fr væsk når b(y) = αy 2. På grunn v den horisontle orienteringen v z-ksen, og t demningen ikke er sml, er det her mer nturlig å snkke om krft pr. breddeenhet enn pr. tykkelse. Denne krften kn beregnes ved integrlet (4.26). Kurven er her profilet mellom y = H og y = 0 og kn prmetriseres med y som prmeter r(y) = b(y)i + yj. Vi setter F 2 = F x i + F y j og regner ut komponentene hver for seg. Dette gir F x = p(y)dy = = p 0 H 2 ρgh2, 0 H (p 0 ρgy)dy = [ p 0 y 2 ρgy2] 0 H F y = p(y)dx = p(y) dx dy dy = 0 H (p 0 ρgy)b (y)dy = 0 H (p 0 ρgy)2αydy = = [ α(p 0 y 2 2 3 ρgy3 ) ] 0 H = α ( p 0 H 2 + 2 3 ρgh3). Vi kn sette en enkel prøve på dette svret. Vertiklkreftene som virker på væsken som ligger over profilet, og som vgrenset v dette og den stiplede linj i figur 4.5, er trykket
4.3. VOLUMSTRØM, SIRKULASJON, DIVERGENS OG VIRVLING 5 fr profilen, dvs. F y j, trykket på overflten som er p 0 b( H)j = αp 0 H 2 j og tyngden v væsk som er Mgj. Mssen, M, pr. breddeenhet er gitt ved tetthet gnger rel v området. M = ρ 0(b( H) b(y))dy = 2 3 ραh3. H Siden væsk er i ro må summen v kreftene være null, i følge Newtons lover, og F y = αp 0 H 2 Mg = αp 0 H 2 2 3 ραh3, som er identisk med svret for F y gitt forn. 4.2.4 Buelengdeintegrl Dette integrlet definerer lengden v en kurve. Dersom vi hr gitt en prmetrisert kurve r(t), der t [, b], gir (4.4) s = s(b) = b s (t) = b (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2, der vi hr stt t buelengden er null ved t =. Innfører vi ds = s (t) blir integrlet s = b Dette uttrykket kn ikke bruke direkte til å regne ut en lengde v en gitt kurve, men demonstrerer t ds er definert meningsfylt. ds. 4.3 Volumstrøm, sirkulsjon, divergens og virvling 4.3. Sirkulsjon For en lukket kurve, λ i kn vi definere sirkulsjonen som kurveintegrlet Γ = λ v dr, (4.27) som hr mening både i to og tre dimensjoner. Integrsjonssymbolet betegner t integrsjonen skl utføres omkring en lukket kurve λ i en gitt omløpsretning. Dersom kurven ligger i xy plnet er det vnlig å definere omløpsretning mot urviseren når vi betrkter kurven ovenfr (fr positive z verdier i et høyresystem x, y, z). Uttrykket (4.27) inneholder et integrl v smme type som (4.5), med krften F erstttet v hstigheten v.
6 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling 4.3.2 Volumfluks ut v et lukket område I seksjon 4.2.2 studerte vi volumtrnsport gjennom flter i to-dimensjonle strømninger. Ser vi på volumfluksen pr. tykkelse og tid ut v en lukket skive ntr (4.28) formen Q = λ v nds, (4.28) der λ er en lukket kurve som svrer til skivens omriss i xy-plnet, n er rettet ut v området omsluttet v λ og ds regnes positiv. Dersom Q er positiv strømmer det netto volum ut v området begrenset v λ, dersom Q er negtiv strømmer volum inn. 4.3.3 Divergensen til et vektorfelt Dersom vi lr kurven λ snøre seg smmen til et punkt, r 0, vil (4.28) gi t Q går mot null så lenge v er endelig. Dette er derimot ikke tilfelle for den netto reltive utstrømningen Q A = A λ v nds, der A er relet omsluttet v kurven λ. Siden både Q og A blir null når λ snøres smmen til punktet r 0 definerer vi grensen Q v(r 0 ) = lim A 0 A. (4.29) Størrelsen v er et sklrfelt som vi kller divergensen til v. Etterpå skl vi motivere bruken v den spesielle notsjonen. Dersom v > 0 strømmer væsken ut fr punktet r 0 og strømmen betegnes som divergent. Tilsvrende strømmer væsken mot punktet når v < 0 og strømmen kn d betegnes som konvergent. Noen spørsmål melder seg ngående (4.29). Eksisterer grensen i det hele ttt? 2. Dersom den eksisterer er det klrt den vhenger v feltet v og posisjonen r 0, men er det likegyldig hvordn vi snører smmen kurven λ? 3. Er det en mer direkte relsjon mellom vektorfeltet v og sklrfeltet v? De to første spørsmålene blir ikke fullstendig, og positivt, besvrt før vi hr gjennomgått integrlstsene som kommer på et senere tidspunkt. Det siste spørsmålet skl vi behndle nå i den forstnd t vi viser hv relsjonen mellom v og v må være dersom grensen i (4.29) eksisterer og er entydig. For enkle former på kurven λ kn vi finne grenseovergngen i (4.29) ved å estimere integrlet. Vi velger λ som et kvdrt med sideknter h og plsserer r 0 i mien; se figur 4.6. Q får d bidrg fr hver v de fire sidekntene. Sideknt og 3 er prllelle med y ksen og prmetriseres ved y. Sideknt 2 og 4 er prllelle med x ksen og prmetriseres
4.3. VOLUMSTRØM, SIRKULASJON, DIVERGENS OG VIRVLING 7 v y n = j λ 2 n = i λ h (x 0, y 0 ) v x λ 3 h n = i λ 4 n = j Figur 4.6: Skisse v kurven λ med enhetsnormler og oppdeling. ved hjelp v x. Dette betyr feks. t for λ er r(y) = (x 0 + 2h)i + yj og ds = dy etc. De fire bidrgene til den totle fluksen kn d skrives Q = Q 3 = Q 2 = Q 4 = y 0 + 2 h v ids = v x (x 0 + 2h, y)dy, y λ 0 2 h y 0 + 2 h v ( i)ds = v x (x 0 2h, y)dy, y λ 0 3 2 h x 0 + 2 h v jds = v y (x, y 0 + 2 h)dx, x λ 0 2 2 h x 0 + 2 h v ( j)ds = v y (x, y 0 2 h)dx. x λ 0 4 2 h Vi skl l h 0 og vi kn d bruke mipunkttilnærmelsen (4.7). Q = hv x (x 0 + 2 h, y 0) + R h 3, Q 3 = hv x (x 0 + 2 h, y 0) + R 2 h 3, Q 2 = hv y (x 0, y 0 + 2 h) + R 3h 3, (4.30) Q 4 = hv y (x 0, y 0 2 h) + R 4h 3,
8 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling der R i er begrenset v M = 24 mx( 2 v x y 2, 2 v y x 2 ) over et fst område som inneholder de kvdrtene vi betrkter. Arelet er A = h 2 og i grensen når h 0 (dvs. A 0) får vi Q lim h 0 A = lim Q + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 h 2 ( vx (x 0 + 2 = lim h, y 0) v x (x 0 2 h, y 0) h 0 h + lim h 0 (R + R 2 + R 3 + R 4 )h = v x(x 0, y 0 ) x + v y(x 0, y 0 ). y + v y(x 0, y 0 + 2 h) v y(x 0, y 0 2 h) ) h Vi legger merke til t bidrget fr feilleddene forsvinner fordi lle R i er begrenset og h 0. Videre utgjør bidrgene fr Q og Q 3 en dividert differens som svrer til mipunktmetoden for numerisk derivsjon i x-retning. I grensen h 0 gir d bidrgene fr Q og Q 3 den prtiellderiverte v v x mhp. x. Tilsvrende gir Q 2 og Q 4 den prtiellderiverte v v y mhp. y i grensen. Grenseovergngen (4.32) svrer ltså til bruken v en derivsjonsopertor på vektorfeltet v Q lim A 0 A = v = v x x + v y y. (4.3) Skrivemåten v er motivert v den formelle regningen ( v = i x + j ) (v x i + v y j) y = i i v x x + j i v x y + i j v y x + j j v y y = v x x + v y y. Mer om nven på ulike måter som en opertor kommer siden. En tilsvrende beregning kn vi utføre for enkelte ndre former på λ. Utvidelsen til et rektngel, som bevrer formen når det går mot null, er opplgt. Vi kn også se på en kurve som utgjør tringlet med hjørner (x 0, y 0 ), (x 0 + h, y 0 ) og (x 0, y 0 + h). Kurven λ deles nå i 3 og mipunktformelen brukes på hver del som ovenfor (se figur 4.7). Når vi merker oss t enhetsnormlen på hypotenusen er kn derfor kn sløyfes, får vi 2 (i + j) og t feileddene forsvinner i grensen, og Q lim h 0 A = lim Q + Q 2 + Q 3 h 0 ( 2 h2 2 = lim v x (x 0 + h 0 h 2 h, y 0 + 2 h) + v y(x 0 + 2 h, y 0 + 2 h) v x(x 0, y 0 + 2 h) v y(x 0 + ) 2 h, y 0) ( vx (x 0 + 2 h, y 0 + 2 h) v x(x 0, y 0 + 2 h) ) = lim h 0 = v x(x 0, y 0 ) x + v y(x 0, y 0 ). y 2 h + v y(x 0 + 2 h, y 0 + 2 h) v y(x 0 + 2 h, y 0) 2 h
4.3. VOLUMSTRØM, SIRKULASJON, DIVERGENS OG VIRVLING 9 n = i n = 2 (i + j) v n = 2 (v x + v y ) v x λ 2 h v y λ (x 0, y 0 ) λ 3 n = j Figur 4.7: Skisse v tringulær kurve med enhetsnormler og oppdeling. I tre dimensjoner kn vi definere divergensen på tilsvrende måte, men ved hjelp v flteintegrler run volumer som krympes til null. Divergensen v v = v x i + v y j + v z k blir d v = v x x + v y y + v z z Kommentr Når vi sløyfer feilleddene i (4.30) blir volumfluksen for hver side v det rektngulære området tilnærmet med normlkomponenten v hstigheten i mipunktet gnger sidens lengde. Summen Q + Q 2 + Q 3 + Q 4 er en diskret tilnærmelse til den totle utstrømningen v rektnglet. Akkurt denne tilnærmelsen brukes i en rekke numeriske modeller for væskestrømning. Dersom et område i xy-plnet er delt i et rutenett v slike rektngler, ofte klt celler eller kontrollvolumer, vil fluksen ut v en sideknt fr en celle være lik fluksen inn gjennom den smme flten i nbocell. I slike metoder er det lett å sørge for totl bevring v feks. msse. Hvordn en netto ut- eller innstrømning i en celle påvirker forholdene i denne skl vi ikke gå inn på utover å påpeke t dette vil være beslektet med kontinuitetslikningen som kommer senere. 4.3.4 Virvlingen til et vektorfelt På tilsvrende vis som vi beregnet reltiv utstrømning kn vi se på grenseovergngen Γ lim A 0 A = lim v dr. (4.32) A 0 A λ
20 Tillegg om kurveintegrler, fluks, sirkulsjon, divergens, virvling Vi kn nå gjent hele serien v betrktninger og utregninger som brkte oss til divergensen, men det er lettere å gjøre om sirkulsjonsintegrlet til et fluksintegrl (omven vei v gngen fr (4.22) til (4.23)) v dr = ṽ nds, der ṽ x = v y og ṽ y = v x. D følger umiddelbrt λ λ Γ lim A 0 A = ṽ x x + ṽ y y = v y x v x y. (4.33) Uttrykket lengst høyre side i likningen ovenfor representerer størrelsen v virvlingen til vektorfeltet. Virvlingen er en vektor som betegnes v og kn beregnes formelt ved en determinnt, i nlogi med kryssproduktet mellom to vektorer. I det to-dimensjonle tilfellet kn vi lett se dette i j k v = x y 0 v x v y 0 = ( vy x v ) x k. (4.34) y Beregningen v sirkulsjonen omkring rektnglet viser ltså t sirkulsjon per relenhet er lik virvlingens komponent i retning normlt på rektnglets pln. Vi kn derfor skrive likning (4.33) som en vektorlikning lim A 0 A λ v dr = k v. For en vektor A i et tre-dimensjonlt rom er virvlingen i krtesiske koordinter definert ved i j k ( ) ( ) ( ) A = x y z A x A y A = Az y A y Ax i+ z z A z Ay j+ x x A x k. (4.35) y z Som i to dimensjoner kn vi bruke determinnten i nlogi til kryssprodukt mellom vektorer.