Hvor krum er jorden?

I mverkn melln Nämnren oc Tngenten DAG GULAKER & KJARTAN TVETE Hvor krum er jorden? eller: Hvor feil kn det bli? Hur långt är det till orionten? Hur ög är toppen v jön? Hur långt är det till jorden medelpunkt? Frågor om de kn föroppningvi inpirer elever till mtemtik verkmet i verkligeten. Fr Bergen kl mn eile rkt vet mot Hvrf på Grønlnd, og d eiler mn nord om Setlndøyene ålede t mn å vidt kn e lndet i iktbrt vær, men ønnenom Færøyene og d lik t mn bre er lndet i lv øyde,... (Fr en norrøn eilingbekrivele, Bergen Grønlnd) Vi kl e på en problemtype knyttet til nturgeogrfi, der innledende pørmål kn være: Hvor øy er toppen v Mjø? Hvor lngt ut over vet kn en e fr en øyde på for ekempel meter? Problemene r den motivjonpykologike fordel t intuijonen vår blir utfordret. Riktignok er jord rund, men loklt, om for ekempel over Mjø område, er den vel å regne om flt? (For mer om fenomenet, e for ekempel [], [], [] eller øk på nettet på jord (jorden) krumning ). Problemtypen kn ngripe fr forkjellige nivåer v kolemtemtikken. (Derfor er et pr vnitt med trigonometri og rekker ttt med.) Deuten kn emnet innby til å gjøre prktike underøkeler der mtemtikk og nturgeogrfi tår entrlt. Løningkiene nedenfor vil foråpentlig inpirere til å l elever/tudenter prøve problemene, med pende lærertøtte. Med Pytgor og kvdrtetninger Vi finner øyden v et vnn med lengde. Se figuren, der S er jordentret: Fig Dg Gulker oc Kjrtn Tvete rbetr vid Högkoln i Nord-Trøndelg. dg.gulker@int.no kjrtn.tvete@int.no Når vnnet lengde er liten i forold til jordrdien R kn vi prøve med å i t korden (eller lve korden) er tilnærmet lik buen (eller lve buen). Av den rettvinklede treknten ABS få d: 50 NÄMNAREN NR 1 005

( R ) + R = eller R R + + = R eller R = Høyden kn jo løe ut v denne.-grdligningen. Men for må vnn blir leddet vært mye mindre enn R, og neglijere får vi tilnærmingformelen: () 8R Bruker vi en verdi for jordrdien på km får vi for en innjø på km ( l Mjø) en -verdi på m! Dette tllet tørrele kolliderer om regel krftig med den unne fornuft og v en ville vrt ved gjetning. Vi må vel regnet glt!? Med trigonometri Se på fig ovenfor og merk v vinkel ASB. BS R Kll denne u. D er cou = =. Det AS R gir = R( 1 cou). I rdiner er u / = =. Dermed få: R R (). = R 1 co R For = km gir dette -verdien m, om formel (). Fktik temmer formlene nå overen ned til cm. Prøv elv med et mil lngt vnn! Med Tylorrekk for co x: Forkjellen på formel () og () I den korrekte formel () kn vi erttte co ved å bytte ut x med i Tylorrekk co x = 1 + +... Det gir: R R x x x!!! R R R co = 1 + +... R 70 Formel () kn d krive () For må er /R nær, og rekk konvergerer rkt. Vår formel () vrer ltå til t vi bre tr med. leddet rekk () (eller ledd t o m v grd fr Tylorrekk). I en rekke om () er feilen ved å toppe etter et vit ntll ledd, mindre enn tllverdien v det nete leddet, dv. mindre enn /R for formel (), et uttrykk om er gir et meget godt bilde v feilen. Siktlinj til orionten Dette problemet, å finne lengden v iktlinj til orionten fr en øyeøyde over vet, kn ogå ngripe med Pytgor etning: Fig = 1 8 R + 38 R 080R +... = R R + R... 3 5 8 38 080 Figuren tilier t + R = R + om etter forenklinger og ny neglijering v gir: ( ) () R NÄMNAREN NR 1 005 51

Denne kn krive () når vel å merke lengdeeneten er meter. På grunn v lybrytning i tmofæren er en i prki noe lengre. En formel om korrigerer for dette er () Fr en øyeøyde på meter blir vtnden til dit vor immel møter v ikke lengre enn vel km. Vi ntyder noen mulige oppgver/ ktiviteter:. Hv tror du øyden v et km lngt vnn er? Finn den.. Hvor lngt utover vnnet er du når du itter og ror?. Tegn og tuder grfer for funkjonene betemt v () og ().. En rtikkel i Adree-vi (/-) evdet t det ydligte tedet i lndet der en kn e midnttol er fr fjellet Heilornet lengt ør på Helgelnd. Kn det temme?. Se på figur nedenfor. (Vi løfter korden opp v vnnet til tngering.) Vi vordn formel () ved de ntydede tilnærminger nå kn utlede fr formel (). Fig 3570 3830 Prktike underøkeler ogå v jorden rdiu? Tr en med elevene til en fjord eller et vnn v bre noen kilometer bredde/lengde, er det, utrolig nok, meget enkelt å l dem få en terk, viuell opplevele v t vnnet virkelig lår kul på eg. Det er bre å e på utvlgte objekter (elt i kikkert) i trnd på den ndre iden men en enker/ever in øyeøyde. Ting vil plutelig forvinne/dukke opp igjen. Formel () kn utprøve på ulike vi. Men ærlig pennende, og etter vink fr Tngenten redktør: Siktlinjeformelen () må kunne prøve til beregning v jord rdiu, ut fr målinger v og! Fig, b og c gir noen ideer til forøkopplegg: Fig, b Fig. er et peiltilfelle v b. To prter mrbeider fr ver in ide v en fjord eller en jø. Formel () gir 1 = R 1 og = R Klle vtnden mellom obervtørene for få = 1 + = R ( 1 + ) eller R = Fig. c er en forenkling + ( 1 ) v en ide gitt v A.I. Vitne i []. Denne berer eg på tilgng til fri oriont. Ant t ved å kltre opp til et punkt P er en toppen H kkurt i orionten. Høyden må finne, likelede, ved mme vnntnd. Formel () gir o igjen uttrykk for og, die ubtrere, og når vtnden mellom P og toppen v H klle, få R = Vi jkter på R Fr et forøk på forøk I det nye utekolebegrepet ånd beveget vi gmle tvlelærere og ppirpedgoger o ( 1 ) 5 NÄMNAREN NR 1 005

Måling nr. Dto (meter) 1 (meter) (meter) R (km) 1.9.0 350,30 1,50 8 3.9.0 350,85 0,85 959 3 3.9.0 350 0,80,80 3058 3.9.0 370 0,1 5,10 98 5 1.10.0 775 0,15 0,31 30 ut i den fyike verden for å gjøre obervjoner, i mvr med fig. b. Uttyr: Hver vår feltkikkert m/ttiv, x fortørrele, ver vår vite ioporplte (cm x cm), vrt plt, tommetokk og mobiltelefoner. Den ene er i kikkerten men den ndre enker vrt plt nedover plt til den kommer ut v ynet. Vi gjorde måleforøk, de førte over mme fjordtrekning mellom vlgte punkter i fjær på Levngerneet og Ytterøy, det ite over en lengde mellom to trndpunkter ved Tomtvtnet i Levngermrk. Reulttene ee i tbellen: ( er beregnet v... krt i måletokk :.) ( Om vi vr på utflukt til Mr?...) Noen kommentrer: Ved. måling vr det en god del bølger, knkje med opptil en / meter øyde, noe om kn forklre t denne R- verdien ble den klrt lvete. For de ndre målingene lå jø/vnn gnke tille. Vi erfrte likevel t det ikke er elt enkelt å e kkurt når den gjenværende vite plteknten går ut v yne. Antgelig mitet vi den for tidlig. Men rrt er det t den målingen om vi opplevde om den klrt krpete obervjonen, måling, ltå med kikkerten reltivt øyt plert, ikke g en veentlig øyere R-verdi. Målingen over den kortere ferkvnnditnen g en klrt øyere R, dog rent for liten den ogå. Vi bemerker t betydningen v lybrytningen, om er neglijert ovenfor, kulle bidrtt til forøyede R- verdier, ikke omvendt. Temperturen i luften nlå lle dger til c C, i vnnet litt lvere. Fig c Oppfordringer/Oppfølginger Kn ndre Nämnren-leere bidr med forbedringer v vårt opplegg eller med forklringer v feilkildene? Knkje kn obervjoner bert på fig. eller c føre til mer vlide R-verdier? Knkje flere enn o kn få lyt på å prøve underøkeler når bdetemperturen igjen blir god, eller om en r dgng til åpent v eller en tor innjø med fri oriont? Kn leere finne og rpportere om velegnede obervjonteder? Kn fikere benyttet kunnkper om iktlinj til for ekempel vtndbedømming fr lnd? NÄMNAREN NR 1 005 53

Tidlige målinger v jord tørrele Klikeren fr Oldtiden er Ertotene måling (c år - ), om bygger på følgende enkle ide, er kort gjengitt (e for ekempel [], [] eller på nettet): Derom vi for en gitt irkelbue b kjenner buen entrlvinkel u, å kn lett irkelen omkret finne. Det gjldt d å finne u d omveier. Ertotene oberverte oltrålene vvik fr en lokl loddlinje i Syene (nå Awn), og i Alexndri, midt på dgen midtommer. (Sol to d fktik i zenit i Syene, men det er i prinippet ikke viktig). Ved prllelle linjer gjenfinne u oppe ved jordoverflt, e fig. Ertotene fnt b tdier og u v rette vinkler ( ), om g omkreten x = tdier, om igjen er km derom tdion = m. Imponerende! For et koleopplegg etter denne metoden, e G. Hjlmron []. Reulttene kn nok er bli lngt ikrere enn med vår prinipielt forkjellige metodetype (uten vinkelmåling), når de to tedene r god vtnd. Likevel er det nærliggende å formode t noen nokå tidlig måtte kommet på, og ltt eg frite til å gjøre et forøk v lignende type om vårt, med ndre jelpemidler enn kikkert og mobiltelefon, og lik fått i det minte en vi peiling på jord tørrele. Krvene til regneferdigeter kn imidlertid bli noe tørre, men flere v de gmle kulturene kulle vel klrt beregningen (ærlig om = ). For et pr ndre gmle forøk på måling v jordrdien, e []. Et pr oppgveideer: 1. Fr to teder på mme meridin måle den vinkelen om iktlinj til polrtjern dnner med en loddlinje til..v. 5 og 51 38. Avtnden mellom tedene beregne til 575 km. Tegn figur, tuder geometrien, forklr vordn entrlvinkelen ved jordentret nå er betemt, og beregn jord omkret. (Hr tidpunktene for obervjonene noe å i når ol er byttet med polrtjern?). Vi r brukt begrepet oriont om der vor immel møter v. Det tronomike fguttrykket oriont betyr tngentplnet til det tedet en obervtør tår på jord. I nvigjon vr det viktig å regitrere den vinkelen for ekempel ol dnnet med denne nne orionten. Sektnten, og den eldre Jkobtven, regitrerer vinkelen mellom olretningen og iktlinj til ynrnden, eller kimingen, der immel møter v. Feilen klle kimingdlingen.- Finn denne uttrykt ved obervtøren øyeøyde over vet, når lybrytningen ee bort fr. (Et jelpevr: Et kjent uttrykk, når lybrytingeffekten t enyn til, er 1, 78 bueminutter, der er i meter. Og uk: Lybrytningen løfter ynkreten.) Til lutt: Ser du t formelen for kimingdlingen gir en ny muliget for underøkeler v jordrdien? REFERANSER [] H. Idl: Er jord flt eller rund?, Tngenten nr / [] K. Tvete: Geometri - Jordmåling, Cpr. [] Fr fyikken verden, Sommernøtter, nr / [] www.krlclculu.org/meureert.tml [] G. Hjlmron: Lyer olen i Skr?, Nämnren, nr [] J.L. Heilbron: Meuring te Ert, Clicl nd Arbic, Encyklopædi Britnnic Fig 5 NÄMNAREN NR 1 005