1 Laplacetransform TMA4125 våren 2019

Transkript

1 Lplcernform TMA45 våren 9 Lplcernform er en eknikk vi kl bruke il løe ordinære differenillikninger. For de føre er de en mye mer elegn eknikk enn den du lære i M3, for de ndre kler den en bredere kle v likninger. Definijon grunnleggende egenkper L f være en funkjon definer for. Lplcernformen il f er: L(f) f()e d F (). Før kn mn pørre eg hvilke funkjoner de er nurlig å finne lplcernformen il. Vi noerer o L(f) er definer ved e uegenlig inegrl, dee bør konvergere. Teorem.. L f en ykkvi koninuerlig funkjon, l M > være reelle ll Inegrle f() Me for. f()e d. konvergerer bolu derom >. Bevi. Vi beregner: f()e d f() e d M e e d M e ( ) d Ekempel.. Vi kn ikke beregne L(e ) for e voker for for. Siden e d, M. Ekempel.5. Vi kn å beregne L() e d. Hereer kl vi llid n er vlg inegrle konvergerer. Vi kl å n f er ykkvi koninuerlig ilfredilller f Me. E vikig pørmål er hvorvid mn kn inverere lplcernformen: Derom o funkjoner hr mme lplcernform, må de være like om funkjoner? Slik du hr lær funkjoner il nå, er vre definiiv nei, om følgende ekempel vier. Ekempel.6. L g() e Som i ekemple over, kn vi for > beregne e ( ) d +, lå den mme om i ekempel.4. e ( ) d Ekemple over kn fremå om li polik, men de er e vikig memik poeng e inegrl ikke endre v mn byer u enkele funkjonverdier. I med lplcernformen er e inegrl, kn vi med ndre ord ikke forvene de kl finne en enydig inver, med mindre mn er li reng på hvilke funkjoner mn lplcernformerer. En lerniv løning er å omdefinere hv mn mener med o funkjoner er like; i vner memik nlye bryr mn eg ikke om funkjoner hr forkjellige funkjonverdier i e nne punk, d blir de leere å nkke om inver lplcernform. Vi hr ikke mulighe il å gå inn på dee, men de er egenlig ikke å vikig for en ingeniør. Ingeniører bruker lplcernform il å løe differenillikninger, d vil de gjerne være åpenbr fr nvendelen hv om er den korreke inverrnformen, elv om de ikke finne noe memik enydig vlg. Følgende eorem r vi nå med une. lim e kn inegrle ikke konvergere. Ekempel.3. L f være funkjonen rjonle x f(x) irrjonle x Teorem.7. L f g være ykkvi koninuerlige funkjoner. Derom må L(f) L(g), f g overl der f g er koninuerlige. Vi kn ikke lplcernformere denne funkjonen, for den er ikke ykkvi koninuerlig. Den er fkik dikoninuerlig overl, ikke en gng riemnninegrerbr. Ekempel.4. Så lenge >, kn vi fin beregne L(e ) e ( ) d. Dee eoreme foreller derom vi er bor fr funkjonverdier kkur i prng, vil den invere lplcernformen være enydig. Bevie er deverre lfor hrd for dee kure. De finne formler for inver lplcernform. Men de er å for hrde for o, å vi kl bruke bell i ede. Dee er den vnlige måen å inverere lplcernformer på.

2 Regneregler Mn løer ordinære differenillikninger ved å bruke lplcernform il å krive dem om il lgebrike likninger. De er duke for å inroduere rikene vi kl bruke. Teorem.8. Lplcernformen er lineær. Derom b er reelle ll, er L(f + bg) L(f) + bl(g). Bevie for dee eoreme er å enkel vi dropper de. Ekempel.9. L(co ) e co d ( e i + e i) e d e (i ) + e (i+) d ) ( i + + i +. Her hr vi bruk en omkrivning v Euler formel: co ei + e i. Ekempel.. ( e + e ) L(coh ) L ( L(e ) + L(e ) ) ( + ) +. Teorem.. Derom > f () Me er ykkvi koninuerlig, er L(f ) L(f) f(). L(f ) 3 L(f) f() f () f () å videre. Ekempel.3. Vi beregner før L() e d. L nå f() n. Den n-e derivere v f er: f n () n! iden f k () une k, får vi Vi r o eoremer il. n!l() n L( n ), L( n ) n! n+. Teorem.4. L g() f(u) du. Derom g ilfrediller vekkrve, hr vi: L(f) Bevi. L >. Vi beregner g()e d g()e + L(f). Ekempel.5. L(in ) L(co ) + +. f()e d Bevi. L >. Vi beregner L(f ) Ekempel.. f ()e d f()e + L(f) f(). f()e d L(inh ) L(coh ) + coh() + +. Under liknende beingeler på de høyere orden derivere, vil gjen bruk v eorem.4 gi formler v ypen L(f ) L(f) f() f () Teorem.6. L g() f() L(f) F. An F er deriverbr. D hr vi: F Bevi. Derom f er ykkvi koninuerlig ilfrediller vekkrve, gjelder dee å for g. Vi beregner d d Ekempel.7. f()e d f()e d F. d d f()e d L( in ) d d + ( + ).

3 To peielle funkjoner I de følgende kl vi bekrive noen hel nye yper funkjoner om dukker opp i nvendeler. Heviidefunkjonen Heviidefunkjonen er gi ved u() for < for. Mn kn enke på denne om en funkjon om lår noe på ved. Ekempel.8. u()e for < e for Vi kn lå på ved iden iede: u( ) for < for, u() u( ) Vi kn å lå på ved v igjen ved b: for < u( ) u( b) for < b for b. Delfunkjonen L g k ( ) Slik er de u: Vi definerer y /k for < < + k eller g /8 g /4 g / δ() lim k g k () x for eller Delfunkjonen bruke il å modellere impul, lå energiilførler der den påryke krfen er ekrem høy ekrem korvrig, for ekempel hmmerlg. Mn kn å enke på den om noe om plukker u funkjonverdier: f()δ( ) d lim k k Ekempel.. L(δ( )) +k f() d f(). δ( )e d e Delfunkjonen er reng ikke noe funkjon i orde ree fornd, heviidefunkjonen er ikke deriverbr. De kn llikevel være frukbr å enke på delfunkjonen om e forøk på å ee opp den derivere il heviidefunkjonen. To kifeeoremer De nee eoreme klle gjerne -kif. Teorem.. L g() e f(), L(f) F G. D hr vi G() F ( ). u( ) u( b) Bevi. Derom f() er ykkvi koninuerlig ilfrediller vekkrve, gjelder dee å for e f(). Ekempel.9. for < (u( ) u( b)) e e for < b for b b Ekempel.3. e f()e d f()e d f()e ( ) d F ( ). Ekempel.. L f() u( ). L ( e in() ) ( ) + L(f) e d e L ( e co() ) ( ) + 3

4 Følgende eorem klle -kif. Teorem.4. L g() f( )u( ), L(f) F G. Vi hr G() e F (). Bevi. Vi lplcernformerer f g byer inegrjonvrible, lik om i M. Hjelpefiguren under kn være grei å h i bkhode. p Bevi. G() u( )f( )e d f( )e d f(v)e (v+) dv e f(v)e v dv e F (). Ekempel.5. L Vi beregner Konvolujon f() u( ) in( ) for < in( ) for L(f) e +. En konvolujon mellom f g, er e inegrl på formen f g f(p)g( p) dp. De finne mnge yper konvolujoner, de er forkjellige inegrjongrener om killer dem. Hvilken ype inegrjongrener om er me relevn, kommer li n på nvendelen. I dee kpile kl vi bruke konvolujonen f g f f(p)g( p) dp Når vi løer differenillikninger med lplcernform, kn vi øe på produker v lplcernformer. Følgende eorem, om klle konvolujoneoreme, foreller o hvordn vi kl nøe opp i e lik produk. Teorem.6. An både L(f g), L(f) L(g) ekierer. D er L(f g) L(f) L(g). L(f g) p L(f)L(g) dp d p f(p)g( p) dp e d f(p)g( p)e d dp f(p)g(u)e (u+p) du dp f(p)e p dp g(u)e u du Å forklre hv konvolujon er ånn ren fyik e, er ikke å enkel. Men mnge rige ing er ber på konvolujon. Noen ekempler er reverb-knppen på girforerkeren din, bkgrunnukrpheen i de vkre konfirmjonbilde di, eller uofokufunkjonen på peilreflekkmere du fikk il ovennevne konfirmjon. Differenillikninger Oppkrifen for å løe differenillikninger med lplcernform, er llid å lplcernformere hele differenillikningen, bruke regnereglene, løe for lplcernformen il den ukjene, inverrnformere. Vi begynner med o elemenære ekempler. Ekempel.7. y + y y(). Vi lplcernformerer likningen. Venreiden blir L(y + y) L(y ) + L(y) L(y) + L(y) ( + )L(y). Merk bruken v iniilbeingelen y(). Høyreiden blir L(). Eer lplcernformering år vi igjen med den lgebrike likningen ( + )L(y), L(y) +. Dee er en lplcernform vi hr beregne idligere: y() e. 4

5 Ekempel.8. Vi løer likningen y + y y() y (). Vi lplcernformerer likningen L(y ) + L(y) L(y) + L(y), L(y) +, y() co. Vi bruker -kif, får y() in( )u( ) in( b)u( b). Ligningen venreide bekriver en klo en fjær på frikjonfri underlg. Ved iden er yeme i ro. Ved iden blir kloen deng v en hmmer fr venre, om gir opphv il vingningen in( ). Ved iden b blir kloen deng v en hmmer fr høyre. Dee lge gir en ny vingning in( b) om legge oppå den gmle vingningen. Følgende ekempel illurerer derivjonregelen.6. Ekempel.9. Vi løer iniilverdiprobleme y y y() Vi lplcernformerer likningen L(y ) L(y), lr Y L(y). Før kn vi krive L(y ) d d (L(y )) d d (Y ) Y Y Seer vi denne inn i likningen, får vi eller Y Y Y Y 3Y. Y + 3Y. Dee er en differenilliking for Y. Inegrerende fkor er, ( 3 Y ). Y C 3 Vi inverrnformerer endrer li på konnen: y C bruker iniilverdibeingelen for ndre gng: y. De re foregående ekemplene løe enklere med meodene du kn fr før. Men die eknikkene kommer il kor i ekemplene vi kl nå. Her er e pr gmle ekmenoppgver. Ekempel.3. Vi løer med iniilbeingeler Vi får y + y δ( ) δ( b) y() y (). ( + )L(y) e e b, L(y) e ( + ) e b ( + ). Noen gnger kn de være komplier å inverrnformere. I de nee ekemple må mn bruke både -kif -kif. Ekempel.3. y + y + y δ( ) y() y (). Vi rnformerer ligningen il L(y) + L(y) + L(y) L(δ( )) L(y) e ( + ). Her luker de -kif på grunn v ( + ), -kif på grunn v e. Formelen for -kif gir L(e ) ( + ). Vi bruker i illegg -kif, y ( )e ( ) u( ). Elekrofolk er forreen veldig glde i lplcernform. De er nok fordi de renger penning om kn lå v på. Heviidefunkjonen gir dem en mulighe for dee, lplcernform kler heviidefunkjonen med lehe. Ekempel.3. Srømmen i() i kreen under ilfrediller inegro-differenilligningen Li () + Ri() + C i(τ) dτ δ( ), der R, L, C.5 δ er Dirc delfunkjon. Vi eer i() finner rømmen i(). 5

6 C..8 R L.6.4. v() Vi lplcernformerer likningen, får L(i) + L(i) + L(i) e, løer vi for L(i), får vi L(i) e + +. Her er de enkle å fullføre kvdre + + ( + ) +, å krive L(i) Formelen for -kif gir ( + )e ( + ) + e ( + ) +. L(e co ) L(e in ) Inverrnformerer vi L(i) med -kif, får vi lå + ( + ) + ( + ) +. ( + )e ( + ) + e ( + ) +. i() e ( ) u( ) (co( ) in( )). Dee ekemple modellerer en fugl om ved iden eer eg på en høypenledning. Merk rømmen er null frem il. I opplever fuglen en voldom påryk penning i de den eer eg på høypenen. Den fller umiddelbr v, penningøkningen bre vrer e kor øyeblikk. For > bekriver i rømmen i fuglen kropp men den dler ned mo bkken. Se figuren under. I denne oppgven kunne vi å bruk delbrøkoppplning: + + ( i)( + i) men regningen blir noe vineri. Nå r vi o ekempler der vi bruker konvolujon. Ekempel.33. Vi løer iniilverdiprobleme Vi lplcernformerer y + y y() bruker konvolujoneoreme L(y) + L()L(y ) L(y) + L(y) eller L(y) + L(y) Herfr er regningen ndrd, vi får L(y) ( + ) +, y e. Ekempel.34. L o løe iniilverdiprobleme y + y in y() y () Vi lplcernformerer l, får eller om gir L(y) ( + )L(y) + y() ( (L(in )) + ) in( u) in u du Dee ie inegrle kn vi løe ved å bruke reljonen in u eiu e iu i inegrere i vei y() 4 4 in( u) in u du (in co ) (e i( u) e i( u) )(e iu e iu ) du e i e i( u) e i( u) + e i du co co( u) du L(y) + L( y ) 6

7 Dee ekemple bekriver for ekempel en klo en fjær, der den påryke krfen in hr mme frekven om yeme nurlige vingefrekven. D oppår de reonn. Reonnen kommer il urykk gjennom ledde in, om voker mo uendelig når. Når dee kjer i e PA-nlegg, klle de feedbck, lle må holde eg for ørene Ekemple over vier elv om de er li regning med lplcernform, er de en penere løningmeode enn å dele opp i homen prikulær løning, å gjee i vei. Ekemple illurerer å en eknikk vi får bruk for når vi kl løe vrmelikningen på hele x-ken i kpiel 5. 7