8 Vektorer og kurver. Løsning til KONTROLLOPPGAVER OPPGAVE 1. t t ) Vi finner skjæringspunktet med y-aksen ved å sette x = 0.

Transkript

1 Løning il KONTROLLOPPGAVER 8 Vekorer og kurver OPPGAVE 1 a) 1) Vi lager abell, velger o enkle -verdier og regner u verdiene for x og y. x 6 y ) Vi finner kjæringpunke med y-aken ved å ee x =. 1 y 1 Linja kjærer y-aken i punke (, ). Vi finner kjæringpunke med x-aken ved å ee y =. x 6 Linja kjærer x-aken i punke (6, ).

2 b) 1) Linja m må være parallell med AB [ ( 1), 9] [, 6]. Med fa punk ( 1, 9) og reningvekor x 1 m : y 9 ) Se punk a) 1). r 1 AB, får vi c) Grafik. Vi leer av kjæringpunke mellom grafene il l og m fra oppgave 1a. Skjæringpunke har koordinaene (4, 1). Ved regning. Vi byer parameer fra il i linje m, og får x x 1 l : og m : y y 9 Vi må ha: 1 9 Den andre likningen gir 11. Vi eer denne -verdien inn i den føre likningen, og får (11 ) Vi eer = 5 inn i parameerframillingen for m, og får x y Skjæringpunke har koordinaene (4, 1).

3 OPPGAVE a) og b) Vi bruker GeoGebra og får fram kurven og linja. c) 1) Vi leer av kjæringpunkene mellom K og l : ( 1, 5) og (4, ). ) Når vi kal finne kjæringpunker mellom parameeriere kurver, må vi pae på å bruke ulike navn på parameeren for hver kurve. Vi kaller parameeren for linja l for. x 1 l : y I kjæringpunke har kurvene amme x-verdi og amme y-verdi. De gir 1 1 Fra den føre likningen får vi a =. Dee eer vi inn i den andre likningen og får 6 Denne andregradlikningen har løningene = og = Vi finner å x og y ved å ee inn i parameerframillingen for K. = gir: x = + 1 = + 1 = 1 y = + + = ( ) + ( ) + = = 5 = gir: x = + 1 = + 1 = 4 y = + + = + + = = Skjæringpunkene mellom K og l er : ( 1, 5) og (4, ).

4 OPPGAVE a) Vekorfunkjonen kjærer x-aken når y ( ). y ( ) 6 6 = = gir x() Vekorfunkjonen kjærer x-aken i verdien 1. Vekorfunkjonen kjærer y-aken når x ( ). 6 8 Andregradformelen gir eller 4 = gir y() = 4 gir y(4) 4 6 Vekorfunkjonen kjærer y-aken i verdiene og. b) Vi bruker GeoGebra og får fram denne vekorfunkjonen.

5 c) Hvi Q(, 4) kal ligge på grafen il r (), må de finne en -verdi lik a 6 8 og Andregradformelen gir = 1 eller = = 1 Når = 1 er x(1) = og y(1) = 4. Dermed ligger punke Q(, 4) på grafen. d) r ( ) [ 6 8, 6] r ( ) [ 6, ] r (1) [ 1 6, ] [ 4, ] En reningvekor for angenen i punke Q er da [ 4, ]. e) Farvekoren eer 4 ekunder er v(4) r'(4) [ 4 6, ] [, ] Faren mål i meer per ekund er da v (4) v(4) 8,8 Akelerajonvekoren eer ekunder er a( ) v ( ) [, ] Vi er a akelerajonen a ikke varierer med ida. Den er konan. a a ( ) Akelerajonen er, m/.

6 OPPGAVE a) 1) Likningen for irkelen er ( x 4) ( y 1) 5 ( x 4) ( y 1) 5 ) På y-aken er x =. De gir ( 4) ( y 1) 5 16 ( y 1) 5 ( y 1) 9 y 1 eller y 1 y eller y 4 Skjæringpunkene er (, ) og (, 4). ) Vi eer y x 4 inn i irkellikningen ( x 4) ( x 4 1) 5 ( x 4) ( x ) 5 x x x x x x 5 5 x x xx ( 1) x eller x 1 x y 4 4 x 1 y Skjæringpunkene er (, 4) og (1, 5). 4) Vi bruker GeoGebra og får denne figuren. Vi er peiel a linja y x 4 kjærer irkelen i punkene (, 4) og (1, 5).

7 b) x y x y x 4x y y 4 x 4x y y ( x ) ( y 1) 9 ( x ) ( y 1) Sirkelen har enrum i S(, 1) og har radiu. c) Eerom irklene kal angere hverandre, må angeringpunke ligge på linja mellom de o enrene. SP [16 4,1 1] [1,9] SP Radien i den redje irkelen er da 15 5 = 1 d) Vi egner grafene il f og g i de amme koordinayeme og er a de il ammen ugjør en irkel. Vi finner likningen for irkelen ved å ee for ekempel f ( x) y og omforme likningen. y 5 15 x x y 5 15 x x ( y 5) 15 x x x x ( y 5) 15 x x 1 ( y 5) 15 1 ( x 1) ( y 5) 16 ( x 1) ( y 5) 4 Sirkelen har enrum i R( 1, 5) og har radiu = 4.