Retteveileder Eksamen i Fys-mek1110/Fys-mef1110 våren 2007

Transkript

1 Side av 3 Reeveileder Ekamen i Fy-mek/Fy-mef våren 7 Oppgave a) En pendel beår av en iv, maelø av av lengde L med en kule med mae m fee i enden. Den andre enden er fee i e frikjonfri hengel. Gjør rede for og egn inn krefene om virker på pendelen når den har e vinkelulag θ fra verikalen. Krefene er illurer på figuren. Krefene er yngdekrafen, w= mg, lufmoanden, L, og de o krefene N og N om virker på angen fra hengele i horional og verikal rening. Tyngden kal ha rikig rening. Derom kun nordrag er egne inn gi rekk på. Manglende navngiving gir rekk på. Manglende lufmoand gir ikke rekk. Derom hverken nordrag eller normalkraf er egne inn gi. b) En klo med mae m glir på e frikjonfri bord. Kloen er fee il e lodd med mae m med en maelø nor om løper over en rine uen å gli. Trinen har mae M og radiu R. T er krafen fra noren på kloen, og T er krafen fra noren på lodde. Ranger, og w = m g. Begrunn vare. T T Vi er før a iden kloen ligger på e frikjonfri bord vil den begynne å kli, lik a lodde vil akelerere nedover. Derfor er mg > T. Siden rinen har endelig mae, vil de være krafmomene om rinen enrum om gir rinen den vinkelakelerajon. Spinnaen om maeenere il rinen gir α = RT RT >. Derfor er T > T. De gir rangeringen: mg> T > T. Rikig rangering uen begrunnele gir. Feil rangering, f.ek. mg>t_ = T_ gir 3 derom begrunnelen forøvrig god. c) Awood fallmakin beår av o lodd fee i en maelø nor om løper over en maelø rine om vi i figuren. Hvordan kan du bruke Awood fallmakin il å måle yngden akelerajon, g? Hvorfor ror du man på Newon id bruke Awood fallmakin il å måle g?

2 La o e hva om kjer når yeme lippe. La krafen fra noren på lodd være fra noren på lodd være hver av loddene gir da: ma = T mg () og ma = T mg. () Side av 3 og krafen T. Siden rinen er maelø er T = T = T. Maeeneraen for Derom noren ikke rekke vil a = a = a. Trekker vi likning () fra likning () får vi: ( m+ m) a= ( m m) g De gir m m a = g m+ m Ved å velge de o maene vær like vil vi derfor få en lien akelerajon om vi kan måle med god preijon elv om vi ikke har veldig preie klokker. Ved å måle akelerajonen og forholde mellom maene kan vi beemme yngden akelerajon med god preijon elv uen preie klokker. En bevarele kan være fullgod ogå uen bruk av maemaikk. F.ek. kan de argumenere a ved å velge maer om er ilnærme like ore vil akelerajonen bli lien og dermed enklere å måle uen ilgang il preie klokker. T d) Vi a for en punkparikkel med mae m og haighe v i poijonen r i forhold il punke P, er krafmomene av de yre krefene om punke P lik den idderivere av pinne, L = r mv. P dl d dr d = ( r mv) = mv+ r mv = v mv+ r Fi = +τ d d d d Forøk om arer med idderivajon, men ikke klarer å er hvordan man blir kvi ermen v mv, eller forøk hvor man anar a dr / d = blir gi noe (-3) avhengig av argumenajonen klarhe. e) Bekriv en fyik proe om kan bekrive av likningen: k( y y) + mgy = mgy + mv. Lag en kie av yeme og forklar ymbolene. Likningen kan bekrive en parikkel med mae m om kye u fra en ammenpree fjær med fjærkonan k. Venre ide bekriver den mekanike energien arpoijonen, hvor høyden il parikkelen er y, og likevekpoijonen il fjæren er y. Høyre ide bekriver den mekanike energien ide parikkelen er i høyden y med faren v. Parikkelen er da ikke lenger i konak med fjæren, lik a fjæren er i likevekpoijonen, og de er ingen mekanik energi lagre i fjæren. Likningen urykker bevaring av mekanik energi.

3 Side 3 av 3 Her blir de gi god uelling for å inne a yeme er bekreve av energibevaring i en fjær am i yngdefele (3-4). De rekke noe derom udenen ønker å ha konak med fjæren i hele bevegelen og ikke klar kan argumenere for hvor fjærenergien er i lu-ilanden. f) Vulkanene Hekla og Krekla er 3 km fra hverandre. Ole om år mid mellom vulkanene er a de bryer u amidig. Mari flyr i romkipe i med faren v=.5c. Hekla bryer u ide Mari paerer den på vei mo Krekla. For Mari, bryer Krekla u før, il amme id, eller eer Hekla? Begrunn vare. Alle obervaører i yeme il Mari vil finne amme idpunke for amme hendele. La o derfor berake en obervaør i Mari yem om befinner eg re over Ole ide hendelene innreffer i Ole yem. Ole vil da obervere a hver ubrudd ender e lyglim mo Ole. Fordi Mari beveger eg mo Krekla, vil lyglime fra Krekla nå Mari før lyglime fra Hekla. Mari vil derfor obervere ubrudde fra Krekla før ubrudde fra Hekla. Siden lyhaigheen er den amme i Mari yem, beyr de a urbudde ved Krekla innraff før ubrudde ved Hekla i Mari yem. Vi kan ogå finne amme reula ved Lorenz-ranformajonene. La hendelene i Ole yem være ( x, ) og ( x, ). Hvor = da hendelene er amidige i Ole yem. Mari yem er de ilvarende hendelene ved Lorenz-ranformajonene x ' = γ ( x u ), u ' = γ ( x ) c og x ' = γ ( x u ), u ' = γ ( x ). c Hvi vi eer = = er vi a <. De beyr a for Mari innreffer hendele (ubrudde ved Krekla) før hendele (ubrudde ved Hekla). Her er de vikig å kille mellom når Mari og Ole oberverer (blir nådd av lye) hendelene og når hendelene innraff. Derom de er ydelig a udenen gjør denne diinkjonen gir de noe uelling (-). Derom udenen inner a hvor Mari er ikke har beydning for idfaeelen gir dee ogå noe uelling (-). Bruk av Lorenz-ranformajonen på rikig vi gir fullgod uelling elv med ganke få kommenarer. Oppgave denne oppgaven kal vi udere e ø mellom en ang og en lien klo. Sangen er homogen og har mae M og lengde L. Sangen er fee med e frikjonfri hengel il punke O lik a de kan roere om vi i figuren. Kloen er lien ammenlikne med angen. Kloen har mae m og ligger il å begynne med i ro på e frikjonfri underlag. Sangen holde i ro med vinkelulage θ og lippe. Sangen reffer kloen ide angen henger re ned, de vil i ide θ =. Sangen reghemomen om maeenere er cm = ML.

4 Side 4 av 3 a) Vi a angen reghemomen om punke O er O = ML 3 Parallell-ake-eoreme gir: L O = cm + M = ML + ML = ML 4 3 b) Finn angen kineike energi om funkjon av vinkelen θ. Se bor fra lufmoand. Da hengele er frikjonfri og vi er bor fra lufmoand bevare den mekanike energien i yeme. Sangen roerer om punke O. Da er den kineike energien il angen gi ved vinkelhaigheen om O: K = ω O Energibevaring mellom ilanden (null) og gir: K + U = K+ U Den poenielle energien il e iv legeme i yngdefele er gi ved høyden il maeenere. Vi legger nullpunke for poeniell energi i punke O. Da er den poenielle energien il angen gi om L U = Mg co( θ ) Vi eer dee inn i likningen for energibevaring og får: K + U = K+ U L L Mg co( θ) = K Mg co( θ ) om gir K = MgL(co( θ ) co( θ)) Noen har her funne pørmåle uklar, og har ieden funne den kineike energien om funkjon av vinkelhaigheen dv. de har effekiv arbeide med en uledning av a K = ω O Hvor de har kreve ω = dθ / d. Dee har vi gi noe uelling () for da de vier a de kan endel av den relevane fyikken, elv om de ikke har forå a en her kan bruke energibevaring eller arbeid-energi eoreme il å finne den kineike energien.

5 Side 5 av 3 De er vær vankelig å finne den kineike energien baer på inegrajon av vinkelakelerajonen. E lik forøk gir ogå li uelling (-3) avhengig av hvordan argumenene er før, elv om de ikke leder fram. Noen har kreve den kineike energien om ummen av den kineike energien il maeenere og il roajonen om maeenere. Dee er rikig, men gir effekiv kun parallellake eoreme og den vanlige likningen for kineik energi. Vi har likevel ypik belønne dee med - avhengig av argumenajon. De er da vikig å bruke urykke for reghemomene om maeenere og ikke urykke for reghemomene om punke O. Noen har regne u den kineike energien med arbeid-energi-eoreme ved å inegrere krafmomene over vinkelen pendelen roerer. Dee er rikig, og gi full uelling. Oppgave b og c ble e under e. Noen udener bruke ikke energibevaring i oppgave b, men bruke de i oppgave c på rikig vi. De ble i å fall gi poeng ogå for deloppgave b elv om denne i eg elv var gal ufør. c) Finn angen vinkelhaighe, ω, umiddelbar før den reffer kloen. Vi finner vinkelhaigheen fra den kineike energien: Oω = K = MgL( co( θ)) om gir 3 g ω = ( co( θ ) L Her gi de uelling for å inne a man kal bruke energibevaring (-), am for å bruke rikig urykk for den kineike energien. Feil var ved rikig argumenajon gir kun e mindre rekk (- ). Oppgaven ble e i ammenheng med oppgave b og c, da die o oppgavene kulle ee bruk av energibevaring am kineik energi il e legeme om roerer. E fullgod var på oppgave c vil derfor ogå gi noe eller il og med full uelling i oppgave b elv om denne var forøk lø med en annen meode om ikke føre fram. Ana a øe er fullendig elaik. d) (Noe vankelig) Vi a kloen haighe umiddelbar eer øe er ω L v = + ml / O dee øe er ikke bevegelemengden bevar da ummen av yre krefer ikke nødvendigvi er null, men pinne om punke O er bevar fordi krafmomene av de yre krefene om punke er null. Normalkrafen på kloen har ikke noe krafmomen om O og krefene om virker i hengele har ikke noe krafmomen om O da avanden il punke er null. De er ingen

6 frikjonkrefer på kloen. Vi finner pinne like før og like eer øe: Side 6 av 3 L = ω O L = Oω+ Lmv Spinne eer øe har o ledd. E ledd om er pinne il aven, og e ledd om er pinne il kloen. Kloen har haigheen like eer øe, lik a pinne il kloen like eer øe er Lmv. Spinnbevaring gir: ω = ω + Lmv (3) O O v Siden øe er elaik er ogå den mekanike energien bevar gjennom øe. Oω = Oω + mv (4) Vi eer inn ω = ( ω Lmv/ O ) fra likning (3) inn i likning (4) og finner: Oω = O ω + mv = O ω ω + + O O O Lmv Lmv L m v mv Lmv = Oω Lmv + + mv ω O om gir Lmv ω Lmv = + mv O Vi deler på mv på begge ider og får: ω = Lmv + = ml ( + ) L v v O O Dermed har vi ω L v = ml ( + ) O Denne oppgaven inneholder noe mer komplier algebra. Vi gir uelling for å inne a de er pinne om er bevar i denne oppgaven. Derom udenen kommenerer a energien er bevar, og kan krive ned e urykk for dee vil

7 Side 7 av 3 de kunne gi -. Derom udenen kommenere a pinne er bevar, og kan krive ned e urykk for dee, vil de ogå gi en uelling på -. En uden om har formulering rikig bevaringaer, men ikke klar uregningen vil få mellom 3 og 4 (avhengig av argumenajon). Endel udener har bruk bevaring av bevegelemengde. De er ikke korrek i dee ilfelle. Sammen med bevaring av energi har en rikig formulering av dee gi ca. på denne deloppgaven. Derom udenen har kunne følge argumene lang frem mo e reula, elv om dee har vær gal, har vi gi oppil 3 poeng på denne deloppgaven. e) Vi a angen vinkelhaighe umiddelbar eer øe er ω = ω / + O ml Vi finner ω ved å ee urykke for v inn i likning (3) over. De gir: ωml Oω = Oω+ Lmv = Oω+ + ml / O Vi deler på og løer for O ω og får ωml / O ω = ω = ω + ml / O O / ml + Bruk av pinnbevaring eller energibevaring fører frem. Rikig oppa likning for energibevaring gir derfor god uelling (-3) elv om vare ikke er korrek. Rikig oppa likning for pinnbevaring gir ogå god uelling (-3) elv om vare ikke er korrek. Bruk av bevaring av bevegelemengde, om ikke er korrek, har gi noe uelling da udenen demonrerer en vi kunnkap om kollijoner og bevaringaer elv om de ikke er rikig anvendele i denne omgang (-3). f) Dikuer bevegelen il kloen og angen eer øe for ilfellene m M og m M. Hva kjer når m= M /3? Vi eer inn O = ML /3 og finner ωl ωl v = = ml m ml /3 M og ω = ω( ) + M /3m For ilfelle m M er vi a

8 Side 8 av 3 v = ωl og ω = ω Sangen foreer med amme vinkelhaighe, og kloen kye u med en vinkelhaighe om er dobbel å or om angen. Oppførelen er den amme om for en ball om kolliderer med en vegg og revererer in haighe, hvilke vi er ved å berake proeen i e yem om følger enden il aven. dee yeme har kloen haigheen v' = ωl før øe og v' = ωl eer øe. For ilfelle m M blir v = og ω = ω. Sangen preer ilbake med amme vinkelhaighe, og kloen blir ikke påvirke. For ilfelle m= M /3 blir v = ωl og ω =. Sangen aner, og kloen får haigheen om enden av angen hadde re før kollijonen på amme måe om en kollijon mellom o idenike kuler. Her gi de full uelling for e fyik argumen for hva om kjer i de forkjellige ilfellene, uen å ee inn i urykkene om er gi. De gir ogå full uelling å ee inn i urykkene, med en kor kommenar om hva om kjer. Kun å ee inn i urykkene gir 3-5 avhengig av kommenarer. Ana nå a øe er fullendig uelaik g) Finn vinkelhaigheen il angen og haigheen il kloen umiddelbar eer øe. For e uelaik ø er pinne fremdele bevar gjennom proeen. Eer øe beveger angen og kloen eg om e legeme, men reghemomen gi om ummen av reghemomene il angen om O og reghemomene il kloen om O, = + ml. Spinnbevaring gir da: O O = = ( O + ml ) ω ω ω om gir ω ω = = ml ml / O O + + O og ωl v = Lω = + ml / O Her gi de noe uelling for å inne a den kineike energien ikke er bevar (de hjelper jo lie i å løe oppgaven), am å kommenere av legemene henger ammen eer kollijonen. Bruk av pinnbevaring gir god uelling (-4) elv om rikig var ikke er funne. Bruk av bevaring av bevegelemengde gir noe uelling (-3) elv om dee ikke er rikig i dee ilfelle.

9 Oppgave 3 Side 9 av 3 denne oppgaven kal vi udere oppførelen il e pinnende hjul om ee ned på e plan, horional underlag. Hjule har mae m, radiu R og reghemomene om maeenere er. Vi lar x-aken være parallell med underlage og velger poiiv roajonrening med klokken, om illurer i figuren. Den dynamike frikjonkoeffiienen mellom underlage og hjule er μ. Tyngden akelerajon er g. Hjule ee på underlage ved iden = i poijonen x() = x =. Den iniielle haigheen il hjule er v() = v =, og den iniielle vinkelhaigheen il hjule er ω. a) Tegn e frilegemediagram for hjule. Finn alle krefene uryk ved m, g og μ. Maeeneraen i y-reningen gir ma = = N mg N = mg y Så lenge hjule glir mo underlage er de dynamik frikjon, lik a frikjonkrafen er gi om f = μn = μmg Her gi de neen full uelling elv om frikjonkrafen er egne inn feil vei (4-5 avhengig av kommenarer). Derom krefene kun er egne inn, men ikke regne u gir dee kun 3. b) Finn poijonen il hjule om funkjon av iden frem il bevegelen blir ren rulling. Maeeneraen i x-reningen gir: ma = f = μmg x og dermed ax = μg Vi finner haigheen og poijonen ved å inegrere: v () og x() = μg = μg. Denne løningen gjelder frem il bevegelen blir ren rulling. Her gi de uelling for å inne a man kal bruke maeeneraen (Newon andre lov), elv

10 Side av 3 om vare kulle bli gal (-4). Er foregne gal pga. feil i figur a) rekker vi ikke for de her ogå. c) Finn vinkelhaigheen il hjule om funkjon av iden frem il bevegelen blir rulling. Vi finner vinkelakelerajonen fra pinnaen om maeenere: α = fr = μmgr om gir mgr α = μ Vi inegrerer med henyn på iden og finner: mgr ω() ω = αd = μ Og dermed mgr ω() = ω μ Her gi de uelling for å vie a man kan bruke pinnaen (-4), am bruke bevegelelikningene for vinkel og vinkelhaighe. d) Vi a iden de ar il bevegelen blir ren rulling er gi ved ωr = μg ( + mr / ) Ren rulling oppnå ide v mgr v () = μg= ωr= ( ω μ R ) om gir = ωr. Vi eer inn urykkene over for å finne iden: ω mgr mr R = μ g + μ = g μ + Og dermed er ωr = μg + mr ( / ) Her gi de god uelling for å vie hvordan man kan komme fram il vare elv om dee ikke funne. F.ek. å krive a man finner vare ved å finne v() fra oppgave b) og ω () fra oppgave c) og finne iden om gir rullebeingelen v= ωr vil gi (-4) avhengig av hvor klar argumene er, elv om vare ikke er funne.

11 Side av 3 reen av oppgaven anar vi a underlage er dekke av vann. Hjule blir da ikke påvirke av en frikjonkraf, men blir i ede ua for en vikø kraf, f, om avhenger av haigheen, v, il den delen av hjule om er i konak med underlage: f = kv e) Finn v uryk ved hjule haighe, v, og vinkelhaighe, ω. Her gi de full uelling il udener om har funne rikig var am har e korrek argumen for vare. Hjule roerer om maeenere og maeenere beveger eg med en haighe. Haigheen il e punk i avanden r i forhold il maeenere er derfor ummen av haigheen il maeenere og haigheen i punke pga. roajonen om maeenere: v = v + ω r cm konakpunke peker v = v ωr ω r i negaiv x-rening, lik a haigheen i konakpunke blir Her gi de noe uelling derom udenen inner a man kan bruke pinnaen og maeeneraen il å vie dee, elv om forøke ikke fører fram (-4). f) (Noe vankelig) Vi a bevegelelikningen for v kan krive om dv kv mr = + d m Vi finner bevegelelikningen for v ved å e på likningene for v og ω, om vi finner fra maeeneraen i x-reningen og pinnaen om maeenere: dv ma = m = f = kv d om gir dv k = v (5) d m Og dω α = = Rf = Rkv d Som gir

12 Side av 3 dω Rk = v (6) d Ved å derivere v = v ωr får vi: dv dv dω = R d d d Vi eer inn for dv / d og dω / d fra likning (5) og (6) og får: dv dv d k kr k mr = = = + d d d m m ω R v vr v (7) g) Finn iduviklingen il v og olk reulae. Når vil bevegelen il hjule bli ren rulling i dee ilfelle? Vi finner iduviklingen ved å løe differeniallikningen i (7). Vi kjenner iniialbeingelene, da v () = v() ω() R= ωr Løningen av likning (7) er en ekponenialfunkjon: k mr + m ω v () = v () e = Re Hvor den karakeriike iden er m = k mr + Ren rulling varer il ilfelle hvor v= ωr, de vil i a v =. Dee oppnå aldri i dee ilfelle, men oppførelen vil være veldig nær ren rulling eer en id ilvarende den karakeriike iden. Kommenar: Vi kan ogå e på oppførelen il hjule ved å e på haigheen il hjule om funkjon av iden, ved å inegrere akelerajonen. Vi har a dv k k / v Re d m m ω = = Dermed er

13 Side 3 av 3 k / k / v () v() = ωre d= ωre ( ) m m = k mr ω R + m e mr + Som går mo en konan verdi når. Hjule vil derfor ikke oppe opp, men eer hver bevege eg med konan haighe, og en konan vinkelhaighe, hvilke ilvarer ren rulling. *** Dee er ie ark i oppgaveee. Lykke il med oppgavene!