Eksamen S2 høst 2009 Løsning Del 1

Transkript

1 S Ekamen, høten 009 Løning Ekamen S høt 009 Løning Del Oppgave a) Deriver funkjonene: ) ln f f ln ln f ln ln f f ) g e e u, u g e e g e e e g 6e b) Vi har en aritmetik rekke der a 8 og a8. Betem a, d og S 50. a a 5d 8 8 5d 5d 5 d a a d 8 a a 49d S 50 a a c) Lø likningen

2 S Ekamen, høten 009 Løning 6 Må ha 0 og ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Løningen ( 7) gir null i nevner og kan ikke bruke. d) ) Vi at f er et nullpunkt til funkjonen f f ( ) ( ) 0 ( ) 6 ( ) 8 f ( ) f ( ) 0 Bruk polynomdivijon til å faktoriere f f ( 0 6 8):( ) 8 ( ) 68 ( ) 8 8 (8 8) 0

3 S Ekamen, høten 009 Løning ( 0 6 8) ( )( 8) Setter andregradpolynomet lik null 8 0 ( ) ( ) Dette betyr at f ( 0 6 8) ( )( 8) ( ). Lø ulikheten f 0 I forrige delpørmål fant vi det faktorierte uttrykket for hvi og bare hvi ( ) 0. Uttrykket Det betyr igjen at f 0 hvi og bare hvi 0 f. Det betyr at f 0 er alltid lik eller tørre enn null., og det er når e) Lø likningettet y z 0 y z 4 y z Løer likningen y z 0 med henyn på z y Så ette dette uttrykket inn for i de to andre likningene. z y 4z y y z yz z y y z 4z 4y y z zy z y Vi har nå et likningett med to ukjente om vi løer. z y yz videre er

4 S Ekamen, høten 009 Løning z z z z 6 z 5 z 5 om gir y 5 5 Vi har dermed løningen, y og z 5 f 6 f) Vi har funkjonen ) Finn f f. Betem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f 6 f f 0 0 f f 9 0 f f Dette betyr at grafen tiger til ventre for. Grafen ynker mellom og, og grafen tiger til høyre for. Det betyr videre at: Grafen har toppunkt for Grafen har bunnpunkt for. fma 6 8 f 6 4 min. ) Betem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til f. Grafen har vendepunkt når den dobbeltderiverte er lik null. f 6 f f 6 f 0 0 f Vendepunkt: 0,6

5 S Ekamen, høten 009 Løning Oppgave På en peiell terning er det én eker, to treere og tre toere. Du kater terningen én gang. La X være antall øyne om terningen vier. a) Gi annynlighetfordelingen til X ved å krive av og fylle ut tabellen nedenfor. b) Regn ut E X og Var X. P X E X Var X Du kater terningen to ganger. La Y være ummen av antall øyne om terningen vier. c) Betem annynlighetfordelingen til Y. Finner ut hvilke tallkombinajoner om opptår når terningen kate to ganger. Regner deretter ut annynligheten for hver enkelt kombinajon. PY 4 PY 5 PY PY 8 PY 9 P Y PY y Sum y

6 S Ekamen, høten 009 Løning Del Oppgave Det n-te leddet i en rekke er gitt ved n a n n a) Skriv de fire førte leddene i rekken. Vi at rekken er geometrik, og finn kvotienten k. 0 a 4 a 7 7 a 9 9 a Sjekker om forholdene mellom et ledd og leddet før er kontant. a a a a a a Rekken er geometrik med kvotient, k b) Betem ved regning hvor mange ledd du mint må ta med i rekken for at Sn 0,999. k Sumformelen, S n, for geometrike rekker er gitt ved Sn a. k Bruker digitalt hjelpemiddel og løer n k a 0,999 Der a og k k n 0,999 n 7 Det må mint ta med 7 ledd for at ummen kal bli tørre enn 0,999 n c) vgjør om rekken konvergerer. Finn eventuelt ummen. Rekken konvergerer derom k. I denne oppgaven er Det betyr at rekken konvergerer. k.

7 S Ekamen, høten 009 Løning En paient om er kronik yk, tar hver dag en tablett om inneholder 0, mg av en betemt mediin. Kroppen bryter ned, % av denne mediinen på ett døgn. Hvi paienten har mer enn,5 mg av denne mediinen lagret i kroppen, kan det gi alvorlige bivirkninger. d) Ville du ha anbefalt denne mediinbehandlingen for paienten? Begrunn varet ditt. Inntaket av tabelletter kan framtille om en geometrik rekke med a 0,. Etter ett døgn er det 67,7 % av mediinen igjen i kroppen. Kvotienten blir dermed k 0,667. Bruker umformelen, S, for uendelige geometrike rekke og finner hvor mye om lagre i kroppen. a S k 0, S 0,667 S 0,999 Det blir makimalt lagret,0 mg av mediinen i kroppen. Mediineringen kan anbefale.

8 S Ekamen, høten 009 Løning Oppgave 4 lternativ En bedrift produerer enheter av en vare. lle de enhetene blir olgt. Kotnadene i kroner ved produkjonen er gitt ved funkjonen K 0, 0 000, 50 Inntekten i kroner av alget er gitt ved funkjonen I 00, 50 a) Tegn grafene til K og I i amme koordinatytem. Bruk grafene til å finne hvor mange enheter om må produere og elge for at overkuddet kal bli tørt. Forklar fremgangmåten din. Overkuddet er tørt når greneinntekten er like tor om grenekotnaden. Grafen vier at det er ved en produkjon på 69 enheter. b) Finn ved regning uttrykkene for grenekotnaden og greneinntekten. Betem ved regning den produkjonen om gir tørt overkudd. Grenekotnaden:

9 S Ekamen, høten 009 Løning K 0, 0 000, 50 K 0,6 0 Greneinntekten: I 00, 50 I 00 Overkuddet er tørt når K I 0,6 0 00, Overkuddet er tørt ved en produkjon på 69 enheter. For en annen vare B varierer etterpørelen bare med prien p kroner per enhet. Etterpørelen er antall enheter om elge. Funkjonen er en god modell for etterpørelen. ep000 7p der p 50 Bedriften innretter produkjonen lik at det produere like mange enheter om det elge c) Finn et uttrykk for inntekten I om funkjon av p. Betem den prien om gir tørt inntekt. Hvor tor er inntekten ved denne prien? Inntekten er alltid lik antall olgte enheter multipliert med prien. Det betyr at I p I p p e p I p p p I p p p Størt inntekt når den deriverte av inntektfunkjonen er lik null. Inntektfunkjonen har et toppunkt iden kontanten foran andregradleddet er negativet.

10 S Ekamen, høten 009 Løning I p 000p 7p I p 000 4p 000 4p p 9,4 4 kroner 9,4 per enhet. Den prien om gir tørt inntekt er Inntekten ved denne prien er kroner Kotnadene i kroner ved produkjonen er gitt ved der er antall produerte enheter ,04 K d) Betem et uttrykk for kotnaden K om funkjon av p , , K K p p p , K p p p p K p p p,56p K p p p, e) Hvilken pri gir tørt overkudd? Hvor tort er det makimale overkudd? O p I p K p 000 7, O p p p p p O p p p 8,

11 S Ekamen, høten 009 Løning Grafik løning gir at det makimale overkuddet er på kroner 4 ved en pri per enhet på kroner 8,. lternative måter å løe oppgave e: Deriver overkuddfunkjonen og ett den deriverte lik 0 Sett greneinntekten lik grenekotnaden Oppgave 4 lternativ I deler av denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy. Kotnaden i kroner ved å produere enheter av en vare per dag er gitt ved funkjonen Enhetkotnaden K 000 e E er gjennomnittkotnaden per enhet, det vil i E K. a) Tegne grafen til K. Forklar at enhetkotnaden når det produere 50 enheter, er lik tigningtallet til linjen om går gjennom origo og punktet 50, 50 K.

12 S Ekamen, høten 009 Løning Grafen forklarer!! Enhetkotnadene er tigningtallet til den nevnte linje. K 50 50, og grafen vier at det er det amme om b) Tegn en rett linje gjennom origo og et vilkårlig punkt P på grafen til K. Betem, ved å flytte punktet P lang grafen, den produkjonmengden om gir lavet enhetkotnad. Ved å endre glider finner jeg lavet enhetkotnad når produkjonmengden er 400 enheter per dag. c) Finn grenekotnaden. Hva blir grenekotnaden når produkjonen er 00 enheter? Forklar hva dette varet forteller o K e e K 5e

13 S Ekamen, høten 009 Løning Grenekotnaden når det produere 00 enheter er 0,59. Det betyr at det koter kr 0,59 å produere enhet nr 0. d) Finn grafik når enhetkotnaden er lik grenekotnaden. Stigningen til grønn linje vier enhetkotnaden. Stigningen til rød linje vier grenekotnaden. Enhetkotnaden og grenekotnaden er like ved produkjon av 400 enheter per dag. Inntekten ved alg av enheter av varen per dag er gitt ved funkjonen

14 S Ekamen, høten 009 Løning 50 0,05 I Det elge like mange enheter om det produere. e) Betem overkuddet når enhetkotnaden er lik grenekotnaden. Kommenter varet ditt. Overkuddet er kr 656 når enhetkotnaden er lik grenekotnaden, det vil i når enhetkotnaden har in minte verdi. Mint enhetkotnad gir nødvendigvi ikke tørt overkudd. Oppgave 5 Denne oppgaven teller om tre delpørmål. Et meningmålingintitutt gjennomfører en pørreunderøkele for et betemt politik parti. I underøkelen blir 500 tilfeldig valgte peroner purt om de ville ha temt på partiet derom det var valg. I underøkelen varer peroner at de ville ha temt på partiet. Ved forrige valg temte9,8 % av velgerne på partiet. Bruk det du har lært i tatitikk, til å vurdere om partiet har hatt framgang iden forrige valg. Begrunn reonnementet ditt med beregninger. Lar X være antall peroner av de 500 peronene i underøkelen om ville ha temt på partiet. ntar at X er binomik fordelt med p 0,98 og n 500. Stiller opp en nullhypotee H0 og en alternativ hypotee H for problemtillingen ovenfor. H Partiet har ikke hatt framgang iden forrige valg, dv. p 0,98 0 :

15 S Ekamen, høten 009 Løning H Partiet har hatt framgang iden forrige valg, dv. p 0,98 : I underøkelen ovenfor varte av 500 at de ville temme på partiet, dv.,4 %. Vi kal finne ut om dette reultatet gir grunnlag til å forkate nullhypoteen. Vi er jo at,4 % er noe høyere enn 9,8 % om partiet hadde ved forrige valg. Er dette tilfeldig, eller kan vi med rimelig ikkerhet i at partiet har hatt en vekt? Velger et ignifikannivå på 5 %. Det betyr at det er 5 % annynlighet for at vi forkater H 0 på feil grunnlag. Bruke binomik fordeling og finner k0500 k 500k P X P X 0,98 0,98 0,065 k0 k Vi finner at det er 6,5 % annynlighet for at peroner eller flere ville vare at de temte på partiet elv om den virkelige opplutningen om partiet ikke hadde økt. Vi att et ignifikannivå på 5 %. Det betyr at vi IKKE forkater nullhypoteen H 0. lternativt: Normaltilnærming np og np 5 np og n p Sjekker om normaltilnærming kan bruke, dv. 5 I denne oppgaven er 500 0,98 97 kravene er innfridd. Forventningverdien np 500 0,98 97 og tandardavvik np p 97 0,98 5, ,98 0. Det betyr at Normalfordelingfunkjonen gir p verdien PX PX 0,940 0,06 6% Vi får amme konklujon ved normaltilnærming om ved binomik, dv. ikke forkate H 0