PD-regulator med faseforbedrende egenskaper. Denne ma dessuten klare

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "PD-regulator med faseforbedrende egenskaper. Denne ma dessuten klare"

Håvard Bråten
5 år siden
Visninger:

1 Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for teknik kybernetikk Oktober 99/PJN, September 9 /MPF Utlevert:..9 0 SERVOTENI Lningforlag ving 0 a) Oppgave Vi kriver h() pa formen ( +0:)( ; 0:) h() () 0: ( +0:5)( ; 0:009) h() ( + T a)( + T b ) (T h ; )( + T ) () () hvor, T og T h er poitive kontanter, men T a og T b er poitive eller negative kontanter. Far na h() 0: 0: 0: ; 0: ; 0: + 0:5 0:009 0:009 0:5 () ( + 5)(; :5) ;: (: ; ) ( + ) () Vi denerer na u() ;(), og far () u() : ( + 5)( ; :5) (: ; ) ( + ) (5) om er pa tandardform. Merk at padraget om gar inn pa det virkelige ytemet er () ;u(). Vi kan na tegne (j!) u(j!) i Bodediagram. Merk at \ u (j!) tarter i ;0 o pga. polen i hyre halvplan og den apne integratoren. Siden \ u (j!) < ;80 o, er det apenbart at vi ma ha en PDregulator med faeforbedrende egenkaper. Denne ma deuten klare a lfte faen 55 o eller mere for at ytemet kal kunne fa en tilfredtillende

2 00 Gain db Frequency (rad/ec) Phae deg Frequency (rad/ec) Figur : Bodediagram til u (j!) faemargin. I praki er det vankelig a realiere en derivajon over noe rlig mere enn en dekade. Dette tilier at regulatoren +T d () h r () p +0:T d () () br benytte. Jeg vil ha makimal faehevning ved! 0:0 rad og velger derfor om gir 0:0 p 0 T d 0:T d T d T d 0:0 p 0

3 Med p 0:05 far en 9 o : db Det er mulig a oppna hyere bandbredde, men dette gar pa bekotning av faemarginen. 00 Gain db Frequency (rad/ec) Phae deg Frequency (rad/ec) Figur : Bodediagram til h 0 (j!) b) Nullpunktet i hyre halvplan begrener bandbredden oppad. Siden faen tarter i ;0 o for ma!, oggar aymptotik mot ;80 o ved! 0:009, er det klart at bandbredden br ligge i omradet 0:0 rad til 0: rad, fordi dette er det enete frekvenomradet hvor det vha. en regulator er mulig a oppna at\h 0 (j!) > ;80 o.

4 Oppgave a) Vi har y() M()y 0 ()+h v ()N() v() () M() h 0 () +h 0 () N() +h 0 () (8) e() y 0 () ; y() (9) y 0 () ; M()y 0 () ; h v ()N()v() (0) ; h! 0() y 0 () ; h v ()N()v() () +h 0 () +h 0 () y 0() ; h v ()N()v() () h 0 () t 0 n 0 () N() Vi far na ved innetting e() N()y 0 () ; h v ()N()v() () n 0 () t 0 ()+n 0 () M() t 0 () t 0 ()+n 0 () m ( + T )( + T ) ( + T a)( + T b )+ m ( + T )( + T ) y 0() ; ( + Tva)( + T vb) m ( + T )( + T ) m v ( + Tv )( + T v ) ( + T a)( + T b )+ m ( + T )( + T ) v()() Forutatt at ytemet er aymptotik tabilt, kan vi na benytte luttverditeoremet. lim e(t) lim e() (5) t!!0 lim!0 m + m y 0() ; lim!0 m;mv v() () + m Nar vi nakker om ytemet type mener vi vanligvi \ Sytemet type mhp. flging av referaner ". Sytemet type er i dette tilfellet avhengig av antall apne integrajoner i h 0 (). Derom h 0 () harm apne integrajoner ier vi at ytemet er av type m. Merk ammenhengen mellom ytemet type og tajonr verdi av flgeavviket om flge av referanen. Derom y 0 (t) k t, vil et ytem av type m flge en referane med null tajonrt avvik derom 0 m;. Tilvarende kan en i at et ytem er av type m ; m v mhp. tyen, derom det tajonre avvik om flge av en typavirkning v(t) k t er null for 0 m ; m v ;.

5 Sammenhengen mellom type ytem og tajonrt avvik er oppummert i tabell. pa ide 9 i kompendiet. b) Fra forrige delprmal har vi e lim t! lim!0 e(t) lim e() ()!0 + y 0() ; lim!0 + v 0() (8) iden m ogm v 0. Sytemet er av type mhp. referaneflging og undertrykking av ty. Dette gir. y 0 (t) y 0, v(t) v 0, t 0 y 0 () y 0, v 0() v 0. y 0 (t) y 0 t, v 0 (t) v 0 t, t 0 y 0 () y 0, v 0 () v 0 e lim!0. y 0 (t) y 0 t, v 0 (t) v 0 t, t 0 y 0 () y 0, v 0 () v 0 e lim!0 + (y 0 ; v 0 )0 (9) e lim!0 +! (y 0 ; v 0 ) (y 0 ; v 0 ) (0) +! (y 0 ; v 0 ) ;! () Bruken av luttverditeoremet er betinget av at ytemet er aymptotik tabilt, og h v () ma deuten vre aymptotik tabil. (Derom h v () ikkeeraymptotik tabil vil jo utgangen fra h v () ga mot uendelig elv ved prang i v.) Vi krever alta T 0. Den karakteritike ligningen for ytemet er hvor h 0 () Anvendele av Routh kriterium gir () t 0 ()+n 0 () () ( + T )(+T ) t 0() n 0 () () () T T +(T + T ) + + () 5

6 . T T > 0, om er oppfylt utfra antagelene T + T > 0, om er oppfylt utfra antagelene >0. Routh talltabell: T T T + T T + T ; T T T + T rever T + T ; T T > 0 (5) og far kravet 0 << T + T T T () Reultatene er alta gyldige for og T om er lik at T 0 0 << T + T T T ()

7 Oppgave a). Vi nker at ytemet utgang kal flge referanen perfekt y 0 () h h? h r () h() h fi () + y() h fi () h() y() h() u f () h() h fi () y 0 () (8) gir perfekt flging. Legg merke til at det ikke ta henyn til at ytemet har tilbakekobling, ved utledning av den ideelle foroverkobling. Det kan oga vre aktuelt med foroverkobling fra fortyrreler i flgeytemer, lik om i proereguleringytemer, der en primrt nker a dempe innvirkningen av fortyrreler. Flgende faktorer er av tor betydning for hvorvidt foroverkoblingen er realierbar eller ikke: Modellkunnkap: Det er viktig at en kjenner ytemet modell \nyaktig nok " elv om en med en ikkeideell foroverkobling kan oppna gode reultater, a kan oga det motatte vre tilfelle. Se f.ek. ekempel 9. i lreboken. Ikkeminimumfae egenkaper: Derom ytemet har et nullpunkt i hyre halvplan vil foroverkoblingen ikke kunne realiere, fordi en begrenet referane vil gi et ubegrenet padrag. Derom ytemet har en tidforinkele (e ; ), ma fremtidige verdier av referanen vre kjent. Sytemet orden: Derom ytemet er av. orden vil det vre ndvendig a derivere referanen, noe om ikke er mulig a utfre perfekt over et tort frekvenomrade. Det vil derfor vre nkelig om referanen hatighet er peiert. Ved realiering av en foroverkobling for et. orden ytem, vil det vre ndvendig a derivere referanen to ganger, noe om det kun i de met tyfrie tilfeller er mulig a gjre. (Huk at derivajon

8 er tyforterkende). Det vil derfor vre ndvendig at referanen akelerajon oga er peiert.. Flgeforholdet utlede pa flgende mate: y() h r () h() +h r () h() y 0()+ h f()h() +h r ()h() y 0() (9) " h 0 () +h 0 () + h 0() +h 0 () h # f () y 0 () (0) h r y() M() " + h # f () h r y 0 () () Anta at h f () t f n f () + h f () h r()+h f () h r h r () n f () h r ()+t f () h r () n f () () () Vi er at ytemet tabilitet vil vre betemt av [ + h 0 ()] h r () n f () om utfra antagelene har alle poler i ventre halvplan. Sytemet vil dermed oga vre aymptotik tabilt ved bruk av foroverkobling. b). h fi () ( + T) u f () h fi () y 0 () () T + y 0 () (5) u f (t) (T y 0 +_y 0 ) () For at denne foroverkoblingen kal vre realierbar ma referanen akelerajon og hatighet vre peiert. Referanen kan peiere med: a 0 (t), t 0 gitt, v 0 (0) gitt, y 0 (0) gitt. v 0 (t) ogy 0 (t) nne ved integrajon. Alternativt kan referanen y 0 (t) vre gitt om en tidfunkjon om er to ganger deriverbar, f.ek. y 0 (t) co!t, men dette er vrt jeldent. 8

9 . y u () ( + T) () ( + T)y() u() (8) u() u f () +u t () (9) T y() +y() ( + T)y 0() + p e() +! e() (0) T y() +y() T y 0 () +y 0 () + p e() +! e() () Sammenligning med T e()+e()+ p e()+! e() 0 () h i T +(+! ) + p e() 0 () " + ( +!) + # p e() 0 () T T ( +! b ) e() +! b +! b e() (5) gir! b p T! b! + T ) p T! b )!! bt ; () () 9

10 a) Oppgave. PD: y 0 (t) v 0 t y 0 () v 0 (8) e() y 0 () ; y() +h 0 () y 0() n 0 () t 0 ()+n 0 () y 0() (9) ( + T d ) h 0 () p ( + T f )(+T )(+T ) (50) lim t! e(t) lim!0 v 0 p p er hatighetkontanten. ( + T f )(+T )(+T ) p ( + T d )+ ( + T f )(+T )(+T ) v 0 (5) (5). PD: y 0 () h p (+T )(+T ) +T d +T f! ; h 0 () y() h 0 () t 0 ( + T d ) () p n 0 ( + T f )(+T )(+T ) (5) Huk at y() M() +T d +T f y 0 () (5) h 0 () +h 0 () +T f() +T d y 0() (55) 0

11 p (+T e() y 0 () ; y() y 0 ; )(+T ) y 0 () (5) +h 0 () + p(+t d ) (+T )(+T )(+T f ) ; p (+T )(+T ) + p(+t 5 y d ) 0 () (5) (+T )(+T )(+T f ) + p(+t d); p(+t f ) (+T )(+T )(+T f ) + p(+t d ) 5 y 0() (58) + + (+T )(+T )(+T f ) p(t d ;T f) (+T )(+T )(+T f ) p(+t d ) (+T )(+T )(+T f ) 5 y 0() (59) lim t! e(t) lim!0 lim!0 e() (0) p(t d ;T f) + (+T )(+T )(+T d ) 5 + p(+t v 0 d ) (+T )(+T )(+T f ) () + p (T d ; T f ) p v 0 v 0 v () hvor v p + p (T d ; T f ) < p () iden T d >T f.. Blokkdiagram for ytemet er y 0 () y ref () l +T + d f!f + p! f +T f (+T )(+T ) h 0 () ; y() % y 0 () ; y() ; h 0() +h 0 () + f +! f 5 y0 () ()

12 +h 0 () + f +! f ( + h 0 ()) + + +! f + ( + h 0 ()) f + + ( + h 0 ()) ( + h 0 ()) ; h 0 () 5 y 0 ()(5) + f +! f p(+t d) (+T f )(+T )(+T ) + f +! f p(+t d) (+T f )(+T )(+T ) + f +! f 5 y 0 ()() 5 y 0 ()() lim e(t) lim t!!0 lim! f p p f + + p(+t d) (+T f )(+T )(+T ) f + + p(+t d) (+T f )(+T )(+T ) v 0 p(+t d) (+T f )(+T )(+T ) p(+t d) (+T f )(+T )(+T ) + f +! f 5 v 0 + f! + (8) f! f 5 v 0 (9) (0) + f p p v 0 () hvor v p + f p p + f p < p () b) Vi er at bruk av PDregulator gir trt hatighetkontant. Derom vi bruker PD og ltrering av referanen blir hatighetkontanten mindre enn ved bruk av bare PD, men derom!blir hatighetkontantene for die to reguleringtrukturene tilnrmet like. c) Lfy 0 (t)g y 0 () e;a () y 0 (t) t a t

13 Flgende regler for invertranformajon er nyttige: L ; f F ()g R t 0 L ; fe ;a F ()g L ; f F ()g d dt f(t). f(t)dt, hvor F () Lff(t)g ( f(t ; a) t a 0 t<a u() p +T d +T f e;a () p T f p T f +T d + e;a (5) T f + + T d 5 e ;a () + T f T f u(t) 8 < p T f T f ; ; T ; (t;a) e f T (t;a) + T d e f t a : 0 t<a 8 < p T T f +(T d f ; ; T T f ) e (t;a) f t a : 0 t<a () (8). Makimal amplitude er p T d T f u(t) > p ( p t a 0 t<a (9) PDregulatoren gir alta en faktor T d T f forhold til PD. Stajonrt gir regulatorene amme amplitude. trre makimal amplitude i

Like dokumenter

Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet. Institutt for teknisk kybernetikk. Lsningsforslag ving 4. a) Vi far. K q. K p. D m. dvs.

Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet. Institutt for teknisk kybernetikk. Lsningsforslag ving 4. a) Vi far. K q. K p. D m. dvs. Norge teknik- naturvitenkapelige univeritet Intitutt for teknik kybernetikk. eptember 99/PJN,. eptember 996 /MPF Utlevert:..96 4334 SERVOTEKNIKK Lningforlag ving 4 Oppgave a) Vi far og dv. () = D m + +