Eksamensoppgave i TALM1004 Matematikk 2 LØSNING

Transkript

1 Fakultet for teknologi Ekamenoppgave i TLM Matematikk LØSNING Faglig kontakt under ekamen: Kåre jørvik Tlf.: Ekamendato: ugut 6 Ekamentid (fra-til): 9.-. Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: lt kriftlig materiale og kalkulatortype. nnen informajon: ette er en flervalgekamen og vararket om du kal fylle ut finner du på ide. Rett var gir 3 poeng, galt var gir poeng og ubevart (blankt) gir poeng. Målform/pråk: okmål ntall ider (uten foride): ntall ider vedlegg:

2 Oppgave Lavpafilter Lavpafilteret har følgende komponentverdier: R, L mh, mf L L R 5, 5 Relativ dempningkoeffiient er da lik Oppgave Lavpafilter Lavpafilteret har følgende komponentverdier: R, L mh, mf H ( ) H d j 3 j j Forterkningen til filteret i frekvenen er d d d 3d Oppgave 3 Lavpafilter Enhetprangreponen til et ferdig dimenjonert lavpafilter er vit i figuren under en relative dempningkoeffiienten til filteret er t 8

3 mplitude Oppgave Høypafilter Høypafilteret, med en høyttaler med en mottandverdi på kal dimenjonere lik at knekkfrekvenen blir og at relativ dempningkoeffiient. Induktanen L er da gitt ved R 8 L 8 L L Oppgave 5 Høypafilter Høypafilteret har følgende komponentverdier: R, L mh, mf L L j H ( ) H d j j 3 j Forterkningen til filteret i frekvenen er d d d 3d Oppgave 6 Høypafilter En elektroingeniør ønker å betemme relativ dempningkoeffiient til et høypafilter ved å påtrykke filteret et enhetprang ved t =. Utgangignalet til filteret er vit i figuren under. Step Repone Time (econd) Knekkfrekvenen til høypafilteret er 3 T,6

4 Oppgave 7 åndpafilter Et båndpafilter, med knekkfrekvenene og 3 ved t =. Utgangignalet y(t) er da gitt ved uttrykket kt kt t 3t k k y( t) e e e e k k t 3t t 3t e e e e t 3t t 3t e e e e 3 3, påtrykke et enhetprang Oppgave 8 åndpafilter Et båndpafilter, med knekkfrekvenene og 3 ( t) in( t) k k, påtrykke ignalet: 8 j k j k 3 H() 3 j j j j H y ( t) in( t ) Signalet lipper ikke igjennom. Stajonært utgangignal er y ( t) in( t ) y ( t) in( t ) 8 y ( t) in( t ) 65 8 y ( t) in( t ) 65

5 Oppgave 9 åndpafilter En fornybaringeniør har dimenjonert et.orden båndpafilter der knekkfrekvenene ligger to dekader fra hverandre. Filteret påtrykke et enhetprang ved t =, og utgangignalet er vit i figuren under en tørte knekkfrekvenen er (econd), k k k Oppgave åndtoppfilter åndtoppfilteret kal dimenjonere lik at knekkfrekvenene blirk og k. L/R er da gitt ved uttrykket k k k k k k k k k k Oppgave åndtoppfilter Et båndtoppfilter, med knekkfrekvenene og 3 ( t) in( t) Stajonært utgangignal er, påtrykke ignalet:

6 ( t) in( t) H() k k k k j 3 3 j j j j H y ( t) in( t ) y ( t) in( t ) y ( t) in( t ) 65 y( t) in( t ) y ( t) in( t ) 65 Oppgave åndtoppfilter Et båndtoppfilter, med knekkfrekvenene og 3, påtrykke en inufunkjon med vinkelfrekven vinkelfrekvenen. Faen til overføringfunkjonen for båndtoppfilteret for er tilnærmet 3 8 arctan() arctan H H 3 8,87 j j 3 97, 5 8,9 Oppgave 3 Etterarbeid: åndtoppfilter åndtoppfilteret er dimenjonert lik at knekkfrekvenene er og. Filteret blir påtrykt et periodik firkantignal med en vinkelfrekven om er lik. ndelen av den tredjeharmonike komponenten i firkantignalet om lipper igjennom filteret er tilnærmet lik 63% 5% 3% % H() k k k k j3,5 j3 j3 3 j3 j,5 H 3,6%,5

7 Oppgave Etterarbeid: Høypafilter Høypafilteret dimenjonere lik at knekkfrekvenen er. Filteret blir påtrykt en periodik firkantpenning med amplitude. Utgangpenningen til filteret er vit i figuren under. Vinkelfrekvenen til den påtrykte firkantpenningen er Oppgave 5 Etterarbeid: åndpafilter åndpafilteret med knekkfrekvenene på og påtrykke en periodik firkantpenning med amplitude på V. Utgangignalet er vit i figuren under. Vinkelfrekvenen til den påtrykte firkantpenningen er 5

8 Oppgave 6 hapter Ordinary differential equation II Ligningene til en invertert pendel er gitt ved: mg 3 u M M 3 g 3 u L LM y ; y 3 Ligningene kan krive på matrieformen u y u Pådragmatria er gitt om M LM M LM M LM M LM

9 Oppgave 7 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. Egenverdiene til -matria er g g,,, L L mg mg,,, M M mg, mg, j g, j g M M L L g, g, j mg, j mg L L M M mg mg mg M M M I g g g L g L L L g L g eller, L Oppgave 8 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. nta at vi har følgende ituajon: g ; L ; M ; m, u ; (), 5 h u n n n T, 95,,5,5,5, 5,95,95, 95 3,9,,5, 5,35,5, 5 3 iffereniallikningytemet kal løe numerik vha. Euler metode. erom en bruker teglengden h =, vil vinkelutlaget til pendelen ved tidpunktet t =, være lik,65,5,35,

10 Oppgave 9 hapter The Laplace tranform t, t f ( t), t 3, t 3 f ( t) t ( t ) heaviide( t ) heaviide( t 3) F() e e 3 Laplacetranformajonen til f(t) kan uttrykke om 3 F( ) e e F( ) e e F( ) e e e ( ) F e e Oppgave hapter The Laplace tranform F() e 3 3 G( ) g( t) t t 3! 6 3 f ( t) ( t ) heaviide( t ) 6 f(t) er gitt ved følgende uttrykk f ( t) t 3 heaviide ( t ) 3 6 f ( t) t heaviide( t ) Oppgave hapter The Laplace tranform d y dy t y e, y() og y '() dt dt Y Y Y Y ( ) ( ) f ( t) t heaviide( t ) 6 f ( t) t heaviide ( t ) erom en tar Laplacetranformajonen av differeniallikningen med de gitte tartbetingelene, å får man følgende uttrykk for Y(): 3 Y () 3 Y () Y () Y ()

11 (deg) (d) Oppgave hapter The Laplace tranform Enhetprangreponen til et dynamik ytem er vit i figuren under (econd) Hvilken overføringfunkjon paer til en lik enhetprangrepon? lle har riktig tart og luttverdi, men kun har tidkontanter om temmer (um=.,.*5= ek OK). og har kompleke poler. H() H() 3 H() 6 H() Oppgave 3 Notat: Frekvenanalye odediagrammet til et dynamik ytem er vit i figuren under. - d - -5 Fae Hvilken overføringfunkjon paer til dette odediagrammet? Forlag har knekkfrekvenen,38 (nevner), (teller) og,6 (nevner) og det temmer godt. H() H() 3 6 H() H()

12 Oppgave hapter 3 Fourier erie En periodik funkjon f(t) er gitt ved følgende funkjonuttrykk t, t f ( t), t Periodik med periode T Gjennomnittverdien til ignalet er,5,5 Oppgave 5 hapter 3 Fourier erie Samme periodike ignal om i oppgave. en periodike funkjonen f(t) kal fourierrekkeutvikle. mplituden til den.harmonike komponenten i fourierrekka er a t co( t) dt co( t) dt, b Oppgave 6 hapter 6 Sequence and erie Et annuitetlån på millioner kroner kal nedbetale over år med kvartalvie nedbetalinger. erom den årlige renten er på, %, blir det kvartalvie beløpet om må innbetale tilnærmet lik 6 57 kr 6 9 kr kr 6 8 kr K K r, 5 n 8 ( r) (, 5) 6788 kr Oppgave 7 hapter 8 Taylor polynomial, Taylor erie and MacLaurin erie Sannynligheten for at en normalfordelt variabel ligger innenfor et tandardavvik er gitt av integralet N e d. Utvikl integranden i ei Maclaurinrekke. erom du tar med de tre førte leddene i Maclaurinrekka blir det betemte integralet tilnærmet lik,6775,685,687,689 N e d d, 689 8

13 Oppgave 8 hapter 8 Taylor polynomial, Taylor erie and MacLaurin erie En matematik modell for et fartøy om beveger eg i jøen er gitt ved: d d d m u v K, m maen til fartøyet [ kg] dt dt dt u propellpådrag [ N], v vind og trøm [ N] kg d m K vikø dempekontant [ m], hatigheten til fartøyet [ ] dt nta følgende verdier: v N u N K 6 6 kg [ ], [ ], [ m ] Stajonær hatighet til fartøyet er da lik 5 km t 36 km t 5 km t km t d d d m km 6 m u v K v v 36 dt dt dt t Oppgave 9 hapter 5 Function of everal variable Gitt den tovariable funkjonen f (, y) y y ntall tajonære punkter om funkjonen f (, y) har, er 3 f y y ' ( ) f ' y y y( ) y (,), (, ), (,)

14 Oppgave 3 hapter 5 Function of everal variable Gitt den tovariable funkjonen f (, y) y y Punktet ( -, -, ) kal klaifiere. Følgende påtand er riktig: punktet er et lokalt makimum punktet er et lokalt minimum punktet er et adelpunkt ingen av forlagene, eller er riktig f '', f '' y, f '' y yy 6 adelpunkt