Eksamensoppgave i TALM1004 Matematikk 2

Transkript

1 Ititutt for llmefg Ekmeoppgve i ALM4 Mtemtikk Fglig kotkt uder ekme: Kåre Bjørvik lf.: Ekmedto: Ekmetid (fr-til): Hjelpemiddelkode/illtte hjelpemidler: D (etemt, ekel klkultor tilltt) Ae iformjo: Målform/pråk: Bokmål Atll ider (ute foride): 4 Atll ider vedlegg: 6 Iformjo om trykkig v ekmeoppgve Origile er: -idig x -idig ort/hvit x frger kl h flervlgkjem Dto Kotrollert v: Sig Merk! Studeter fier eur i Studetwe. Hr du pørmål om di eur må du kotkte itituttet ditt. Ekmekotoret vil ikke kue vre på like pørmål

2 Oppgve utggpukt i krete R, R, L,5 H, C,F Mketrømmee k uttrykke ved differeilligigytemet x x u x 4x u og måligee ved y y x x y u x 3 ( peige over pole L ) ) Ligigee til de elektrike krete k krive på tiltd-rom-forme Ax Bu y C x Du Skriv opp iholdet i mtriee A, B, C og D. ) Betem egeverdiee til krete. Hvilke teglegde og luttid vil du forelå derom ytemet kl imulere i f.ek. imulik? c) eg elemetært lokkkjem til krete, og etem de tjoære måligee for u = V. d) Differeilligigytemet kl løe umerik ved ruk v Euler metode. Velg teglegde h =, og u = V, og foret to iterjoer for å etemme mketrømmee ved tidpuktet t =,. Krete er eergilø før rytere lukke.

3 Oppgve ) i) Betem F() til tidfukjoe: ii) Betem f(t) til -fukjoe: F( ) ( )( ) ) utggpukt i differeilligigytemet x x, x () x 4x, x () Beytt Lplcetrformjoe til å fie X( ) og X ( ) c) E PID-regultor hr overførigfukjoe ( )( ) H ( ) (, ) Betem kekkfrekveee til H(), og teg opp ymptotike digrmmer for forterkige (gitt i db) og fe (gitt i grder) til H(). d) PID-regultore påtrykke e iupeig med mplitude V og vikelfrekve rd/. Betem tjoært utggigl til PID-regultore.

4 Oppgve 3 Et periodik igl x(t) er vit i figure uder. ) Betem gjeomittverdie til iglet x(t). Hr iglet oe ymmetriegekper? ) Fi fourier-rekk til x(t). Skriv opp de fem førte leddee i rekk. I e tyritorkret er peige x(t) over e ltmottd vit i figure uder. I itervllet [.5,.] er de periodike peige x(t) gitt ved fukjoe x( t) i t c) Betem gjeomittverdie til iglet x(t). Hr iglet oe ymmetriegekper? d) Fi mplitude til de førtehrmoike kompoete til x(t).

5 Oppgve 4 ) i) Lø opp pretee: x 5 f ( x) 3 ii) Lierier fukjoe: 3 f ( x) x omkrig reidpuktet x = 4 ) utggpukt i McLuri-rekk til 3 5 x x x x... og etem de fire førte leddee i McLuri-rekk til rci( x) x x dx c) Betem de tjoære puktee til f ( x, y) 3x x 3xy 3 og klifier dem. d) Impede til e eriekoplig v e mottd R, e pole L og e kodetor C k uttrykke på følgede måte: Z R j L der R 6, L, H, C, 5 F, C Uikkerhete til mottdverdie, poleverdie, kodetorverdie og vikelfrekvee er lle på %. Bruk totlt differeil til å gi impede Z med i uikkerhet Z. Z k krive på forme Z Z Z omiell

6 Vedlegg Formelrk Ivere fukjoer f ( x) og f ( x) er ivere fukjoer derom f f ( x) f f ( x) x rigoometrike formler og fukjoer i( A B) i( A) co( B) co( A)i( B), co( A B) co( A)co( B) i( A)i( B) i( A)co( B) i( A B) i( A B), co( A)co( B) co( A B) co( A B) i( A)i( B) co( A B) co( A B) i A (- co( A)), co A ( co(a)), i( A) i( A) co( A) y( t) Ai( t ) K Ai t t K Ai( t)+bco( t)= A B i( t ) A mplitude, f vikelfrekve, f frekve, periodetid f feforkyvig, t tidforkyvig, K kottledd Mtrier og determiter - dj(a) A =, dj(a)=[kofktoree til A] og A =determite til A A A x, A [... ], A er ei kvdrtik mtrie 3 B 3... B 3... B3... Crmer regel: x =, x =, x 3 =,... A A A A A A Kompleke tll j imgiær ehet, z x jy, x reldele til z og y imgiærdele til z z x jy z komplekkojugerte til z jφ,, re = rco(φ)+jri(φ) Impeder: Z R, Z jl, Z R L C jc Derivjo u u ' v uv ' df df du uv' u ' v uv ', ',, x ' x, l ', e ' e x x (log x)', ' l, (i x)' co x, (co x) ' i x x l() x x v v dx du dx x (t x)' t x, (rci x)', (rcco x)', (rct x) ' co x x x x duc dil Kodetorligig: ic ( t) C ; Spoleligig : ul ( t) L

7 Itegrjo Delvi itegrjo : uv ' dx uv u ' vdx Middelverdi : ym y( t), Periodik fukjo : ym y( t) rm rm Effektivverdi ( r. m. ) : y ( y( t)), Periodik fukjo : y ( y( t)) t Kodetorligig: uc ( t) ic ( t) uc ( ) ; Spoleligig : il( t) ul ( t) il ( ) C L Numerike tekikker Numerik løig v ligige: f ( x) f ( x ) x x, x trtverdi ( Newto Rhpo i metode ) f '( x) Numerik itegrjo (rpemetode) h y( x) dx y y y y3... y y, h, tll trpeer y y( ), y y( ) Differeilligiger Seprle differeilligiger dy f ( t) g( y) dy f ( t) g( y) Førteorde ihomogee lieære differeilligiger med kotte koeffiieter t y ' y y( t) Ce t t t y ' y f ( t) y( t) Ce e f ( t) e Derom det dymike ytemet om ekrive v differeilligige er tilt ( ), er tidkotte til ytemet gitt ved : τ = Adreorde ihomogee lieære differeilligiger med kotte koeffiieter y '' y ' cy f ( t), Krkteritik ligig : c y P Prtikulær løig om tilfredtiller de ihomogee differeilligige Reelle og forkjellige λ-verdier y( t) C e C e y t t t t Reelle og like λ-verdier y( t) C e C te y t Komplekkojugerte λ-verdier ( = j ) y( t) e C co( t) C i( t) y iltdrom-modeller Ax Bu, y C x Du, Egeverdier: I A P P Numerik løig v differeilligiger Euler metode: f ( x, u, t), x x h f, x trtvektor, h teglegde k k k t P

8 Lplcetrformjoe f ( t ) F( ) f ( t ) F( ) u( t) 3 ( t) Ehetprg Dirc t 4 ( t d) idforiket 3 t 4 t 5 t te Dirc! 5 t e f ( t) F( ) e 6 f '( t ) F( ) f ( ) 7 f ''( t ) F( ) f ( ) f '( ) 6 i( t ) 7 co( t ) 8 t i( t ) 9 t co( t ) t e i( t) t e co( t) ( ) ( ) u( t d) e d idforiket ehetprg 8 t f ( t) 9 t f ( t) t f ( t) e d F( ) d F ( ) d d ( ) ( ) F d f ( t ) F f ( t d ) u( t d ) F( ) e d idforikele 3 lim f ( t) lim F( ) t Strtverdi 4 lim f ( t) t Sluttverdi lim F( ) Forutetter tilt ytem, dv. lle poler til F ( ) må ligge i vetre hlvpl Stjoært utggigl år e overførigfukjo påtrykke e iufukjo med mplitude A og vikelfrekve : y ( t) A H ( j ) i t H ( j )

9 Bode-digrm og tdrdledd Stdrdledd K ( ) K db dek K e Aym. mpl. Aym. fe Ekkt mplitude (db) Ekkt fe k K log( K ) db 9 log( ) log( K) db 9 dek db db for K log( ) log( K) db for K Aymptotik mplitude -og fe gjelder etter kekkfrekvee. Før kekkfrekvee er ymptotik mplitude - og fe lik. Merk! Studeter fier eur i Studetwe. Hr du pørmål om di eur må du kotkte itituttet ditt. Ekmekotoret vil ikke kue vre på like pørmål dek log rct 9 db dek 4 db dek 4 db dek 8 8 log rct log log log log rct 8 rct 8 8

10 Aritmetik rekke, Geometrik rekke og Biomilformele ( ) d ( d) ( d)... ( ( ) d) k k k... k k k k k ( ) k k Fourier-rekker f t t t ( ) co( ) i( ),, periodetid f ( t), f ( t)co t f ( t)co t f ( t)i t f ( t)i t 4 Derom f ( t) er e odde fukjo og f ( t)i t 4 Derom f ( t) er e like fukjo og f ( t)co t

11 ylor- og McLuri-rekker Rekkeutviklig v f(x) omkrig x =.ylor-rekke: f x f f x f x f x! 3! Rekkeutviklig v f(x) omkrig x =.McLuri-rekke: 3 ( ) ( ) '( )( ) ''( )( ) '''( )( )... f x f f x f x f x! 3! x 3 e x x x...! 3! i x x x x x... 3! 5! 7! 4 6 co x x x x...! 4! 6! 3 ( ) () '() ''() '''()... Fukjoer v flere vriler Stjoært pukt ( x, y ) A f ( x, y ), B f ( x, y ), C f ( x, y ) xx xy yy AC B, A Loklt mkimum AC B, A Loklt miimum AC B Sdelpukt Mkiml feil i oluttverdi ( totlt differeil ) : f f f f x y x y z z..., reidpukt