Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger

Transkript

1 Institutt for mtemtiske fg Eksmensoppgve i TMA42 Introduksjon til vitenskpelige beregninger Fglig kontkt under eksmen: Anton Evgrfov Tlf: Eksmensdto: xx. ugust 216 Eksmenstid (fr til): xx:xx xx:xx Hjelpemiddelkode/Tilltte hjelpemidler: B: Spesifiserte trykte og håndskrevne hjelpemidler tilltt: K. Rottmnn: Mtemtisk formelsmling Bestemt, enkel klkultor tilltt. Målform/språk: bokmål Antll sider: 6 Antll sider vedlegg: Kontrollert v: Dto Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Hr du spørsmål om din sensur må du kontkte instituttet ditt. Eksmenskontoret vil ikke kunne svre på slike spørsmål.

2

3 TMA2 Introduksjon til vitenskpelige beregninger xx. ugust 216 Side 1 v 6 Oppgve 1 Vi ser på likningen x 2 + x 4 =. Foreslå en fikstpunktitersjon for dene likningen og bestem, om denne itersjonen konvergerer loklt 1 mot røttene til denne likningen. Solution: There re mny possibilities here; e.g. one could try Newton s method, which for this eqution is given by x k+1 = x k x2 k + x k 4 2x k + Another exmple is given by = x2 k + 4 2x k + =: g Newton(x k ). x k+1 = 4 x2 k =: g(x k ). In ny cse, fixed point itertion converges loclly round root ˆx if g (ˆx) < 1. In our cse the eqution hs two roots ˆx 1 = 1 nd ˆx 2 = 4. We hve g (x) = 2x/, thus the itertion bsed on g converges loclly ner ˆx 1 nd diverges ner ˆx 2. In the cse of Newton s itertion we hve g Newton(ˆx 1 ) = g Newton(ˆx 2 ) =, so the method converges loclly in the vicinity of either root. For exmple, if we use g: x x x x x x x x x x x while if we use g Newton : x x x x x Loklt=når strtpunktet x er tett til en rot.

4 Side 2 v 6 TMA2 Introduksjon til vitenskpelige beregninger xx. ugust 216 Oppgve 2 ) Finn det polynomet p(x) v lvest mulig grd som psser igjennom punktene (, ), (1, 1), (2, 1), (, 1). Solution: we cn for exmple use Newton s form of the interpoltion polynomil. x 1 = x 2 = 1 x = 2 x 4 = f[x 1 ] = f[x 2 ] = 1 f[x ] = 1 f[x 4 ] = 1 f[x 1, x 2 ] = 1 f[x 2, x ] = f[x, x 4 ] = f[x 1, x 2, x ] = 1/2 f[x 2, x, x 4 ] = f[x 1, x 2, x, x 4 ] = 1/6 Thus the sought polynomil is p(x) = + 1(x ) 1 2 (x )(x 1) + 1 (x )(x 1)(x 2) 6 = 1 6 (x x 2 + 2x) 1 2 (x2 x) + x = 1 6 x x x. b) L p n (x) være polynomet v lvest mulig grd som interpolerer funksjonen f(x) = cos(x) i punktene x 1 = 1π, x 2 2 = π,..., x 2 n = 2n 1 π. Formelen for 2 estimtet v interpolsjonsfeilen er gitt v f(x) p n (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x x n ) f (n) (c n,x ), (1) n! hvor punktet c n,x [min{x, x 1 }, mx{x, x n }] vhenger fr n og x. L oss se på punktet x = i estimtet (1). Bestem p n (x) og vis t lim n f (n) (c n, ) = (hint: vurder de forskjellige led i estimtet (1)). Solution: First of ll f(x i ) = for ll i, nd therefore the interpoltion polynomil of lowest degree is p n (x) =. Thus the left hnd side of the estimte (1) t x = is f() p n () = 1 = 1. Furthermore, lim n ( x 1 )( x 2 ) ( x n )/n! = lim n ( π/2) n 1 5 (2n 1)/(1 2 n) lim n (π/2) n = +. As consequence, lim n f (n) (c n, ) =.

5 TMA2 Introduksjon til vitenskpelige beregninger xx. ugust 216 Side v 6 Oppgve ) Beregn tilnærmelse v integrl x dx ved hjælp v midpunkt og trpezoid kvdrturer. Bruk n = 2 pneler. Solution: direct computtion. Midpoint qudrture with two pnels: x dx 1 2 [ ] = [1 + ]/4.68. Trpezoid rule with two pnels: x dx 1 4 [ +.5] [.5 + 1].66. Note tht in the present cse the exct integrl is x dx = 2/[x /2 ] 1 = 2/ b) L M [,b] f og T [,b] f være midpunkt og trpezoid kvdrturer med n = 1 pnel for funksjonen f på intervl [, b]. Feilestimtetene for disse kvdrturer er gitt v f(x) dx = M [,b] f + h 24 f (c) + O(h 4 ), og f(x) dx = T [,b] f h 12 f (c) + O(h 4 ), hvor c = ( + b)/2, og h = b. L oss definere en ny kvdrtur som Q [,b] f = αm [,b] f + βt [,b] f. Bestem verdiene α, β slik t f(x) dx = Q [,b] f + O(h 4 ). Solution: We hve nd therefore M [,b] f = T [,b] f = Q [,b] f = (α + β) f(x) dx h 24 f (c) + O(h 4 ), og f(x) dx + h 12 f (c) + O(h 4 ), f(x) dx + (2β α) h 24 + O(h4 ).

6 Side 4 v 6 TMA2 Introduksjon til vitenskpelige beregninger xx. ugust 216 As result we get system of equtions α + β = 1, 2β α =. Thus α = 2/, β = 1/, which in fct gives us Simpson s rule: 2 M [,b]f + 1 T [,b]f = 2h f(c) + h 6 (f() + f(b)) = h [f() + 4f(c) + f(b)]. 6 c) L p (x) = 1. Finn et polynom p 1 (x) v grd 1 som er ortogonl mot p på intervllet [, 1]. Solution: There re infinitely mny polynomils of degree 1 which stisfy the orthogonlity condition, nd there re mny wys of finding them. For exmple, we could strt with p(x) = x nd orthogonlize this polynomil with respect to p to obtin p 1. nd therefore we cn chose p(x)p (x) dx = 1 2, p (x)p (x) dx = 1, p 1 (x) = p(x) 1 2 p (x)/1 = x 1 2. One cn esily check the orthogonlity condition p 1 (x)p (x) dx =. Oppgve 4 Vi skl nå se på et initilverdiproblem: y (t) = (y(t)) 2, y() = 1, y () =. (2) ) Betrkt den følgende Runge Kutt metoden med to steg 2 : k 1 = f(t n, w n ), k 2 = f(t n + 2 h, w n + 2 hk 1), w n+1 = w n + h( 1 4 k k 2), () 2 stges i boken

7 TMA2 Introduksjon til vitenskpelige beregninger xx. ugust 216 Side 5 v 6 som tilnærmer en løsning til et initilverdiproblem w (t) = f(t, w(t)). Bruk denne metoden med h =.5 til å finne en tilnærmelse til løsningen v (2) i t =.5. Solution: First of ll we rewrite the problem s system of two first order ODEs: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 1 (t) y2 (t) y1 (t) y1 () 1 y 2(t) = (y 1 (t)) 2 =: F, =. y 2 (t) y 2 () Now we cn strt the computtion: w = (1, ) T ; k 1 = (, 1) T, k 2 = F (w + 1 k 1) = F (1, 1 ) = ( 1, 1)T, w 1 = (.875,.5) T. Therefore we get y(.5).875, y (.5).5. b) Den lokle trunkeringsfeilen v (den eksplisite) Eulersmetoden oppfører seg som O(h 2 ) for små h, mens metoden () hr den lokle trunkerigsfeilen v størrelsen O(h ). Bruk den eksplisite Eulersmetoden med h =.5 til å finne en tilnærmelse til løsningen v (2) i t =.5. Bsert på beregningene i ) vurder den lokle trunkeringsfeilen v Eulersmetoden i dette tilfelle. Videre, bestem steglengden h slik t Eulersmetoden gir den lokle trunkeringsfeilen v størrelsen Solution: Let us first find the explicit Euler pproximtion of the solution: w1 Euler = w + hk 1 = (1,.5) T. Assuming tht we cn neglect the error of the more ccurte method (), we estimte the error of Euler method simply s e 1 = w1 Euler w 1 = (.125, ) T. Now ssuming tht the error behves s ch 2, we cn find h from the system of equtions: c.5 2 =.125, c(h ) 2 = nd therefore h =.5( /.125) 1/ Just s quick verifiction we cn recompute w 1, w1 Euler with h =.141: w 1 (.9999,.141) T, w1 Euler (1,.141) T, e 1 = (.1, ) T.

8 Side 6 v 6 TMA2 Introduksjon til vitenskpelige beregninger xx. ugust 216 Oppgve 5 ) Beregn den diskrete Fouriertrnsformsjonen v x = [1, i, i] T, hvor i 2 = 1. Solution: direct computtion. y = 1 1 x j exp{ i2πj/} = 1 [1 + i i] = j= y 1 = 1 1 x j exp{ i2πj1/} = 1 [1 exp{} + i exp{ i2π/} i exp{ i4π/}] j= = 1 [1 + i{ 1/2 i /2} i{ 1/2 + i /2}] = 1 [1 + ] = 1 + 1/ y 2 = 1 1 x j exp{ i2πj2/} = 1 [1 exp{} + i exp{ i4π/} i exp{ i8π/}] j= = 1 [1 + i{ 1/2 + i /2} i{ 1/2 i /2}] = 1 [1 ] = 1 + 1/ b) Bruk resultten fr ) til å beregne den inverse diskrete Fouriertrnsformsjonen v den konjugerte vektoren x = [1, i, i] T. Solution: let F be the mtrix representing the discrete Fourier trnsform, thus in ) we hve computed y = F x. Since F 1 = F, we hve F 1 x = F x = ȳ = y. Thus the nswer is the sme s in ).