Signalfiltrering. Finn Haugen TechTeach. 21. september Sammendrag

Transkript

1 Signalfiltrering Finn Haugen TechTeach. eptember 3 Sammendrag Dette dokumentet gir en kort bekrivele av ignalfiltrering med tidkontinuerlige, ogå kalt analoge, filtere og med tiddikrete, ogå kalt digitale, filtere. (Dokumentet forutetter kunnkaper om frekvenrepon.) Innledning Et ignalfilter ellerbarefilter bruketilåfjernebetemte frekvenkomponenter (oftet tøy) fra et ignal. Ekempelvi bruke et lavpafilter til å fjerne høyfrekvent tøy (lavfrekvente komponenter paerer). Kunnkap om filterfunkjoner er entralt innen ignalbehandling, men er nyttig ogå innen bl.a. reguleringteknikk iden reguleringytemer kan betrakte om filtere: Det er kun betemte frekvenkomponenter i referanen om den regulerte proeutgangen vil klare å følge, og det er kun betemte frekvenkomponenter i proefortyrrelen om reguleringytemet klarer å kompenere for, dv. klarer å filtrere vekk. Kunnkap om filtere kan ogå være nyttig ved analye av fyike proeer. F.ek. fungerer en blandetank i en proetreng om et lavpafilter for komponenter eller temperaturen i maetrømmen i proetrengen. Signalfiltere kan implementere ved hjelp av analog elektronikk eller ved hjelp av formler om kan programmere. Utvikling av programmerbare filterfunkjoner bekrive på ide. Den ideelle filterkarakteritikken eller frekvenreponen for de forkjellige filtertypene er vit i figur (kun forterkningkurvene er vit, ikke faekurvene). Forterkningkurvene knekker i knekkfrekvenen(e). Pabåndet er det frekvenområdet der forterkningfunkjonen ideelt ett har verdi (frekvenkomponentene i dette frekvenområdet lipper uendret igjennom). Stoppbåndet er det frekvenområdet der

2 Amplitudeforterkning PB = pabånd SB = toppbånd Lavpa: PB SB Frekven Høypa: SB PB Båndtopp: PB SB PB Båndpa: SB PB SB Figur : Ideelle forterkningkurver for forkjellige typer filtere. Kurvene knekker i knekkfrekvenen(e). forterkningfunkjonen ideelt ett er (frekvenkomponentene i dette frekvenområdet lipper ikke igjennom). Det kan vie at tranferfunkjonen for ideelle filtere vil måtte ha uendelig høy orden. Ideelle filtere kan derfor ikke realiere, verken med analog-teknikk eller om filterprogrammer. I det etterfølgende kal vi e hvordan vi oppnår realierbare filterfunkjoner. Deterlittyndatlavpafiltere ikke i tedet er blitt kalt høytoppfiltere, for det er nettopp det å toppe høyfrekvente komponenter om er lavpafilteret hovedoppgave. Tilvarende burde høypafiltere hete lavtoppfiltere, men nå er det for ent...

3 Lavpafiltere.. orden lavpafiltere Tranferfunkjonen for et. orden lavpafilter med inngangignal u og utgangignal y krive gjerne på formen H() = () + der [rad/] kalle båndbredden. Dette er en. orden tranferfunkjon med forterkning K =og tidkontant T =/. Frekvenreponen er H(jω) = = = jω + r ³ ω j arctan +e ω j r ³ e ω + ³ arctan ωωb () (3) Forterkningfunkjonen er altå H(jω) = r ³ (4) ω + og faefunkjonen er arg H(jω) = arctan ω (5) Figur ide vier ekakte (og aymptotike) kurver for H(jω) og arg H(jω) tegnet i et Bodediagram. Filteret båndbredde angir øvre grene for pabåndet. Det er vanlig å i at båndbredden er gitt ved at filterforterkningen der er / =, 7 = 3 db (ovenfor båndbredden er forterkningen mindre enn dette). Denne båndbredden kan derfor betegne 3 db-båndbredden. Hva blir 3 db-båndbredden for et. orden lavpafilter? Vi finner båndbredden om ω-løningen til H(jω) = r ³ = (6) ω + Løningen er ω =. Båndbredden er altå [rad/] der er gitt i (). I Hertz er båndbredden f b = (7) π 3

4 Figur : Fra ammenhengen T =/ er vi at jo tørre tidkontanten er (tregere ytem), jo mindre blir båndbredden (vakere reakjon på hurtige ignalvariajoner). Hva er repontiden T r for et. orden lavpafilter? For. orden ytemer er T r lik tidkontanten T.Vifårda T r = T = (8) La o e på en LabVIEW-imulator for et. orden lavpafilter. Figur 3 vier frontpanelet for en imulator der inngangignalet til filteret betår av en um av to inu- eller frekvenkomponenter med frekven mindre enn hhv. tørre enn filteret båndbredde. Fra tidreponen er vi at den lavfrekvente komponenten paerer tilnærmet uendret, men den høyfrekvente komponenten blir dempet gjennom filteret. Ekempel RC-kret om lavpafilter 4

5 Figur 3: Simulator for. orden lavpafilter der inngangignalet betår av en um av to frekvenkomponenter Figur 4 vier en åkalt RC-kret(kreten inneholder mottanden R og kondenatoren C). Ved å anta at det ikke går trøm gjennom utgangterminalene og å bruke Kirchhoff penninglov, vil vi finne følgende matematike modell for RC-kreten: RC v (t) =v (t) v (t) (9) Tranferfunkjonen fra inngangpenningen v til utgangpenningen v blir v () v () = H() = RC + = () + RC-kreten er altå et. orden lavpafilter med båndbredde = rad/ () RC 5

6 + i [A] v R [V] _ + i + Inngang v [V] _ C [F] i C v [V] Utgang _ Figur 4: RC-kret Hvi f.ek. R =kω og C =µf, blir båndbredden =/RC = rad/. [Slutt på ekempel ]. Høyere orden lavpafiltere Ovenfor hadde filteret (det tranferfunkjon) orden n =. Filtere av høyere orden vil kunne få en forterkningfunkjon om ligger nærmere den ideelle karakteritikken vit i figur.(ulempen ifm.realiering av filteret er at høyere orden krever flere elektronike komponenter eller at filtereralgoritmen blir noe mer omfattende å programmere, amt at det blir en økt faeforkyvning gjennom filteret.) Høyere orden lavpafiltere kan ha både et tellerpolynom og et nevnerpolynom i, omiåkalte Chebyhevfiltere. I Butterworthfiltere er tellerpolynomet kun. Vi kal her e på et. orden Butterworthfilter, om kan bekrive med tranferfunkjonen H() = ( ) +ζ () + der ζ har verdien / =, 77. Frekvenreponen blir H(jω) = ( jω ) +ζ jω + = ω + jζ ω (3) ω b Forterkningfunkjonen blir H(jω) = r ³ ω ω b + ³ζ ω ωb med ζ =/ (4) Butterworthfiltere har den egenkapen at av alle filtere av amme orden, har like filtere den flatete forterkningkurven i pabåndet. Chebyhevfiltere har den egenkapen at av alle filtere av amme orden, har dette filteret den karpete pabåndbegrenningen. Imidlertid har Chebyhevfiltere reonantopper pabånd. 6

7 = r + ³ ω ωb (5) Faefunkjonen blir Fra (5) finner vi at arg H(jω) = arctan ζ ω ω ω b ω ω = arctan b ω ω b med ζ =/ (6) [rad] (7) H(j ) = =, 7 = 3 db (8) Altå er i (3) filteret 3-dB-båndbredde. Repontiden T r for et høyere orden filter er tilnærmet T r, 5 (9) Figur5vierfrontpaneletforenLabVIEW-imulatoromimulererog tegner forterkningkurven for et. orden lavpafilter og et. orden lavpafilter amtidig. Filtrene har amme båndbredde. Inngangignalet til filterene betår av en um av to frekvenkomponenter med frekven mindre enn hhv. tørre enn filteret båndbredde. Fra tidreponen er vi at. orden filteret filtrerer den høyfrekvente komponenten bedre enn. orden filteret gjør. Dette er i overentemmele med forterkningkurvene vit på frontpanelet. 3 Utvikling av andre typer filterfunkjoner med frekventranformajon Med åkalt frekventranformajon kan vi finne tranferfunkjonen for høypa-, båndpa- eller båndtoppfiltere med utgangpunkt i en gitt tranferfunkjon for et lavpafilter. Tabell vier frekventranformajonene. I tabellen er ω L og ω H henholdvi lavete og høyete knekkfrekven, jf. figur. Utgangpunktet for tranformajonene er tranferfunkjonen for et normaliert lavpafilter, om er et lavpafilter med knekkfrekven eller båndbredde rad/. Lavpafilteret kan være et normaliert. orden filter: H() = () + 7

8 Figur 5: Frontpanelet for en LabVIEW-imulator om imulerer og tegner forterkningkurven for et. orden lavpafilter og et. orden lavpafilter amtidig eller et normaliert. orden (Butterworth-)filter: H() = + + () Jo høyere orden av lavpafilteret, jo høyere orden får det reulterende filteret. Ekempel Utvikling av. orden høypafilter Vi kal finne tranferfunkjonen H HP () for et. orden høypafilter med knekkfrekven (nedre grene for pabåndet) ω L =rad/.ihht.tabell 8

9 Phae (deg) Magnitude (db) Reulterende filtertype Høypafilter Båndpafilter Båndtoppfilter (ω H ω L ) +ω L ω H Frekventranformajon ω L +ω L ω H (ω H ω L ) Tabell : Frekventranformajoner med utgangpunkt i et normaliert lavpafilter. ω L og ω H er henholdvi lavete og høyete knekkfrekven. ertatter vi da i () med ω L /, hvilketgir H HP () = ω L + = ω L ω L + = + () Frekvenreponen H HP (jω) er plottet i et Bodediagram i figur 6. Aymptoter er inntegnet. -5 Stigningtall + db/dekade Bodediagram for høypafilter med pabåndgrene rad/ - Aymptote Aymptote Frequency (rad/ec) Figur 6: Frekvenreponen for et. orden h øypafilter med knekkfrekven (nedre grene for pabåndet) ω L =rad/ [Slutt på ekempel ] 9

10 4 Utvikling av tiddikrete filtere 4. Innledning Vi har nå lært å utvikle filterfunkjoner, om lavpafilter og høypafilter, iformavtranferfunkjoner.vikalnåelittpåhvordanenfilterfunkjon kan realiere om en formel om kan programmere (i et hvilket om helt programpråk). Programmet kal beregne filterutgangen y ved hvert tidkritt om funkjon av bl.a. filterinngangen u. Vi kal mao. finne en tiddikret filterfunkjon med utgangpunkt i en tidkontinuerlig filterfunkjon, om -tranferfunkjoner er. Dette kalle dikretiering. 4. Bilineær tranformajon Ved dikretiering av filtere er det vanlig å bruke en dikretieringmetode om kalle bilineær tranformajon. (Det kan vie at metoden er ekvivalent med bruk av trapeintegrajon for løning av differeniallikninger.) Bilineær tranformajon innebærer at Laplacevariabelen i filteret tranferfunkjon ubtituere med følgende uttrykk: z h +z (3) der h [ek] er tidkritte lengde eller amplingintervallet og z-variabelen er en tidforkyvningoperator, om virker lik: Multiplikajon med z betyr tidforinkele med ett tidkritt: z x(t k )=x(t k ) (4) Tilvarende betyr multiplikajon med z tidforinkele med tidkritt, ov. k er tidindeken. Multiplikajon med z betyr tidframkyvning med ett tidkritt: zx(t k )=x(t k+ ). Subtitujonen (3) reulterer i en z-tranferfunkjon, H dik (z), fordet tiddikrete filteret. Ekempel 3. orden tiddikret lavpafilter Vi kal om ekempel finne den tiddikrete filterfunkjonen varende til den. orden filterfunkjonen y() u() = + (5)

11 Vi bruker ubtitujonen (3): y(t k ) u(t k ) = z h +z + = h z +z + (6) = h( + z ) ( h +)+( h ) z (7) = H dik (z) (8) om ordnet gir ( h +)y(t k )+( h ) z y(t k )= hu(t k )+ hz u(t k ) (9) om med bruk av (4) gir ( h +)y(t k )+( h ) y(t k )= hu(t k )+ hu(t k ) (3) om ordnet gir y(t k )= (h ) ( h +) y(t h k )+ ( h +) [u(t k)+u(t k )] (3) om er den tiddikrete filterfunkjonen, om kal beregne én gang for hvert tidkritt. Den angir en formel for beregning av filterutgangen y(t k ) om funkjon av filterinngangen for nåværende tidkritt, u(t k ), filterinngangen for forrige tidkritt, u(t k ),ogfilterutgangen for forrige tidkritt, y(t k ). [Slutt på ekempel 3] 4.3 Valg av tidkritt Det er viktig at tidkrittet h er lite i forhold til filteret repontid T r /, eller kan den tiddikrete filterfunkjonen få ganke forkjellige egenkaper fra den opprinnelige tidkontinuerlige filterfunkjonen. En håndregel er h 5 T r = 5 (3) 4.4 Frekvenreponen for et tiddikret filter Det kan vie at frekvenreponen for et tiddikret filter om har z-tranferfunkjon H dik (z), er H dik (e jωh ) H dik (z) z=e jωh (33)

12 der ω er frekven [rad/] og h er tidkrittet []. Amplitudefunkjonen og faefunkjonen finnepåvanligmåte: A(ω) = H dik (e jωh ) (34) F (ω) =argh dik (e jωh ) (35) 4.5 Frekvenkorrekjon (prewarping) Det kan vie at bruk av den bilineære tranformajonen (3) medfører at det tiddikrete filteret frekvenrepon blir noe forkjellig fra det opprinnelige tidkontinuerlige filteret frekvenrepon, dv. at H dik (e jωh ) 6= H kont (jω) (36) Dette kan kalle frekvenreponforvrengning. Frekvenreponforvrengningen kan være ubetydelig, men den blir tørre jo tørre tidkrittet h er. Ved å bruke åkalt frekvenkorrekjon av det tidkontinuerlige filteret før dikretieringen med (3), kan en kompenere for frekvenreponforvrengningen. (Frekvenkorrekjonen kalle prewarping på engelk.) Frekvenkorrekjonen utføre lik:. Anta at det er peifiert at H dik (e jω h )=H kont (jω ) (37) vedengittfrekvenω, om oftet vil være filteret båndbredde. Modifier det gitte tidkontinuerlige filteret tranferfunkjon lik: ω v (38) der Den modifierte H kont blir v = h tan ω h (39) H kont,korrigert () =H kont () ω v = H kont ( ω v ) (4). Finn H dik (z) ved å anvende den bilineære tranformajonen (3) på H kont,korrigert () gitt ved (4). Ekempel 4 Frekvenkorrekjon av. orden lavpafilter

13 Vi kal finne H dik (z) ut fra H kont () = + (4) Det kreve at H dik (z) og H kont () kal ha amme frekvenrepon ved.tidkrittet for dikretieringen er h. Denmodifierte H kont blir H kont,korrigert () =H kont ( v b )= v b + = v b + (4) der v b = h tan h H dik (z) finne å ved å anvende (3) på (4). [Slutt på ekempel 4] Frekvenkorrekjon benytte i filterutviklingfunkjonene butter i MATLAB og Butterworth Filter PtByPt i LabVIEW. Frekvenkorrekjon er ogå en opjon i den generelle dikretieringfunkjonen cd i MATLAB. Derom vi kal dikretiere et filter manuelt, er det neppe nødvendig å utføre frekvenkorrekjon ført derom tidkrittregelen (3) er fulgt. (43) 3