ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l =0, 1, ; m = l,,l.

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l =0, 1, ; m = l,,l."

Monica Løken
8 år siden
Visninger:

1 FY1006/TFY Øving 12 1 Frit for innlevering: Tirdag 22. april kl.1700 Oppgåve 1 ytem ØVING 12 Vinkelfunkjonar, radialfunkjonar og orbitalar for hydrogenliknande For ein partikkel om bevegar eg i eit kuleymmetrik potenial V (r) er det naudynt(unntatt for den iotropike harmonike ocillatoren) og praktik å operere med imultane eigenfunkjonar til operatorane Ĥ og ˆL 2. Inkluderer vi ogå ˆL z idetteoperatorettet,kanvi krive dei imultane eigenfunkjonane på forma nlm(r,, )=R nl (r)y lm (, ), der dei færike harmonike oppfyller eigenverdilikningane ( b L 2 bl z ) Y lm = ( h 2 l(l +1) hm ) Y lm ; l =0, 1, ; m = l,,l. Iformelenfor er n det åkalla hovudkvantetalet, omprdefinijoner n = l +1+n r, der radialkvantetalet n r pr definijon er talet på nodar (nullpunkt) i radialfunkjonen for 0 <r<1. a) Vinkelfunkjonane for l = 1, er Y 10 = co og Y 1±1 = 8 in e±i. Vi ekpliitt at dee er eigentiltandar til dreieimpuloperatorane ˆL 2 = h in 2 og ˆLz = h i og vi at eigenverdiane er på forma h 2 l(l +1) og hm, derl er dreieimpulkvantetalet og m er det magnetike kvantetalet. [Hint: I denne utrekninga treng du ikkje å bry deg om normeringa.] Dee vinkelfunkjonane er ortonormerte: Z Y1mY Z 2 1m 0d d 0 Z 0 d in Y1mY Z 2 1m 0 = d 0 Z d(co )Y 1mY 1m 0 = mm 0. Kontrollér ekpliitt at Y 11 er normert. Kvifor veit vi dee eigenfunkjonane er ortogonale? b) La o gå ut frå at partikkelen er eit elektron om bevegar eg i potenialet V (r) = Ze 2 /( 0 r)= Z h 2 /(m e a 0 r) h 2 /(m e ar), lik at vi har eit hydrogenliknande ytem (der a = a 0 /Z er den naturlege lengdkalaen). I Tillegg 5 har vi ett at radialfunkjonen u(r) =rr(r)

2 FY1006/TFY Øving 12 2 for dreieimpulkvantetalet l må oppfylle ei eindimenjonal radiallikning på forma: h 2 d 2 u(r) + "V (r)+ 2m e dr 2 # l(l +1) h2 u(r) =Eu(r). 2m e r 2 Det e ektive potenialet i hakeparenteen pelar i denne likninga rolla om potenial, og idan dette er avhengig av l, fårvieitettavradialfunkjonarogeitettmedtilhøyrande energieigenverdiar for kvar verdi av l. Nokre av løyingane R nl (r) =u nl (r)/r er finn du i tabellen nedanfor Radialfunkjonar for hydrogenliknande atom n l n r = n l 1 R nl (r) R 10 (r) = 2 a /2 e r/a R 20 (r) = 1 p 2 a /2 (1 r r/2a )e 2 2a 1 0 R 21 (r) = 1 2 p 6 a /2 r a e r/2a 0 2 R 0 (r) = 2 p a /2 (1 2r a + 2r2 27a 2 ) e r/a 2p 1 1 R 1 (r) = 8 27 p 6 a /2 r a (1 r 6a ) e r/a p 2 0 R 2 (r) = 4 81 p 0 a /2 ( r a )2 e r/a d Det vier eg at dei tilhøyrande energieigenverdiane er gjevne ved E n = E 1 n 2 = E 1 (l +1+n r ) 2, E 1 = h 2 2m e a 2 = 1 2 ( Z)2 m e c 2. Her er ein energieigenverdiane for ein verdi av l er trengt tigande med radialkvantetalet n r. Forklar dette med enkle ord [Hint: Ta utgangpunkt i amanhengen mellom talet på nullpunkt, krumning og energi i eindimenjonale problem, og huk at likninga for u(r) er eindimenjonal.] For l =1 erløyingamedlågatenergi u 21 = rr 21 = Cr 2 e r/2a. Kontrollér ved innetting at dette er ei løying av radiallikninga ovanfor, og vi at energiegenverdien er E 2. Finn kontanten C lik at orbitalane 21m = R 21 (r)y 1m, m =0, ±1, blir normerte, og amanlikn med tabellen. [Hint: R 1 0 x n e x dx = n!/ n+1. Huk å integrere over heile rommet.] Gå ut frå at radialfunkjon R(r) har eitt eller flere nullpunkt(for 0 <r<1). I ein orbital = R(r)Y (, ) gjev eit likt nullpunktet i R opphav til ei kuleforma nodeflate. Kor mange like kuleforma nodeflater har vi i ein orbital med R = R 5? Enn med R = R 21?

3 FY1006/TFY Øving 12 Enn med R = R 54? [Hint: Huk at n = l +1+n r.] Kva er den tørte l-verdien, og kva er det tørte radialkvantetalet, vi kan ha for eit hovudkvantetal n? c) Tilbake til vinkelfunkjonane! Tabellen vier eit utval inkluive dei om vi tuderte i a) Forklar med ord korlei funkjonane for m =0, Y l0,avhengavaimut-vinkelen.kva ymmetri varer dette til? Samme pørmål for funkjonane Y lm (og dermed nlm og annynlegheittettheitene) for m 6= 0. l m Y lm (, ) 0 0 Y 00 = q 1 p 1 0 Y 10 = q ±1 Y 1,±1 = q 8 co in e±i d 2 0 Y 20 = q 5 ( 16 co2 1) ±1 Y 2,±1 = q 15 in co e±i 8 ±2 Y 2,±2 = q 15 2 in2 e ±2i f 0 Y 0 = q 7 (5 16 co co ) ±1 Y,±1 = q 21 in (5 6 co2 1) e ±i ±2 Y,±2 = q in2 co e ±2i ± Y,± = q 5 6 in e ±i Ein kan illutrere korleie vinkelfunjonane Y (, ) avheng av vha polardiagram. Polardiagrammet til ventre i figuren nedanfor (øvt på nete ide) vier dette for ein av funkjonane Y lm, bortett frå ein faktor. Kva funkjon, og kva faktor? [Hint: Som du kjønar, peiker z-aken oppover i denne figuren, og det ame gjeld for alle figurane på nete ide. I foreleningane har vi ett at vinkelfunkjonane Y lm (, )erproporjonalemedin m og med eit polynom i co av grad l m. Dette implierer at Y om funkjon av har l m nullpunkt i intervallet 0 < <. Akkurat dette får du bruk for fleire ganger i denne oppgåva.] 1 Kva er forteikna til funkjonen Y lm for poitive og for negative z? (Figuren til høgre vier eit lag tredimenjonalt polardiagram for denne funkjonen, om ein får ved å rotere polardiagrammet til ventre en gong rundt z-aken. Som du kankje kjønar (ved å teikne ein rettvinkla trekant med hypotenu lik 1 og é i n k a t e t l i k ), c o er kurvene i figuren til ventre irkler. Korlei er polardiagramma for vinkelfunkjonane Y 1,±1 ut? (Teikn kie.) 1 I og med at polarvinkelen går frå 0 til, er polardiagrammet eigentleg berre høgre halvpart av figuren til ventre. Det er ganke vanleg å ta med peilbiletet på ventre ide for å minne om rotajon-ymmetrien i figuren til høgre.

4 FY1006/TFY Øving 12 4 d) Figurane 1 4 nedanfor vier polardiagramma for fire ulike Y lm med ame l. Kva er m ifig. 1? Kvaerdål? [Huk at Y lm er proporjonal med in m og med eit polynom i co av grad l m. Taletpånullpunktfor0< < er lik denne graden, altå lik l m.] Kva er m-verdiane i figurene 2-4?

5 FY1006/TFY Øving 12 5 Derom vinkelfunkjonen Y ieinorbital = R(r)Y (, ) er lik null for ein vinkel = 0 (der 0 < < ), vil dette gje opphav til ei nodeflate i orbitalen. Forklar med enkle ord kva lag nodeflater dei fire vinkelfunkjonane ovanfor gjev opphav til. e) La o nå ta for o orbitalen 210 = R 21 (r)y 10 (, ), om er produktet av vinkelfunkjonen Y 10 og radialfunkjonen R 21 (r) / re r/2a. Radialfunkjonen er makimal for r =2a og har ingen nodar, å vi kan lett e den for o. Då er det vankelegare å jå for eg korlei produktet av dee to funkjonane varierer om funkjon av r og (Er avhengig av?). Derom vi fyrt held r fat (dv tar o en tur på ei kuleflate med radiu r), å fortel vinkelfunkjonen korlei varierer. Held vi derimot vinklane fat, og paerer utover lang ei rett linje frå origo, er det R om funkjon av r, multipliert med verdien av Y,omgjeld. Figuren vier eit bilete av denne orbitalen, om er ei flate med lik annynlegheit. Vel vi ein mindre verdi for annynlegheiten, blir flata tørre og endrer ogå litt form. Sjølve bølgjefunkjonen er poitiv (og kontant) på øvre flate, og like tor og negativ på nedre flate. Korlei harmonerer dette med pariteten til Y 10?Kvanodeplanhardenneorbitalen?I figuren kan det jå ut om om det er kontakt mellom dei to flatene. Er dette tilfelle? Denne orbitalen kallar ein gjerne 2p z -orbitalen (2 for hovedkvantetallet, p fordi l =1ogz fordi Y 10 / co = z/r). f) Orbitalane 21,±1 = R 21 Y 1,±1 kan vi på ame vi kalle 2p ± -orbitalane. Figuren nedanfor vier halvparten av eit nitt i xz-planet av dee orbitalane. Meir preit er 21,±1 = R 21 (r) Y 1,±1 (, ) kontant lang kvar kurve. Ei lik kurve kan difor kallat ei lik-annynlegheitkurve.

6 FY1006/TFY Øving 12 6 Ved å rotere dee kurvene ein runde rundt z-aken få lik-annynleghet-flater, om har form om ein lag multring. Figuren vier ei lik lik-annynlighet-flate for multring-orbitalane. Har vi ei nodeflate her? Imangeproblemtreng vi ikkje orbitalar om er eigenfunkjoner til ˆL z.speieltikjemien jobbar ein ofte med real- og imaginærdelane av nlm (om kvar for eg er fullgode energieigen-

7 FY1006/TFY Øving 12 7 funkjonar). Dee reelle eigenfunkjonane er då på forma <e(e im )=com og =m(e im ) = in m (om ikkje er eigenfunkjonar til b L z ). Døme er p-orbitalane og 2p x = R 21 (r) 2p y = R 21 (r) x r = R 21(r) in co p = 2<e( 211 ) y r = R 21(r) in in p = 2=m( 211 ). Bekriv med ord og enkle kier korlei 2p x -og2p y -orbitalane er ut og er orientert, amanlikna med 2p z -orbitalen z 2p z = 210 = R 21 (r) r.

Like dokumenter

FY1006/TFY Øving 12 1 ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l = 0, 1, ; m = l,, l.

FY1006/TFY Øving 12 1 ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l = 0, 1, ; m = l,, l. FY1006/TFY4215 - Øving 12 1 Frist for innlevering: Tirsdag 28. april kl.1700 Oppgåve 1 system ØVING 12 Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande For ein partikkel som bevegar