INF Oblig 3 ligger ute, frist 22/11. Har oppgave fra dagens stoff. Matchinger i (urettede) grafer (matching = pardannelse)

Transkript

1 INF 40. november 00 Sein Krogdahl Oblig ligger ue, fri /. Har oppgave fra dagen off De er mye (og lien) ek på die foilene. Men å være grei for repeijon Dagen ema: Kapiel 4: Machinger i (ureede) grafer (maching = pardannele) Flyineverk(neverk = reede grafer med kapaieer ec.) Dagen ema er krafig forbunde med konvekie, polyedre med helallige hjørner ec., og dee er man nærmere på i mer maemaik reede kur (INF-MAT 560: Maemaik opimering). Vi går ikke inn på de her.

2 Machinger i ureede biparie grafer, kap. 4. Bipari graf = o-fargbar graf = graf om ikke har (like) odde løkker : Nodemengden X, f.ek. håndverkere Nodemengden Y, f.ek. dagen jobber Kanene: Hvem har kompeane il de forkjellige jobber? Vi klare å finne en perfek maching, om alå gjør a vi kan få ufør alle jobbene denne dagen Mae anvendeler, f..ek.: () Gruppelærere (X) om har ønker il grupper (Y). Kan alle få hver in gruppe? () En klae kal danne lag med en gu og en jene, og læreren ve hvem om jobber god ammen. () Noen varianer av probleme: Selv om vi ikke kan finne en perfek maching, kan vi være inereer i å finne en ør mulig maching. De kan være veker på kanene, og vi kan være inereer i å finne en yng mulig maching (eller yng mulig av de perfeke).

3 Hall Teorem: Når kan vi finne en perfek maching? En bipari graf med en perfek maching: X X Y Y Under: En undermengde S av X er forbunde (bare) med nodemengden R i Y, og R har færre noder enn S. Da finne opplag ingen perfek maching. Men dee gjelder ogå andre veien: Hall Teorem: De finne en perfek maching hvi og bare hvi de ikke finne noe uplukk S av X lik a R har færre noder enn S. Bevi den lee veien, om anyde over: Om de finne en lik S (lik a R er mindre enn S) å finne de opplag ingen perfek maching. Vi kan ikke få mache alle i S. Bevi den vankelige veien: Den ungarke algorime vil enen gi en perfek maching, eller den vil vie o (når den opper) en lik S. X S Y R Boka: R = Gamma(S)

4 Den naive grådighe-algorimen virker ikke Problem: Gi en bipari uree graf. Finn, om mulig, en perfek maching. Grådighe-ilnærmele (virker for noen få problemer, men ikke her): Se på kanene i ilfeldig rekkefølge, og a en kan inn i machingen om den ikke har en felle node med noen av kanene om allerede er med i machingen Ekempel på a grådighe-ilnærmelen g ikke virker her: Gi den øvere grafen. Grådighe kan, eer o eg, gi machingen under il venre. De finne opplag en maching med re kaner (under il høyre), men den il venre kan ikke uvide ved enkel grådighe! I parene bemerke: E ed der grådighe fakik virker er når en vil finne de leee (eller ynge) pennree i en ammenhengende uree graf med vekede kaner: Se på kanene i rekkefølge av igende vek, og a med de om ikke danner en løkke med de nodene om allerede er plukke u (Krukal algorime).

5 Den ungarke algorime for å finne en perfek maching Anar a X = Y De vier eg imidlerid a om vi, i ede for å lee eer hel ledige kaner, leer eer forbedringveier, å vil vi hel ikker finne en lik vei, derom en ørre maching i de hele a ekierer. Dee kan le vie direke, men vi gjør de lik a vi amidig vier Hall eorem En lik forbedringvei for den venre machingen M er iple i den høyre: Forbedringvei P: En alernerende vei (annenhver kan er med og ikke med i machingen) Begge endenodene er umache (er ikke ende-node i noen kan i machingen) eller bare Vi bruker en forbedringvei ved å bye kaner i machingen lang forbedringveien: Dee må opplag føre il en ny maching, om er én ørre. I ilfelle over får vi den il høyre (om krive M P):

6 Hvordan finne mulige forbedringveier? Den ungarke algorime går u på å: - are med en om maching, - å lee eer en forbedringvei, - å bruke denne il å få en ørre maching M, - å finne ny forbedringvei i.f.. M og bruke denne ov. il vi: enen har en perfek maching eller il vi ikke finner noen forbedringvei i forhold il M I ie ilfelle vil iuajonen forhåpenligvi vie o en undermengde S i X om er forbunde med mengden R= Gamma(S) i Y, lik a R er mindre enn S. Og dermed vie o a de ikke finne noen perfek maching! De generelle ege i den ungarke algorime går alå u på å: ha en foreløpig (ikke-perfek) maching M å prøve å finne en forbedringvei om vi kan bruke il å lage en maching om har én kan mer. (Om de er en hel ledig kan kan vi velge den om forb.vei) Søke eer en lik forbedringvei gjøre generel lik (figur nee foil): Velg en umache node r i X. Den kal bli roen av e re T vi kal bygge, der alle veier u fra roen kal være alernerende veier (de blir de auomaik ). Vi har da funne en forbedringvei derom en forgrening av ree kan få konak med en umache node i Y.

7 Sege i den yre løkka i den ungarke algorime Vi anar alå a vi år med en ikke-perfek maching M, og a vi vil lee eer en forbedringvei. Dee ege kal bygge e alernerende re T, og ved aren beår ree T bare av en ronode r, om er en umache node i X (og en lik kan allid finne når M ikke er perfek og X = Y ) Dee ree bygge ved en indre løkke: For ege i denne har vi en gi M, og u fra denne har vi bygge e alernerende re T fra roen r, og vi ønker å uvide dee ree. Seg i rebyggingen: Vi leer opp en kan om går u fra en rød node i T (alå en node i X) og om går il en node (i Y!) om ikke er med i T. Om vi finner en lik kan er de o ilfeller:. Kanen går il en umache node i Y, da har vi funne en forbedringvei, og vi ikan bruke denne il å øke M, og (om vi da ikke har en perfek maching) are på en ny rebygging.. Kanen går il en mache node i Y, og da ar vi ogå med i T den ilhørende kanen i M. Tree blir alå uvide med o kaner/noder. Tree T: Den blå er mache. Vi ar da ogå med i T den ilhørende M-kanen r Til node i T. Bryr o ikke om like Umache. Vi har da funne en forbedring-vei. Vi bruker denne, og får en ørre maching M (og kaer de ree vi har og arer en ny rebygging i forhold il den nye M)

8 Sege i den ungarke algorime - Tree T: r Tree er grei og ryddig u il høyre. Merk a bare ree nye og poenielle kaner er egne! Men de kan elvfølgelig ogå egne inn i den biparie grafen. Da ar de eg lik u: z x Til node i T. Bryr o ikke om like y z r x y Umache. Vi har da funne en Den blå er forbedringvei. Vi ar da ogå bruker mache. Vi med i T den denne, og får ilhørende Tree T Bryr o en ørre M-kanen voker ikke om like Forbedring- maching vei funne

9 Avluning av den ungarke algorime uen å finne noen perfek maching Ana a algorimen opper fordi vi ikke finner en kan fra en rød node i T il en (blå) node uenfor T. Da finner vi alå ingen forbedringvei, og vi ønker da å finne e bevi på a ingen perfek maching finne: Ønke: En delmengde S av nodene i X (røde) om er lik a de nodene R den er forbunde med i Y er færre enn i S. Som S velger vi da re og le de røde nodene i T. Av dem er de én mer enn anall M-kaner i ree. Vi lar å R være de blå nodene i T. R har opplag én node færre enn S (like mange om kaner fra M i ree) Vi påår nå a nodene i S ikke har kaner il noen andre blå noder enn de i R, alå a R=Gamma(S). Begrunnele: Algorimen har oppe neopp fordi de ikke finne kaner fra røde noder i ree il blå noder uenfor ree. Ingen like r r NB: De over er o forkjellige rær! Dermed er ogå Hall Teorem vi: Denne algorimen kan kjøre på enhver bipari graf med X = Y, Y og den vil gi enen en perfek maching eller en S lik a R=Gamma(S) er mindre enn S. S R

10 Varianer over problemillingen Se på il nå: Finn en perfek maching i en bipari graf (eller vi a en lik ikke finne) E programkie av denne algorimen er gi på ide 4/4 Andre pørmål (om ogå kan løe grei): Finn en maching med fle mulig kaner (og da behøver ikke nodemengdene X og Y være like ore) Skal dere e på om gruppeoppgave nee uke Gi veker på kanene: Finn en perfek maching med ør mulig vek Sår i boka, men vi ar ikke den med i penum (kap 4..) Fly i neverk (der maching-probleme for biparie grafer fremkommer om e peialilfelle) Den ammenhengen kal dere ogå e på på gruppene nee uke Fly i neverk kal vi e på rak. Generaliering il generelle grafer (ikke bare biparie) g g g ( p ) Se nee foiler

11 Maching i grafer om ikke er biparie Har odde løkker: Vrange for maching Generalieringer i av de biparie maching-probleme: Gå over il generelle grafer, ikke bare biparie grafer Sill de ilvarende pørmål angående machinger: Finn en perfek maching (eller vi a en lik ikke finne) Finn en maching med fle mulig kaner Med veker på kanene: Finn en perfek maching med ør mulig vek Alle die kan ogå løe i polynomik id Algorime for de generelle maching-probleme: Her finne ogå greie algorimer (kie nee foil), men de er mer krunglee å bevie Penum er bare å vie a en like algorimer finne, og a maching-probleme i generelle grafer derved ogå kan løe i polynomik id.

12 Sege i den uvidede ungarke algorime Nye elemer i algorimen: Vi ifjerner all llfarging mellom re-byggingene Sarer på ilfeldig umache node, farge rød! r Tree T: Når grafen ikke er bipari kan de ogå oppre kaner i ree fra røde il røde noder, lik om kanen (u,v) i figuren. Denne danner da en odde løkke med reen av ree. Den behandle re og le ved a vi nurper ammen den odde løkka (inkluive i indre kaner) Til blå node il en ny or rød node. i T: Bryr (Eller: Farg alle nodene i den odde løkka røde) u v o ikke om r like ø De enrale: Begge die uvidelene har alernerende veier il roen Ny ype kan: Ikke i biparie grafer. Behandle lik. Kan il mache ufarge node: Farger noden blå, og den ilhørende machede node rød. Tar die med i ree. Kan il ufarge og umache node: Vi har da funne en forbedring- vei. Vi bruker denne, og får en ørre maching

13 Avluningen av ege i den uvidede ungarke algorime r ø å Umache node HURRA! å åø ø ø å

14 Fly i neverk, kap. 4. Dee offe er ogå noe dekke i Wei-boka, å man kan ogå lee der. A man her bruker orde neverk (og ikke noe med grafer ) ) er bare ren radijon. Grov e er neverk reede grafer med forkjellige kapaieer, veker ec. på kanene (og ofe ogå på nodene) Svær mange prakike problemer faller inn under neverkproblemer, og peiel fly i neverk: Daane med fly av daapakker, og kapaie ( båndbredde ) Forkjellige yper rør-neverk, der væker flyer, og rørene har kapaie Vei-neverk, der biler flyer, og med forkjellige kapaie på veiene De neverk vi kal udere her har Kapaieer på kanene Én kilde-node og én luk-node Og oppgaven er generel å pree å mye 6 fly fra il om mulig.

15 Fly i neverk, kap. 4. En fly f i e lik neverk er ammena av en fly f(e) på hver kan e, om er lik a: Flykonervering-prinippe: ii Ih hver node, bore fra i og, er ummen av fly inn il noden lik um av fly u av noden (definer i forhold il kanene rening). I neverk med kapaieer: Hver kan e har en vi kapaie c(e) 0, og flyen f(e) må da ligge mellom 0 og c(e). Forueer i denne fremilling: De går ikke kaner inn i eller u av. val(f) er ummen av flyen om går u av. Lemma: Summen av flyen om går inn i er ogå val(f) Vie grov e ved ummering av flyen inn/u over alle noder

16 Begreper bruk i boka, men om vi ikke bruker direke i foilene Dealjer er derfor ikke penum! En emi-vei gjennom grafen = en vei fra il i den underliggende ureede grafen Enhe-fly: Definer av en emi-vei der de er fly lik + på de kanene om følger veien rening, og lik pådekaneneomgårmo mo veireningen Lemma for neverk uen kapaieer: To flyer om ummere kan for kan gir en ny lovlig fly Lemma for neverk uen kapaieer: Om hver kan-fly mulipliere med en gi konan får vi en ny lovlig fly. 4 6 En (lovlig) 5 8 fly og en emi-vei.

17 Fly i neverk, med kapaieer Hver kan e har en vi kapaie c(e), og flyen f(e) gjennom kanen e må ligge mellom 0 og c(e). Ønke: Gi e neverk med kapaieer. Vi ønker å finne kanflyer f(e) om holder eg innenfor kapaieene ugjør en makimal fly, alå en om gir en å or val(f) om mulig Ekempele under il venre, er e neverk med gie kapaieer. Vi er inuiiv: Makimal fly er her 7, og en lik fly er gi il høyre. 4 8 E ku med kapaie 7. Mer om de iden a b a b c d c d 5

18 Ren grådighe virker ikke her heller Den naive grådighe-algorimen i (om ikke virker!): Sege: Finn enkel flyøkningvei : Finn en ree vei fra il om er lik a alle flyer f(e) er lavere enn c(e) lang veien Øk flyen lang denne å mye om mulig (gi av den kanen om har min c(e) f(e) lang veien) Gjena dee il ingen like veier finne. På figuren under er kapaieene angi over kanene (alle ) og flyen angi under kanen (iniiel er den 0 overal). Vi finner før en ilfeldig lik enkel flyøkningvei, f.ek. -a-b-c-d-. Lang denne kan vi øke flyen med, og vi får nee iuajon under. val(f) er nå, men de er opplag a vi kan oppnå val(f)= MEN, de finne ingen enkel flyøkningvei av ypen definer over om kan bringe o il en iuajon med val(f)=. a b c 0 d a b 0 0 c d

19 De f-avledede neverke N(f) De vi ydeligvi ikke har a henyn il i den enkle berakningen med flyøkende veier, er a vi ogå kan minke flyen i noen kaner når vi vil gjøre en forandring og ved å a henyn il de får vi fakik en fullgod algorime For å få overik over forandring-muligheene på den enkele kan kan vi, u fra e gi neverk med kapieer c(e) og en gi lovlig fly f(e), egne de f-avledede neverke beegne N f, Nf eller N(f). Vi bruker her N(f). (Merk her: Nye kapaieer i forhold il forrige foil): a b c d a c b d Neverk med kapaieer (over) De f-avledede neverke N(f) og fly (under) (angir mulige flyforandringer) Se ogå figur 4.8 i boka (ide 45)

20 f-forbedringveier (Samme figurer om på forrige foil, de opprinnelige neverke N il venre:) 0 a c b a b 0 4 d c d Vi leer å eer veier fra il i de f-avledede neverke N(f) Slike veier kalle f-forbedringveier ( f-augumening emipah ) Søke kan gjøre f.ek. bredde-før eller dybde-før i N(f) fra. Vi kan for ekempel velge -c-b-. Den makimale flyforandringen lang denne er her (ana generel h). Vi gjør å den ilvarende flyforandringen, ved å øke flyen med h i de kanene i N der f-forbedringveien går amme vei om i N minke flyen med h der kanen i f-forbedringveien går moa vei av i N Dee gir den nye flyen: U fra denne må vi å lage e hel ny 0 f-avlede neverk N(f), ov 4 c d

21 Ku i neverk E ku (Cu) i e neverk er re og le en odeling av nodemengden i mengdene X og Y. Her kal vi bare e på ku der er i X og er i Y. X Y Kapaieen av e ku K=X,Y (krive cap(k)) er ummen av kapaieene på de kanene om går fra X il Y (og er alå uavhengig av kapaieen på de om går moa) ). I figuren over blir kue kapaie alå +7=0

22 Mer om ku i neverk Lemma: Gi en lovlig fly f og e ku K=X,Y. Da er val(f) cap(k). Vie grov e lik: Vd Ved ummering av flyen inn/u over alle noder ix = X finner vi a fly inn i X må være lik fly u av X. Derved må (fly u av ) + (fly bakover over K) = (fly fremover over K) alå (fly u av, alå: val(f) ) = (fly fremover over K) (fly bakover over K) Høyreiden over kalle flyen over K, og den er opplag ikke ørre enn cap(k) Derved ve vi: val(f) cap(k). I figuren over: 5 = Dee gir o en mulighe il å vie a vi har en makimal fly: Om vi har en fly f og e ku K lik a val(f) = cap(k) å er flyen makimal, og ine ku er mindre!

23 FordFulkeron-algorimen går lik: Sar med null fly FordFulkeron-algorimen Sege (og ved aren av dee har vi generel en eller annen lovlig fly f ): Lag de f-avledede neverke N(f) (om angir alle forandringmuligheer) Finn en f-forbedringvei gjennom dee neverke, og finn makimal økning for denne (beem av den kanen lang veien med min forandringmulighe) Gjør den forandringen i flyen om denne angir Gjena ege il vi ikke lenger kan finne en f-forbedingvei forbedingvei fra il i N(f) Algorimen luer når de ikke er noen ree vei fra il i N(f). Bevi for a vi da har en mak fly er a vi da kan vie e ku med denne kapaie (nee foil). a b c d c d Se ogå programme på ide 48 Dere kal håndgå denne algorimen u fra figur 4.9 på gruppene nee uke

24 Avluning av FordFulkeron-algorimen Den luer alå med a de ikke er noen forbindele fra il i N(f). a b a b c d d X Y X c Y For å vie a vi fakik har en makimal fly ønker vi da å finne e ku K om har nøyakig amme kapaie om flyen f, alå: cap(k)=val(f). De vier eg a e lik er le åfinne: La X være de nodene om kan nåe i N(f) fra, og la Y være reen av nodene. Noden er da i Y, e figuren over. Siden ingen kaner i N(f) går fra X il Y er de le å e a Alle kaner i N om går fra X il Y bruker hele in kapaie (er mee ) Alle kaner i N om går fra Y il X har fly f = 0. U fra df defenijonen ij av cap(k) er vi da a den er lik flyen over K = val(f) Demed ve vi a flyen er makimal, og vi har vi bevi følgende eorem: Teorem (Max fly min ku): I e neverk med kapaieer kan vi finne en Teorem (Max-fly min-ku): I e neverk med kapaieer kan vi finne en fly f og e ku K lik a val(f)=cap(k). Da ve vi a flyen er makimal, og a ine ku K har mindre kapaie.

25 Varianer av FordFulkeron-algorimen FordFulkeron-algorimen ier bare a man kal velge en eller annen forbedringvei i forhold il kapaieene og den nåværende flyen, dereer finne den makimale flyøkningen vi kan gjøre lang denne, og å legge il denne flyen. Når vi ikke lenger kan finne noen lik forbedringvei har vi en makimal fly (bevi ved a algorimen gir o e ku med kapaie = flyen) Om vi ikke legger på yerligere yring for valg av forbedringvei, gjelder: Om kapaieene er helall, å kan anall eg bli den makimale flyen for neverke. Ekempel: n = anall noder m = anall kaner Om kapaieene er reelle all kan algorimen eoreik i e gå i evig løkke (!?) Forbedring : Man kan hele iden velge den forbedringveien om gir ør forbedring (kan le finne med en algorime analog il en koree-vei-algorime) Dee gir wor-cae-id: O( m log(n) log( mak-fly ) ) Forbedring : (Edmond og Karp) Man kan ogå hele iden velge den veien om er kore i anall kaner (kan finne ved bredde før øk) Dee gir wor-cae-id: O(n m ) (alå uavhengig av makimal fly!)

26 Varianer av probleme med makimal fly For de føre finne alernaiver il FordFulkeron Dinac har deigne en algorime Goldberg and Tarjan (preflow puh algorihm) Vi kan ogå ha angi ogå en minimal fly på hver kan. Da er de e ege problem bare å finne en mulig fly Men eer de kan man foree om for FordFulkeron Man kan ha en pri på hver kan, for å ende fly på denne kanen. Her finne en kjen opimaliering-algorime: Ou-of-kileralgorimen Man kan ha flere kilder og flere luk, med forkjellige krav il flyen inn og u av die. Og de kan være flere forkjellige ing ( commodiie ) omkal kal flye (buer, peronbiler, ) og kanene kan ha forkjellige kapaie for hver av die (evenuel være perre for noen av dem) Dee er e akiv forkningområde, for rafikkplanlegging, g, ruing i kommunikajonneverk ec.

27 Kap. 4..7: En ammenheng mellom fly i grafer og machinger i biparie grafer Enkel men vikig lemma:. Ved helallige kapaieer kan man allid finne en makimal fly om er helallig.. Når alle kapaieene er kan vi alå finne en makimal fly der hver kan har fly 0 eller (og FordFulkeron vil allid finne en lik!) En lik fly kan dermed ed olke om e uplukk av kaner (de om har fly) Se på på gruppene nee uke: Alle kapaieer er Leing eer forbedringvei i flyneverke ilvarer hel leing eer forbedringvei u fra en maching i grafen E uplukk av noder om dekker alle kaner ilvarer e ku i flyneverke 7