Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse dette på er å trene mer og sette v tid til kontroll v svr og utregninger på eksmen! Alle svr skl begrunnes/forklres: - Alltid formel før innsetting i formel - Alltid kort tekst som sier hv du gjør - Alltid skrive kommndoer mn bruker i dtprogrmmer og på lommeregner Del - Uten hjelpemidler Oppgve ) Deriver funksjonene: ) fx e x ) gx ln x e x ) hx e x sinx ) Kjerneregel: fx e u, u x f x e u 6e x ) Produktregel: f x x e x ln x e x e x ln x x ) Produktregel (og kjerneregel): f x e x sin x e x cosx e x cosx sin x b) Bestem integrlene: ) x 5x dx ) x sinx dx ) Vribelskifte: u 5x du 0x dx du dx 0x u x du 0x 0 u du ln u C C ln 0 0 5x ) Delvis integrsjon med u sin x og v x: x sinx dx x cosx cosxdx x cosx sin x C sin x x cosx C c) ) Vis t x cosln x cosln x sinln x H-P Ulven.05. v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R ) Regn ut cosln xsinln x dx ) Produktregel (og kjerneregel): x cosln x cosln x x sinln x x cosln x sinln x QED ) cosln xsinln x dx x cosln x cosln cosln cosln cosln d) Løs differensilligningen y x y x, der y 5 Ikke seprbel, men lineær: y x y x, IF e x dx e ln x x xy y x xy x xy x C y x C x (Generell løsning) Initilbetingelse: 5 C C 4 y x 4 x x 4 x e) Gitt funksjonen fx e x sin x. (Spesiell løsning) ) Hv må k være i differensilligningen y y ky 0 hvis fx skl være en spesiell løsning v differensilligningen? ) Hv må y0 og y 0 være for t fx skl være en spesiell løsning v differensilligningen? ) Produktregel: f x e x sin x e x cosx e x cosx sin x f x e x cosx sin x e x sin x cosx e x cosx Innstt i DL: e x cosx e x cosx sin x ke x sin x 0 e x cosx cosx sin x k sin x 0 e x k sin x 0 k (Ikke løs for x, skl være oppfylt unsett x-verdi.) ) y0 f0 e 0 sin 0 0 y 0 f 0 e 0 cos0 sin 0 f) Bruk induksjonsbevis til å bevise t 4... n n, for lle n. H-P Ulven.05. v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R n : VS HS OK! n n : Må vise t... 4 n n n når vi ntr t formelen over gjelder for n: VS... 4 n n n n n n n n n n n HS OK! n g) ) Gitt rekken sin x sin x sin x... For hvilke verdier v x konvergerer denne rekken? ) Løs ligningen sin x sin x sin x... Du kn få bruk for tbellen: x : 0 6 sin x : 0 4 ) Geometrisk rekke med sin x og kvotient k sin x Konvergens når: sin x x k k (Konvergens for lle x unnttt k) ) VS sin x sin x, så ligningen blir k sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x 4 x k x k 4 4 h) Gitt vektorene u,,, v,, 4 og w,, 6. Regn ut: ) u v ) u v ) u v w 4) Gi en kort forklring på hv utregningene i ), ) og ) kn brukes til. ) u v,,,, 4 4 6 4 8 Sklrprodukt kn brukes til å sjekke om to vektorer står normlt på hverndre. (Inngår også i utregninger v vinkel mellom to vektorer, lengde og projeksjoner.) H-P Ulven.05. v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R ) u v,,,, 4 e x e y e z 4 0,9, 7 Vektorprodukt kn brukes til å sjekke om to vektorer er prllelle. (Inngår også i utregninger v rel utspent v to vektorer, konstruksjon v normlvektorer og i volumberegninger for prllellepipeder og pyrmider. Se ).) ) u v w,,,, 4,, 6 0,9, 7,, 6 0 9 7 6 5 Volumproduktet brukes til å regne ut volumet v et prllellepiped utspent v de tre vektorene. (Eventuelt pyrmider). Utregningen kn også brukes til å sjekke om tre vektorer ligger i smme pln, d volumproduktet i så fll blir 0. Del - Med hjelpemidler Oppgve Et lodd med mssen m 0. 5 kg svinger i en fjær med fjærstivheten k 4 N/m. Dempningsfktoren er l 0. 5 Ns/m. Vi holder i utgngspunktet loddet i ro 0. 5 m fr likevektsstillingen, før vi slipper loddet ved tidspunktet t 0 [s]. ) Utled differensilligningen for utslget y fr likevektsstillingen ved hjelp v Newtons ndre lov. b) Løs differensilligningen. c) Hv blir svingetiden? d) Lg en skisse v grfen til y. e) Finn toppunktene til y. Oppgven burde oppgitt tllene som 0.500 og 4.00 for å mrkere ntll gjeldende siffer. Unsett så er det nturlig å bruke vrundede desimltll i en slik prktisk oppgve. ) Tegn figurer omtrent som i læreboken på side 0! Newtons ndre lov: F m mg ly ky y 0 my my ly ky mg ky 0 der mg ky 0 0 ): my ly ky 0 0. 5y 0. 5y 4y 0 y y 8y 0 H-P Ulven.05. 4 v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R b) Krkteristisk ligning: r r8 0 r i 0. 500. 78i Generell løsning: yt e 0.5t A sin. 78t B cos. 78t [m], t 0, [s] y 0. 5e 0.5t A sin. 78t B cos. 78t e 0.5t. 78A cos. 78t. 78B sin. 78t e 0.5t 0. 5A. 78B sin. 78t 0. 5B. 78A cos. 78t Initilbetingelser: y0 0. 5 0. 5 e 0 A sin 0 B cos0 B 0. 5 y 0 0 0 e 0 0. 5A. 78B sin 0 0. 5B. 78A cos0 0. 5B. 78A 0 A 0.50.5.78 0. 0898 Spesiell løsning: yt e 0.5t 0. 0898 sin. 78t 0. 5 cos. 78t [m], t 0, [s] c) Svingetid gitt v:. 78 T T.78. 6 [s] d) Skisse/Grf: e) Fr ): y e 0.5t 0. 5A. 78B sin. 78t 0. 5B. 78A cos. 78t e 0.5t. 4 sin. 78t 0. 00056 cos. 78t y t 0. 4 sin. 78t 0. 00056 cos. 78t 0 tn. 78t 0.00056 tn. 78t 0. 00049.4. 78t 0. 00049 k t 0 k. Topp-punkter for k 0,, 4, 6,... t 0, t. 6, t 4. 5, t 6. 78,... ): 0, 0. 5,. 6, 0. 6, 4. 5, 0. 05,... (Mye rbeid, kn bruke Ektremlpunkt[funksjon,fr, til] i GeoGeBr.) H-P Ulven.05. 5 v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R Kn være en ide å regne ut den deriverte en gng for lle generelt og h i sin privte formelsmling: y e t A sint B cost y e t A sint B cost e t A cost B sint e t A sint B cost A cost B sint e t A B sint B A cost D får vi y0 B og y 0 A B Oppgve Skissen ovenfor viser grfen til funksjonen fx A sin x, x 0,. Tngenten T til grfen i punktet P, f er også tegnet inn og skjærer x-ksen i punktet Q. Punktet R er i, 0. ) Vis t ligningen til tngenten er gitt ved: T : y A cosx A cos sin b) Bestem koordintene til Q ved regning. c) Vis ved regning t relet vgrenset v grfen til fx og x-ksen, fr Origo til R blir A cos. d) Grfen til fx deler treknten QRP i to områder. Bestem ved regning slik t disse to områdene blir like store. ) Ett-punkts-formelen y y f x x x gir: T : y f f x y A sin A cosx y A cos x A cos A sin y A cos x Asin cos eller y A cos x A cos sin b) Q : y 0 x Asin cos Acos QED tn ): Q tn, 0 c) A f 0 A sin xdx A cosx 0 A cos cos0 H-P Ulven.05. 6 v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R A cos QED d) A QRP gh tn Asin Atn sin (eller sin cos ) Krv: A QRP A f A f A f A QRP Atn sin A cos 4 4 cos sin cos 4 4 cos cos cos 4 cos 4 cos cos cos 4 cos 0 cos cos 0 k. k 0 er triviell løsning når lt klpper smmen. Eneste løsning i 0, er:. Oppgve 4 Gitt punktene S,, 0 og P, 8, 0. ) Finn prmeterfremstillingen for en linje l gjennom S og P. b) Finn vstnden fr punktet A5, 4, 6 til linjen l. c) Finn ligningen for en kuleflte med sentrum i S og som går gjennom punktet P. d) Linjen l skjærer åpenbrt kuleflten i punktet P. Finn det ndre skjæringspunktet Q mellom linjen l og kuleflten. e) Finn ligningen for plnet som tngerer kuleflten i punktet P. f) Finn vstnden fr punktet A til tngeringsplnet. g) Et nnet pln ligger mellom punktene S og P og er prllelt med plnet. Plnet hr vstnden d fr punktet P. Finn ligningen for plnet. h) Regn ut rdius i skjæringssirkelen mellom kuleflten og plnet. ) SP 0, 6, 0 OP OS tsp x, y, z,, 0 t0, 6, 0 l : x y 6t z 0 (eller x y s z 0 der s 6t.) b) SA 6,, 6 SA 76 SP 6 SP SA Avstnd: H-P Ulven.05. 7 v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R d Al Arel utspent v SP og SA grunnlinje SP SA SPSA SP SPSA SP 766 6 6 8. 49 Eventuelt: d e x e y e z 0 6 0 6 6 SP 6,0,6 6 6,0, 6 6, 0, 6 c) Rdius: R SP og sentrum: S,, 0 gir oss: : x y z 6 (Eller x x y 4y z ) d) P gitt v OP OS SP så punkt Q på motstt side gitt v: OQ OS SP,, 0 0, 6, 0,4, 0 ): Q,4, 0 e) Normlvektor: n SP 0, 6, 0 (Kunne også vlgt n SP 0, 6, 0 0,, 0...) 6 6 Pln med n gjennom punktet P, 8, 0: x, y 8, z0 0, 6, 0 0 6y 48 0 ): : y 8 0 f) Avstnd (projeksjon v PA på n: d A PASP 6,4,60,6,0 4 4 6 6 SP g) Går til nytt punkt R i det nye plnet frp lngs SP: OR OP e OP SP SP, 8, 0 0, 6, 0, 6, 0 6 ): R, 6, 0 : x, y 6, z0 0, 6, 0 0 6y 6 0 y 6 0 h) En god figur og Pythgors gir: r R R r 6 6 r 6 6 0 5 4. 47 (Negtiv løsning forkstes.) Oppgvene e), f), g) og h) kn sees direkte med en god figur, H-P Ulven.05. 8 v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R d tllene og posisjonene til plnene er såpss enkle og oversiktlige! Dette skulle gi gode kontrollmuligheter og små muligheter for feil! Oppgve 5 En hyperbel er gitt ved ligningen x y b Hvis vi dreier den øvre og høyre delen, mellom x og x, 60 om x-ksen, får vi et omdreiningslegeme som vi kller hyperboloide. ) Vis t ligningen for hyperbelen kn omformes til y b x b. b) Bruk integrsjon til å regne ut volumet v den delen v hyperboloiden som ligger mellom x og x. ) x y b x y b x b y b QED b x b y b b) V b y dx b x x b x b dx b b 7 b 4 4 b b x dx b 8 Oppgve 6 Vi ønsker å finne summen v rekken...n n og skriver derfor rekken på denne måten:... n... n... n... n ) Forklr hvorfor summen blir: S n n n... n n H-P Ulven.05. 9 v 0 r_hd_v_ls.tex
Løsningsskisser HD R b) Vis t summen kn forenkles til formelen: S nn n n ) Leddene i uttrykket S n n n... n n er summene rd for rd. Hver rd er en geometrisk rekke så vi kn bruke formelen k n k på hver rd, der første ledd blir,,,... og ntll ledd blir n, n, n,... b) Fktorisering med felles fktor og litt rydding i ledd gir: S n n n... n n n n n... n n n n n... n... n n n n... n... n nn n n n n n n n n nn n n QED H-P Ulven.05. 0 v 0 r_hd_v_ls.tex