DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste verdi vr 34 poeng. Vrisjonsredden vr ( 20 ( 34) ) poeng = (20 + 34) poeng = 54 poeng. Vi finner gjennomsnittet for poengsummene ved å legge smmen lle poengsummene og dele på ntll runder. 20 + ( 15) + 5 + 15 + ( 8) + ( 3) + ( 24) + 30 20 15 + 5 + 15 8 3 24 + 30 20 = = = 2,5 8 8 8 Gjennomsnittet for poengsummene vr 2,5 poeng. Oppgve 2 25 20 = 5 Fem v elevene i klssen til Mts hr odd i Norge i mindre enn fire år. Oppgve 3 6 6 5 10 5 10 = = 2,5 10 = 2,5 10 8 8 2 10 2 10 6 ( 8) 14 Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 9
Oppgve 4 BMI Frekvens Kumultiv 17,18,5 frekvens Reltiv frekvens Kumultiv reltiv frekvens 20 20 0,02 0,02 18,5, 25 25, 30 30, 32 500 520 0,50 0,52 400 920 0,40 0,92 80 0 0,08 1,00 Tllet 80 forteller oss t det vr 80 personer som hdde en BMI i området 30, 32 krkteriseres som fedme. Tllet 520 forteller oss t det vr 520 personer som hdde en BMI under 25. De 520 personene hdde en norml kroppsvekt eller vr undervektige., som Tllet 0,4 forteller oss t 40 % v personene hdde en BMI i området 25, 30, 40 % v personene i undersøkelsen vr overvektige. Tllet 0,92 forteller oss t 92 % v personene hdde en BMI under 30. 92 % v personene i undersøkelsen er ikke i ktegorien «fedme». For å estemme medinen må vi først ordne BMI for de 0 personene i stigende rekkefølge. 0 er et prtll, ltså er medinen gjennomsnittet v verdi nummer 500 og verdi nummer 501 (når BMI er ordnet i stigende rekkefølge). Av tellen ser vi t ktegorien «norml vekt» er fr og med verdi 21 til og med verdi 521. Medinen ligger ltså i ktegorien «norml vekt». Oppgve 5 Figurnummer Antll seksknter Antll sirkler i ytterste seksknt 2 1 6 3 2 12 4 3 18 5 4 24 n n 1 6n 6 Figur 2 inne holder 1 seksknt. Figur 3 inneholder 2 seksknter. Figur 4 inneholder 3 seksknter. Vi ser t ntll seksknter er én mindre enn nummeret på figuren. D vil figur 5 inneholde 4 seksknter, og figur n vil inneholde n 1 seksknter. Ashehoug www.lokus.no Side 2 v 9
Figur 2 inneholder 1 seksknt og 6 sirkler i ytterste seksknt. Figur 3 inneholder 2 seksknter og 12 sirkler i ytterste seksknt. Det smme mønstret gjelder for figur 4. Antll sirkler i ytterste seksknt er ltså 6 gnger ntll seksknter. Antll sirkler i ytterste seksknt i figur nummer 5 lir d 6 (5 1) = 6 4 = 24. Antll sirkler i ytterste seksknt i figur nummer n lir d 6( n 1) = 6n 6. Fr oppgve vet vi t det er seks gnger flere sirkler i ytterste seksknt enn det er seksknter. Vi finner ntll seksknter ved å t ntll sirkler og dele på seks. 246 41 6 = Figuren med 246 sirkler i den ytterste seksknten innholder 41 seksknter. Figurnummer Antll rder Antll sirkler i hver rd Antll sirkler i figuren 1 1 1 1 2 3 2 6 3 5 3 15 4 7 4 28 n 2n 1 n 2 2n n Figur 1 inneholder 1 rd, 2 1 1= 1 Figur 2 inneholder 3 rder, 2 2 1= 3 Figur 3 inneholder 3 rder, 2 3 1= 5 Det smme mønstret gjelder for figur 4. Figur n inneholder 2n 1 rder. Av tellen ser vi t ntll sirkler i hver rd er lik nummeret på figuren. Figur n hr n sirkler i hver rd. Se på figur 3. I figur 3 er det 3 sirkler i hver rd og 5 rder. 3 5= 3 2 3 1 = 15 Antll sirkler i figur 3: ( ) Så ser vi på figur 4. I figur 4 er det 4 sirkler i hver rd og 7 rder. 4 7= 4 2 4 1 = 28 Antll sirkler i figur 4: ( ) Antll sirkler i figur n er d gitt ved: 2 n(2n 1) = 2n n 2 d Antll sirkler i figur nummer : 2 = 2 10 000 = 19 900 Det er 19 900 sirkler i figur nummer. Ashehoug www.lokus.no Side 3 v 9
Oppgve 6 En lineær modell eskriver vi med en lineær funksjon: f ( x) = x + Det nts t ntll dyr vil vt fr 12 000 til 6000 i løpet v 10 år. 6000 12 000 dyr 6000 dyr dyr Stigningstllet i den lineære modellen er d = = 600. 10 år 10 år år Vi lr x = 0 svre til «i dg». Konstntleddet er d lik 12 000 dyr. Lr vi N(x) stå for ntll dyr om x år, får vi denne lineære modellen: N( x) = 600x+ 12 000 En eksponentiell modell eskriver vi med en eksponentilfunksjon: f( x) = I en eksponentiell modell vil estnden vt med like mnge prosent hvert år. Her er = f(0), og er vekstfktoren. = f(0) = 12 000 Det første året er nedgngen på 600 dyr. Det svrer til Nedgngen er 5 % hvert år. 5 Vekstfktoren lir d 1 = 1 0,05 = 0,95. = 0,95 600 % 5 % 12 000 =. Lr vi f( x ) stå for ntll dyr etter x år, får vi denne eksponentielle modellen: f( x ) = 12 000 0,95 x x Ifølge den lineære modellen vtr estnden med 600 dyr per år. Ifølge den eksponentielle modellen vtr estnden med 5 % per år. Det første året vtr estnden med 5 % v 12 000 dyr, som er 600 dyr. Det ndre året vtr estnden med 5 % v 11 400 dyr, som er 570 dyr. Nedgngen i ntll dyr per år vil vt for hvert år. Det er fordi nedgngen på 5 % regnes v et stdig mindre ntll dyr. Vi ser t nedgngen i ntll dyr per år er mindre i den eksponentielle modellen enn i den lineære modellen (med unntk v det første året). Den lineære modellen vil gi vil færrest dyr igjen i estnden om 10 år. Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 9
DEL 2 Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tilltt, med unntk v Internett og ndre verktøy som tillter kommuniksjon. Oppgve 1 Vi legger inn linj f ( x) = 10 og finner skjæringspunktene mellom linj og grfen til A med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. (Se figuren ovenfor.) Der grfen til A ligger over linj f, er mer enn 10 millioner kvdrtkilometer dekket med hvis. 11,55 5,35 = 6, 2 I 6,2 måneder vr mer enn 10 millioner kvdrtkilometer dekket med hvis. 1. mrs svrer til x = 2, og 1. septemer svrer til x = 8. P 2, A(2) Q= 8, A(8) på grfen til A. (Se figuren ovenfor.) Vi legger inn punktene = ( ) og ( ) Så ruker vi verktøyknppen Linje til å tegne linj gjennom punktene. Likningen for linj er gx ( ) = 2,28x 1,64. Den gjennomsnittlige vekstfrten i perioden er stigningstllet for denne linj. I perioden 1. mrs til 1. septemer økte området som vr dekket v hvis, med i gjennomsnitt. 2,3 millioner kvdrtkilometer per måned. d Momentn vekstfrt i et punkt på grfen til A er det smme som stigningstllet for tngenten til grfen i punktet. Vi finner likningen for tngenten til grfen i punktet der x = 5 med kommndoen Tngent[5,A]. Vi finner stigningstllet for tngenten med verktøyknppen Stigning. Ashehoug www.lokus.no Side 5 v 9
Tngenten hr stigningstllet 3. x = 5 svrer til 1. juni. 1. juni er den momentne vekstfrten til området som er dekket v hvis, 3 millioner kvdrtkilometer per måned. Det etyr t 1. juni økte det området som er dekket v hvis, med 3 millioner kvdrtkilometer per måned. Oppgve 2 12 Verdien vtr med 12 % hver år. D er vekstfktoren 1 = 0,88. Etter x år er verdien v ilen V(x) kr, der V( x ) = 300 000 0,95 x. 5 (5) 300 000 0,88 158 320 V = = Om fem år vil ilen være verd. 158 300 kr. For fem år siden svrer til x = 5. 5 V ( 5) = 300 000 0,88 = 568 470 For fem år siden vr ilen verd. 568 400 kr. Oppgve 3 Vi får frekvensen (ntll personer i hver v ldersgruppene) når vi multipliserer høyden v rektnglet (frekvens/klsseredde) med klsseredden. 3 15 + 5 5 + 7 10 + 5 20 + 1 30 = 270 Det or 270 personer i oligområdet. Ashehoug www.lokus.no Side 6 v 9
Vi lger søyledigrm med Exel. Aldersfordeling i oligområdet Antll personer 120 80 60 40 20 0 0-15 år 15-20 år 20-30 år 30-50 år 50-80 år Fordelen med et søyledigrm er t det er lettere å lese v frekvensene. Fordelen med et histogrm er t det synliggjør redden på ldersgruppene på en tydeligere måte enn hv et søyledigrm gjør. Oppgve 4 x skl være ntll år etter 1. jnur 1920. Vi lger denne «hjelpetellen»: x 0 20 40 60 80 90 97 f (x) 1902 2285 2991 4401 6088 6889 7474 Funksjonen f( x ) = 1775,6 1,015 x er en eksponentilfunksjon. Vi gjør regresjon i GeoGer. Vi åpner regnerket og legger inn årstllene (x-verdiene) i kolonne A og folketllet i millioner (f ( x)-verdiene) i kolonne B. Vi merker ellene, klikker på Regresjonsnlyse og velger Anlyser. Deretter velger vi eksponentiell som regresjonsmodell. Funksjonen f( x ) = 1775,6 1,015 x psser godt med tllene i tellen. Ashehoug www.lokus.no Side 7 v 9
Vekstfktoren er 1,015. p 1+ = 1,015 p = 0,015 p = 1, 5 Folketllet hr ifølge modellen i oppgve økt med 1,5 % per år. Vi finner den gjennomsnittlige vekstfrten til f fr x = 70 til x = 95 ved å regne ut f(95) f(70) 95 70 1775,6 1,015 1775,6 1,015 = 95 70 2270,3 = = 90,8 25 95 70 Den gjennomsnittlige vekstfrten til f fr x = 70 til x = 95, er 90,8 millioner per år. Det etyr t i perioden fr 1990 til 2015 økte folketllet i verden med i gjennomsnitt 90,8 millioner per år. f(95) f(70). 95 70 d 2050 svrer til x = 130 og 2 svrer til x = 180. 130 Folketllet i millioner i 2050 ifølge modellen: 1775,6 1,015 = 12 301 Folketllet i millioner i 2 ifølge modellen: 180 1775,6 1,015 = 25 896 Modellen gir 12 301 millioner (12,3 millirder) som folketll i 2050 og 25 896 millioner (25,9 millirder) som folketll i 2. Modellen gir et høyere folketll enn FNs prognoser for egge de to årene. Avviket fr prognosene er større for folketllet i 2 enn for folketllet i 2050. Oppgve 5 Av figuren får vi: Antll elever oppe til eksmen: 5 + 20 + 40 + 65 + 55 + 15 = 200 Antll elever med krkteren 4 eller edre: 40 + 20 + 5 = 65 65 % 32,5 % 200 = 32,5 % v elevene fikk krkteren 4 eller edre. Ashehoug www.lokus.no Side 8 v 9
Vi lger regnerket i Exel. Gjennomsnittskrkteren vr 3,05. Stndrdvviket vr 1,19. 610 + 3, 25 180 610 + 585 = = 3,14 200 + 180 380 Gjennomsnittskrkteren for de to årene sett under ett, vr 3,14. Oppgve 6 2 1 2 1 2 2 4 1 P(To kuler v smme frge) = PR ( R) + PB ( B) = + = + = = 4 3 4 3 12 12 12 3 2 2 2 2 4 4 8 2 P(To kuler v ulik frge) = PR ( B) + PB ( R) = + = + = = 4 3 4 3 12 12 12 3 Påstnd 2 er den korrekte påstnden. Vi lger et nytt vlgtre for denne situsjonen. Den eneste måten hun nå kn trekke to kuler med smme frge på, er å trekke to røde kuler. 3 2 6 1 P(To kuler v smme frge) = PR ( R) = = = 4 3 12 2 3 1 1 3 3 3 6 1 P(To kuler v ulik frge) = PR ( B) + PB ( R) = + = + = = 4 3 4 3 12 12 12 2 Påstnd 3 er nå den korrekte påstnden. Ashehoug www.lokus.no Side 9 v 9