S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0) 0, 0,0,0 = + = + = + = (4) 0, 4,0 0, 6,0,6,0,6 T( x) T(4) T(0),6,0,6 = = = = 0, 4 x 4 0 4 0 4 Den gjennomsnittlige vekstfrten er på 0,4 C/time. Det er mindre enn i intervllet [4, 8]. 6.4 H( x) = 0,x + 80, D H = [0, 8] H H = += (0) 0, 0 80 = + = + = + = (6) 0, 6 80 0, 6 80, 6 80 8, 6 DH( x) H(6) H(0) 8,6 80,6 = = = = 0,6 Dx 6 0 6 0 6 Busken vokste i gjennomsnitt,6 cm/uke de seks første ukene. Aschehoug www.lokus.no Side v 78
6.5 Vi leser v grfen t temperturen synker fr 46 C til C. 46 = 4 Grfen synker med 8 grder. y 4 = =, 4 x 0 Temperturen synker i gjennomsnitt med,4 C/minutt. Vi leser v grfen t temperturen ved t = 0 er C, og ved t = 0 er den 6 C. 6 = 6 y 6 = = 0,6 x 0 Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [0, 0] er på 0,6 C/minutt. 6.6 Vi leser v verdiene fr tellen. T T(0) T(0) 85 00 5 = = = =, 5 t 0 0 0 0 0 Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet t = 0 til t = 0 er på,5 C/minutt. Vi leser v verdiene fr tellen. T T(0) T(0) 60 00 40 4 = = = =, t 0 0 0 0 0 Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [0, 0] er på, C/minutt. 6.7 f x f f = x ( ) 0, = = = = () 0, 0, 4 0,8, = = = = (5) 0, 5 0, 5 5 f( x) f(5) f() (, ) 4, = = = =, 4 x 5 Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [,5] er på,4. Vi tegner grfen til f. Vi setter v punktene A= (, f() ) og B ( 5, f(5) ) =. Vi ruker verktøyknppen Linje mellom to ojekt og tegner linj mellom punktene. Vi ruker verktøyknppen Stigning og finner stigningstllet til linj. Se figuren. Aschehoug www.lokus.no Side v 78
c Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [,5] er på,4. Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [,5] er på,4. 6.8 Vi tegner grfen til f. Vi setter v punktene A= (, f( ) ) og B ( 6, f(6) ) =. Vi ser t punktene hr smme funksjonsverdi. Se figuren. Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [, 6] er dermed 0. Aschehoug www.lokus.no Side v 78
Vi løser i CAS: Linj er en konstnt. Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [, 6] er dermed 0. 6.9 f( x) = 0,x + 40 f f f( x) f(0) f(5) 50 4,5 7,5 = = = =,5 x 0 5 5 5 (5) = 0, 5 + 40 = 0, 5 + 40 =,5 + 40 = 4,5 (0) = 0, 0 + 40 = 0, 00 + 40 = 0 + 40 = 50 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [5,0] er,5. f( x) = 0,x + 40 f f f( x) f( ) f( 6) 40, 4 4, 6, = = = = 0,8 x ( ) ( 6) 4 4 ( 6) = 0, ( 6) + 40 = 0, 6 + 40 =,6 + 40 = 4,6 ( ) = 0, ( ) + 40 = 0, 4 + 40 = 0, 4 + 40 = 40, 4 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [ 6, ] er 0,8. 6.0 Loddrett symptote i ruddpunktet, dvs. x = Vnnrett symptote for store verdier for x. 4x 4x f( x) = = 4 x+ x x 4 0 f( x) 6 7 0 Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 78
4x f( x) = x + 40 f (0) = = 0+ 4 5 0 8 f (5) = = = = 5+ 6 6 f( x) f(5) f(0) ( ) 5 = = = = x 5 0 5 5 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0,5] er. 6. Vi ser v grfen t funksjonen vtr i intervllet [, 0] c negtiv.. Her er gjennomsnittlig vekstfrt Vi ser også t f( ) = f(). Funksjonen verken stiger eller synker i gjennomsnitt over dette intervllet. Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, ] er dermed 0. Gjennomsnittlig vekstfrt i [, ] er dermed større enn i [, 0]. Utsgnet er glt. Vi ser v grfen t funksjonen øker i intervllet [0, ]. Her er gjennomsnittlig vekstfrt positiv Fr oppgve hr vi t gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, ] er 0. Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, ] er dermed større enn i [, ]. Utsgnet er riktig. Fr oppgve hr vi t utsgnet er riktig. 6. f( x) = x x f (0) = f (4) = 4 4 = 6 8 = 7 f( x) f(4) f(0) 7 ( ) 8 = = = = x 4 0 4 4 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 4] er. f( x) = x x f( ) = ( ) ( ) = 4+ 4 + 4 = 6+ 7 f( + ) = ( + ) ( + ) = + 4+ 4 4 = + f( x) f( + ) f( ) + ( 6+ 7) 8 8 = = = = = ( ) x + ( ) 4 4 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, + ] er ( ). Vekstfrten i oppgve er en fktor ( ) fr svret i oppgve. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 78
c Gjennomsnittlig vekstfrt er null for =. Dette er det smme som x-verdien til unnpunktet til f. Andregrdsfunksjoner er symmetriske om unnpunktet. ± vil gi to x-verdier like lngt fr symmetrilinj, og symmetrien til f vil føre til t de hr smme y-verdi. Dermed er gjennomsnittlig vekstfrt mellom dem 0. 6. Den momentne vekstfrten er stigningstllet til tngenten til grfen i punkt A. Vi leser v grfen t momentn vekstfrt er,7. 6.4 Momentn vekstfrt i Momentn vekstfrt i 0, 4 A = = 0, 4, B = =, 6.5 Vi leser v grfen. Vi ser t vekstfrten når x =, er c. 0 mm/dg, dvs. t på dg vokser plnten med c. 0 mm/dg. Vi ser t vekstfrten når x =, er c. 7,5 mm/dg, dvs. t på dg vokser plnten med c. 7,5 mm/dg. Plnten vokser rskest der grfen er rttest. Vi leser v figuren og ser t dette er når x = 7. 6.6 Vi tegner grfen til funksjonen, setter v punktene A= ( 5, f(5) ) og B (, f() ) setter v tngenter i punktene og leser v stigningstllene. Se figuren. =. Vi Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 78
Momentn vekstfrt når x = 5, er,5 mm/dg. Momentn vekstfrt når x =, er 9,9 mm/dg. Etter 5 dger vokser plnten med,5 mm/dg. Etter dger vokser plnten med 9,9 mm/dg. 6.7 Momentn vekstfrt er positiv når grfen stiger. Det er i punkt C. Momentn vekstfrt er negtiv når grfen synker. Det er i punkt A og punkt E. c Momentn vekstfrt er null når grfen hr et topp- eller unnpunkt. Det er i punktene B og D. 6.8 I punktet P stiger grfen. Den momentne vekstfrten er dermed positiv, c.,8. I punktet der x = 5, synker grfen. Den momentne vekstfrten er dermed negtiv, c.,8. c Den momentne vekstfrten er null i grfens toppunkt. Det er der x =. 6.9 Vi tegner grfen til funksjonen, setter v punktene A= ( 5, f(5) ) og B (, f() ) tngenter i punktene og leser v stigningstllene. Se figuren. =. Vi setter v Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 78
Momentn vekstfrt når x = 5, er 6 esøkende/dg. Det etyr t den 5. mrs vtr ntllet esøkende med 6 esøkende/dg. Momentn vekstfrt når x = 0, er 54 esøkende/dg. Det etyr t den 0. mrs øker ntllet esøkende med 54 esøkende/dg. 6.0 Vi leser v stigningstllet til tngenten t den momentne vekstfrten når x = 50, er 50 50 = 5. 6. Vi leser v funksjonsverdiene fr grfen og eregner vekstfrt f () = 4 f () = f( x) f() f() 4 = = = = x Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, ] er. f () = f (5) = 4 f( x) f(5) f() 4 = = = = x 5 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, 5] er. c Vi leser v stigningstllet til tngenten t den momentne vekstfrten når x =, er =. d Vi leser v stigningstllet til tngenten t den momentne vekstfrten når x = 5,5, er 5,5 =. Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 78
6. Vi eregner gjennomsnittlig vekstfrt i CAS: Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0,5] er c.,5 C/min. Det etyr t temperturen etter 5 minutter er i ferd med å stige med,5 C/min. Vi tegner grfen til funksjonen, setter v punktene A= (, T() ), B ( 6, T(6) ) C ( 9, T(9) ) = og =. Vi setter v tngenter i punktene og leser v stigningstllene. Se figuren. Momentn vekstfrt når x =, er,8 C/min. Momentn vekstfrt når x = 6, er 9,4 C/min. Momentn vekstfrt når x = 9, er 4,8 C/min. Dette forteller oss t temperturen i ovnen fortsetter å øke, men sktere og sktere. 6. Gjennomsnittlig endring i ensinforruket mellom 70 km/h og 90 km/h er gitt ved (0,74 0,59) L/mil 0,5 L/mil L/mil L/mil = = 0, 0075 = 7,5 0 (90 70) km/h 0 km/h km/h km/h Vi ruker CAS og eregner gjennomsnittlig endring i ensinforruket mellom 90 km/h og 0 km/h. Vi ruker så denne vekstfrten for å finne ensinforruket ved 97 km/h. Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 78
Bensinforruket ved 97 km/h er på c. 0,8 L/mil. 6.4 Vi ruker CAS til å finne de gjennomsnittlige vekstfktorene: I intervllet [0,] er den gjennomsnittlige vekstfrten på 5,4 cm/år. I intervllet [,7] er den gjennomsnittlige vekstfrten på,58cm/år. Jentene vokser sktere og sktere desto eldre de lir. Vi tegner grfen til funksjonen, setter v punktene A= ( 0, H(0) ) og B ( 5, T(5) ) setter v tngenter i punktene og leser v stigningstllene. Se figuren. =. Vi Den momentnte vekstfrten for gjennomsnittshøyden for 0 år gmle jenter er 5,96 cm/år. Den momentnte vekstfrten for gjennomsnittshøyden for 5 år gmle jenter er,66 cm/år. Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 78
6.5 Løsninger til oppgvene i ok Grfen må skjære x-ksen i x = og stige mot en topp eller et terssepunkt i x =. Den kn dermed se slik ut: 6.6 4 f () = = 4 f (4) = = c Funksjonen hr ett toppunkt for x =. Dermed er f () = 0. 6.7 f( x) =,5x+ f ( x) =,5 f( x) = 5 f ( x) = 0 c f( x) =,5x+ 9 f ( x) =,5 6.8 f( x) = 45x+ 00 f ( x) = 45 f( x) = 5 f ( x) = 0 c f( x) = 5 4x f ( x) = 4 Aschehoug www.lokus.no Side v 78
6.9 I( x) = 45x I ( x) = 45 Svret forteller t inntekten stiger med 45 kr/solgte jojo. Prisen er ltså 45 kr per jojo. 6.0 Px ( ) = 50 + 5x P ( x) = 5 Svret forteller t prisen for flyttelsset øker med 5 kr per kjørte kilometer. 6. c f( x) = x f ( x) = x gx ( ) = x 6 g ( x) = x = x 6 hx ( ) = x 5 h ( x) = 5x = 0x 4 4 6. f( x) = 5x+ f ( x) = 5 c gx= x x ( ) g x = x = x () 9 ( ) 5 hx = x + x x h x = x + x = x + x () 5 6 6 5 ix ( ) = x + 5x 4 = + = + d i ( x) x 5 x x 0x 6. x f( x) = x + 4 f ( x) = x+ = x+ 4 4 Aschehoug www.lokus.no Side v 78
c d gx ( ) = x x+ 4 = = g ( x) x x x x hx ( ) = x + x 4 = + = + 4 4 h() x x x x 6x x x ix ( ) = + 6 x x i ( x) = + = + 6 6.4 = + h( x) 0,0096x 0, 48x h (5) = 5, 04 Det etyr t på den 5. dgen vokste solsikken med 5,04 cm/dg. h (0) = 5, 76 Det etyr t på den 0. dgen vokste solsikken med 5,76 cm/dg. Plnten vokser ltså rskere på den 0. dgen enn på den 5. Aschehoug www.lokus.no Side v 78
c 6.5 K ( x) = 0,x+ 4 K (00) = 78 kr/enhet K (50) = 84 kr/enhet K (40) = 9, 0 kr/enhet Svrene etyr t kostnden for å øke produksjonen lir større når produksjonen øker. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 78
6.6 Volumet i llongen vr på 497, 5 cm etter 5 minutter. c V ( t) = 0,0t 5 Når t = 50, minker volumet til llongen med Når t = 50, øker volumet til llongen med cm /minutt. cm /minutt. 6.7 f( x) = x f ( x) = Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 78
f( x) = 0,8x f ( x) = 0,8 c f( x) = x+ f ( x) = d f( x) =,5x+ 00 f ( x) =,5 e f( x) = x+ 4 8 f ( x) = 4 f f( x) = 0, 7x+,4 f ( x) = 0,7 6.8 c f( x) = x 4x+ f f = + = + = () 4 8 8 = + = + + = ( ) ( ) 4 ( ) 4 9 f x = x x+ ( ) 4 f ( x) = x 4= 4x 4= 4( x ) f () = 4 ( ) = 4 = 4 f ( ) = 4 ( ) = 4 ( ) 8 Svrene i CAS stemmer med svrene funnet i oppgve og oppgve. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 78
6.9 f x = x + x+ ( ) f ( x) = x+ f ( ) = ( ) + = 4 + = 6 f (0) = 0 + = f () = + = 4+ = f x = x + x + x ( ) f x = x + x+ ( ) f = + + = + = f (0) = 0 + 0 + = f = + + = + + = ( ) ( ) ( ) 4 4 () 4 6 6.40 f( x) = x + x 6 4 ( ) = + = + 6 f x x x x x 4 4 8 5 f ( ) = ( ) + ( ) = = = 6 6 6 c 4 4 6 9 f = + = + = + = + = 4 6 8 4 4 4 Svrene stemmer med oppgve og oppgve. 6.4 f( x) = x 8x f ( x) = 4x 8 Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 78
Vi leser v grfen t f ( x) = 4 når x =. 6.4 Vi ruker CAS: Stopplengden ved frten 60 km/h er 69 m. c Stopplengden lir 47 m lengre ved 80 km/h enn ved 60 km/h. Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 78
m s (60) =,05 km/h m s (80) =,65 km/h Økningen i stopplengde per km/h er henholdsvis,05 m og,65 m ved disse hstighetene. 6.4 Vi legger inn en linje y = 8 i GeoGer og mrkerer skjæringspunktene mellom den og grfen til T. Vi eregner hvor mnge timer det er mellom skjæringspunktene. Temperturen er over 8 C i c. 98,5 timer. Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 78
c Vi ruker CAS: Den gjennomsnittlige temperturstigningen de ti første timene er på c. 0,09 C/time. d T (5) 0,09 C/time. Det etyr t etter fem timer er den momentne temperturøkningen c. 0,09 C/time. 6.44 Når =, er f () = 5. 6.45 Ar () = πr A () r = π r= Or () Den momentne økningen i relet til en sirkel med rdius r er lik omkretsen til sirkel med rdius r. 6.46 f( x) = x 8x+ f ( x) = 4x 8 f ( x) = 0 4x 8 = 0 4x = 0 + 8 4x = 8 8 9 x = = 4 Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 78
Det etyr t for f ( x) = 0 4x 8= 0 4x = 8 9 x = er den momentne vekstfrten til f, 0. Løsninger til oppgvene i ok 8 x = = 4 Det etyr t for x = er den momentne vekstfrten til f lik 0. Grfen hr ltså et ekstremlpunkt her. Siden f er en ndregrdsfunksjon med positiv -koeffisient, så hr den et unnpunkt for x =. 6.47 = og c = 5 6.48 Vi ruker CAS: Plnten er 00 cm høy etter 50 dger. Vi ruker CAS: Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet x = 5 til x = 0 er på,04 cm/dg Aschehoug www.lokus.no Side v 78
c Vi ruker CAS: h (0) =,84 cm/dg h (45) =,6 cm/dg d Plnten vokser rskere etter 0 dger enn etter 45 dger. Vi ruker CAS: e Den momentne vekstfrten er på 4, cm/dg etter, dger og etter 8,7 dger. Vi ruker CAS: Den momentne vekstfrten er størst etter 5 dger. D vokser plnten med 6,0 cm/dg. 6.49 Aschehoug www.lokus.no Side v 78
Vi ruker CAS: T (0) = 00 s T (0) = 60 s/dm c Etter 00 sekunder er vnnhøyden 0 dm, og den øker med 60 s/dm. Når eholderen er fylt opp hlvveis, er h = 7,5. Vi ruker CAS: Når eholderen er fylt hlvveis, er den momentne vekstfrten på 65 s/dm. 6.50 Aschehoug www.lokus.no Side v 78
6.5 Løsninger til oppgvene i ok Vi legger inn funksjonen i GeoGer. Vi tegner N () t. Vi legger inn linj y = 00 og finner skjæringen mellom den og N () t. Se figuren. Vi leser v t tilveksten er på 00 kterier/time etter,75 timer. N (,75) = 584, 7 D er det c. 5840 kterier i kulturen. Ved CAS: Tilveksten er på 00 kterier/time etter,75 timer. D er det c. 5840 kterier i kulturen. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 78
6.5 k = 6.5 f ( x) > 0 når grfen stiger, ltså når x < og x > 5. f ( x) < 0 når grfen synker, ltså når < x < 5. c f ( x) = 0 når grfen hr et topp- eller unnpunkt, ltså når x = og x = 5. 6.54 6.55 Vi leser v grfene og ser t f( x ) hr unnpunkt i (, ). gx ( ) hr unnpunkt i (0, ) og toppunkt i (, ) 6.56 Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 78
Grfen til f stiger frm til x =. I dette intervllet må f ( x) være positiv. Grfen synker etter x =, så i dette intervllet må f ( x) være negtiv. I toppunktet x = er f ( x) = 0. Det er ltså figuren til venstre som er fortegnslinj til f ( x). 6.57 Fortegnslinj viser t den deriverte til funksjonen er negtiv for x < 0 og for x >. Den deriverte til funksjonen er positiv for 0< x <. Det etyr t funksjonen synker frm til x = 0 og stiger til x =, før den synker igjen. Vi ser t dette stemmer med figuren til høyre, ltså gx. ( ) 6.58 Fr fortegnslinj ser vi t vi må h en grf som synker mot et unnpunkt i x = før den stiger igjen. Grfen kn dermed se slik ut: Fr fortegnslinj ser vi t vi må h en grf som stiger mot et toppunkt i x = før den synker mot et unnpunkt i x = 4. Deretter stiger grfen igjen. Grfen kn se slik ut: 6.59 f ( x) er positiv frm til x =. Deretter er den negtiv. Fortegnslinj til f ( x) lir d Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 78
f ( x) er positiv for x < og x >. Den er negtiv for < x <. Fortegnslinj lir d 6.60 f( x) = x + x f ( x) = x+ f ( x) = 0 for x =,5. Fortegnslinj lir d f x = x + x f x = x + x ( ) 5 ( ) = xx ( ) c f x x x ( ) = + + = + f ( x) x 6x = xx ( ) f( x) = x x + x f ( x) = x 4x+ d Vi fktoriserer ved hjelp v nullpunktfktorisering Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 78
x f ( x) = 0 4x+ = 0 ± x = ( 4) ( 4) 4 4 ± 6 x = 4± x = x= x= f ( x) = ( x )( x ) 6.6 f x x x f ( ) = + + () = + + = 4+ 4+ = Tngeringspunktet er (, ). f ( x) = x+ f () = + = 4+ = Stigningstllet er. Likningen for tngenten lir d y = ( x ) y = x+ 4 y = x+ 7 Med GeoGer: Vi tegner grfen. Vi skriver Tngent[,f]. Vi ser v figuren t dette stemmer med resulttet vi fikk uten hjelpemidler. Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 78
Med CAS: f x x x f ( ) = + 4 () = + 4= 4+ 6 4= 6 Tngeringspunktet er (, 6). f ( x) = x+ f () = + = 4+ = 7 Stigningstllet er 7. Likningen for tngenten lir d y 6 = 7( x ) y 6 = 7x 4 y = 7x 8 Med GeoGer: Vi tegner grfen. Vi skriver Tngent[,f]. Vi ser v figuren t dette stemmer med resulttet vi fikk uten hjelpemidler. Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 78
Med CAS: c f x x x f ( ) = + + 5 () = + + 5= 8+ + 5= Tngeringspunktet er (, ). f ( x) = 4x+ f () = 4 + = 8+ = 7 Stigningstllet er. Likningen for tngenten lir d y ( ) = 7( x ) y+ = 7x+ 4 y = x+ Med GeoGer: Vi tegner grfen. Vi skriver Tngent[,f]. Vi ser v figuren t dette stemmer med resulttet vi fikk uten hjelpemidler. Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 78
Med CAS: 6.6 f x x x ( ) = + f ( x) = x+ f( x) = x + x f x = x + x= x x+ ( ) 6 ( ) c ( ) f x = x x + f x = x x= x x+ ( ) 4 ( 4) 6.6 Vi leser v grfen t g hr nullpunktene x= 0 x= 4. g er positiv for x < 0 og x > 4. g er negtiv for 0< x < 4. Grfen til g synker frm til x =. Deretter stiger den. Det gir fortegnslinj for g ( x) : Aschehoug www.lokus.no Side v 78
4 Vi leser v figuren t tngenten i punktet (, ) er. gx ( ) = x 4x g ( x) = x 4 c Nullpunktene til g: gx = x = xx ( ) 4 ( 4) gx ( ) = 0 xx ( 4) = 0 x= 0 x= 4 Fortegnslinj til gx: ( ) Fortegnslinj til g ( x) : g ( x) = x 4 g ( x) = 0 x = Stigningstllet til tngenten er gitt ved den deriverte til funksjonen i tngeringspunktet. g ( x) = x 4 g () = 4 = 6 4 = Aschehoug www.lokus.no Side v 78
6.64 Funksjonen synker frm til x =. Deretter stiger den. Grfen kn se slik ut: Løsninger til oppgvene i ok 6.65 Funksjonen synker for x < og x >. Den stiger for < x <. Grfen til funksjonen kn se slik ut: 6.66 Grfen til f stiger for < x <. Den synker for x < og x >. 6.67 f ( x) = x 4 x, > 0 f ( x) = x 4 = x ( ) Aschehoug www.lokus.no Side v 78
Vi ser t x-verdien til unnpunktet er uvhengig v. Fortegnslinj lir Løsninger til oppgvene i ok 6.68 c Vi skriver Tngent[4,f] og finner Likningen for tngenten til f i punktet ( 4, (4)) I CAS: f er y = 4x 4. 6.69 Vi ser v grfen t f stiger for x < 0 og x >. Den synker for 0< x <. Det gir følgende fortegnslinje for f ( x) : Tngenten til grfen hr negtivt stigningstll der grfen synker. Det er i intervllet 0,. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 78
c Funksjonsverdien i toppunktet er. Tngenten her er dermed vnnrett linje, med likningen y =. Den vil skjære grfen i lle punkter hvor f( x ) =. Vi ser t dette er i punktet (, ). d f ( x) hr sin minste verdi når grfen synker rttest. Det skjer mellom topp- og unnpunktet, dvs. i x =. 6.70 Vi leser v grfen t f ( x) er positiv for x < og x > 0 og negtiv for < x < 0. Det etyr t grfen til f må stige frm til x =, deretter synke frm til x = 0, og deretter stige igjen. I tillegg må grfen skjære y-ksen i y =. Grfen kn se slik ut: 6.7 f( x) = x x x+ f ( x) = x x Vi fktoriserer ved hjelp v nullpunktfktorisering: x f x = x x 0 ( ) f ( x) = 0 x = ± x = ( ) ( ) 4 ( ) ± 9 + 6 x = 4 ± 5 x = 4 x= x= f ( x) = x+ x ( ) Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 78
Vi tegner fortegnslinje: Grfen stiger for x < og x >. Grfen synker for < x <. 6.7 Vi leser v fortegnslinj t grfen hr nullunkter for x =, x = og for x =7. Grfen stiger for x < 0 og for x > 5 og synker for 0< x < 5. Grfen til f kn dermed se slik ut: 6.7 For å finne tngenter i CAS trenger vi funksjonen og x-verdien til tngeringspunktet. Tngeringspunktet hr x-verdien som løser likningen f ( x) = 5. Først må vi ltså løse den likningen. Deretter må vi finne tngenten til f i dette punktet. Vi ruker CAS til egge: Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 78
Tngenten til f med stigningstll 5 hr likningen y = 5x+. 6.74 For å finne tngenter i CAS trenger vi funksjonen og x-verdien til tngeringspunktet. Tngeringspunktene hr x-verdiene som løser likningen f ( x) = 5. Først må vi ltså løse den likningen. Deretter må vi finne tngenten til f i egge tngeringspunktene. Vi ruker CAS til egge: Tngentene til f med stigningstll 5 hr likningene y = 5x 4 og 8 y = 5x. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 78
6.75 f x x x ( ) = + + 5, < 0 = + f ( x) x 6x = x( x + ) Siden < 0, så vil den idr med en negtiv linje i fortegnslinj: 6.76 f( x) = x x = f ( x) x 4x = x(x 4) f( x ) minker i 4 0,. Grfen synker i dette intervllet. f( x ) vokser i,0 og 4,. Grfen stiger i egge intervllene. f (0) = 0 0 = 0 Mksimlpunkt: 0. Mksimlverdi: 0 4 4 4 f = 64 6 = 7 9 64 = 7 9 64 96 = = 7 7 7 Minimlpunkt: 4 Minimlverdi: 7 Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 78
d Toppunkt: ( 0,0 ) Bunnpunkt: e Vi lger verditell og tegner grfen: x 0 f( x) 0 0 4, 7 6.77 f( x) = x 6x + 9x f x = x x+ ( ) 9 x = x x+ ( 4 ) ( 4 ) 0 x f ( x) = 0 x+ = 4x+ = 0 ± x = ( 4) ( 4) 4 4 ± 6 x = 4± x = x= x= f ( x) = ( x )( x ) Vi tegner fortegnslinje: Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 78
f( x ) minker i,. Grfen synker i dette intervllet. f( x ) vokser i, og,. Grfen stiger i egge intervllene. Toppunkt i (, f () ) c f () = 6 + 9 = 6+ 9= 4 Toppunkt i (, 4) Bunnpunkt i (, f ()) f () = 6 + 9 = 7 54 + 7 = 0 Bunnpunkt i (, 0) Vi lger verditell og tegner grfen: x 0 4 f( x) 6 0 4 6.78 f x x x ( ) = + = + f ( x) x 6x = xx ( ) Aschehoug www.lokus.no Side 40 v 78
f( x ) minker i,0 og,. Grfen synker i egge intervllene. f( x ) øker i 0,. Grfen stiger i dette intervllet. f () = + = 8 + = Mksimlpunkt:. Mksimlverdi: f (0) = 0 + 0 = Minimlpunkt: 0. Minimlverdi: d Toppunkt: (, ) Bunnpunkt: ( 0, ) e Vi lger verditell og tegner grfen: x f( x) 6.79 f( x) = x x 8, D f = [ 4, 8] f ( x) = x = ( x ) f ( x) = 0 ( x ) = 0 x = Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 78
Grfen stiger når x, 8] og synker når x [ 4,. Bunnpunkt i (, f () ) f () = 8 = 9 Bunnpunkt i (, 9) Vi undersøker rndpunktene: f = ( 4) ( 4) ( 4) 8 = 6 + 8 8 = 6 Toppunkter i ( 4,6) og ( 8, 40 ) f = (8) (8) 8 8 = 64 6 8 = 40 Asolutt mksimum: y = 40. Asolutt minimum: y = 9 Skjæring med y-ksen i f (0) f (0) = 0 0 8 = 8 Skjæring med y-ksen i (0, 8) Skjæring med x-ksen der f( x ) = 0 x f( x) = 0 x 8= 0 ± x = ( ) ( ) 4 ( 8) ± 4 + x = ± 6 x = x= x= 4 Skjæring med x-ksen i (, 0) og i (4, 0) f x x x D f ( ) = + + 8, =, 5] f ( x) = x+ = ( x ) Grfen stiger når x, og synker når x, 5]. Toppunkt i (, f () ) f () = + + 8 = 9 Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 78
Toppunkt i (,9 ) Vi undersøker rndpunktet: f (5) = 5 + 5 + 8 = 5 + 0 + 8 = 7 Bunnpunkt i ( 5, 7) Asolutt mksimum: y = 9. Asolutt minimum: y = 7 Skjæring med y-ksen i f (0) f (0) = 0 + 0 + 8 = 8 Skjæring med y-ksen i (0, 8) Løsninger til oppgvene i ok Skjæring med x-ksen: Siden funksjonen i oppgve er gnger funksjonen i oppgve, vil den h smme nullpunkter. (Et ndregrdsuttrykk multiplisert med en konstnt endrer ikke nullpunktene.) Skjæring med x-ksen i (, 0) og i (4, 0). 6.80 f x = x x + x x f x = x x+ ( ) 9, 0, 4] ( ) 6 9 = ( x ) Grfen hr et terssepunkt i (, f ()). f = + = 9 7 + 7 = 9 () 9 Terssepunkt i (,9 ) Vi undersøker rndpunktet: Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 78
f = + 64 = 48 + 6 (4) 4 4 9 4 64 = 64 6 8 = = Funksjonen hr et toppunkt i 8 4,. 6.8 A Snn. Se figuren for mulig grf: B Snn. Se figuren for mulig grf: C Snn. Se figuren for mulig grf: Aschehoug www.lokus.no Side 44 v 78
D Snn. Se figuren for mulig grf: 6.8 x f x = x x ( ) 8 Nullpunkter der f( x ) = 0 x 8= 0 ± x = ( ) ( ) 4 ( 8) ± 4 + x = ± 6 x = x= x= 4 f ( x) = x = ( x ) c Bunnpunkt i (, f () ) f () = 8 = 9 Bunnpunkt i (, 9) 6.8 f x = x x+ D f = ( ) 4,, 6] Nullpunkter der f( x ) = 0 Aschehoug www.lokus.no Side 45 v 78
x x+ 4= 0 ± x = ( ) ( ) 4 4 x = ± 9 8 x = ± x= x= 4 Nullpunktene er x = og x = 4. Grfen til f skjærer ndreksen i f (0). f = + = (0) 0 0 4 4 Skjæringspunkt med y-ksen: (0, 4) c f ( x) = x Grfen hr et unnpunkt i x =. f () = + 4 9 = 9+ 4= Bunnpunkt:, Toppunkt i rndpunktet x = 6 f (6) = 6 6 + 4 6 = 8 + 4 = 4 Toppunkt: ( 6,4 ) Aschehoug www.lokus.no Side 46 v 78
d Skisse v grfen: 6.84 f x x x xx ( ) = + 4 = ( + 4) Vi ser t nullpunktene er x = 4 og x = 0. f ( x) = x+ 4 = ( x+ ) c Vi lger verditell og tegner grfen: x 5 4 0 f( x) 5 0 4 0 5 Aschehoug www.lokus.no Side 47 v 78
d Skjæringspunktene er der f( x) = gx ( ). x x x x + 4 = + + x = 0 4 ( ) ± x = ± 4 + x = ± 4 x = x= x= g( ) = ( ) + = 6 + = g() = + = + = 5 f og g skjærer hverndre i (, ) og i (, 5). 6.85 Nullpunktene er x = og x =. Grfen til f er positiv for x <. Grfen til f er negtiv for < x < og x >. Vi leser v grfen t f hr toppunkt i (, 0) og unnpunkt i (, 8). 4 Grfen til f stiger for < x <. Grfen til f synker for x < og x >. Aschehoug www.lokus.no Side 48 v 78
Det gir følgende fortegnslinje for f ( x) : 5 f( x) vokser for < x <. f( x ) minker for x < og x >. f x x x ( ) = + 6 4 f x = x + = x = x+ x ( ) 6 6 6( ) 6( )( ) Vi tegner fortegnslinje: f( x ) vokser for < x <. f( x ) minker for x < og x > Grfen til f hr toppunkt i (, f () ). f () = + 6 4= + 6 4= 0 Toppunkt: (, 0) Grfen til f hr unnpunkt i (, f ( ) ). f ( ) = ( ) + 6 ( ) 4 = 6 4 = 8 Bunnpunkt: (, 8) c Funksjonens lokle mksimumsverdi er. 6.86 Funksjonens lokle minimumsverdi er 8. f( x) = x x f x = x x= xx ( ) ( ) Vi tegner fortegnslinje: Aschehoug www.lokus.no Side 49 v 78
Grfen til f stiger for x < 0 og x >. Grfen til f synker for 0< x <. Toppunkt i ( 0, f (0)) f = = (0) 0 0 0 Toppunkt: (0, 0) Bunnpunkt i (, f () ) f () = = = Bunnpunkt:, Skisse v grfen: 6.87 f x x x 4 ( ) = + Grfen skjærer y-ksen i Skjæringspunkt med y-ksen: (0, ) 4 f (0) = 0 0 + =. Vi tegner grfen i GeoGer. Vi setter v linj y =. Vi skriver Skjæring[f,] og finner skjæringspunktene. Aschehoug www.lokus.no Side 50 v 78
c f( x ) = for x= 0, 5 x=,6 Vi definerer funksjonen i CAS og løser f( x ) = : d f( x ) = for x= 0, 5 x=,6 Vi definerer funksjonen og finner nullpunktet til den deriverte i CAS: Vi undersøker fortegnet til den deriverte på hver side v det stsjonære punktet. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 78
Vi ser t f ( x) er negtiv for det stsjonære punktet, og positiv etter. Punktet er ltså et nullpunkt. f( x ) hr et unnpunkt i (0,794, 0,9). 6.88 Opplysningene gir følgende fortegnslinje: Funksjonen hr et toppunkt for x = og et unnpunkt for x = 5. 6.89 Grfen til f stiger når x < og når x > 5. Grfen til f synker når < x < 5 Vi definerer funksjonen i CAS og løser likningen f (4) = 8 med hensyn på : Vi m h = 0 for t f (4) = 8. 6.90 f x x x x x 4 ( ) = = ( ) Skjæring med y-ksen: 4 f (0) = 0 0 = 0 Grfen skjærer y-ksen i (0, 0). Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 78
Grfen skjærer x-ksen der f( x ) = 0. x ( x ) = 0 x = 0 x = 0 x= 0 x = x= 0 x= Skjæringspunkter med x-ksen: (0, ), (0, 0) og (0, ). = = 4 xx ( ) = 4 xx ( + )( x ) f ( x) 4x 4x Grfen til f stiger for < x < 0 og x >. Grfen til f synker for x < og 0< x <. Grfen hr et toppunkt i ( 0, f (0)). 4 f (0) = 0 0 = 0 Toppunkt: (0, 0) Grfen hr unnpunkter i (, f ( ) ) og i (, () ) f. d f 4 ( ) = ( ) ( ) = = f 4 () = = = Bunnpunkter: (, ) og (, ) g( x) = x For t grfen til g skl gå gjennom unnpunktene til f, så må vi h g( ) = f( ) = ( ) = Vi sjekker t dette stemmer med det ndre unnpunktet til f: g() = f() = = Vi ser t dersom =, så vil grfen til g gå gjennom unnpunktene til f. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 78
6.9 f x = x x D f = ( ) 6, [, ] f x = x ( ) 6 6 = x 6( ) = 6( x+ )( x ) Vi ser v fortegnslinj t grfen hr et toppunkt i x = og i rndpunktet x =. Grfen til f hr unnpunkt i x = og i rndpunktet x =. f f ( ) = ( ) 6 ( ) = + 6 = 4 f f () = 6 = 6 = 4 () = 6 = 6= 4 ( ) = ( ) 6 ( ) = 6 + = 4 Toppunkter: (, 4) og (, 4) Bunnpunkter: (, 4) og (, 4) Se fortegnslinj i oppgve. c Grfen til f stiger for x < og x >. Grfen til f synker for < x <. Vi ruker informsjonen om topp- og unnpunkter til å tegne skissen: 6.9 Vi vet t f () =, og t f ( x) =. Det etyr t grfen er en rett linje som går gjennom punktet (, ) og hr stigningstll. Fr x = til x = er x = ( ) = 5. Aschehoug www.lokus.no Side 54 v 78
Endringen i y er d ( ) 5 = 5. Grfen hr sunket med 5. Det etyr t f( ) = f() ( 5) = + 5= 7 f ( ) = 7 Løsninger til oppgvene i ok Vi ruker ettpunktsformelen for å finne likningen til en rett linje gjennom (, ( )) stigningstll. Her er punktet (, ), og = f ( x) =. f( x) f( x) = ( x x) f( x) = ( x ) f( x) = x+ + f( x) = x+ 5 x f x med 6.9 f( x) = x + x+ Dette er en ndregrdsfunksjon med topppunkt, så vi må først finne x-verdien som gir f ( x) = 0, og deretter estemme slik t funksjonsverdien i toppunktet er 5. Vi ruker CAS til å definere funksjonen og løse likningene: Funksjonsverdien i toppunktet er 5 dersom = 4. 6.94 Vet t f (0) = 4, f ( ) = 0 og f (4) = 0. Dette definerer en ndregrdsfunksjon entydig. Vi klrer oss dermed uten resten v opplysningene. Vi setter opp og løser i CAS: Aschehoug www.lokus.no Side 55 v 78
f x x x ( ) = 4 6.95 = f ( x) x 4x Vi må først finne x-verdien som gir t f ( x) = 0, og deretter estemme slik t funksjonsverdien i ekstremlpunktet er. Vi setter opp og løser i CAS: Med en negtiv får vi en ndregrdsfunksjon med toppunkt, som stemmer med krvene i oppgven. Dersom =, så er funksjonsverdien i toppunktet. 6.96 Ox = x + x D O = O ( x) = 0,x+ 45 O (00) = 0, 00 + 45 = 0 + 45 = 5 kr/enhet O (50) = 0, 50 + 45 = 5 + 45 = 0 kr/enhet ( ) 0, 05 45 000, 50, 600 Overskuddet øker med 5 kr/enhet ved produksjon v 00 enheter, og det øker med 0 kr/enhet ved produksjon v 50 enheter. O ( x) = 0,x+ 45 = 0,( x 450) Vi tegner fortegnslinje: Vi ser t overskuddsfunksjonen hr et toppunkt for x = 450. O (450) = 0, 05 450 + 45 450 000 = 0,05 0 500 + 0 50 000 = 0 5 + 0 50 000 = 95 Aschehoug www.lokus.no Side 56 v 78
Overskuddet lir størst ved produksjon v 450 enheter. Det største overskuddet er på 95 kr. 6.97 Inntekt må være pris per solgte enhet gnget med ntll solgte enheter. Ix ( ) = x px ( ) = x (50 0,0 x) = = 50x 0, 0 x DI [000, 4000] I ( x) = 50 0,0x I ( x) = 0 50 0, 0x = 0 x = 500 Vi ser t inntekten hr et toppunkt for x = 500 I (500) = 50 500 0, 0 500 = 5 000 0,0 6 50 000 = 5 000 05 000 = 6 500 Inntekten lir størst ved produksjon v 500 enheter. Den største inntekten er på 6 500 kr. c p (500) = 50 0, 0 500 = 50 5 = 5 6.98 Den største inntekten oppnås ved en pris på 5 kr. I det nye rektnglet er sidene henholdsvis (4 + x) dm og (8 x) dm. Arelet v et rektngel er gitt ved lengde gnger redde. Arelet v det nye rektnglet lir dermed Ax ( ) = (4 + x)(8 x) = 4x+ 8x x = + + x 4x Vi ruker CAS til å løse A ( x) = 0 for å finne størst rel. Aschehoug www.lokus.no Side 57 v 78
Arelet er størst når x = dm. Arelet er d Volumet er gitt ved grunnflte gnger høyde. 6 dm. Vi ruker CAS og finner et uttrykk for volumet, og når det er størst: Vi forkster negtiv løsning d volum er en positiv størrelse. Volumet lir størst når x = 4,86 dm. 6.99 Vi definerer funksjonene i CAS og eregner: Siden I ( x) > K ( x), vil inntekten øke mer enn kostnden ved en produksjonsøkning. Det lønner seg å øke produksjonen. Aschehoug www.lokus.no Side 58 v 78
Vi eregner i CAS: Siden I ( x) < K ( x), vil kostnden øke mer enn inntekten ved en produksjonsøkning. Det lønner seg ikke å øke produksjonen. Vi setter opp I ( x) = K ( x) og løser i CAS. Vi eregner deretter overskuddet: Overskuddet er størst når det produseres og selges 00 enheter. Overskuddet er d 000 kr. 6.00 Inntekt er pris per enhet gnger ntll solgte enheter. I( x) = 50x I ( x) = 50 O ( x) = x+ 50 I ( x) = Ox 6.0 50 = x + 50 x = 00 O(00) = I(00) K(00) = 50 00 (0,5 00 + 50 00 + 4000) = 5 000 (5000 + 5000 + 4000) = 000 Overskuddet er størst ved produksjon og slg v 00 enheter. Overskuddet er d 000 kr. Vi tegner grfen i GeoGer og ruker Nullpunkt[O] til å finne når produksjonen går med overskudd. Se figuren. Aschehoug www.lokus.no Side 59 v 78
Produksjonen går med overskudd ved x [, 987], ltså 987 skistver per dg. Vi ruker Ekstremlpunkt[O]. c d Overskuddet er størst ved produksjon v 500 skistver. Overskuddet er d på 9500 kr. Ox = x + x ( ) 0, 04 40 500 O ( x) = 0,08x+ 40 Vi ruker CAS: Overskuddet er størst ved produksjon v 500 skistver. Overskuddet er d på 9500 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 60 v 78
6.0 A= l l = x = (0 x) Ax = x x = x + x ( ) (0 ) 0 Løsninger til oppgvene i ok Vi må h 0 < x < 0 for å få et reelt rektngel. Dersom x lir mindre enn null eller større enn 0, vil en v sidene i rektnglet få en negtiv lengde. c A ( x) = x+ 0 A ( x) = 0 x + 0 = 0 x = 0 A(0) = 0 + 0 0 = 00 6.0 Arelet er størst når x = 0. D er området kvdrtisk. Inntekt må være pris per solgte enhet gnget med ntll solgte enheter. Ix ( ) = x px ( ) = x (00 0, 08 x) = = 00x 0, 08 x DI [600, 400] I ( x) = 00 0,6x c I ( x) = 0 00 0,6x = 0 x = 50 p (50) = 00 0, 08 50 = 00 00 = 00 Den største inntekten oppnås ved en produksjon på 50 enheter og en pris på 00 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 78
6.04 Vi definerer funksjonene i CAS og løser: Kostndene ved produksjon v 500 enheter er på 55 000 kr. Inntektene ved produksjon v 500 enheter er på 45 000 kr. Overskuddet ved en produksjon på 500 enheter er på 70 000 kr. Overskuddet er gitt ved inntekt minus kostnd. Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) = x + x x + x+ 0, 000 (0, 500 0 000) = x + x 0, 6 500 0 000 Vi tegner funksjonen i GeoGer og ruker Ekstremlpunkt[O]. Vi leser v grfen t overskuddet er størst ved en produksjon på 47 enheter. Overskuddet er d på 74 67 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 78
d O ( x) =, x+ 500 O ( x) = 0, x + 500 = 0 500 x = 47, Overskuddet er størst ved en produksjon på 47 enheter. e I ( x) = K ( x) 0, 6x+ 000 = 0, 6x+ 500, x = 500 500 x = 47, Overskuddet er størst ved en produksjon på 47 enheter. 6.05 Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) = x + x x + x+ 0, 0 80 (0, 08 40 000) Ox = x + x ( ) 40 000 Vi finner ekstremlverdiene til O i CAS: Overskuddet er størst ved en produksjon på 00 enheter. Overskuddet er d på 000 kr. 6.06 Ix ( ) = px ( ) x = (00 0, 05 x) x = + 0, 05x 00 Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) x = x + x x + x+ 0, 05 00 (0, 0 50 0 000) = x + x 0, 5 50 0 000 Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 78
O ( x) = 0,5x+ 50 O ( x) = 0 0,5x + 50 = 0 x = 500 Overskuddet er størst ved en produksjon på 500 enheter. 6.07 K ( x) = 0, x+ 4 K (00) = 0, 00 + 4 = 4 Det vil koste c. 4 kr ekstr å øke produksjonen fr 00 til 0 enheter. K (80) = 0, 80 + 4 = 0 Inntekten øker lltid med 0 kr per solgte enhet (grensekostnden er lltid 0 kr) Ved en økning fr en produksjon på 80, så vil utgiftene øke med c. 0 kr, mens inntektene vil øke med 0 kr. Det vil lønne seg å øke produksjonen. c K(80) = 960 K(80) 960 = = 5,75 80 80 Ved en produksjon på 80 enheter koster hver enhet c. 6 kr å produsere. Prisen må dekke dette og må ltså være minst 6 kr for t edriften skl gå i lnse. 6.08 f( x) = 0,5x+ f () = 0,5 + = + = c Det skrverte området er et rektngel med sideknter x og f( x ). Når x =, lir relet A = = A= l l = x = f( x) Ax ( ) = x ( 0,5x+ ) = 0,5x + x A ( x) = x+ A ( x) = 0 x = A () = 0,5 + = Det største relet området kn få, er. Aschehoug www.lokus.no Side 64 v 78
6.09 A= l l = x = f( x) Ax ( ) = x x + = x + x Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremlverdiene. Vi finner deretter funksjonsverdien til f for denne x-verdien: Vi forkster verdier utenfor definisjonsmengden. P hr koordintene (, ) når relet er størst mulig. D er relet. 6.0 Den korteste siden i plt er,0 m. Den skl eskjæres i hver knt. Dersom det ts vekk 0,5 m på hver side, er det ikke noe igjen v plt. Dersom det ikke ts vekk noe, får kvriet ingen sideknter. x 0, 0,5 V= lh l = x = x h= x V( x) = ( x)( xx ) = x x+ x x ( 4 4 ) = x x + x 4 6 Aschehoug www.lokus.no Side 65 v 78
c Vi løser i CAS: d Vi eholder løsningen innenfor gyldighetsområdet. + V ( x) = 0 for x = 0, 6 Vi ruker CAS: Volumet er størst når x 0, m. D er volumet 0,9 m. 6. Overflten estår v to kvdrter med rel x x og fire rektngler med rel h x. Overflten er dermed Vi løser for h. x + hx = 4 400 4hx = 400 x 400 x h = 4x 4x 00 x h = x O x hx = + 4 = 400. x må være større enn 0 for t vi skl h et prisme. h må også være større enn 0. Vi ser på grensen h = 0. Aschehoug www.lokus.no Side 66 v 78
h = 0 00 x = 0 x x 00 = x x = 00 x = 00 Vi må ltså h 0 < x < 00. Volumet er gitt ved V = lh l = = x 00 x h = x 00 x V( x) = x x = x + 00x x Vi deriverer for å finne toppunkt: x V x = x + V ( x) = 0 + = ( ) 00 00 0 x = 00 00 x = 8, 00 00 00 V = + 00 544 Sniker mn til seg et hjelpemiddel her, så finner mn t volumet er størst når x 8,. D er volumet 544 cm og h 8,. 6. y = 9800 kx x = 0 y = 7000 9800 0k = 7000 0k = 800 k = 80 Aschehoug www.lokus.no Side 67 v 78
c Inntekten er pris per il gnger ntll psserte iler. I( x) = x y = x (9800 80 x) = + 80x 9800 x Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremlverdiene: En pris på 7,50 kr gir størst inntekt for selskpet. Inntekten er d 85 750 kr. Her ntr vi t de ønsker å øke prisen fr 7,50 kr til 0 kr. Vi smmenlikner I (0) og I (7,50) i CAS: En vekstfktor på 0,98 tilsvrer en nedgng i inntektene på %. Det er ltså en dårlig idé å sette opp prisen. 6. f( x) = 4x f( x+ x) = 4( x+ x) = 4x+ 4 x f( x) = f( x+ x) f( x) = 4x 4 x (4x ) = 4 x f( x) 4 x c = = 4 x x Dette er den deriverte v f. 6.4 f( x) = x f( x+ x) = ( x+ x) = x + x x + x ( ( ) ( ) ) = x + 6 x ( x) + ( x) Aschehoug www.lokus.no Side 68 v 78
c f( x) = f( x+ x) f( x) = x + 6 x ( x) + ( x) x = 6 x ( x) + ( x) f( x) 6 x ( x) + ( x) = = 6x+ x x x f( x) lim = 6x+ x= 6x x x 0 Dette er den deriverte v f. 6.5 f( x) = x+ f( x+ x) = ( x+ x) + = x x+ f( x) = f( x+ x) f( x) = x x+ ( x+ ) = x f( x) x c = = x x Dette er den deriverte v f. 6.6 c f( x) = x f( x+ x) = ( x+ x) = + + ( x x ( x) ( x) ) = x + 4 x ( x) + ( x) f( x) = f( x+ x) f( x) = x + 4 x ( x) + ( x) x = 4x x+ ( x) f( x) 4 x ( x) + ( x) = = 4x+ x x x f( x) lim = 4x+ x= 4x x x 0 Dette er den deriverte v f. Aschehoug www.lokus.no Side 69 v 78
6.7 f( x) x x = + f x x x x x x ( + ) = ( + ) + ( + ) x x ( x) ( x) x x = + + + + f( x) = f( x+ x) f( x) ( x x ( x) ( x) x x) ( x x) = + + + + + x x ( x) ( x) x x x x = + + + + = ( ) + ( ) + x x x x = x (x+ x+ ) f( x) x (x+ x+ ) = = x+ x+ x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = lim x+ x+ = x+ x 0 f ( x) = x+ f x = x + x ( ) f x+ x = x+ x + x+ x ( ) ( ) ( ) = x x x x + x+ x 4 ( ) ( ) f( x) = f( x+ x) f( x) ( x 4 x ( x) ( x) x x ) ( x x ) = + + + = x x x x + x+ x + x + x 4 ( ) ( ) = 4 ( ) ( ) + x x x x = x ( 4x x+ ) f( x) x ( 4x x+ ) = = 4x x+ x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = lim 4x x+ = 4x+ x 0 f ( x) = 4x+ Aschehoug www.lokus.no Side 70 v 78
c f( x) = x f( x+ x) = ( x+ x) = x + x ( x) + x ( x) + ( x) f( x) = f( x+ x) f( x) = x + x ( x) + x ( x) + ( x) x = x ( x) + x ( x) + ( x) = x x + x x + x ( ( ) ( ) ) f( x) x (x + x ( x) + ( x) ) = = x + x ( x) + ( x) x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = limx + x ( x) + ( x) = x x 0 f ( x) = x 6.8 ( ) = + + f x x x c f x+ x = x+ x + x+ x + c ( ) ( ) ( ) = + ( ) + ( ) + + + x x x x x x c f( x) = f( x+ x) f( x) ( x x ( x) ( x) x x c) ( x x c) = + + + + + + + = + ( ) + ( ) + + + x x x x x x c x x c = ( ) + ( ) + x x x x = x ( x + ( x) + ) f ( x) x ( x + ( x) + ) = = x + ( x) + x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = lim x + ( x) + = x + x 0 f ( x) = 4x+ 6.9 Her må du fktisk ut på Internett eller gå på ilioteket og finne svret selv. Så det så. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 78
Kpitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgve f x = x + x ( ) + = + + + f( x x) ( x x) x x = + ( ) + ( ) + + x x x x x x f( x) = f( x+ x) f( x) ( x x ( x) ( x) x x) ( x x) = + + + + + = + ( ) + ( ) + + x x x x x x x x = ( ) + ( ) + x x x x = x (x+ x+ ) f( x) x (x+ x+ ) = = x+ x+ x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = lim x+ x+ = x+ x 0 f ( x) = x+ Oppgve f ( x) = 5 f ( ) = 5 f ( x) = x 6 7 f ( ) = ( ) = = = g () x = x + x= 6x + x g = + = = c ( ) 6 ( ) ( ) 6 5 Oppgve Fortegnslinj viser t f ( x) er positiv i, intervllene. og i,. Grfen til f stiger i egge Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 78
f ( x) er negtiv i,. Grfen til f synker i dette intervllet. Grfen hr et unnpunkt for x = og et toppunkt for x =. Grfen til f kn se slik ut: Oppgve 4 Vi leser v grfen: f (0) =, 0 og f (,5) = 0, Den gjennomsnittlige vekstfrten er f( t) f(,5) f(0) (0, ) grm 0,9 grm = = = = 0,6 grm/time t,5 0,5 timer,5 timer Svret forteller t mengden rdioktivt stoff i preprtet vtr med i gjennomsnitt 0,6 grm per time over dette intervllet. Vi leser v stigningstllet til tngenten på grfen: y 0,7 grm Momentn vekstfrt er = 0,78 grm/time. Dette forteller t mengden x 0,9 time rdioktivt stoff i preprtet er i ferd med å vt med 0,78 grm per time når t = 0,4. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 78
Oppgve 5 Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = ( 0,5x + 4 x) (0,5x + 4x+ ) = 0,5x + 4x 0,5x 4x Ox ( ) = x + 0x Løsninger til oppgvene i ok Bedriften går med overskudd når Ox ( ) > 0. Vi løser ulikheten etter metode fr kpittel. x + x = 0 0 ± x = ( ) 0 0 4 ( ) ( ) 0 ± 00 84 = 0 ± 6 = 0 ± 4 = x= x= 7 Vi fktoriserer ved hjelp v nullpunktmetoden og lger fortegnslinj: Ox ( ) = ( x )( x 7) Vi ser v fortegnslinj t produksjonen går med overskudd for < x < 7, dvs. ved en produksjon på flere enn 000 og færre enn 7000 enheter per måned. c Vi finner største overskudd ved å drøfte Ox: ( ) O ( x) = x+ 0 Vi lger fortegnslinje for O : Vi ser v fortegnslinj t O hr ett toppunkt for x = 5. O (5) = 5 + 0 5 = 5 + 50 = 4 Produksjonen kn mksimlt gi et overskudd på 4000 kr. Dette skjer ved en produksjon på 5000 enheter. Aschehoug www.lokus.no Side 74 v 78
Oppgve 6 f( x) = x + x, D = [, Vi fktoriserer og finner nullpunkter: f f x x x xx xx x f( x) = 0 ( ) = + = ( ) = ( + )( ) x= 0 x= x= x = ligger utenfor definisjonsmengden til funksjonen. Nullpunktene til f er dermed x = 0 og x =. Vi deriverer f, fktoriserer og tegner fortegnslinje: f ( x) = x + f ( x) = 0 x + = 0 x = 6 x =± =± =± 6 6 f ( x) = x+ x 6 6 Vi ser v fortegnslinj t f hr ett unnpunkt for x = og et topppunkt for x =. I tillegg synker grfen etter x =. Altså må grfen h en topp for rndpunktet x = også. 6 6 6 6 6 6 f = + = 7 6 6 6 4 6 = = 9 9 9 6 6 6 6 6 6 f = + = + 7 6 6 6 4 6 = + = 9 9 9 f ( ) = ( ) + ( ) = = Aschehoug www.lokus.no Side 75 v 78
Bunnpunkt: 6 4 6, 9 Toppunkter: (, ) og c Ekstremlpunkter:, d Ekstremlverdier:, 6 4 6, 9 6 og 6 4 6 og 4 6 9 9 Aschehoug www.lokus.no Side 76 v 78
Del Med hjelpemidler Oppgve 7 Det mrkerte området er en treknt. Vi lr grunnlinj g være linjestykket prllelt med x-ksen, og høyden h er linjestykket prllelt med y-ksen. Grunnlinj hr d lengden x, mens høyden hr lengden f( x ). y Vi ser v figuren t linj skjærer y-ksen i y = og hr en stigning på = =. x Vi finner d t f( x) = x+. g h A = x f( x) x ( x+ ) x + x Ax ( ) = = = = x + x Vi løser i CAS: Arelets største mulige verdi er 9 6 0,56. Oppgve 8 Inntekt er pris per enhet gnger ntll solgte enheter. I( x) = x p( x) = x ( 0,5x+ 00) I( x) = 0,5x + 00x Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Vi definerer og tegner denne funksjonen i GeoGer og ruker Nullpunkt[O] for å finne når edriften går med overskudd. Se figuren. Aschehoug www.lokus.no Side 77 v 78
Produksjonen går med overskudd når edriften produserer mellom 07 og 6 enheter. c d Vi ruker Ekstremlpunkt[O] og finner t edriftens største mulige overskudd er på 96 kr. Overskuddet er størst ved produksjon v 6 enheter. D er prisen 9,50 kr per enhet. Aschehoug www.lokus.no Side 78 v 78