Rptisjon: Frkvnsrspons Forlsning 8. mars Pnsum i bokn: 6.5-6.8, dr 6.7.3 r slvstudium Ovrsikt Grafisk frmstilling av frkvnsrsponsn Ulik filtr, lavpass og høypass LTI-systmr i kaskad Filtrring av sampld kontinurlig-tid signalr Kort om sirkulær konvolusjon Litt Matlab, for grafisk frmstilling Hvis inngangn til t LTI-systm r gitt som x[n] A jφ j ˆωn vil utgangn vær dr y[n] b k x[n k] b k A jφ j ˆωn k M b k A jφ j ˆωn < n < H j ˆω A jφ j ˆωn < n <, H j ˆω b k h[k] kalls systmts frkvnsrspons. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Rptisjon: Egnskapr Frkvnsrsponsn r. priodisk md n priod på π H j ˆωπ j ˆωπk b k b k jπk H j ˆω. konjugrt symmtrisk H j ˆω H j ˆω for filtr md rll koffisintr {b k } b k b k fordi M H j ˆω b k b k j ˆωk H j ˆω Magnitudn H j ˆω r symmtrisk om ˆω, mns fasn H j ˆω r antisymmtrisk. Rptisjon: Utgangn Ettrsom frkvnsrsponsn r komplks H j ˆωn H j ˆωn j Hj ˆωn kan utgangn omskrivs til y[n] H j ˆω j Hj ˆω A jφ j ˆωn A H j ˆω j Hj ˆω φ j ˆωn Utgangn y[n] r altså t signal md samm frkvns ˆω som inngangn x[n] amplitud skalrt md H j ˆω i forhold til inngangn fastillgg på H j ˆω i forhold til inngangn INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK
Rptisjon: Suprposisjon Gitt x[n] som n sum av mang komplks ksponntialr x[n] X X N k Xk j ˆωkn X k j ˆωkn N X k cos ˆω k n X k k Fordi H j ˆω H j ˆω, r utgangn gitt vd y[n] H j X N k H j ˆωk X k j ˆωkn H X k N H j X H j ˆω k Xk k j ˆωkn cos ˆω k n X k H j ˆωk Rptisjon: Avkortt inngang x[n] En inngang x[n] dfinrt for hl intrvallt < n < r ikk praktisk implmntrbar. Avkortd skvnsr av typn x[n] X j ˆωn X j ˆωn n u[n] n < gir n mr komplisrt utgangn y[n] y[n] b k X j ˆωn k u[n k] n < n b k M b k X j ˆωn X j ˆωn n < M M n INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Et forsinklsssystm Et LTI-systm md diffrnslikning y[n] x[n n ] Grafisk rprsntasjon To viktig pong frkvnsrsponsn varirr gjrn md frkvnsn ulik valg av b k ralisrr t vidt spktr av frkvnsrsponsr For bst å s hvordan t filtr virkr på ulik frkvnsr r dt nyttig å plott H j ˆω mot ˆω. har impulsrspons md filtrkoffisintr h[n] δ[n n ], {b k } {,...,, b n }, b n og frkvnsrspons H j ˆω Dtt filtrt har b k j ˆωn magnitudrspons lik for all frkvnsr fasrspons lik ˆωn Linær fas assosirs md tidsforsinkls, og rgns som n idll fasrspons. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8
Et først-diffrns systm Systmt y[n] x[n] x[n ] r t først-diffrns systm Frkvnsrsponsn r H j ˆω j ˆω cos ˆω j sin ˆω Plott av magnitud og fas Magnitud Magnitudn til frkvnsrsponsn, first diffrnc systm.5.5 Magnitudn H j ˆω cos ˆω sin ˆω Fasn sin ˆω/ sin ˆω H j ˆω arctan cos ˆω Fas i nhtr av π.5 3 3 Frkvns i nhtr av π Fasn til frkvnsrsponsn.5 3 3 Frkvns i nhtr av π Et andr-diffrns systm r på formn y[n] x[n] x[n ] x[n ] x[n ] x[n] x[n ] x[n ] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Tolkning av plottn Magnitudn H j ˆω r priodisk md priod π n lik funksjon, symmtrisk om ˆω størst for høy frkvnsr nær ˆω π lik i ˆω, fjrnr DC-komponntn Fasn H j ˆω r priodisk md priod π n odd funksjon, anti-symmtrisk om ˆω Tilsammn har vi at frkvnsrsponsn H j ˆω r priodisk md priod π konjugrt symmtrisk, H j ˆω H j ˆω lik i ˆω, fjrnr DC-komponntn t høypassfiltr Symmtrir i filtrkoffisintn Hvis filtrkoffisintn r ntn symmtrisk llr anti-symmtrisk om t sntral punkt b k b M k llr b k b M k kan vi finn magnitud- og fasrsponsn til filtrt på n nklr måt. Trikst r å trkk ut t ksponntial md fas lik halv filtrordnn gangr ˆω, altså M/ ˆω. For først-diffrns systmt har vi H j ˆω j ˆω j ˆω/ j ˆω/ j j ˆω/ sin ˆω/ j ˆω/ jπ/ ˆω/ sin ˆω/ Kan vi si at magnitudn r sin ˆω/? INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK
Eksmpl: Filtrring md først-diffrns systm Inngangn r gitt vd Symmtrir i filtrkoffisintn Fordi sin ˆω/ r ngativ for π < ˆω < må vi vlg H j ˆω sin ˆω/ no som gir n fasfunksjon π H j ˆω ˆω < ˆω < π π π ˆω π < ˆω < Fasn har diskontinuittr av størrls π i ˆω og ˆω ±π. x[n] 3 cos n π 3 cos5π 6 n Utgangn kan finns v.h.a. diffrnslikningn y[n] x[n] x[n ] 3 cos n π 5π 3 cos 6 n 3 cos n π 5π 3 cos 6 n 3 cos n π 5π 6 n 3 cos 3 cos n 3π 5π 3 cos 6 n 5π 6 Dt r klart at filtrringn, som forvntt, har fjrnt DC-komponntn. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Eksmpl: Fornkl y[n] Utgangn y[n] bstår nå av fir ldd, md to ulik frkvnsr. Sinusoidr md samm frkvns kan kombinrs md fasoraddisjon. En nklr mtod r å bruk frkvnsrsponsn H j ˆω jπ/ ˆω/ sin ˆω/ ttrsom dt r kjnt at y[n] H j 3 H jπ/ cos n π Hjπ/ 3 H j5π/6 5π cos 6 n Hj5π/6 Eksmpl: Finn utgangn Vi finnr at H j så utgangn r gitt vd H jπ/.77 j3π/8 H j5π/6.93 jπ/ y[n] 3.77 cos n π 3π 8 5π 3.93 cos 6 n π.3 cos n 7π 8 5π 5.79 cos 6 n π s kapittl INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6
Et nklt lavpassfiltr Eksmpl: Plott av inngang og utgang Vi har tidligr stt på filtrt md frkvnsrsponsn H j ˆω j ˆω j ˆω j ˆω cos ˆω x[n] 8 6 Inngang 5 5 5 3 Tidsindks n Ettrsom cos ˆω > for all ˆω, har vi H j ˆω cos ˆω og H j ˆω ˆω Utgang fra first diffrnc systm Magnitudn til frkvnsrsponsn 5 3 y[n] 5.8.6.....6.8 Normalisrt vinklfrkvns ω, i nhtr av π 5 5 5 3 Tidsindks n Fasn til frkvnsrsponsn.8.6.....6.8 Normalisrt vinklfrkvns ω, i nhtr av π INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8 Eksmpl: Lavpassfiltrring Vi sndr inngangn x[n] 3 cos n π 3 cos5π 6 n gjnnom lavpassfiltrt md frkvnsrspons H j ˆω j ˆω j ˆω j ˆω cos ˆω Eksmpl: Plott av inngang og utgang Inngang 8 Vi finnr at H j H jπ/ jπ/ H j5π/6 j5π/6 3 som gir utgangn y[n] 3 cos n π π 3 5π 3 cos 6 n 5π 6 x[n] y[n] 6 5 5 5 3 Tidsindks n 3 5 5 5 Utgang fra lavpassfiltr 5 5 5 3 Tidsindks n 6 6 3 cos n π 6 3 5π 3 cos 6 n INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK
To LTI-systmr i kaskad llr x[n] x[n] LTI h [n] LTI h [n] w[n] v[n] LTI h [n] LTI h [n] y[n] y[n] Slik systmr har samlt impulsrspons lik konvolusjonn av individull impulsrsponsr. Gitt at inngangn r t komplkst ksponntial x[n] j ˆωn vil utgangn vær y[n] H j ˆω H j ˆω j ˆωn Ettrsom y[n] H j ˆω H j ˆω j ˆωn H j ˆω H j ˆω H j ˆω H j ˆω H j ˆω vil d to kaskad-systmn gi samm utgang y[n] H j ˆω j ˆωn Eksmpl: Kaskad To systmr i kaskad har individull frkvnsrsponsr og H j ˆω j ˆω j ˆω j3 ˆω H j ˆω j ˆω j ˆω Da r total frkvnsrspons gitt vd H j ˆω H j ˆω H j ˆω j ˆω j ˆω j3 ˆω j ˆω j ˆω j ˆω j ˆω j3 ˆω j ˆω j5 ˆω Filtrkoffisintn kan lss av som {b k } {,,,,, } og impulsrsponsn for dt total systmt r h[k] δ[n] δ[n ] δ[n 3]δ[n 5] INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Glidnd middl filtrring LTI-systmr i kaskad Vi undrstrkr at konvolusjon av to impulsrsponsr tilsvarr multiplikasjon av tilhørnd frkvnsrsponsr. h [n] h [n] H j ˆω H j ˆω Enda t ksmpl, md filtrkoffisintn og {,, 3, } {,, } Hva blir total frkvns- og impulsrspons? Et nklt LTI-filtr, L-punkts glidnd middl y[n] L L Frkvnsrsponsn r gitt vd H j ˆω L L x[n k] h[k] L Fra tori om gomtrisk rkkr vt vi at L α k αl α α Vi brukr α j ˆω og finnr L H j ˆω L j ˆωL L j ˆω INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK
Vidr fornklingr gir H j ˆω j ˆωL/ j ˆωL/ j ˆωL/ L j ˆω/ j ˆω/ j ˆω/ Vi skrivr som sin ˆωL/ j ˆωL / L sin ˆω/ H j ˆω D L j ˆω j ˆωL / dr D L j ˆω sin ˆωL/ L sin ˆω/ kalls Dirichlt-funksjonn. Glidnd middl, L Frkvnsrsponsn r H j ˆω D j ˆω j ˆω5 dr amplitudfunksjonn r D j ˆω sin ˆω/ sin ˆω/ og vi har n fasfunksjon 5 ˆω. Amplitud.8.6.. Amplitudn til frkvnsrsponsn, glidnd middl md N...8.6.....6.8 Frkvns i nhtr av π 5 Fasn til frkvnsrsponsn Dirichlt 85-859 var forøvrig n tysk matmatikr md bidrag på flr flt, blant annt studrt han konvrgns av Fourir-rkkr, diffrntiallikningr og primtall. Fas i nhtr av π 5.8.6.....6.8 Frkvns i nhtr av π fordi dn kan vær ngativ INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Glidnd middl, L forts Vi ønskr filtrt på formn H j ˆω H j ˆω j H j ˆω og sr at magnitudn r H j ˆω D j ˆω Fasrsponsn H j ˆω blir mr komplisrt fordi dn rprsntrr fortgnt til D j ˆω dt r nklst å plott prinsipalvrdin av fasn, mllom π og π Fortgnt inkludrs i fasn vd å obsrvr at når D j ˆω <. D j ˆω D j ˆω ±jπ Så rdusrs fasn modulo π vd bruk av jθ±πk jθ ±jπk jθ slik at π < H j ˆω < π ˆω. Plott av magnitud og fas Fas i nhtr av π Magnitud.8.6.. Magnitudn til frkvnsrsponsn, glidnd middl md N.8.6.....6.8 Frkvns i nhtr av π.5.5 Fasn til frkvnsrsponsn.8.6.....6.8 Frkvns i nhtr av π Vi kan s på frkvnsrsponsn som kaskadn dr og H j ˆω H j ˆω H j ˆω H j ˆω j ˆωL / H j ˆω D j ˆω sin ˆω/ sin ˆω/ INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8
Filtrring av sampld signalr Anta t kontinurlig-tid signal Vi samplr og får xt X jωt A jφ jωt x[n] xnt s X jωnts X j ˆωn Vi antar at f s ω, altså ingn aliasing. π Gitt t systm md frkvnsrsponsn H j ˆω, får vi y[n] H j ˆω X j ˆωn Substitusjon md ˆω ωt s gir y[n] H jωts X jωtsn Pga fravær av aliasing vil n idll D-til-C omformr gjnskap original frkvns. yt H jωts X jωt Eksmpl: Lavpass midlr Vi brukr t -punkts glidnd middl y[n] x[n k] md frkvnsrspons sin ˆω/ H j ˆω sin ˆω/ Gitt kontinurlig-tid signalt j ˆω5 xt cosπ5t sinπ5t og samplingsratn f s Hz, gir ingn aliasing. Vi valurr H jωts H jω/ H jπf /, f f s / vd f 5 Hz og f 5 Hz. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3.8 Magnitudn til diskrt tid frkvnsrspons, glidnd middl md N Tolkning av forsinkls Magnitud.6...5.5.5.5 Frkvns i nhtr av π Magnitudn til kontinurlig tid frkvnsrspons, glidnd middl md N En frkvnsrspons på formn H j ˆω j ˆωn implisrr n tidsforsinkls på n samplr. Magnitud.8.6.. 8 6 6 8 Frkvns i Hz sin π 5 H j π 5 sin 5 sin π 5 H j π 5 sin 5 Endlig utgang r π 5 5 j.88 j π π 5 5 j.99 j π yt.88 cosπ 5 t π/.99 cosπ 5 t π/ For n inngang x[n] og n Z vil utgangn vær y[n] x[n n ]. Hva skjr når n Z? L-punkts glidnd middl har frkvnsrspons H j ˆω D L j ˆω j ˆωL / som forsinkr md L samplr. Vi rlatrr forsinklsn til sampling og rkonstruksjon av kontinurlig-tid signalr y[n] H j ˆω X j ˆωn D L j ˆω L j ˆω X j ˆωn og ttr rkonstruksjon yt H jωts X jωt D L jωts ωtsl j X jωt D L jωts L jωt Ts X INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3
Eksmpl: Tidsforsinkls i FIR-filtr Sr på inngangn xt cosπt, samplt md ratn f s Hz og filtrrt gjnnom n 5-punkts midlr. Utgangn r da y[n] D 5 j.π cos.πn.π.67 cos.πn og ttr rkonstruksjon yt.67 cosπt. Eksmpl: Plott av inngang og utgangr Toppn vd n gjnfinns τ d og τ d 3/ samplr snr..5.5 Inngang, i kontinurlig og diskrt tid. 5 5 5 Utgang fra 5 punkts midlr, i diskrt tid og rkonstrurt kontinurlig tid..5.5 Gitt n -punkts midlr får vi n diskrt utgang y[n] D j.π cos.πn 3/.π.769 cos.πn 3/ og ttr rkonstruksjon yt.769 cosπt.5 5 5 5 Utgang fra punkts midlr, i diskrt tid og rkonstrurt kontinurlig tid..5.5 5 5 5 Tidsindks n llr tid i skundr n*ts vt. t T s. s INSTITUTT FOR INFORMATIKK 33 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 Sirkulær konvolusjon Dn sirkulær konvolusjonn av to skvnsr, bgg md lngd N, r gitt vd N x 3 [n] x [n] x [n] x [k]x [n k N ] Rsultatt r også n skvns md lngd N. Anta n inngang x[n] md lngd N og t filtr h[n] md lngd L, dr N > L. Da zro-paddr vi h[n] til dn r lik lang som x[n], og brgnr utgangn. N y[n] h[n] x[n] h[k]x[n k N ] For ksmpl, hva blir utgangn for x [n] {,,, } og x [n] {,, 3, } Tst dg slv, du skal få x 3 [n] {, 6,, 6} Matlab-ksmpl, fra kodsnutt.m clar a l l ; clos a l l ; % f i r s t diffrnc systm omga 3 pi : pi/:3 pi ; H xp j omga ; H_mag abs H ; H_fas angl H ; figur ; subplot,, ; plot omga/pi,h_mag ; grid on ; xlabl Frkvns i nhtr av \pi ; ylabl Magnitud t i t l Frkvnsrspons, magnitud ; subplot,, ; plot omga/pi, H_fas/pi ; grid on ; xlabl Frkvns i nhtr av \pi ; ylabl Fas i nhtr av \ pi t i t l Frkvnsrspons, fas INSTITUTT FOR INFORMATIKK 35 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 36