. mai EKSAMEN løningforlag Emnkod: ITD5 Emnnavn: Mamaikk andr dlkamn Dao:. mai Hjlpmidlr: - To A-ark md valgfri innhold på bgg idr. - Formlhf. - Kalklaor om dl amidig md oppgavn. Ekamnid: 9.. Faglærr: Chriian F Hid Om kamnoppgavn og pongbrgning: Oppgav bår av 6 idr inkliv dnn foridn og o vdlgg. Konrollr a oppgav r kompl. Oppgav bår av 8 oppgavr md i al dloppgavr. Vd nr vil all dloppgavr ll lik my. Hk å vi rgningr og hvordan d kommr fram il varn. Hk ogå å bgrnn din var dr d r narlig. Snrfri: 5. jni Karakrn r ilgjnglig for dnr på Sdnwb n virkdagr r oppgi nrfri. www.hiof.no/dnwb
Oppgav Ndnfor r grafn il f vi.,5,5 -,5 -,5 - -,5 - -,5,5,5 - -,5 - -,5 y Finn aral av flan avgrn av dnn fnkjonn og -akn, alå aral av dn kravr flan. Aral av flan r gi vd A f d Vi må ha min foran ingral fordi flan liggr ndr -akn. D gir A f d f d d 8 9 Oppgav Grafn il fnkjonn f mllom = og = ror om -akn. Finn volm il d omdrininglgm om da framkommr. D volm r gi vd ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid av
ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid av d d d f V For å knn ingrr dnn, må vi brk bijonn om gir d d og alå d d Sr vi d inn i ingral, får vi ln d d V ln ln ln ln ln ln.9 ln Oppgav Gi marin A og B a Finn AB. AB
ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid av 8 6 6 5 b Finn B. For å finn B lagr vi marin B I og førr lmnær rkkoprajonr for å gjør vnr halvdl il idnimarin: Nå r vnr halvdl bli idnimarin. Høyr halvdl vil da vær B :
ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid 5 av B Oppgav Gi følgnd mari: A a Lø ligningym A =. Vi lør ligningym vd ga-jordanliminajon: Marin r nå på rdr rappform. Vi r a vi får o fri variabl, og vi r
ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid 6 av og kk i marin gir og alå kk gir og følglig Oppmmr blir løningn av ligningym følglig llr, krv på vkorform: = b Finn n bai for kolonnromm il A og n bai for nllromm il A. Kolonnromm r d romm om pnn av kolonnvkorn i marin. En bai for kolonnromm finnr vi fra dn rdr rappformn: D r kolonn og om har ldnd lmnr. Drfor gjør kolonn og i dn opprinnlig marin n bai for kolonnromm, alå:, Nllromm il n mari, r mngdn av all løningn il ligningym A =. D ligningym lø vi i oppgav a, og vi kan brk løningn fra dnn oppgavn. En bai for nllromm finnr vi fra løningn i oppgav a krv på vkorform:
, Oppgav 5 Gi følgnd mari A Finn gnvrdin og d ilhørnd gnvkorn il A. Vi finnr gnvrdin vd å lø ligningn gnr vi drminann, får vi 8 5 Dn karakriik ligningn blir følglig 5 Lør vi dnn, finnr vi gnvrdin 5 Vi kan nå finn gnvkorn. Hvr gnvkor r løningn av ligningn A D ligningym kan omkriv om A I =. Egnvkor ilhørnd gnvrdi blir drfor løningn av d homogn ligningym A I = Koffiinmarin il d ligningym blir. ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid av
Vi lør å ligningym på vanlig må vd å bring koffiinmarin på rappform: Vi får hr én fri variabl, og vi r. kk gir da og alå Egnvkor ilhørnd gnvrdin r følglig = Egnvkor ilhørnd gnvrdi 5 blir løningn av d homogn ligningym A 5 I = Koffiinmarin il d ligningym blir 5 5 Vi lør å ligningym på vanlig må vd å bring koffiinmarin på rappform: ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid 8 av
Vi får hr én fri variabl, og vi r r. kk gir da og alå r Egnvkor ilhørnd gnvrdin 5 kan følglig kriv r = r r r Sidn r r n vilkårlig konan, kan vi drom vi ønkr å nngå brøkr i løningn kriv dnn om = Oppgav 6 Bm dn gnrll løningn il følgnd diffrnialligning: y 5y 6y Vi lør før dn ilhørnd homogn ligningn: y 5y 6y Dnn diffrnialligningn har konan koffiinr, og dn kan drfor lø vd å lø dn karakriik ligning: 5 6 Dnn har løningn 5 5 6 5 5 5 og Md o rll løningr av dn karakriik ligningn, vil dn gnrll allmnn løningn av dnn diffrnialligningn vær y C h C ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid 9 av
Vi må å finn n pariklær løning av dn inhomogn ligningn. Hovdrgln r a vi kal forøk md n løning om r på amm formn om høyr id av ligningn. I vår ilfll vil d vær C D gir y K. Problm md dnn, r a vi al har dnn i løningn. Vi må drfor oppgradr alå gang md, og forøkr md y K y h i ldd y K K K K og y K K K K K Sr vi å d inn i diffrnialligningn, får vi K K 5 K K 6K Vi dlr hl ligningn md og gangr parnn: K K 5K K 6K om gir K Vi har da vi a følgnd r n pariklærløning av diffrnialligningn: y p Dn gnrll løningn av diffrnialligningn blir drfor y y h y p C C Oppgav Lø følgnd iniialvrdiproblm: y y in y Dnn kan vi forøk å lø vd parring. Vi flyr før ldd id, og får: y in ovr på høyr y y in ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid av
Vi gangr å bgg idr md y y in y, og får: D r vanlig å kriv y om får vi: dy d for å ydliggjør dn vidr frmgangmån. Gjør vi d, dy y d in Ligningn r nå parr, og vi kan ingrr bgg idr md hnyn på : dy y d in d d y dy in d y co C Vi lør å md hnyn på y vd å a logarimn på bgg idr: ln y ln co C om gir y ln co C Vi kan å brk iniialbingln for å bmm C: ln ln co C C Vi kponnirr bgg idr, og får ln C C C Følglig r løningn av iniialvrdiproblm y ln co ln co ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid av
Oppgav 8 a Finn laplacranformn il følgnd fnkjon: f for for for Hr har vi o mlighr: Vi kan brk dfinijonn av laplacranformajonn llr vi kan kriv f vd hjlp av prangfnkjonn a. Jg vir hr bgg mlighr, mn i bvarln r d ilrkklig dnn har md n av dm. Jg vir før modn md å brk prangfnkjonr. Brkr vi nhprangfnkjonr, kan vi kriv f f Dn laplacranformr av a r a. Laplacranformn il f r følglig F Alrnaiv kan vi alå lø oppgavn vd å brk dfinijonn av laplacranformajonn: F f d d d d d d b Brk laplacranformajonn il å lø følgnd iniialvrdiproblm: y y, y, y Laplacranformrr vi diffrnialligningn, får vi Y Y ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid av
ITD5 Mamaikk, andr dlkamn, mai løningforlag Sid av om r ordning gir Y Y Vi rkkr Y nfor n parn på vnr id, og får Y Så dlr vi ligningn på rykk i parnn, og får Y Invrranformn il d før ldd finnr vi dirk fra ovrikn ovr laplacranformr: L in For å invrranformr d i ldd, bnyr vi a L Y a a y a Vi får da L in Løningn blir følglig in in y