IO 77/ november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD"

Transkript

1 IO 77/ ovember 977 ESTIMERING V ENGELDERIVERTE P DT MED MLEFEIL av Odd Skarstad ) INNHOLD I. Data fra forbruksudersøkelse II. Estimerig ved målefeil. Iledig 2. Systematiske målefeil 2 3. Tilfeldige målefeil 4 4. Variaser på estimatoree 6 5. Målefeil i forbruksdata Modell med tilfeldige målefeil i forbruksdata og med tilfeldige og systematiske ålefeil i itektsoppgavee 7. Systematiske og tilfeldige målefeil i forbruks- og itektsoppgaver. Modifisert modell 2 8. Noe empiriske resultater 5 III. Estimerig ved maglede itektsdata 6. Iledig 6 2. Estimerig ved geererte itektsoppgaver 6 3. Noe empiriske resultater 8 Side Vedlegg. Estimerig av variaser 2 2. slag på, restleddsvariaser m.v Metoder ved målefeil 29 ) Jeg vil takke doset re mudse, forsker Erik Biør, kosuletee Grete Dahl, Helge Herigstad og Petter Laake for yttige kommetarer uder arbeidet. Ikke for offetliggjørig. Dette otat er et arbeidsdokumet og ka siteres eller refereres bare etter spesiell tillatelse i hvert ekelt tilfelle. Syspukter og koklusjoer kaw ikke ute videre tas som uttrykk for Statistisk Setralbyrds oppfatig.

2 I. DT FR FORBRUKSUNDERSØKELSER Datamaterialer i frobruksudersøkelser.blir valigvis ihetet ved at husholdigee fewer regskap over forbruksutgiftee i e kortere periode (6 eller oe få uker). Dessute blir de gjere itervjuet om askaffelser over e legre periode av varer som kjøpes sjelde (f.eks. privat bil). v praktiske gruer er det eppe mulig å foreta oe særlig mer fullstedig kartleggig av forbruket i de ekelte husholdig som deltar, f.eks. ved avede e meget legre regskapsperiode. Erfarig viser at frafallet blat husholdigee i forbruksudersøkelser ofte er ubehagelig stort selv ved e kort regskapsperiode, og det er eppe gru til å tvile på at det som regel ville øke ved overgag til legre periode. Forbruksudersøkelser gir altså et okså kort "glimt" av forbruket hos de deltakede husholdigee. Det ka ikke overraske at slike korte glimt er e ulempe ved aalyse av data, sammeliket med fullstedige opplysiger om forbruket. Det er vesetlig å være klar over dette ved bruk av et materiale. (Forute svakheter som skyldes e kort regskapsperiode, må e selvsagt også rege med adre feilkilder, f.eks. at e del utgifter ka være uteglemt uder bokforige.) Som følge av at observasjosperiode er kort vil det være store tilfeldige variasjoer mellom husholdigee i forbruksutgifter, variasjoer som ka tekes utelukkede å ha sammeheg med tilfeldige variasjoer fra periode til periode for de ekelte husholdig. v dee gru er det store problemer med å ytte total forbruksutgift i bokførigsperiode som idikator på årlig faktisk forbruk ved aalyse av forbruksdataee (ved tabeller eller ved regresjosaalyse). Dette er ærmere behadlet i rbeidsotat 0 77/44: Estimerig av egelderiverte ved maglede itektsdata. I Statistisk Setralbyrå's forbruksudersøkelser er det ofte et problem at ma har itektsoppgaver med målefeil. Dette vil i høy grad vaskeliggjøre estimerig av egelderiverte. I dette otatet har vi sett ærmere på estimerigsmulighetee ved forskjellige typer målefeil. Framstillige er kyttet til datamateriale fra orske forbruksudersøkelser. Me dét betyr eppe at syspukter og resultater behøver å være ute iteresse uder arbeid med adre udersøkelser. Dette gjelder vel selv om disse måtte ha et oe aerledes opplegg. Problemer med utytte et datamateriale og tolke resultater ka være prisipielt okså like selv om f.eks. legde på bokforigsperiode er oe forskjellig. II. ESTIMERING VED MLEFEIL. Iledig Det er et meget stort behov for arbeide iefor modeller som tar hesy til mulige målefeil i variablee. Vår erfarig med data fra forbruksudersøkelser er at ma "alltid" må rege med målefeil i itekts- og forbruksoppgavee. Og ofte er atakelig målefeilee temmelig store. Det viser seg i praksis meget vaskelig å få pålitelige opplysiger om de forbruksdispoible itekte for private husholdiger. Det er mage årsaker til dette. Nettoitekte ved skattelikige er f.eks. av flere gruer et dårlig mål for forbruksdispoibel itekt, bl.a. fordi e del forbruksutgifter er trukket fra (reiser til og fra arbeidssted, reter på boliglå, visse spareformer m.v.). Dessute er selvsagt ikke skattefrie itekter med (mage former for sosiale støader). I tillegg kommer mulige itektsudragelser i forbidelse med beskatige. Det ka tekes mage typer målefeil, og mage forskjellige måter karakterisere målefeil på. Vi vil forutsette e todelig av feilee, heholdsvis systematiske og tilfeldige målefeil. ) Dee todelige er yttet av bl.a. E. Malivaud i Statistical Methods of Ecoometrics, Ch. 0 (968).

3 2 For forklare begrepee iføres folgede symboler: z beteger observert variabelverdi z' sa z" - stokastisk feilledd Vi forutsetter at de observerte verdie ka uttrykkes som e eller ae eksakt fuksjo (her symbolisert ved g (-)) av de sae verdie og evt. adre variable, og av det stokastiske leddet, altså: z = g(z', evt. adre variable) + z" Her represeterer g ( )-fuksjoe de systematiske målefeile, mes tilfeldige feil er represetert ved z" Vi meer at dee modelle ka være hesiktsmessig. De gir e viss presiserig av begrepet målefeil, samtidig som kaskje de fleste typer av målefeil i praksis ka omfattes av modelle. I avsitt 2 vil vi se på det spesielle tilfellet at z" = 0 for alle obsérvasjoer, altså at vi bare har systematiske målefeil. I avsitt 3 behadles tilfeldige målefeil. E atar da at g (-) = z', altså at z = z' + z". Fra avsitt 4 og utover er forutsetige at systematiske og tilfeldige malefeil ka opptre samtidig i materialet. Vi må vete at dette sistevte er det mest valige i forbruksudersøkelsee. 2. _.Y.qffILij.J5.2t2 -ktt:til Byråets forbruksudersøkelser gjeomføres blat aet ved at husholdigee som deltar, fewer alle sie forbruksutgifter i regskapshefter i løpet av to uker. Hver husholdig får tildelt et såkalt hovedhefte. Dette føres valigvis av det husholdigsmedlemmet som foretar størstedele av de daglige ikjøpee. Dessute får hver av de øvrige persoee (som er 5 år eller eldre) tildelt hvert sitt héfte, hvor særlig deres persolige utgifter føres. Det kreves stor påpasselighet fra husholdigees side om alle utgifter skal bli registrert. Vi reger med at det oppgitte forbruket stort sett er oe for lavt i forbruksudersøkelsee, og at dette særlig skyldes at e del utgifter blir glemt Det fies også adre gruer til at forbruket ka være feil registrert (husholdigee øsker f.eks. å vise at de har god råd, eller at de "ikke sløser", at de gjor "foruftige" ikjøp m.v.). Målefeilee i forbruket gir erfarigsvis ulikt utslag for de forskjellige vare- og tjeestegruppee. Feilee er større for f.eks. varegruppe drikkevarer og tobakk e for matvarer. Visse større varige forbruksvarer, som f.eks. privat bil, kjøpes sjelde, og vi får derfor få observasjoer i regskapsheftee. Slike utgifter blir registrert ved itervju, hvor vi spor etter askaffelser i løpet av 2 måeder bakover i tide. Også her ka det forekomme målefeil. Folk husker ikke alt de har kjøpt, eller de husker kaskje ikke år et kjøp ble foretatt (om det er mer eller midre e ett år side). Som evt i avsitt er det mage muligheter for målefeil i itektsoppgavee. Det gjøres av og til forsøk - ved å ytte likigsdata og adre itektsdata - på fie e slags forbruksdispoibel itekt. Det må imidlertid atas at oppgavee ofte ieholder vesetlige målefeil. Systematiske målefeil på tilgjegelige itektsdata vil vel ofte variere med hesy på visse bakgruskjeeteg for husholdiger. Målefeilee ka f.eks. være aerledes for husholdiger hvor hoveditektstakere er selvstedig ærigsdrivede e hvor ha er løstaker, og kaskje atter aerledes igje fra pesjoister. Det ka derfor tekes at yrkesstatus bor være med som fordeligsvariabel til målefeile, z = g (z', yrkesstatus til hoveditektstaker m.v.). Som et alterativ til dette ka det imidlertid hede e bor ha é fuksjo for hver yrkesstatusgruppe. Det sier seg selv at det ikke er mulig å si oe geerelt om hva som er e sasylig form på g (-)-fuksjoe. i Det er i praksis ødvedig ha faktiske kuskaper om svakheter ved det statistiske materialet. Som et eksempel betrakter vi her et tilfelle med lieær utformig av g ( )-fuksjoe. ) Se f.eks. E. Malivaud, Statistical Methods of Ecoometrics, Ch. 0 (968).

4 Vi Rytter følgede symboler: X beteger observert forbruk (av e vare-/tjeestegruppe) X' '" -faktisk R ie observert itekt R' sa (forbruksdispoibel) Vi atar at X og R ka uttrykkes som lieære fuksjoer av heholdsvis X' og R': X = c + d X' R = e + k R' hvor c, d, e og k beteger (ukjete) kostater. Det forutsettes at R' (og dermed R) er ikke stokastisk. Videre atas følgede ekle kosumfuksjo: X' = a + b R' + E (II. 2..) hvor a og b beteger kostater og E et restledd med forvetig ull og kostat varias. Vi vil seere iføre visse modifikasjoer ar det gjelder fordelige av restleddet (avsitt 3 i dette kapitlet). Estimerig av parametere b ved å ytte observerte i stedet for sae verdier gir mistekvadratersestimatore _.E (X. - x) (R. - = i i b - E. i ( R. - R) = _ - hvor X og R beteger gjeomsitt for X og R og hvor atall husholdiger er 0. Ved å sette i for X og R gir dette " d. b.e - - _ (X'. - X') (R. - R ) E (R' - R'). = i b vil her ikke være idetifiserbar medmidre d og k er kjet. Forvetige til b blir: Et; = b Vi ser at b er forvetigsrett bare hvis d = k. Derimot spiller ikke kostatleddee oe rolle for forvetigsretthete. På tilsvarede måte fier vi forvetige på estimatore til (de gjeomsittlige) elastisitete (symbolisert ved E R ): E'E R d e + k R' IZ c+dr I Estimatore til elastisitete er geerelt påvirket bade av kostatleddee og vikelkoeffisietee. Dersom kostatleddee er lik ull, vil imidlertid estimatore til elastisitete være forvetigsrett. Og likeledes, hvis e er. "lite" i forhold til k R' og samtidig c er "lite" i forhold til d R', er ER tilærmet forvetigsrett som estimator på elastisitete av X' m.h.p. R'. Ma må i praksis vurdere estimatoree ut fra kjeskape til data. Det ka f.eks. tekes at et datamateriale ka gi grulag for å estimere elastisiteter, me ikke deriverte, eller evetuelt omvedt.

5 4 Det ka ofte være rimelig ytte e kosumfuksjo med flere variabler, f.eks. X' = a + b R' + cl yl + c 2 y Cr yr + E hvor c-ee beteger kostater og y-ee variabelverdier. Y-ee atas observerbare ute målefeil. Ved studere mometmatrisee ) er det lett å se at også e modell med flere variable gir e d estimator for b med tilsvarede forvetigsverdi som fora (E b = b Td. E fier videre at estimatoree til c, er c2' "" c,r kosistete bare hvis d = (E c. = d c., j =, 2,..., r). J J E ae utvidelse av modelle er å ytte et polyom av høyere grad e é, f.eks. X' = a + b R + b 2 R' 2 + E I dette tilfelle vil også kostatleddee påvirke resultatee og bidra til at e ikke får idetifikasjo (I de tilfelle kostatleddee ka settes lik ull, fier vi ved rette i de observerbare størrelsee X og R i relasjoe estimatoree b l og b 2 med forvetig E ; = b og E ; 2 = 47 b 2 ) Det virker her som at det ikke er mulig å si særlig mye geerelt om hvorda systematiske målefeil bor behadles. Vi vil imidlertid komme tilbake til dette emet i avsitt 6 i dette kapitlet og behadle e metode som ser ut til were yttig. 3. Tilfeldige målefeil I kapittel I er det påpekt at e må rege med betydelige tilfeldige målefeil i forbruksoppgavee som følge av at registrerigsperiode er kort. Også i de tilgjegelige itektsoppgavee er det rimelig d ata store variasjoer i målefeile (mellom husholdiger med f.eks. samme forbruksdispoible itekt). De observerte forbruks- og itektsoppgavee beteges heholdsvis X og R og tilsvarede feilledd X" og R" X = X' + X" R = R + R" hvor X" og R" atas å ha forvetig lik ull for alle verdier av X' og R'. R' forutsettes å være ikke-stokastisk. Dee modelle er okså valig forekommede i litterature om feil i variablee. Vi vil her også gjøre e valig forutsetig om at X" og R" er ukorrelerte med hveradre, og at de har kostat varias. (Dee siste forutsetige vil bli modifisert i este avsitt.) Ved sette i de observerte i stedet for de sae verdiee får vi relasjoe: X =a+br+u(ii. 3..) hvor U = E + X" - b R" (II. 3.2.) Estimerig ved miste kvadraters metode gir.e (X. - R) (R i - = -I. E (R. - ) 2 = i ) Se f.eks. H. T. mudse: Iførig i teoretisk statistikk, kap (962).

6 Side det ikke er så ekelt fie oe eksakt uttrykk for forvetige til b, vil vi se på de asymtoti ke egeskapee. Vi forutsetter at setralmometet for itekte (MR 2 ) kovergerer mot e kostatm 2 ved økede atall observasjoer. b vil da gå mot greseverdie ). R 2 R" P lim b = b ( - 22 ) m R R" 2 hvor a beteger de teoretiske ttiski e var ase til det stokastiske leddet R" R". b er ikke idetifiserbar og b vil kovergere mot e størrelse som (i tallverdi) er midre e b (dersom det er målefeil i itekte (a 2 R. > 0)). Vi ser også at jo storre variase på målefeile (a 2 Ru))er i forhold til spredige på itekte (m20, jo større fare er det for at b blir uderestimert år b yttes. Vi ser videre at dersom m2r /a2 R" er kjet (eller ka aslås) vil uttrykket 5 b b m 2 R' 2 m 2 R, + a R u kue yttes som (kosistet) estimator for b. Det ka imidlertid i praksis være vaskelig å fie et godt aslag på m 2 iv /a 2 R. Vi vil her se ærmere på b. For ekelhets skyld iføres symbolet 2 a R" K = m R' I a R" for de asymtotiske ("teoretiske")broke, mes vi symboliserer tilsvarede størrelse ved et edelig atall observasjoer med R. Side R" er stokastisk, vil også k være det. K (og K) vil selvsagt være de samme for alle vare- og tjeestegrupper (avheger bare av målefeile til itekte), altså b = Kb i(j =, 2,..., m) Størrelse 2 b. b. = -7 (j =, 2, m) (II. 3.3.) K er et asymtotisk forvetigsrett og kosistet uttrykk for b og vil kue yttes som estimator dersom K er kjet. Når ma setter i estimatee (b-ee), blir det et system med m ligiger mellom m + ukjete (b-ee og K). Systemet er altså determiert på e kostat ær. Hvis vi imidlertid lar e av "varegruppee" represetere sparige (f.eks. r. m), vil summe av utgiftee være lik itekte, og dermed J. E =J b. = Ved å pålegge restriksjoe m jl b i = blir systemet determiert og asymtotisk forvetigsrette og kosistete estimatorer for b-ee og K fies. ) Restriksjoe iebærer at ma setter m K = E b. J= J ) Metode er idetisk med e spesiell form for bruk av istrumetvariable. Se vedlegg 3.

7 6 I stedet for forbruksdispoibel itekt ka selvsagt faktisk total forbruksutgift (X'i) tekes brukt som forklarigsvariabel. Vi holder altså sparige utefor og estimerer utgiftsderiverte. Det vil ofte være rimelig avede modeller med flere eksogee variable, f.eks. folgede kosumfuksjo X' = a + b R' + c + c-v + c ry r (.3.4.) y r 2 + hvor c-ee beteger kostater. y-ee ka f.eks. betege atall persoer, biære variable for husholdigstype, geografisk område e.l. Vi atar her at y-ee ikke er beheftet med målefeil, og at' EU = 0 for alle verdier på alle de eksogee variablee. Uder disse forutsetiger viser det seg at estimatore til b får tilsvarede (asymtotiske) egeskaper som ovefor ägitt år vi ytter observerte variable (X og R) uder estimeriger. Dette går fram av mometmatrisee år ma setter i setralmometee for de observerte verdiee og lar atall observasjoer gå mot uedelig ). v mometmatrisee går det ellers fram at heller ikke estimatoree for c-ee vil være kosistete véd målefeil i itekte. m Ved å legge på restriksjoe J. L b = ka det på samme måte som fora fies kosistete estimatorer - j for b-ee. Videre ka (om ma øsker det) a og c-ee etterpå estimeres direkte via ligige 2 X-bR=a+c l y i +c 2y 2 + cryr4 4- U. 4. Varias på estimatore Vi tar utgagspukt i formel II. 3.3.) og sammehege K =.E b. J= J i avsittet fora. Dette gir b 4 b=j (j =,,. m) bj Isettig av b-ee gir. - R.) (R. - R) b. il E (X. i _ = J J J E (X. - R) ) (R. - i= (j =, 2,..., m), Metode iebærer altså at ma ytter broke kovar X. R kovar X R som estimator for b 2). ) Se f.eks. H. T. mudse: Iførig i teoretisk statistikk, kap (962). 2) Estimatore er idetisk med e spesiell form for bruk av istrumetvariabel. Se vedlegg 3.

8 7 Det er e selvfølge at metode ka brukes også ved e modell ute målefeil i itekte. Det er e ærliggede oppgave å udersøke variasegeskapee ved estimatore. Vi vil å først ata at det ikke er målefeil i itekte og vil sammelike 6 med de valige miste kvadratersestimatore (i det følgede symbolisert ved b). Fuksjosforme er som fora hvor X. J = a. + b. R' + Uj ( =, 2,..., m) J J U. J = E. + X". J J side R" = Vi skal altså sammelike estimatoree: E (X.. - R.) (R. - R = Ji J ) b. - i J. E (R'. - R') = 2 og E (X. - g.) (R'. -. ) = ji J b. J (< g) (R' i= ) II. 4.2.) hvor X = J. E X X-ee er stokastiske, mes R' atas ikke stokastisk. Ved å sette i for X-ee ka = j* estimatoree skrives R'. b..e - R)2 + P. (R'. - R ) (U.. - O.) = b - J = J J z ( i... )2 i= % og b..2 (R'. - - ) (R' - R ) ( U ) J = - i Ji b j - - il (R' i RI) 2 4. ill (R' i RI) (U i O) hvor U =. E U. j= j Uder forutsetigee i avsitt 2 i dette kapitlet om restleddsegeskapee er som kjet b forvetigsrett E b. = b. J J med varias a 2 U. J var b. =.E ( R'. - R ) 2 J =

9 8 Når det gjelder estimatore b er det mer komplisert å fie eksakte uttrykk for forvetig og varia'hs, fordi det er stokastikk både i tellere og evere. Det er imidlertid vist i avsittet fora at estimatore er asymtotisk forvetigsrett og kosistet, i det greseverdiee i P lim- T (R'i - R') (U i - 0) og ' P lim (R, - R') (Uji - Oj ) begge går mot ull ved økede atall observasjoer, altså er P lim b. = b. (j =, 2,..., m) J J For beregig av variase skal vi ytte e tilærmelsesformel ). Dersom vi lar T betege tellere og N betege evere, ka formele skrives: T var bi = ( IT) 2 [var T + b 2N - 2 bj kovar (T, N): - Tilsammelikigvilvariasetilb.bestå av det første leddet i uttrykket: J var b j = (rff) var T (evere til b er ikke-stokastisk). Det vil således avhege av forteget på b 2. var N - 2 b. kovar (T, N) J J om var b skal være større eller midre e var b. For gjøre de folgede beregiger eklest mulig, lar vi forbruket være delt i to vare- og tjeestegrupper (gruppe er de som aalyseres, mes gruppe 2 er reste). Leddet ovefor blir l) b2 var N - 2 b kovar (T, N) = b 2 m R 2 a 2 _ 2 b. 2 (a 2 MR ul + a ) = ' ulu2 bl m 2 [b 2 _ 2 (a 2 a.., R' u ul ulu2)j hvor a 2 u = 2 u +2 CY + a 2 ulu2 u 2 Uttrykket består av et positivt og et egativt ledd. Det er altså ikke mulig trekke geerelle slutiger om forteget, og dermed heller ikke om hvilke av estimatoree E4 og g l som gir mist varias. For d kue sammelike variasee på b l og b må e ha aslag på variaser/kovariaser og b l i et materiale. Dette gjør det selvsagt vaskelig i praksis sammelike variasee på b l og g l. I vedlegg 2 er det gjort et forsøk på aslå disse størrelsee i forbruksmaterialet fra 973, for å kue foreta e sammelikig. Dette yttes i det følgede. Vi lar varegruppe være heholdsvis - matvarer (gruppe 2 er "reste") - drikkevarer og tobakk (gruppe 2 er "reste") osv. ) Se vedlegg.

10 9 satt lik- 60,0). I tabell er det bereget stadardavvik på b forhold til på b l ( stadardavvik på b i er Tabell. Stadardavvik på b i i proset av stadardavvik på b.. Forbruksudersøkelse 973. Hele befolkige Vare- og tjeestegruppe var 00 (, )i var b Matvarer 0,7 Drikkevarer og tobakk 95,2 Klær og skotøy 90,7 Bolig, lys og bresel 92,6 Møbler og husholdigsartikler 90,4 Helsepleie 97,4 Reiser og trasport 93, Fritidssysler og utdaig 90,7 dre varer og tjeester 90,9 Tabelle viser at estimatore b., har et midre stadardavvik e estimatore b l utatt for matvarer. (E ka som sagt ikke si oe geerelt om hvorda forholdet mellom variasee er.) Det fies mage forskjellige måter dele i det private frobruket i udergrupper av varer og tjeester på. v dette følger det også at det vil kue avhege av hvorda dee idelige gjøres, hvilke av de to estimatoree som er de beste. Det ka eves at prøveregiger som vi har k foretatt viser at b syes å være særlig gustig ved e idelig av forbruket i grove vare- og tjeestegrupper. (E ekstrem grovdelig er selvsagt at ma har bare é vare- og tjeestegruppe, emlig total forbruksutgift. I dette spesialtilfellet blir selvsagt b alltid lik, med varias lik ull.) Grue til at ma i mage tilfelle reduserer variase ved ytte estimatore b framfor b er selvsagt at b impliserer at det er lagt e tilleggsrestriksjo (iebygget e betigelse) ved m estimerige, emlig j bj =. Ellers må ma rege med at opplegg og gjeomforig av e forbruksudersøkelse geerelt vil kue ifluere på forholdet var b/var b. I dette regeeksemplet har det vært forutsatt at det ikke er målefeil pa itekte. Dersom det derimot er målefeil i itekte (R" 0), vil ikke b-estimatore være kosistet (b blir ikke idetifiserbar). I vedlegg er et tilærmet uttrykk for variase på b-estimatore bereget for tilfellet ved bl.a. målefeil i itekte. Variase avheger bl.a. av b og mometee for de stokastiske leddee. Vi har ikke arbeidet oe med fie fram til e estimator for variase på b. 5. Målefeil i forbruksdata 973 Ved aalyser av forbruksudersøkelse yttes ofte itektsdata (forute forbruksdata). I tillegg er det gjere rimelig å trekke i i modelle variable som husholdigstype (evt. persotall i husholdige), alder på hoveditektstakere, geografisk område m.v. Mes forbruks- og itektsoppgavee atakelig som regel er beheftet med vesetlige målefeil, vil det være mer rimelig å tro at "eklere" variable, som f.eks. husholdigstype e.l. er registrert ute at det i større omfag forekommer målefeil. Det ka derfor være tillatelig arbeide iefor modelle med målefeil i forbruksog itektsoppgavee, me ute feil i de adre variablee. I det følgede vil dette bli gjort. Vi skal først vurdere feil i forbruksdata. Vi reger med at det gjeomsittlig vil være e viss uderregistrerig i forbruket, dvs. at ikke alle husholdiges utgifter kommer med uder regskapsførige og itervjuige. Det er ikke lett si oe sikkert om hvilke karakter uderestimerige har. Det er vel imidlertid ærliggede å tro at uderestimerige vil være avhegig av selve ivået på forbruket. Hvis f.eks. e familie har relativt høye utgifter og mage utgiftsposter,

11 0 vil e vel også tro at det er lett å glemme e del av postee uder regskapsførige. Vi vil her forutsette at de systematiske talefeile er proporsjoal med utgiftsbeløpet. Vi får altså sammehege X = d X' + X" hvor d beteger e kostat. Størrelse på kostate vil kue variere fra varegruppe til varegruppe. Sammelikiger med ae statistikk (f.eks. varehadelsstatistikk) tyder f.eks. på at uderregistrerige er større for varegruppe drikkevarer e for matvarer. Ved forbruksudersøkelse 973 har vi ihetet likigsdata fra Skattedirektøres magetbåd. På dette bådet fies det bl.a. opplysiger om ettoitekter - ved kommue- og statsskattelikige og direkte skatter og avgifter. Ut fra opplysiger på bådet ka følgede itektsbegrep daes: ettoitekt ved statsskattelikige + ettoitekt ved sjomasskatteordige + særfradrag - direkte skatter 0 avgifter = itekt Det viser seg at dette itektsbegrepet ikke gir oe godt uttrykk for de forbruksdispoible itekte For alle husholdiger uder ett utgjør itekte ca. 3/4 av forbruksutgiftee. Skattefrie itekter er ikke med i dette itektsbegrepet. Videre er ikke fradragsberettigede utgifter ved skattelikige med (e del av disse utgiftee er med i forbruksutgiftsbegrepet). Videre er på skattebådet itekte satt lik ull dersom vedkommede perso ikke har så høy itekt at ha/hu betaler itektsskatt. E god del persoer står av dee gru oppført med ull itekt på skattebådet. (Husholdigsitekte bereges ved å summere husholdigsmedlemmees itektsbeløp.) I tillegg vil selvsagt skatteudragelser kue ifluere på målefeilee. Det syes rimelig å ata at målefeile på itekte delvis vil variere på e mer eller midre systematisk måte med e persos yrkesstatus. E ka f.eks. lage følgede idelig av persoer etter yrkesstatus:. Løstakere 2. Selvstedig ærigsdrivede i jordbruk, skogbruk og fiske 3. Selvstedig ærigsdrivede ellers 4. Ikke yrkesaktive Det er ærliggede å tro at målefeile gjeomsittlig er aerledes for f.eks. løstakere e for selvstedig ærigsdrivede. Sammehege mellom sa og observert itekt ka således være oe forskjellig for forskjellige sosialgrupper. I avsitt i dette kapitlet ble det skilt mellom tilfeldige og systematiske målefeil, for itektes vedkommede symbolisert ved R = g (R', evt. adre variable) + R" hvor g (.) atas å være e eksakt fuksjo av R'. I este avsitt studeres tilfellet med både systematiske og tilfeldige målefeil i itekte og tilfeldige målefeil i forbruket.

12 Tilfeldige målefeil i forbruksutgiftsdata, tilfeldige og systematiske målefeil i itektsoppgavee Vi betrakter tilfellet Xi = x'xi " ( j. =, 2,..., m) R = g (R') + " (II. 6..) Isettig av observerte verdier i kosumfuksjoe X' = a + b R' +E gir X.= j +.-FIJ K, J J J hvor Ux. = X". + E. + b. (R' - R) = U. + b. (R' - R) JJJJ J J I estimatore il = b j E E (X. (R. - R) i = (X. - R) (R. - R) setter vi i R = g (R') + R" og får E (X.. - X.) (g (R' i ) )) + ii 4 (XRj ) (R"i - R" ) --. I,. _ = JiJ J i j: Ved dessute å sette i bl.a. (X i - R) ( g (R' i ) - -4 (T )) 4.il (Xi - ) (R" i - R " ) Xi = X' j + X",j, X = X' + X" og X' = R' får vi (uttrykt ved setralmometee M): bj MR g (RI) Mxj. + Muj g (R7Mu j R II, J MR' g(r) t MR' R" t MX" g (R') 4* 4X" R" Uder forutsetig av at ER" 0 for alle verdier på Xj, og R' og E Ex. 0 for alle verdier på R' og U. og R" og X" og R" er ukorrelerte, vil Š. være asymtotisk forvetigsrett og kosistet, i J J det b MR Lim g i - g (R') = b R g j (R') ved økede atall observasjoer. Dette gjelder uasett forme på de systematiske målefeile på itekte, dvs. uasett forme på g (.)-fuksjoe - bare g (R') er korrelert med R'. Dette må (isolert sett) sies were e okså lempelig forutsetig. Det er et viktig poeg at ma ikke behøver kjee forme på g (.)-fuksjoe for å få e kosistet estimator for bi.

13 2 7. Systematiske 29 tilfeldige målefeil i forbruks- og itektsoppgaver. Modifisert modell Sammehege mellom faktiske og observerte forbruks- og itektstall atas være Xidj = X' jx + j" (j =. m) R = g (R') + R" Isettig av observerte i stedet for faktiske verdier i kosumfuksjoe gir X j = a j + b j R + U j x (j =, 2, m) hvor U. J N = d. E. + X". + b. (d. R' - R) + d j (a j - ) JJ JJJ I dette avsittet Rytter vi for ekelhets skyld symbolet U. J = d. E. + X" (j =, 2,.. J Det er hittil forutsatt at variasee på de stokastiske leddee er kostate (homoscedastisitet) og at leddee er stokastisk uavhegig av hveradre. Det er i forskjellige sammeheger okså valig å ata at restleddsvariasjoe ofte vil variere med ivåee på de absolutte tallstørrelsee, f.eks. med ivået på de avhegige variable. Vi skal her forutsette at variase på de stokastiske leddee er proporsjoale med de faktiske itekte, var U. = R' 2 T 2 ( =, 2,.. ).3 U.) var R" = R' 22 R" hvor T 2 og T 2 R " beteger kostater. Videre forutsettes det at kovariase mellom U-ee ka skrives: u. kovar U U = R' 2 T j k U.0 j k hvor T 2 beteger e kostat. u.0 j k For e gruppe husholdiger blir de gjeomsittlige variase: 2-7- var U. = E R'2 2 2 T = (M, + R' ) 2 T (j =, 2,..., m) u R (og tilsvarede for R" ) år M 2 R, og R' beteger heholdsvis setralmomet og gjeomsitt for R. U og R" atas å være ukorrelert (j =, 2,..., m). Vi tar (de uveide) miste kvadratersestimatore av de observerte størrelsee b. - J,E, (X jir i ) (. E (R. - R. ) = i 2 Isettig for X. og R gir J R i - R) J.E = (R' i - ) + U j ): [(g (R' i )) R"i - R"):I.E [(g (R') = - TT.)) (R"i -

14 3. Uttrykt ved setralmometee vil bi asymptotisk gå mot d. b. M, (R) Lim b. = + I I Vi ifører symbolet K = M R' g (R') M ' g (R ) (MER,r ) T R" Isettig av dette gir: lim b = j K (j =, 2,..., m) J I tilfelletmedsystemtiskemålefeiliforbrukre idetifiserbar. J J heller ikke fie forholdet mellom f.eks. b og b 2 i det ka b l d l b I b2 d 2 b 2 med midre d /d er kjet eller ka aslås 2 (Ma "vet" f.eks. at de systematiske målefeile er lik for to varegrupper). Vi vil i stedet betrakte (de gjeomsittlige) itektselastisitete. Estimatore forvaregruppe j blir, ved ytte observerte størrelser = b = d. b. K = d. b. K J J J J J J RJ g _ (.) -I- R" d.tc. J J J Ved økede atall observasjoer vil R" og g" gå mot ull, altså R i lim E. = b. JR J R j hvor KK = K ( ) Vi symboliserer de sae gjeomsittlige elastisitete med og får R ' = b. -.J J lim E. = E. (j = m). JR JR Itektselastisitetee er altså idetifiserbare på e kostat er. Dersom de ee av utgiftsgruppee (f.eks. m. m) represeterer sparige, ka også de absolutte størrelsee på elastisitetee fies. Ma tar regresjoe av total (observert) avedelse (forbruk + sparig) med hesy på (observert) dispoibel itekt, og får

15 4 Her er "pr. defiisjo" de sae elastisitete (EI)lik,0, slik at K vil være lik de observerte elastisitete (E R ): K' = E R Kosistete estimatorer fies altså ved 2 E = E. /E () =, 2,..., m) JR' J R R Dersom vi ikke kjeer sparige, ka ikke det absolutte ivå på itektselastisitetee fies. Ma ka imidlertid fie utgiftselastisitetee på aalog mate (jfr. avsitt 3i dette kapitlet). Det vil ofte være øskelig ytte e kosumfuksjo hvor det igår flere forklarigsvariable e itekt. Vi betrakter her fuksjoe (II. 3.3.): = a. + b.r' + C J.Y + C2J.Y 2 + C rj Y r + E. j J Vi setter i observerte tall for itekt og forbruksutgifter og estimerer ved miste kvadraters metode. Setralmometee påvirkes av målefeilee. Vi fier følgede (asymptotiske) sammeheger mellom setralmometee for observerte variable (Mx ) og sae variable (M): 2x Lim M R = m R, + (m R, + r ) T RI Lim M 2x - d. m (j =, 2,..., m) xjr J x Lim M x =dm xilik j yk x' j (j =, 2,..., m) (k =, 2, 4) Ved betrakte setralmometmatrise i) er det lett å se at estimatoree til b-ee blir aaloge med tilfellet med bare itekte som forklarigsvariabel. Det ka tekes at det vil være iteresse for også å estimere kostatee c l, c 2, Cr i ligige. Det viser seg at c-ee ikke blir idetifiserbare ved de spesifiserte typer målefeil i forbruk og itekt. Dette er ikke overraskede. Vi fat i avsitt 2 at e modell med bare systematiske målefeil i forbruket heller ikke gir idetifikasjo. Dersom det imidlertid bare er tilfeldige målefeil, ka ma fie kosistete estimatorer til c-ee (se avsitt 3). Bare dersom det på e eller ae måte er gjørlig korrigere for de systematiske målefeilee i forbruket, er det mulig idetifisere c-ee. Vi har i dette avsittet betraktet e modell med tilfeldige og systematiske målefeil i itekt og forbruksutgifter. Det er vistat de tilfeldige feilee på sett og vis lar seg mestre, forutsatt visse krav om fordeligsegeskapee. Det samme gjelder okså geerelt for systematiske målefeil i itekte. Det kreves f.eks. ikke at de systematiske feile skal ha oe bestemt form. De må imidlertid ikke were korrelert med de tilfeldige målefeile i forbruksutgiftee eller restleddet i kosumfuksjoe. Største problemet syes å være evt. systematiske målefeil i forbruksutgiftee. Bare dersom målefeile har e meget ekel (og kjet) form, ka ma evetuelt gardere seg mot de. I dette avsittet er det forutsatt et spesialtilfelle hvor de systematiske målefeile i forbruket er proporsjoal med utgiftsivået. Dette gir åpebart ikke mulighet for idetifisere b-ee, me derimot (de gjeomsittlige) elastisitetee. Det ka imidlertid tekes at ma fra adre statistiske kilder kjeer de totale omsetig ielads til privat forbruk av de forskjellige vareog tjeestegrupper (f.eks. via varehadelsstatistikke). Budsjettadele ka derved bereges, og estimater for b-ee fies ved b i = E j, a j (j. =, 2, ) Se f.eks. H. T. mudse: Iførig i teoretisk statistikk, kap (962).

16 5 hvor Ci-ee beteger beregede budsjettadeler. (Dersom vi utfører aalyse på deler av befolkige - f.eks. løstakere - er det trolig vaskelig aslå budsjettadeler alee ut fra totaltall for hele ladet. Dersom imidlertid de systematiske målefeile i forbruket ved forbruksudérsøkelse med rimelighet ka atas være de samme for alle befolkigsgrupper, vil budsjettadeler kue aslås ved at forbruksudersøkelsesdati og totaltall for ladet "kombieres", hvoretter b-ee bereges). 8. Noe empiriske resultater q dette kapitlet er det gitt et eksempel på umeriske beregiger på datamaterialet fra forbruksudersøkelse 973. Samme modell som i avsittet fora er yttet. Kosumfuksjoe er x. = a+br' +cy +cy +cy + E j for vare- og tjeestegruppe r. j (j =, 2,..., m), hvor y-ee er symboler for husholdigsstørrelse og -sammesetig: Y - atall persoer uder 6 år i husholdige ("bar") - Y år - Y = 3 67 år og over ("pesjoister") Ved å ytte asjoalregskapets tall for privat forbruk og dividere med atall ibyggere har vi gjort aslag på de systematiske målefeile på forbruket i forbruksudersøkelse (represetert ved d-ee). Når de systematiske dele av målefeile i forbruket er elimiert, ka kosistete estimater for b-ee fies. Tabell 2 viser estimatee bi =, 2,..., m). Som evt i avsitt 4 har vi ikke fuet oe god estimator for variase til b-ee. I tabelle er størrelsesordee på variasee idikert 2 m ved var bj = ( - ) var bj (hvor b = j E l bi ). Itektsbegrepet som er yttet er defiert i avsitt 5 i dette kapitlet og bygger på data fra Skattedirektøre. Tabell 2. Utgiftsderiverte og gjeomsittlige elastisiteter for forskjellige vare- og tjeestegrupper. Stadardavvik i paretes i) Vare- og tjeestegruppe Deriverte Elastisiteter bjex X ir Matvarer 0,093 (0,0) 0,38 Drikkevarer og tobakk 0,099 (0,009),23 Klær og skotøy 0,078 (0,00) 0,78 Bolig, lys og bresel 0,62 (0,06),22 Møbler og husholdigsartikler 0,09 (0,00),7 Helsepleie 0,035 (0,00),06 Reiser og trasport 0,94 (0,07),48 Fritidssysler og utdaig 0,067 (0,009) 0,79 dre varer og tjeester 0,62 (0,06),6 Total forbruksutgift,000 (0,000),00 ) Variasee er bereget ved var b. = () 2 var b. b J.

17 6 Det er også utført beregiger hvor det i tillegg til de spesifiserte variablee er iført biære variable for sosial statu (selvstedig ærigsdrivede, løstaker m.v.) for hoveditektstakere. Dette førte imidlertid ikke til vesetlig aerledes resultater..gruppe matvarer har lavest elastisitet.(0,38). Dette stemmer bra overes med de fleste aalyser som er utført på forbruksdata. Videre ser e it gruppe reiser og trasport har høy elastisitet. Dette er heller ikke overraskede; gruppe-ieholder bl.a. utgifter til askaffelse, drift og vedlikehold av privat bil. Imidlertid er det e ae gruppe, kalt "adre varer og tjeester" som har høyest elastisitet. Dee omfatter bl.a. hotellopphold, restauratbesøk og visse feriereiser (såkalte "pakketurer"). I forbidelse med framstillige i Kap. III er det gitt oe flere resultater fra 973-udersøkelse. III. ESTIMERING VED MNGLENDE INNTEKTSDT. Iledig Vi har hittil betraktet tilfellet med målefeil i itektsdata, og estimerigsmuligheter som da foreligger. E litt ae situasjo er at itektsopplysiger fullstedig magler. Dette har imidlertid ikke vært uvalig ved våre forbruksudersøkelser og vil være e realistisk situasjo også i de ærmeste framtid. Emet for dette kapitlet er e måte til estimerig av deriverte/elastisiteter også i dette tilfelle. I våre forbruksudersøkelser blir e rekke opplysiger ihetet (uteom forbruksoppgaver), bl.a. yrkesdeltakig for husholdigsmedlemmee (f.eks. total uketlig arbeidstid) og yrkesstatus (selvstedig ærigsdrivede, asatt m.v.). Vi vil her drøfte mulighetee for å estimere egel-/ utgiftsderiverte på "idirekte" måte ved å ytte evte (eller ligede) opplysiger. 2. Estimerig ved geererte itektsopp9aver Vi øsker å estimere parametre i e sammeheg mellom itekt og forbruksutgifter, me magler itektsoppgaver. Det er e ærliggede løsig å prøve å fie fram til de "mekaismer" som ligger bak husholdigees itekter, for så å ytte dette uder estimerige. I vår udersøkelse har vi oppgaver over husholdiges arbeidstid. E må rege med at ervervsitekter for husholdigee har sammeheg med hvor mage av husholdigsmedlemmee som er i itektsgivede arbeid og med hvor lag arbeidstid de har. De samlede arbeidstide for medlemmee ka derför være e viss idikator på ervervsitekte. Det er imidlertid eppe oe "streg" sammeheg mellom arbeidstid og yrkesitekt. Det vil dessute avhege av bl.a. yrke og ærig hvor høy itekte vil være. Vi vil her ytte følgede grovidelig av yrkesstatus for hoveditektstakere som idikator: - asatte - selvstedig ærigsdrivede i jordbruk, skogbruk og fiske - selvstedig ærigsdrivede ellers - ikke yrkesaktive For ikke yrkesaktive vil selvsagt ikke arbeidstide idikere oe om itekte, i dét det er helt adre forhold som bestemmer itekte for disse gruppee (ivå på pesjoer og.trygder m.v.). Vi atar her at itekte ka skrives som e fuksjo av bl.a. arbeidstid og yrkesstatus for hoveditektstakere.

18 Itekt = f (arbeidstid for husholdige, yrkesstatus for hoveditektstakere, adre variable) Vi ytter - følgede symboler R' = dispoibel itekt -T = samlet arbeidstid for husholdiger Z = hvis hoveditektstaker er selvstedig ærigsdrivede i jordbruk, skogbruk, fiske, 0 ellers Z hvis hoveditektstaker er ae selvstedig ærigsdrivede, 0 ellers 2 = Z 3 = hvis hoveditektstaker er ikke yrkesaktiv (asatte er ref.-gruppe) V = et restledd Vi forutsetter e lieær relasjo mellom dispoibel itekt og de adre variablee: R' = a + T + y i Z l +y2 Z2 + y 3 Z3 + V Restleddet V ieholder altså alle adre variable e de spesifiserte og som "forklarer" itekte. Vi forutsetter samme kosumfuksjo som i kap. III. avs. 8: X' =a+br' +c y +c 2y2 +c3y3 + E. (j =, 2,..., m) j med tilfeldige målefeil i forbruksoppgavee X. J = X'. + X". J J (Det er korrigert for systematiske feil slik som i kap. III. avs. 8) Symbolet U. beteger Uj = Ej + X" j (j =, 2,..., m) Vi får altså følgede relasjoer:. R' = a + at + y Z + y 2 Z2 + y 3 Z3 + V 2. X. = a. + b.r' + c.y + c J2. Y + c J J J j 2 J3 J. Y 3 + U. (j =, 2,..., m) Relasjo "forklarer" hvorda itekte "blir til", relasjo 2 hvorda de avedes. I dette systemet er (forute parameter- og restleddsverdiee) selve "mellomleddet" - itekte (R') - ikke observerbar, mes altså bl.a. arbeidstides legde og forbruksutgifter er observerbare (de sistevte riktigok med målefeil). Ved estimerig av parametree i relasjo 2 er det ærliggede å ytte relasjo til "geerere" itektsdata til isettig uder estimerige. Vi vil ytte (observert) total forbruksutgift uder geererige (etter korreksjo for systematiske feil). Vi setter i observert total forbruksutgift (X = je X.) i relasjo i stedet for itekt: =j X = a + g + y i l i + y 2 Z 2 + y 3Z 3 + V og estimerer parametree ved miste kvadraters metode. Deretter geereres "itektstall" (R') for de ekelte husholdigee ved estimatee (merket -): Í'i = a + g i + y l Z li + y 2 Z 2i + y 3 Z 3i + V i (i =, 2,.,

19 8 Uder estimerige av parametree i relasjo 2 erstattes altså Ril med R', og estimerige foretas som i kap. III, avs. 8. Slik som itekte her er geerert, vil gjeomsittsitekte for husholdigee alltid (defiisjosmessig) være lik total forbruksutgift: *E R.'.E = i = Dette iebærer at sparige holdes utefor itektsbegrepet. R' ma tolkes som faktisk total forbruksutgift (målefeilee er "geerert vekk"). Dee måte å geerere itektstall på medfører selvsagt at sparetilbøyelighete ikke ka estimeres, og dermed heller ikke egelderiverte/-elastisiteter (bare utgiftsderiverte/-elastisiteter). 3. Noe empiriske resultater I forbidelse med forbruksudersøkelse 973 ble det gjeomført e itekts- og formuesudersøkelse for de samme husholdigee. Materialet fra dee udersøkelse viser et mer fullstedig bilde av husholdigees dispoible itekt til privat forbruk e hva materialet fra Skattedirektøre ka gjøre. De fleste ikke skattepliktige itektstypee er f.eks. tatt med i begrepet. Vi har yttet samme kosumrelasjo som i forrige avsitt. De utgiftsderiverte er estimert ved estimatore b fra kapittel Jul) Følgede alterative idikatorer på itekt er yttet: - itektsbegrepet bygd på Skattedirektores materiale - itekt bereget ut fra itekts- og formuesudersokelses itektsoppgaver - geerert itekt (R') fra avsittet fora Tabell 3 viser estimater på utgiftsderiverte (b) for o skjellige vare- og tjeestegrupper Tabell 3. Estimerte utgiftsder verte for forskjellige var g tjeestegrupper ved forskjellige itektsidikatorer. Stadardavvik i paretes' Vare- og tjeestegruppe Skattedirektøres materiale tektsidikatorer Itektsudersokelses itektsbegrep ta timer itektsgivede arbeid og yrkesstatus/æri Matvarer 0,093 (0,0) 0,09 (0,0) 0,092 (0,020) Drikkevarer og tobakk 0,098 (0,009) 0,096 (0,009) 0,22 (0,06) Klær og skotøy 0,078 (0,00) 0,087 (0,00) 0,02 (0,08) III/ Bolig, lys og bresel 0,62 (0,06) 0,62 (0,07) 0,6 (0,030) Møbler og husholdigsartikler 0,08 (0,00) 0,24 (0,00) 0,092 (0,08) Helsepleie 0,035 (0,00) 0,027 (0,00) 0,022 (0,08) Reiser og trasport 0,95 (0,07) 0,86 (0,07) 0,93 (0,030) Fritidssysler og utdaig.... 0,067 (0,009) 0,072 (0,00) 0,075 (0,07) dre varer og tjeester 0,62 _ (0,06) 0,56 (0,07) 0,87 Q0 2 2 Total forbruksutgift,000,0,00,000 VariaseeerberegetvedvarL.Ivar.Ofr. bj tabell 4). J I, Tabelle viser at det er tildels vesetlige forskjeller mellom estimatee ved forskjellige itektsidikatorer. Videre ser vi at de estimerte stadardavvikee overalt er klart høyere ved bruk av atall timer itektsgivede arbeid og yrkesstatus/ærig som itektsidikator e ved itektsbegrepee. ) Utgiftsdataee er korrigert for systematiske målefeil.

20 9 Det syes ikke på oe måteå være problemfritt å fie estimater på utgitsderiverte ved magledé itektsdata. Det ka tekes at det fies adre og bedre itektsidikatorer e dem som er forsøkt her. Det er imidlertid selvsagt vaskelig i praksis å avgjøre om e idikator er god eller dårlig.. E må atakelig i hvert ekelt tilfelle prøve å vurdere idikatores egeskaper og om kravee til kosistes ka vetes å være oppfylt med rimelig tilærmelse. Det faktum at det ka være problemer forbudet ved å utføre visse statistiske beregiger bør imidlertid ikke i seg selv avskrekke oe fra å prøve. Spørsmålet ka heller være om de beregiger som ka gjeomføres ved hjelp av ett eller aet tilgjegelig materiale gir iformasjo som ka atas å være av iteresse eller av verdi i e gitt situasjo i praksis.

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

H T. Amundsen INNHOLD

H T. Amundsen INNHOLD Itere otater STATISTISK SENTRALBYRÅ. oktober 1980 KORRELASJONSKOEFFISIENTEN - ENDA ENGANG Av H T. Amudse INNHOLD 1. Iledig *****..... * 0 1. Produktmametkorrelasjoskoeffisiete og sammehege med lieær regresjo.

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

Rente og pengepolitikk 1. Innhold. Forelesningsnotat 9, februar 2015

Rente og pengepolitikk 1. Innhold. Forelesningsnotat 9, februar 2015 Forelesigsotat 9, februar 2015 Rete og pegepolitikk 1 Ihold Rete og pegepolitikk...1 Hvorda virker Norges Baks styrigsrete?...3 Pegemarkedet...3 Etterspørselskaale...4 Valutakurskaale...4 Forvetigskaale...5

Detaljer

FORFATTER(E) Jan-W. Lippestad og Trond Harsvik OPPDRAGSGIVER(E) Rikstrygdeverket. Nanna Stender, Mari K. Rollag og Kristian Munthe

FORFATTER(E) Jan-W. Lippestad og Trond Harsvik OPPDRAGSGIVER(E) Rikstrygdeverket. Nanna Stender, Mari K. Rollag og Kristian Munthe SINTEF RAPPORT TITTEL SINTEF Uimed Postadresse: Boks 124, Blider 0314 Oslo Besøksadresse: Forskigsveie 1 Telefo: 22 06 73 00 Telefaks: 22 06 79 09 Foretaksregisteret: NO 948 007 029 MVA Evaluerig av hevisigsprosjektet

Detaljer

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver,

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015 LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009 Rapport Brukertilfredshet blat pårørede til beboere ved sykehjem i Oslo kommue Resultater fra e spørreudersøkelse blat pårørede til sykehjemsbeboere februar 2010 Forord Brukerudersøkelser er ett av tre

Detaljer

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen. RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

Rente og pengepolitikk. 8. forelesning ECON 1310 21. september 2015

Rente og pengepolitikk. 8. forelesning ECON 1310 21. september 2015 Rete og pegepolitikk 8. forelesig ECON 1310 21. september 2015 1 Norge: lav og stabil iflasjo det operative målet for pegepolitikke, ær 2,5 proset i årlig rate. Iflasjosmålet er fleksibelt, dvs. at setralbake

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue like utefor

Detaljer

Rapport mai 2013 MØBEL- OG INTERIØRBRANSJENE 2012

Rapport mai 2013 MØBEL- OG INTERIØRBRANSJENE 2012 apport mai 013 ØBE- G ITEIØBSJEE 01 1 3 IHD 01 Iledig 01 Iledig 0 øbelhadele 03 Boligtekstilbrasje 0 Servise- og kjøkkeutstyrbrasje 05 Belysigsutstyr 06 Butikkhadele med iredigsartikler 07 Spesialbutikker

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Hypotesetesting, del 5

Hypotesetesting, del 5 Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi

Detaljer

11,7 12,4 12,8 12,9 13,3.

11,7 12,4 12,8 12,9 13,3. TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b6 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue

Detaljer

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no Kraftforsyigsberedskap Roger Stee Seiorrådgiver Beredskapsseksjoe NVE, rost@ve.o Beredskapsasvar Olje- og eergidepartemetet har det overordede asvaret for ladets kraftforsyig. Det operative asvaret for

Detaljer

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge Rapport GPS prosjekt - Ryggeheime sykehjem, Rygge Bruk av GPS på sykehjem Elisabeth Refses/ Siv Skaldstad Tidspla:1/3 10 1/10 10. Orgaiserig: Styrigsgruppe: Åse Nilsse, Ove Keeth Kvige, Elisabeth Breistei,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. De forskningsintensive universitetenes rolle. UiOs innspill til Forskningsmeldingen 2009

UNIVERSITETET I OSLO. De forskningsintensive universitetenes rolle. UiOs innspill til Forskningsmeldingen 2009 UNIVERSITETET I OSLO Kuskapsdepartemetet Postboks 8119 Dep Postboks 1072, Blider 0032 Oslo 0316 OSLO Dato: 02.01.2009 Vår ref.: 2008/20593 Deres ref.: Telefo: 22 85 63 01 Telefaks: 22 85 44 42 E-post:

Detaljer

Leseforståelse og matematikk

Leseforståelse og matematikk Leseforståelse og matematikk av guri a. ortvedt To studier av sammehege mellom leseforståelse og løsig av tekstoppgaver viser at ekelte elever ka mislykkes i oppgaveløsige fordi de tolker språket i oppgavee

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:

Detaljer

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening Luktrisikovurderig fra legemiddelproduksjo på Fikkjebakke Screeig Aquateam COWI AS Rapport r: 14-046 Prosjekt r: O-14062 Prosjektleder: Liv B. Heige Medarbeidere: Lie Diaa Blytt Karia Ødegård (Molab AS)

Detaljer

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a) Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir

Detaljer

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)

Detaljer

1 TIGRIS Tidlig intervensjon i forhold til rusmiddelbruk i graviditet og småbarnsperiode

1 TIGRIS Tidlig intervensjon i forhold til rusmiddelbruk i graviditet og småbarnsperiode 1 TIGRIS Tidlig itervesjo i forhold til rusmiddelbruk i graviditet og småbarsperiode 1 - TIGRIS 1 Ihold 1 Bakgru for prosjektet........................................... 5 2 Prosjektkommuer....................................................

Detaljer

ERP-implementering: Shakedown-fasen

ERP-implementering: Shakedown-fasen ERP-implemeterig: Shakedow-fase «Hvilke faktorer asees som viktige i shakedow-fase ved implemeterig av ERP i orske virksomheter?» Frak Erik Strømlad Veiledere Maug Kyaw Sei Stig Nordheim Masteroppgave

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for samfusfag Istitutt for økoomi og admiistraso Ivesterig og fiasierig Bokmål Dato: Madag. desember 3 Tid: 4 timer / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk

STK1100: Kombinatorikk 1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee

Detaljer

Reglement for fagskolestudier

Reglement for fagskolestudier Reglemet for fagskolestudier Ved Høyskole Kristiaia R Fra og med studieåret 2015/16 Ihold INNHOLD 3 Kapittel 1 Geerelle bestemmelser 4 Kapittel 2 - Studiereglemet 6 Kapittel 3 - Opptaksreglemet 8 Kapittel

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for safusfag Istitutt for økooi og adiistraso Ivesterig og fiasierig Bokål Dato: Tirsdag. deseber 4 Tid: 4 tier / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + 9 sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

Forsvarets personell - litt statistikk -

Forsvarets personell - litt statistikk - Forsvarets persoell - litt statistikk - Frak Brudtlad Steder Sjefsforsker Oslo Militære Samfud 8.11.21 Forsvarets viktigste ressurs Bilder: Forsvarets mediearkiv Geerell omtale i Forsvaret, media og taler

Detaljer

Partielle differensiallikninger.

Partielle differensiallikninger. Partielle differesiallikiger. à. Iledig. Differesiallikiger kytter samme størrelse og edriger i størrelse. Matematisk kommer dette til uttrykk ved at likige i tillegg til de ukjete fuksjoe også ieholder

Detaljer

konjugert Reaksjonslikning for syre-basereaksjonen mellom vann og ammoniakk: base konjugert syre Et proton er et hydrogenatom som

konjugert Reaksjonslikning for syre-basereaksjonen mellom vann og ammoniakk: base konjugert syre Et proton er et hydrogenatom som Syrer og r Det fies flere defiisjoer på hva r og r er. Vi skal bruke defiisjoe til Brøsted: E Brøsted er e proto door. E Brøsted er e proto akseptor. 1s 1 Et proto er et hydrogeatom som har mistet sitt

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 013 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

Arbeid med enslige mindreårige asylsøkere og flyktninger. en håndbok for kommunene

Arbeid med enslige mindreårige asylsøkere og flyktninger. en håndbok for kommunene Arbeid med eslige midreårige asylsøkere og flyktiger e hådbok for kommuee Arbeid med eslige midreårige asylsøkere og flyktiger e hådbok for kommuee Asylprosesse Gresepasserig Statlig botilbud Registrerig

Detaljer

Globalisering og ny regionalisme

Globalisering og ny regionalisme Parterforum 1. November 2013 Globaliserig og y regioalisme Kosekveser for Norge og orsk offetlig sektor Kjell A. Eliasse Ceter for Europea ad Asia Studies Norwegia Busiess School - BI Kjell A Eliasse,

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi Forelesig Elkrafttekikk, 7.08.004 Oppdatert 3.08.004 Skreet a Ole-Morte Midtgård HØGSKOEN I AGDER Fakultet for tekologi Komplekse tall og isere Komplekse tall er sært yttige i aalyse a elkraftsystemer.

Detaljer

ENMANNSBEDRIFTEN i byggeog anleggsbransjen. Et tryggere og bedre arbeidsmiljø

ENMANNSBEDRIFTEN i byggeog anleggsbransjen. Et tryggere og bedre arbeidsmiljø ENMANNSBEDRIFTEN i byggeog aleggsbrasje Et tryggere og bedre arbeidsmiljø INNHOLD Formålet med hådboke... side 4 Lover og regler som hjelper deg til et tryggere og bedre arbeidsmiljø... side 6 HMS-arbeide

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001 Avdelig for igeiørutdaig EKSAMENSOPPGAVE Fag: Kjemi og Miljø Fagr FO 05 K Faglig veileder: Kirste Aarset, Bete Hellum og Ja Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maski, -alme Dato: 17 desember 001 Eksamestid,

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

Fotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal)

Fotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal) 1 Fotball krysser greser (kofirmater Ålgård og Gjesdal) Øsker du e ide til et praktisk rettet prosjekt/aksjo der kofirmater ka bidra til de fattige dele av verde? Her har du et ferdig opplegg for hvorda

Detaljer

Ø^ h ^ c^ c^ ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM. St. OLAVS HOSPITAL HF. SAMARBEIDSAVTALE på institusjonsnivå mellom

Ø^ h ^ c^ c^ ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM. St. OLAVS HOSPITAL HF. SAMARBEIDSAVTALE på institusjonsnivå mellom ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM SAMARBEIDSAVTALE på istitusjosivå mellom HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG (HiST) og St. OLAVS HOSPITAL HF Trodheim Dato : 6. mai 2010 Ø^ h ^ c^ c^ Høgskole

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

De baltiske staters valg av valutakursregimer. Helge Sjursen

De baltiske staters valg av valutakursregimer. Helge Sjursen De baltiske staters valg av valutakursregimer. Helge Sjurse Masteroppgave i samfusøkoomi Istitutt for økoomi Uiversitetet i Berge Høste 2006 Revidert 03.0.07 Forord Jeg vil med dette rette e stor takk

Detaljer

Eksamensreglement for høyskolestudier. Ved Høyskolen Kristiania Fra og med studieåret 2015/16

Eksamensreglement for høyskolestudier. Ved Høyskolen Kristiania Fra og med studieåret 2015/16 Eksamesreglemet for høyskolestudier Ved Høyskole Kristiaia Fra og med studieåret 2015/16 Ihold INNHOLD 1.0 Lovverk 3 2.0 Karakterer 4 2.1 Karakterskala med 5 tri 4 2.2 Karakterskala Bestått/Ikke bestått

Detaljer

Prøveeksamen 2. Elektronikk 24. mars 2010

Prøveeksamen 2. Elektronikk 24. mars 2010 Prøveeksame 2 Elektroikk 24. mars 21 OPPGAVE 1 E 8 bit D/A-omformer har et utspeigsområde fra til 8 V V 1LSB, der V 1LSB er de aaloge speige som svarer til det mist sigifikate bit (LSB). a) Hvor stor er

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2010

Løsning eksamen R1 våren 2010 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6

Detaljer

Registrarseminar 1. april 2003. Ingrid Ofstad Norid

Registrarseminar 1. april 2003. Ingrid Ofstad Norid Registrarsemiar 1. april 2003 Igrid Ofstad Norid Statistikk 570 har fått godkjet søkad om å bli registrar ca. 450 registrarer er aktive i dag 2 5 ye avtaler hver uke på semiaret deltar både registrarer

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Universitetet i Oslo Institutt for geofag. Flomrisikoanalyse for Hamar og Lillestrøm. Helge Bakkehøi. Candidatus Scientiarum

Universitetet i Oslo Institutt for geofag. Flomrisikoanalyse for Hamar og Lillestrøm. Helge Bakkehøi. Candidatus Scientiarum Uiversitetet i Oslo Istitutt for geofag Flomrisikoaalse for Hamar og Lillestrøm Helge Bakkehøi Cadidatus Scietiarum 1. september 2003 ABSTRACT 2 Abstract This work focuses o the two tows most exposed

Detaljer

De viktige hjelperne RAPPORT. Kartlegging av de strategiske rådgivningsbransjene i Hordaland og deres betydning for regional verdiskaping

De viktige hjelperne RAPPORT. Kartlegging av de strategiske rådgivningsbransjene i Hordaland og deres betydning for regional verdiskaping RAPPORT De viktige hjelpere Kartleggig av de strategiske rådgivigsbrasjee i Hordalad og deres betydig for regioal verdiskapig ADVOKAT REVISJON BEDRIFTSRÅDGIVNING Meo-publikasjo r 4 / 14, desember 14 Av

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd

Detaljer

ethvert foretak, i tillegg til å forbedre og stimulere den generelle internkontrollen. Standarden vil også ha betydning for revisjonsselskapene

ethvert foretak, i tillegg til å forbedre og stimulere den generelle internkontrollen. Standarden vil også ha betydning for revisjonsselskapene Global stadard for ivesterigsresultater (GIPS ) GIPS sikrer at historiske ivesterigsresultater bereges og preseteres etter esartede prisipper. Artikkele gir e iførig i de iterasjoale abefaligee for presetasjo

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende: B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma

Detaljer

Sentrale punkter GLOBAL OUTLOOK FOR ICE AND SNOW

Sentrale punkter GLOBAL OUTLOOK FOR ICE AND SNOW Setrale pukter Setrale pukter Is og sø er viktige kompoeter i jordas klimasystem og er spesielt følsomme overfor global oppvarmig. Over de siste tiåree har megdee av is og sø miket betraktelig, særlig

Detaljer

VELKOMMEN. til EF High School Year Abroad og EF Stiftelsen!

VELKOMMEN. til EF High School Year Abroad og EF Stiftelsen! VELKOMMEN til EF High School Year Abroad og EF Stiftelse! GRATULERER! Du har kommet med i vårt iterasjoale utveksligsprogram. Du ka allerede å se frem til et år i utladet som du aldri vil glemme. Du får

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast

Detaljer

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c.

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c. NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Forelesige om uksjoer består av to deler, ørste del bygger på dette otatet Notatet bygger på læreboke og er oe mer utyllede e orelesige I bolk 5a så vi hvorda vi

Detaljer

Relasjonen i kognitiv terapi ved psykosebehandling

Relasjonen i kognitiv terapi ved psykosebehandling Relasjoe i kogitiv terapi ved psykosebehadlig Psykolog Torkil Berge Voksepsykiatrisk avdelig Videre TIPS Nettverkskoferase 22. jauar 2013 Helhetlig og itegrert behadlig PASIENT FAMILIE NÆRMILJØ Symptommestrig

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Vi lærte sist å lage vinduer. Om å lage et vindu. GUI (Graphical User Interface)-programmering. Inf 1010-2007 GUI - del 2

Vi lærte sist å lage vinduer. Om å lage et vindu. GUI (Graphical User Interface)-programmering. Inf 1010-2007 GUI - del 2 GUI (Graphical User Iterface)-programmerig If 1010-2007 GUI - del 2 Stei Gjessig Ist for Iformatikk Uiv. i Oslo Tidligere Hvorda få laget et vidu på skjerme Grafikk (tegig i viduet) Hvorda legge ulike

Detaljer

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k Oblig 2 - MAT20 Fredri Meyer 26 otober 2009 Matrisee A i er defiert sli der P er e rotasjosmatrise som defierer i oppgave 2: A A 2 A + = A = P A P = P A P Oppgave Matrisee A i+ og A i er similære det fies

Detaljer

To-utvalgstest (def 8.1) vs ettutvalgstest: Hypotesetesting, to utvalg (Kapitel 8) Longitudinell studie (oppfølgingsstudie) - eqn 8.1. Eksempel 8.

To-utvalgstest (def 8.1) vs ettutvalgstest: Hypotesetesting, to utvalg (Kapitel 8) Longitudinell studie (oppfølgingsstudie) - eqn 8.1. Eksempel 8. Hypotesetestig, to utvalg (Kapitel 8) Medisisk statistikk 009 http://folk.tu.o/slyderse/medstat/medstati_h09.html To-utvalgstest (def 8.) vs ettutvalgstest: To-utvalgstest: Sammelike de uderliggede parameter

Detaljer

Når du er i tvil om hva som bør gjøres! ETIKK FOR INGENIØRER OG TEKNOLOGER. Etikk som beslutnings- verktøy. Oppgaver til diskusjon

Når du er i tvil om hva som bør gjøres! ETIKK FOR INGENIØRER OG TEKNOLOGER. Etikk som beslutnings- verktøy. Oppgaver til diskusjon ETIKK FOR INGENIØRER OG TEKNOLOGER Når du er i tvil om hva som bør gjøres! Etikk som beslutigs- verktøy Nyttige verktøy for å hådtere arbeidshverdages dilemmaer Oppgaver til diskusjo Vi går fora vi har

Detaljer

Dette foredraget om Barn, fysisk aktivitet & helse er utarbeidet av professor Roald Bahr på oppdrag av NFFs faggruppe for idrettsfysioterapi, FFI.

Dette foredraget om Barn, fysisk aktivitet & helse er utarbeidet av professor Roald Bahr på oppdrag av NFFs faggruppe for idrettsfysioterapi, FFI. Dette foredraget om Bar, fysisk aktivitet & helse er utarbeidet av professor Roald Bahr på oppdrag av NFFs faggruppe for idrettsfysioterapi, FFI. Foredraget er utarbeidet som et ledd i FFIs strategi for

Detaljer

INF1010 - våren 2007 16. januar, uke 3 - Oversikt og forutsetninger Java datastruktur-tegninger

INF1010 - våren 2007 16. januar, uke 3 - Oversikt og forutsetninger Java datastruktur-tegninger INF1010 - våre 2007 16. jauar, uke 3 - Oversikt og forutsetiger Java datastruktur-tegiger Stei Gjessig Ist. for iformatikk Nye temaer i INF1010 Fra problem til program Software Egieerig light, fasee i

Detaljer

Første inntrykk etter ekstremværet Dagmar, julen 2011

Første inntrykk etter ekstremværet Dagmar, julen 2011 Første itrykk etter ekstremværet Dagmar, jule 2011 3 2012 R A P P O R T Førsteitrykk etter ekstremværet Dagmar, jule 2011 Norges vassdrags- og eergidirektorat 2012 Rapport r 3-2012 Førsteitrykk etter

Detaljer

TR AN S P O R TP L AN Ø R L AN D O G B J U G N

TR AN S P O R TP L AN Ø R L AN D O G B J U G N Oppdragsgiver Ørlad kommue Rapporttype Ekster 2.6. 4 TR AN S P O R TP L AN Ø R L AN D O G B J U G N "[ Sett i bilde (størrelse 6,8 cm x, cm) eller slett dette feltet]" Oppdragsr.: 62 Oppdragsav: Trasportpla

Detaljer

Regional plan for folkehelse i Østfold 2012 2015 / 2024

Regional plan for folkehelse i Østfold 2012 2015 / 2024 Regioal pla for folkehelse i Østfold 2012 2015 / 2024 Vedtatt av fylkestiget 29. september 2011 Fylkeskommue skal uderstøtte og rådgi kommuee i folkehelsearbeidet. Utviklig av samarbeidsformer er viktig,

Detaljer

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400 UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall

Detaljer

9050 STORSTEINNES Moen, 6. januar 2012. Vår ref. oppgis ved henvendelse: Deres ref.: Anne Larsen, tlf. 993 79 629 1933/43/1/9003-10/11048-005

9050 STORSTEINNES Moen, 6. januar 2012. Vår ref. oppgis ved henvendelse: Deres ref.: Anne Larsen, tlf. 993 79 629 1933/43/1/9003-10/11048-005 Stat4 Balsfjord kommue 9050 STORSTEINNES Moe, 6. jauar 2012 Vår saksbehadler: Vår ref. oppgis ved hevedelse: Deres ref.: Ae Larse, tlf. 993 79 629 1933/43/1/9003-10/11048-005 Storskoge st.skog - gr. 43

Detaljer

Risikostyring i staten

Risikostyring i staten Metdedkuet Risikstyrig i state Hådterig av risik i ål- g resultatstyrige SSØ 01/2008, 2. pplag 3000 eks. Risikstyrig i state Hådterig av risik i ål- g resultatstyrige Frrd Ka du s leder svare på følgede

Detaljer