Fritt opplagret søyle. w = 0 w, xx = 0

Transkript

1 Fritt oppgret søye w w, w M i w, M y w w w,

2 Knekking v fritt oppgret søye Differentiigning Genere øsning w, α +( ) w α w() A sin( )+ B α cos( ) Grensebetingeser w() w() B A sinα Løsning Euer knekkst sinα for α n π π k, min k

3 Iustrsjon v knekkengder n n n k π k π k π

4 Søye fst innspent i nedre ende w w, M w() w() w w, M M / M M y M + M i w, w

5 Knekking v fritt oppgret søye Differentiigning w, + w M Genere øsning Grensebetingeser Løsning Euer knekkst w() w w w() w(), () H + w α α A sin( )+ B cos( )+ M B M A sinα + α A + M cosα tnα α nπ +( ), n,,... α π n ε n π (.7 ) k

6 Grfisk øsning v diff.igning y y LØSNING LØSNING 4.49 LØSNING e e p/ p p/ p 5p/ y tg

7 Søye med fst innspenning i begge ender w w, M w() M M M w() w w, M

8 Fst/fri søye - portrmme d w w, w() w w, d M i w, - M y δ ( w( ) ) π ( ) k w, + w δ

9 Knekking - øsning med energimetoden w Δ Δ k D : D : estisk endeforskyvning knekkingsindusert endeforskyving + Δ dw Δ ( ) d d Ytre rbeid (konstnt krft) A y ( w k, ) d ( w, ) d

10 Knekking - øsning med energimetoden d φ M M ϕ ϕ + d φ + dφ Vinkeendring over eement d w d φ d d w, d Indre rbeid tiført eement da i Mdφ ( w, ) d Indre rbeid i hee stven A i ( w, ) d M d

11 Knekking - øsning med energimetoden Indre rbeid ytre rbeid k (w, ) d d M ( w, ) Ved å nt utbøyningsfunksjon w(), evt. momentdigrm kn kritisk st k bestemmes

12 Eksempe - energimetoden k δ w() MOMENTDIAGRAM: Vesentige rndbet.: w() w, () Utbøyningsfunksjon (konst.) M k (δ - w()) δ w() w, δ () w A y K K 4δ ( w, ) d 4 d δ K δ Ai (w ) d ( ), δ d Kritisk st π,6 ( ) K

13 Ryeigh Ritz metode nvendt på knekking Eksempe- bjeke med én fri ende w w() Utbøyningsfunksjon: w() + Derivsjon gir: w, w, 6 + +

14 Ryeigh Ritz metode ) + +6 (6 ) ( ) (6 d ] [ w A, i ) ( )d ( )d (9 d ] [ w A 4 5 k 4 5 k 4 k, k y Indre rbeid Ytre rbeid

15 Aterntiv øsningsmetode Dersom vi setter ), ( A A k k y i Søker minimumsverdien: j y j i A A j, Innfører: k α Dette gir to igninger ti å bestemme de ukjente; α, og : ) 4 ( ) 4 (6 ) 5 9 ( ) 6 ( k k

16 Aterntiv øsningsmetode Ligningssystemet kn formueres: α α α α Ikke-trivie øsning : det [ ], dvs. 6 4 (4 5 9 α α α Krkteristisk igning: α α α α α. grdsigning i α : α α Løsning: ) (.8 ) ( /.45 k k π π

17 Aterntiv øsningsmetode - knekkformer Bidrg fr formfunksjonene ti knekkformene_: α.48 -./ α.8 [ ].9 -.9/

18 Estisk knekkspenning for stver med enke grensebetingeser k π k π ( K ) k K knekk-koeffisent

19 Fktorer som påvirker knekkspenning Formfei (innenfor gitte toernser) Residuspenninger fr fbriksjon Avvik fr nomine geometri Vrisjon i fytespenning over tverrsnitt

20 Esto-pstisk knekking λ σy σ E Redusert snkhet Fytning

21 Stvknekking ihht Eurocode, Norsok, NS47 α og λ for uike knekk-kurver Curve λ o α.. b..5 c..5 d..65 e.6.5 µ α( λ - λ ) σ σ kr F + µ + λ - (+ µ + λ λ ) - 4 λ

22 Vg v knekk-kurve ihht NS47

23 ISO coumn bucking curve The chrcteristic i compressive strength, cr, is given by yc cr yc. 8 for E cr. 9 E for yc E yc E < in which yc smest i compressive strength of the cross sections F yc A F yc chrcteristic compressive stress (yied stress or stress for oc bucking) A cross-section re

24 Figure A..- ISO coumn bucking curve Comprison with test dt

25 M/Mps Bøyemoment som funksjon v rotsjon for rørtverrsnitt (Shermn 986). θ ov A (4) θ ov D/t.5 A8 (96) A5 (48) M ps stisk momentkpsitet q Y Rotsjon tisvrende fyt i ytterste fiber θ/θ y Ksse I og II store rotsjoner uten ok buing inntreffer. Tverrsnittet kn t fut pstisk moment M Ksse III: Moment opp ti fyt i ytterste fiber Ksse IV: Lok buing opptrer før første fyt.

26 Kpsitet v rør i bøyning. Design moment cpcity M/M Estic moment, thin-wed tube σ F D/Et

27 ushover nysis of jcket

28 Knekking v rmmer Mode Bøgeretning Oppgve : Bestem effektiv knekkengde KE π K π ( K)

29 Digrm for beregning v knekkengde v stver

30 Beregning v G-fktor G c Σ I c I Σα b b Stver i trykk, nær knekking Bjeker med iten eer ingen trykk-krft Rotsjonsbet. motstt ende

31 Definisjon v -fktorer

32 Beregning v -fktorer Sideswy prevented

33 Nomogrm for bestemmese v knekkengdefktor.

34 Effektiv knekkengde for eementer i fgverkspttformer (fr Norsok Stndrd N-4). Structur eement K Superstructure egs - Brced. - ort (unbrced) k () Jcket egs nd piing - Grouted composite section. - Ungrouted jcket egs. - Ungrouted piing between shim points. Jcket brces - rimry digons nd horizonts.7 - K-brces ().7 - Longer segment ength of X-brces ().8 Secondry horizonts.7 Notes:. Use Effective Length Aignment Chrt in Commentry.

35 Ryeig-Ritz metode Eksempe- eksmen 7

36 Eksempe- eksmen 7 Vis hviken verdi g får dersom en ntr t bre den horisonte bjeken bidrr ti rotsjonsstivheten i denne enden v søyen.

37 Rotsjonsfjærer

38 Eksempe- eksmen 7 w c + c cos π Foret en vurdering v hvorvidt den vgte utbøyingsfunksjonen er hensiktsmessig

39 Diskusjon v utbøyingsfunksjon

40 Eksempe- eksmen 7 f π 4 c + γ c + γ b c 64 πc c + π 4 c f c c c + π 6 c Sett opp uttrykkene som utgjorde utgngspunktet for beregningen v funksjonene f og f.

41 Eksempe- eksmen 7 ( γ + γ b ) π γ b + π γ + b π 4 + π 4 γ b π 8 c c Vis ved å utede et pr v eddene i igningssystemet - hviket prinsipp som er benyttet ti å etbere dette igningssystemet. Hvordn vi du bestemme kritisk st?

42 Eksempe- eksmen β.5 gmm_b gmm_b.5 gmm_b gmm_b γ /γ gmm_b E π ( β)! Foret en kortfttet vurdering v nøyktigheten ti den tinærmede beregning for hhv g b (g vrierer) og g (g b vrierer) Er vviket generet som forventet? Kn forskjeen meom tinærmet og ekskt øsning begrunnes ut fr vgt utbøyingsfunksjon?

43 Indre og ytre rbeid

44 Ryeigh Ritz metode

45 Vurdering v øsning

46 Bestem knekkformen for γ, γ b.5