Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen Versjon

Transkript

1 Kjegesnitt Hrd Hnche-Osen Versjon Definisjon og grunneggende egenskper Et kjegesnitt er en pn kurve gitt v en styreinje, et brennpunkt B og et positivt t ε som vi ker eksentrisiteten ti kjegesnittet. 1 Et punkt i pnet igger på kjegesnittet bestemt v disse tre størresene dersom B ε, Innedning Kjegesnittene sirker, eipser, prber og hyperber er kssiske kurver som hr vært studert siden ntikken. Kjegesnittene hr mnge nvendeser også i moderne tid: netbner og steittbner er kjegesnitt, vi hr prbontenner, og refeksjonsegenskpene ti eipser benyttes for å knuse nyrestein med sjokkbøger uten å skde psienten. Definisjonen kn synes enke nok: Strt med to injer i rommet som skjærer hverndre i ett punkt, men ikke vinkerett. Hod den ene injen fst, og rotér den ndre run den første. Den roterte injen vi nå beskrive en dobbetkjege: To enketkjeger med sirkuært tverrsnitt og med fees toppunkt, nemig skjæringspunktet meom to injene vi strtet med. Veg så et pn som ikke innehoder toppunktet ti dobbetkjegen. Snittet meom dobbetkjegen og pnet er en kurve, og det er sike kurver som kes kjegesnitt. Kjegesnittene hr mnge ndre beskriveser. Vi sk vege en nnen beskrivese enn den over, som ikke invoverer noen begreper fr tredimensjon geometri. Den begiske mtemtikeren Dndein g i 1822 et gnske eegnt, og rent geometrisk, bevis for t de to beskrivesene gir de smme kurvene. Jeg vi gi en skisse v beviset i foreesningen, men jeg sk ikke prøve å gjengi det her. der B er vstnden meom punktene og B, og er vstnden fr ti styreinjen. I vårt ie studium v kjegesnittene tenker vi oss pnet utstyrt med et ksekors sik t B igger på x-ksen, og styreinjen er pre med y-ksen. Mer konkret: B (B,0), og er gitt ved igningen x L. Nå kn vi skrive igningen for et vikårig punkt (x, y) sik: (x B) 2 + y 2 ε x L. Men det er et hkk mer hendig å kvdrere begge sider og fytte itt på eddene, så igningen bir sik: y 2 ε 2 (x L) 2 (x B) 2. (1) Det er derimot ikke spesiet nyttig å gnge ut prentesene, nnet enn for å oppdge t dersom vi gjør det, og smer ike potenser v x, så får vi et ndregrdspoynom der koeffisienten forn x 2 er ε 2 1. Kjegesnittet skjærer x-ksen der hvor høyresiden v (1) er nu, tså er gitt ved ε(x L) ±(x B). Så enge ε 1 får vi to nupunkter x x 1 og x x 2, der x 1 B + εl 1 + ε, x 2 B εl 1 ε. (2) Når ε 1 får vi derimot bre ett nupunkt, i x (B + L). Vi vet t et ndregrdspoynom med to nupunkter x 1 og x 2 kn skrives som en konstnt gnger (x x 1 )(x x 2 ). I vårt tifee er konstnten ik koeffisienten forn x 2, tså ε 2 1. Dermed kn (1) skrives sik, dersom ε 1: y 2 (ε 2 1)(x x 1 )(x x 2 ). (3) Det er på tide å vbryte disse generee betrktningene og fokusere på eipsene. 1 I tiegg kommer sirkene, som vi regner som kjegesnitt med eksentrisitet 0. 2

2 Eipser En eipse er et kjegesnitt med eksentrisitet ε < 1. For å kunne ge mest muig konkrete figurer, ntr vi t brennpunktet igger ti høyre for styreinjen: B > L. (L,0) (x 1,0) (B,0) ( x,0) (x 2,0) b Mens kes eipsens store hvkse, ker vi b dens ie hvkse (sett inn x x, finn y, og se figur 1). Vi kn også uttrykke eksentrisiteten ved forhodet meom hvksene: ( b ) 2. ε 2 1 Vi kn nå øse igningene i (4) med hensyn på B og L, og få B x ε, L x ε. I figuren er det tydeig t eipsen er symmetrisk om den vertike injen x x. Dette er også tydeig fr igningen vi hr utedet, men det er på ingen måte oppgt ut fr den opprinneige definisjonen bsert på brennpunkt og styreinje. Hvis vi speier brennpunktet og styreinjen gjennom injen x x, får vi et nytt brennpunkt og en ny styreinje, med B 2 x + ε, L 2 x + ε. Figur 1: En eipse med eksentrisitet ε 0.6, brennpunkt (B,0) og styreinje gitt ved x L. Avstnden fr et vikårig punkt på kurven ti brennpunktet er ε gnger vstnden ti styreinjen. Fr (2) får vi x 2 x 1 (B εl)(1 + ε) (B + εl)(1 ε) 2ε(B L) 1 ε 2 1 ε 2 > 0, så x 2 > x 1. Vi introduserer den store hvksen og midpunktet x ved sik t x 2 x 1 2 Setter vi disse inn i (3), får vi ε(b L) 1 ε 2, x x 1 + x 2 B ε2 L 2 1 ε 2, (4) x 1 x, x 2 x +. y 2 (ε 2 1) ( (x x) 2 2). Men siden ε 2 1 < 0, er det bedre å skrive dette som (1 ε 2 )(x x) 2 + y 2 (1 ε 2 ) 2. Så dividerer vi med høyresiden, og får igningen på formen (x x) y 2 b 2 1, 3 der b 1 ε 2 <. 1 2 (L 1,0) (B 1,0) ( x,0) (B 2,0) (L 2,0) /ε ε Figur 2: Smme eipse som i figur 1 med de to brennpunktene og de to styreinjene. Fordi vstnden fr et vikårig punkt på kurven ti (B 1,0) er ε gnger vstnden ti 1, og tisvrende gjeder vstnden ti (B 2,0) og 2, og fordi summen v vstndene ti de to styreinjene må være konstnt, er også summen v vstndene ti de to brennpunktene konstnt. Som måene i nedre venstre de ntyder, dnner vstndene fr sentrum x ti henhodsvis styreinjen, enden v hvksen, og brennpunktet en geometrisk progresjon: Hver v dem er ε gnger forgjengeren. Det skue være krt t om vi skyver brennpunkt og styreinje ngs x-ksen uten å endre vstnden meom dem, så vi det tihørende kjegesnittet føge med uten å endre form. Det fer nturig å skyve dem sik t mipunktet for kurven hvner i origo, det vi sik t x 0. I så f får vi igningen for eipsen på normform: x y 2 b 2 1 (5) 4

3 Sirker som eipser med eksentrisitet 0 Setter vi b, får vi ε 0, og (5) bir igningen for en sirke med rdius : x 2 + y 2 2. Hyperber En hyperbe er et kjegesnitt med eksentrisitet ε > 1. Som for eipsene ntr vi t B > L for å gjøre det mest muig konkret. Men det er ver å merke seg t diskusjonen som går forut for dette bir het fei om vi r ε 0 fr strten v. Det som skjer om vi hoder x 0 og fst mens ε 0, er t L. Med ndre ord: Styreinjen forsvinner ut mot det uendeig fjerne når ε nærmer seg nu. rber (x 2,0) ( x,0) (L,0) (B,0) En prbe er et kjegesnitt med eksentrisitet ε 1. En god de v diskusjonen forn feier i dette tifeet, for vi hr dividert med ε 2 1 mnge steder. Så vi går het tibke ti (1), setter inn ε 1 og forenker, med resuttet y 2 2(B L)x + L 2 B 2. (x 1,0) Normformen får vi når vi psserer brennpunkt og styreinje symmetrisk om origo, sik t L B: D bir igningen Figur 4: En hyperbe med eksentrisitet ε 2. y 2 4B x. Smme regning som for eipsene gir oss fr (2) x 2 x 1 2ε(B L) 1 ε 2 < 0, så x 2 < x 1 (det motstte v eipsetifeet). Vi skriver x 1 x 2 2 ε(l B) 1 ε 2, x x 1 + x 2 B ε2 L 2 1 ε 2, (6) (L,0) (B,0) sik t Setter vi disse inn i (3), får vi x 1 x +, x 2 x. y 2 (ε 2 1) ( (x x) 2 2), som vi ike go skriver på formen (ε 2 1)(x x) 2 + y 2 (ε 2 1) 2. Figur 3: En prbe. Så dividerer vi med høyresiden, og får igningen på formen (x x) 2 2 y 2 b 2 1, der b ε

4 Vi kn knskje ke kes hyperbeens hvkse, mens en geometrisk tokning v b er itt mer vrien men se figur 5! Vi kn også uttrykke eksentrisiteten ved forhodet meom b og : ( b ) 2. ε Vi kn nå øse igningene i (6) med hensyn på B og L, og få B x + ε, L x + ε. B 2 2 ε 1 b B 1 I figuren er det tydeig t hyperbeen er symmetrisk om den vertike injen x x. Dette er også tydeig fr igningen vi hr utedet, men det er på ingen måte oppgt ut fr den opprinneige definisjonen bsert på brennpunkt og styreinje. Hvis vi speier brennpunktet og styreinjen gjennom injen x x, får vi et nytt brennpunkt og en ny styreinje, med B 2 x ε, L 2 x ε. Akkurt som for eipsen er det ofte nturig å egge koordintsystemet sik t sentrum hvner i origo. D får vi igningen på normform: x 2 2 y 2 1. (7) b2 Når x og y er store i forhod ti og b, virker det rimeig t ettet i (7) kn negisjeres. Hvis vi fjerner det, reduseres igningen ti De to injene gitt ved denne igningen, y b x. y b ± x, kes hyperbeens symptoter. Vi kn fktorisere venstresiden i (7), med resutt ( x y b )( x + y b ) 1. Når vi går ngt ut på hyperbeen i første eer tredje kvdrnt, så bir den ndre fktoren på venstre side stor, og den første fktoren tisvrende iten. Dette viser t kurven virkeig nærmer seg injen x/ y/b 0. Tisvrende gjeder i ndre og fjerde kvdrnt, men d med injen x/ + y/b 0. Figur 5: Smme hyperbe som i figur 4 med begge brennpunkt og styreinjer smt symptotene vist. å smme måte som for eipsen dnner vstndene fr sentrum ti henhodsvis styreinjen, enden v hvksen og brennpunktet en geometrisk progresjon med fktor ε. Smtidig er det tegnet inn en treknt som viser en geometrisk tokning v smmenhengen meom, b og ε. Kjegesnitt i porkoordinter Ligningen for et kjegesnitt bir ekstr enke i porkoordinter, om vi psserer brennpunktet i origo (B 0) og styreinjen i x L, med L > 0. Når ε 1 (eipser og prber) igger hee kjegesnittet ti høyre for styreinjen, mens for tifeet ε > 1 (hyperber) ser vi bre på hyperbegrenen ti høyre. Så vstnden ti styreinjen bir L + x L + r cosθ, mens vstnden ti brennpunktet bir r. Formeen for kjegesnittet i porkoordinter bir r ε(l + r cosθ), eer om vi øser med hensyn på r : εl r 1 εcosθ. Det er også interessnt å se en gng ti på grensen ε 0. Om vi veger en rdius R > 0, setter L R/ε og så r ε 0, får vi simpethen r R i grensen: Formeen i porkoordinter for en sirke med rdius R og sentrum i origo. /ε ε 7 8

5 Generee ndregrdskurver i pnet Kort smmendrg v dette vsnittet: Andregrdskurver i pnet er enten kjegesnitt (det vnigste) eer de består v en eer to injer, eventuet bre et punkt. De kn også være tomme. Du må ikke finne på å pugge det som står nedenfor! Det er mye greiere å huske noen prinsipper og nvende dem på hvert enket tifee etter behov. En genere ndregrdskurve i pnet består v øsningene ti en igning på formen Ax 2 + B x y +C y 2 + Dx + E y + F 0, der A, B, C, D, E og F er gitte konstnter og minst en v de tre konstntene A, B og C er uik nu (hvis ikke, hr vi en førstegrdskurve, som bre bir en rett inje). I ineærgebren vises det hvordn mn kn fjerne krysseddet B x y ved å innføre et nytt koordintsystem som er rotert i forhod ti det opprinneige. Denne teknikken igger utenfor rekkevidden v dette nottet, så vi sk tenke oss t det erede er gjort, og konsentrere oss om situsjonen der B 0: Ax 2 +C y 2 + Dx + E y + F 0. (8) Dersom A 0 og C 0 kn vi kompettere kvdrtene i x og y hver for seg, og dermed bringe igningen ti formen A(x x) 2 +C (y ȳ) 2 G, der x, ȳ og G er nye konstnter. Hvis G 0 kn vi dividere med G, og ser t vi får en en hyperbe dersom A og B hr motstt fortegn, og enten en eipse eer den tomme mengden om de hr smme fortegn (vhengig v fortegnet ti G). Hvis G 0, får vi bre et punkt ((x, y) ( x, ȳ)) dersom A og B hr smme fortegn, eer to injer som skjærer hverndre om de hr motstt fortegn. Dersom A 0 og C 0 hr vi bre et kvdrt i y å kompettere, og (8) kn gis formen C (y ȳ) 2 Dx +G. Dette gir en prbe dersom D 0. Dersom A D 0 er igningen kun en ndregrdsigning i y. Den igningen vi h en, to eer ingen øsninger, som gir en eer to horisonte injer i pnet, eer den tomme mengden. Tisvrende skjer dersom C E 0: Vi får en eer to vertike injer i pnet, eer den tomme mengden. Refeksjonsegenskper Før vi kn se på refeksjonsegenskpene ti kjegesnittene, må vi finne ut hvordn en ysstråe refekteres fr en kurve. Virkeighetens verden er sevsgt tredimensjon, men vi kn tid se på ysstråer og refeksjon i pnet: Vi må bre tenke oss t speiene vi bruker, θ inn θ ut hr en dimensjon vinkerett på pnet vi jobber i. Sik bir et pnt spei ti en rett inje i pnet. Vi kjenner refeksjonsoven for pne spei: Innfvinke er ik utfsvinke, der begge vinkene igger meom nu og nitti grder (dvs meom 0 og π/2). For et krumt spei sk vi regne med t en ysstråe refekteres som om de hdde truffet et pnt spei som tngerer det gitte krumme speiet i punktet der ysstråen treffer. Så vi tenker oss et krumt spei beskrevet som en kurve i pnet, der vi hr vgt å se bort fr den tredje dimensjonen. Vi skriver kurven på prmeterform: r(t) ( x(t), y(t) ). θ inn r(t 0 ) r(t 0 ) Tngentpnet i et gitt punkt r(t 0 ) er pret med tngentvektoren r (t 0 ), som vi sk nt r (t 0 ) er forskjeig fr nuvektoren. Vi ser på en ysstråe som kommer fr et punkt i pnet og treffer kurven i r(t 0 ). Vinkeen θ inn meom ysstråen og tngentvektoren er gitt ved (r(t 0 ) ) r (t 0 ) r(t 0 ) r (t 0 ) cosθ inn (9) Merk t θ inn kn t e verdier i [0,π]: Den er enten innfsvinkeen i vnig forstnd, eer kompementvinkeen ti denne. Vi sk knytte (9) ti den deriverte v vstnden fr ti r(t). Vi deriverer (r(t) ) ( ) r(t) r(t) med hensyn på t, og finner ( ) d r(t) r(t) r ( ) (t) r(t) r (r(t) ) ( ) (t) r(t) r(t) Dersom A 0 og C 0 så hr vi smme situsjon som over, bre med x og y byttet om. 9 Om vi nå smmenigner med (9), ser vi t 1 cosθ inn r (t 0 ) 10 d r(t) (10) tt0

6 (Notsjonen på sutten betyr den deriverte v vstnden med hensyn på t, regnet ut i t t 0 ). Nå kn vi endeig vise refeksjonsegenskpen for eipser. Vi tenker oss gitt en eipse med to brennpunkter og b. Refeksjonsegenskpen er denne: Hvis en ysstråe fr refekteres i et punkt på eipsen, vi den refekterte ysstråen pssere gjennom b. For å vise dette, prmetriserer vi en bit v eipsen ved en vektorfunksjon r(t) det spier ingen roe hvordn, bre vi sørger for t funksjonen er deriverbr, med r (t) 0. Vi trenger å vise t de to vektorene r(t 0 ) og r(t 0 ) b dnner kompementærvinker θ inn og θ ut med tngentvektoren ti eipsen. De to vinkene er gitt ved 1 d r(t) cosθ inn 1 d r(t) b r (t 0 ) og cosθ ut tt0 r (t 0 ) og vi må vise t θ inn + θ ut π. Men det er det smme som å vise t tt0 med hensyn på t. Resuttet bir ( ) ( d r(t) s(t) r(t) s(t) r (t) s (t) ) r(t) s(t) Men ( r(t) s(t) ) s (t) 0, for den første v disse to vektorene er vinkerett på, mens den ndre er pre med. Dermed står vi igjen med ( ) d r(t) s(t) r(t) s(t) r (t) cosθ ut r (t). r(t) s(t) Definisjonen v prbeen gir r(t) s(t) r(t), og smmenigner vi formeen over med (10), finner vi θ ut θ inn. cosθ inn + cosθ ut 0, som er det smme som å vise t d r(t) d r(t) b + tt0 0. tt0 s(t 0 ) (L,0) θ ut (B,0) θ inn r(t 0 ) Men det føger v det fktum t r(t) + r(t) b er konstnt, så den deriverte v denne størresen er nu. Et tisvrende rgument viser refeksjonsegenskpen for hyperber: Hvis en ysstråe fr det ene brennpunktet refekteres i en v hyperbegrenene, vi den refekterte ysstråen h en sik retning t den psserer gjennom det ndre brennpunktet om du forenger den bkover men den vi tså refekteres bort fr det ndre brennpunktet. Vi står over beviset, som er svært ikt det for eipsen. Refeksjonsegenskpen for prber er itt nneredes, siden det bre er ett brennpunkt: En ysstråe pre med prbeens symmetrikse vi refekteres fr prbeens innside sik t den psserer gjennom brennpunktet eer fr utsiden, bort fr brennpunktet, sik t forengesen bkover går gjennom brennpunktet. Beviset er en vrint v det tisvrende beviset for eipsen. I figur 3 trenger vi å vise t de to injene fr dnner smme vinke med tngenten ti prbeen i. Hvis vi prmetriserer kurven med r(t) ( x(t), y(t) ) så kn vi bruke (10) med B for å regne ut vinkeen meom ysstråen fr B ti r (t 0 ) og tngenten i. Vi må rbeide itt mer for den ndre vinkeen. L s(t) ( L, y(t) ) : Dette er fotpunktet v normen fr r(t) på, og deriverer Figur 6: Refeksjonsegenskpen ti en prbe. (r(t) ) ( ) r(t) s(t) s(t) r(t) s(t) 11 12