Bevaring av masse kan uttrykkes ved bruk av massefluks G som står for masserate per strømningsareal

Transkript

1 TRYKKTAP I RØREDNINGER: IGNINGER Jon Seinr Gdmndsson. Srømningsligninger. Drcy-Weisch ligningen.3 Hgen-Poiseille ligningen.4 Universelle hsighesroilen.5 Blsis-ye ligninger.6 Trykk i gssrørledninger.7 Trykk i gssrønner.8 Ikke-ssjonær srømning Vedlegg. - Srømningsligninger Bevring v msse, momen og energi kommer il rykk i ligninger som eskriver ssjonær (eng. sedy se) srømning v lider. Skissen vis i igr. er e srømningselemen som kn rkes or å lede lere srømningsligninger. Figr. Srømningselemen. Bevring v msse kn rykkes ved rk v msselks G som sår or mssere er srømningsrel dg Ved inegrering år vi G da da A A hvor og er gjennomsnilige hsigheer ved innlø og lø, henholdsvis. igningene ovenor klles or koniniesligner (coniniy eqions). Hsigheene i miden v lidsrømmen (srømningselemene) er høyere enn snihsigheen. I lminær srømning i rør er snihsigheen 5 % v hsigheen i miden (r Hgen-Poiseille ligningen) mens i rlen srømning i rør er snihsigheen omren 8 % v hsigheen i miden (r niverselle hsighesroilen).

2 Bevring v momen r innlø il lø il srømningselemene kommer il rykk igjennom krlnse. En slik lnse må hensyn il orndring i rykk, hsighe og høyde. Foreløig nr vi srømning en veggriksjon. Forndring i rykk r innlø il lø gir ølgende idrg d d dda Forndring i hsighe r innlø il lø gir ølgende idrg d da d Forndring i høyde r innlø il lø gir ølgende idrg dh gdda d Hydrosisk rykk gis ved ligningen gh g sin hvor α sår or vinkel r horisonl. Kr grnne hydrosisk rykk or srømningselemene kn deror skrives og vi noerer d da g sind d dh sin d Ved smmering v de re idrgene ovenor år vi krlnsen or srømningselemene d dda d Vi kn omskrive slik og d d gdh d d gdh d dh dda gdda d d

3 Denne ligningen seres å evring v msse og momen og vi kn klle den den enkle momenligningen (inklderer ikke rykk grnne veggriksjon). Eller vi kn klle den den riksjonsløse momenligningen. Den kn også skrives d d gdh Ved deling v rykke [P=N/m =[kg/s.m] å ehe [kg/m 3 ] lir enheen energi er msse [Nm/kg=J/kg]. Inegrering v srømningsligningen middelr ovenor kn skrives d gh C hvor C sår or inegreringskonsnen. For ikke-komressile lider ser vi gh C Denne ligningen er Bernollis ligning. Den gjelder or srømning v ikkekomressile lidere en veggriksjon. Momenligningen ovenor gjelder or e srømningselemen, med eller en vegg. Drcy-Weisch ligningen rkes or å kvniisere rykk grnne veggriksjon d d d Når den inklderes i momenligningen år vi d d gdh d d Denne ligningen klles gjerne den mekniske srømningsligningen og rkes ved eregninger v rykk i rør, åde rønner og rørledninger. Vi ør noere ligningen rkes or åde lminær og rlen srømning n den rikige riksjonskoren rkes. igningen kn reseneres å ølgende måe or de ole rykke g hvor, g og sår or rykk grnne kselersjon, grvisjon og riksjon. Bevring v energi r innlø il lø i srømningselemene kommer il rykk igjennom energilnse. En slik lnse or srømning i rør må hensyn il orndring i inern energi U, yngdeenergi gh og kineisk energi ½ρ. Enheen er energi er msse [J/kg]. Mgneisk, elekrisk og ndre energiormer inklderes ikke. Tol kn vi skrive 3

4 U vgh Flider i rørledninger kn veksle vrme med omgivelsene, q [J/kg], og kn øre reid, W [J/kg]. For e srømningselemen med innlø og lø, kn vi skrive U gh U gh q W Areid kn erkes som å eså v o deler, reid reler il syr (eks. mer og komressorer) og reid reler il eksnsjon eller komresjon v lider W Wsyr (v) 4

5 Vedlegg. - Drcy-Weisch ligningen For e volmelemen d lng er rykke d sor. Trykke gjelder or srømningsrele πr mens skjersenningen virker å veggrele πrd (omkres gnge med lengde). Veggskjersenningen τw (wll sher sress) hr enheen N/m. Figr. Rørsegmen. Krlnsen kn skrives dr rd w slik skjersenningen kn rykkes r d w d I ølge rdisjon, releres veggskjersenning i rør il kineisk energi er volm med den emiriske ligningen w 8 hvor er riksjonskor. Skjersenning og kineisk energi er volm hr den smme enheen [N/m =J/m 3 ]. Ved rk v de o rykkene or skjersenning r d d 8 reslerer den kjene Drcy-Weisch ligningen or rykk i rør d Trykke hr å indeksen or å indikere riksjon og volmelemenes lengde rykkes simelhen med lengde. 5

6 Vedlegg.3 - Hgen-Poiseille ligningen I lminær srømning øker riksjonsgrdienen Δ/Δ=d/d lineær med hsighe. Hgen-Poiseille ligningen eskriver slike sisjoner ved sile (sedy se) srømningsorhold. For e sirklær rør med rdis R (=d/) kn vi skrive krlnse or en e sirklær lidelemen som vis i igre.3. Elemene hr rdis r, lengde d og rykk d. Figr.3 Sirklær lidelemen i lminær srømning. Krlnsen or elemene kn skrives d r rd hvor τµ er skjærsenningen i en Newons lid, deiner ved d dr Vi seer inn or skjærsenningen og omorgniserer slik d d d rdr Inegrering or hsighe som nksjon v rdis gir d d r C hvor C er en inegreringskonsn. Hsigheen å veggen er nll (= ved r=r) slik hsigheen ellers ( mo r) rykkes ved d R 4 d r Hsigheen i miden v røre innes ved å see r=. Denne hsigheen er mksimm hsigheen i røres verrsni d R 4 d Forholde il hsigheen og mksimm hsigheen lir d 6

7 r R Vi ønsker også å inne gjennomsnilig hsighe r den volmeriske srømningsren q og srømningsrel A. For de smme sirklære røre kn vi n e nnlær lidelemen lokliser i vsnd r r miden v røre og dr i ykkelse, som vis i igr.. Figr.4 Annlær lidelemen i lminær srømning. Srømningsren i gjennom e slik nnlær lidelemen kn skrives dq r rdr rdr R Ved inegrering kn vi inne srømningsren q R q dq R rdr R r R 3 dr q A R R Vi seer inn or som gir resle d d 3 d Dee er Hgen-Poiseille ligningen or lminær srømning i rør og rørledninger. Vi rker dimeer d som i Drcy-Weisch ligningen. Trykkgrdienen er lien or vnlige væsker som olje og vnn. For ngolje med viskosie i senne -. mp.s er den høyere enn vis i igr. hvor viskosieen rk er,5 mp.s. minær srømning kn også oså i rørledninger som ører kjemiklier som rosvæske r lorm il rønnrmme, dee ordi rosvæske hr gnske høy viskosie. 7

8 Vedlegg.4 - Universellehsighesroilen Vi deinerer * 8 * = riksjonshsighe = veggskjærsenning = ehe = gjennomsnilig hsighe (snihsighe) = riksjonskor (Drcy-Weisch) Deiner videre y * y * Deror d dy Inegrerer og rker + = y + = som nedre grense, deror y Dee er ligningen or lminær sjik (viscos slyer) som gjelder or y + < 5. Emirisk ligning or overgngssjik (er lyer) 5,ln y 3, som gjelder or 5 y 3 Prndl s ligning or rlen sjik (rlen core),5ln y 5,5 som gjelder or y + > 3 8

9 Vedlegg.5 Blsis-ye ligninger Friksjonskorligninger v Blsis-ye Re n kn skrives log log nlogre Ved rk v Hlnds ligning 6,9 k,8log Re 3,75d, kn vi inne den ekvivlene Blsis-ye ligning. Hvis vi nr reliv rhe k/d=, og Reynolds-ll 4 og 5 eregner vi 4=,3 og 5=,9. Vi kn skrive o ligninger med o kjene, og n (vi rker log, ikke ln) log log 4 5 log nlog log nlog 4 5 log 4n log 5n Deror n log 4 5,67 log 4 4n,5 slik k / d,,5,67 Re Hvis vi seer inn or Reynolds-ll 4 og 5 i denne ligningen eregner vi 4=,3 og 5=,9, som semmer. For ndre relive rheer kn vi inne ssende koeisiener og eksonener. 9

10 Vedlegg.6 - Trykk i gssrørledninger Momenligningen or ssjonær, isoermisk og endimensjonl srømning i rør og rørledninger kn skrives d( ) d d d d g sin Fr dierensilregning kn kselersjonsledde skrives d( ) d( ) d d( ) Siden (msselks) er konsn gjelder d( ) d og momenligningen kn skrives d d d d d g sin Teheen il nrgss kn eregnes r den ikke-ideell gss ligningen og M q A m A Innseing or og m d A d i momenligningen ovenor gir d d m Ad Hsigheen kn også rykkes M g sin slik m A M m d d A M Videre innseing or hsigheen gir deror m A M d d d d m d A M M g sin

11 og d d m A M d d d m m d A M A d M M g sin igningen kn nå omskrives il m A M d d m Mg sin A d M. igningen (hovedligningen) esår v lle ledd som er nødvendige or å eregne rykk i gssrørledninger og rønner. De innes en generell løsning, men den hr en ikke gyldig løsning (eng. disconiniy, singlriy) å grnn v deling å nll or horisonl srømning. Men å dierensile ormen ovenor er ikke de e rolem. For en horisonl rørledning ersin = og ligningen overor kn skrives m A M d d m A d M. For å å edre oversik over inegreringen kn ligningen skrives eller d d d d Inegrlormen kn skrives slik d ln d d hvor vsnden eegnes med. øsningen lir d

12 d ln A d M m eller da M m d ln De ørse ledde reslerer r riksjon mens de ndre ledde reslerer r kselersjon (hovedskelig). edde med rykke i ndre er vnligvis sørre en logrimiske ledde i gssrørledninger. For vnlige rykkseregninger kn deror ilnærmingen da M m rkes. Vi oserverer videre de logrimiske ledde kn skrives ln ln ln edde med rykke i ndre kn skrives ) ( Tehe il gss gis ved ligningen M Gjennomsnisehe gis ved ligningen M hvor gjennomsnisrykke er gi ved Med lger kn de vises rykke eregnes ved d

13 som er kisk Drcy-Weisch ligningen, rk or å eregne rykk i rør som ører ikke-komressile væsker. Innløsrykke er (sørre) og løsrykke (mindre). igningen or rykk i e gssrør lede ovenor kn rkes or å sjekke ligningen or hydrosisk rykk, or eksemel r innlø il lø. For en sisk rørledning, ikke noe srømning (m=), kn hovedligningen orenkles il d d Mg sin som ved inegrering gir Mg sin e Sisk rykk ved innlø er og sisk rykk ved lø er. Vi oserverer or en rørledning som går oover kke er <. For de mose, rørledningen som går nedover kke er >. Sørse onåelig srømningshsighe i gssrørledninger (også i ose ledninger) er lik lydhsigheen. igningen or rykk i gssrørledninger kn dierensieres med hensyn å løsrykke, dvs. d/d. Vi nr konsn innløsrykk og konsn gssehe (smme som å rke sniverdi). da M dm d d d d ln m d d da M dm 4 m d d m Mksimm, sørse onåelig, hsighe osår ved d/d= som er de smme som dm /d=. Deror A M m m A M Fordi m=ρ A kn vi skrive M 3

14 og ordi ρ=m/() kommer vi rem il mks Resle viser den sørse onåelige srømningshsighe, mks, er lik lydhsigheen il gss. Vi oserverer komressiilieen il gss ved lv rykk K=/. Videre i ileller hvor srømningshsigheen kommer i nærheen v lydhsigheen vil rykklle være så sor løsrykke er lv. 4

15 Vedlegg.7 Trykk i gssrønner Momenligningen or ssjonær, isoermisk og endimensjonl srømning i rørledninger og rønner kn skrives d d d d d g sin Teheen og snihsigheen kn rykkes M m A Når vi seer inn or ρ og ρ år vi m d A d d d m Ad M g sin I gssrønner er de hovedskelig hydrosisk rykk og rykk grnne veggriksjon som dominerer. Trykk grnne kselersjon vil være neglisjerr (ingen sor orndring i dimeer). Trykk grnne kselersjon i horisonle gssrørledninger vises også å være eydelig smmenligne med rykk grnne riksjon. Vi r deror ikke hensyn il kselersjon og skriver d d Vi deinerer m Ad M g sin M m A d slik og m A Trykksligningen kn deror skrives 5

16 6 g d d ) sin ( og d g d ) sin ( For videre orenkling ved rk v o nye vriler, og, skriver vi d d Inegrering gir ln ln ln ln e e e e e e Prmerene er sin g Hvis vi rker rmeere en indeks kn vi generlisere og skrive ligningen

17 e g sin gsin e gsin hvor M m A d Førse ledde il høyere rykker hydrosisk rykk mens ndre ledde rykker rykk grnne riksjon. Trykk grnne kselersjon er ikke med ordi de er neglisjerr, som orl ovenor. Prmeer inneholder gssegensker mens rmeer inneholder veggriksjon. Hvis vi nr en sisk rønn (ingen srømning slik m=) hr vi og dermed e gsin e gsin som er rykk med dy i en gssrønn. Vi noerer or en verikl rønn er sin(-9)=-. Også, er rønnhoderykk og er rykk å dy i gssrønnen. 7

18 8.8 Ikke-ssjonær srømning Bevring og msse og momen i ikke-ssjonær (eng. nsedy) srømning i rørledninger kn henholdsvis rykkes ved de o ligningene K sin g Vi hr o rielle dierensielle ligninger med o kjene (,) og (,). igningene er sndrd og innes i læreøker. Vi ønsker å rke ligningene or å eskrive evegelse v rykkølger i rørledninger sm lede Jokowski ligningen (vnnhmmerligningen). De kn vises ndregrdsleddene (eng. second order erm) er mye mindre enn ørsegrdsleddene. I ligningen ser å msseevrelse hr vi o ledd som mliliseres med komressiilieen K. Hvis vi rker rykke or lydhsighe kn vi skrive ilnærmingen Fordi >> kn vi eliminere ndregrdsledde. I ligningen ser å momenevrelse kn vi gjennomøre lignende nlyse hvor Igjen, ordi >> kn vi eliminere ndregrdsledde. Og hvis vi velger å ikke hensyn il hydrosisk rykk og ikke heller il rykk grnne veggriksjon, år vi ligningene K Vi skl rke disse o ligninger or å lede Jokowski ligningen og or å lede ølgeligningen.

19 9 Jokowski ligningen. Vi kn skrive ilnærmingene K Fr msseevringsligningen år vi K og r momenevringsligningen slik K ordi den isoermiske lydhsigheen i væsker gis ved ligningen K Vi seer inn og kommer rem il som er vnnhmmerligningen, også kl Jokowski ligningen. Den eskriver rykkøkningen når vi senger (eller åner) veniler i rørledninger. igningen kn også skrives K Bølgeligningen. Priell dierensiering v den ørse ligningen med hensyn å id og den ndre ligningen med hensyn å vsnd, sm å rekke resle or den ndre ligningen r resle or den ørse ligningen, gir ølgende ligning K Dee er ølgeligningen or rykk som nksjon v vsnd og id.

20 Priell dierensiering v den ndre ligningen med hensyn å id og den ørse ligningen med hensyn å vsnd, sm å rekke resle or den ndre ligningen r resle or den ørse ligningen, gir ølgende ligning K Dee er ølgeligningen or srømningshsighe som nksjon v vsnd og id. Vi seer inn lydhsigheen og kommer dermed rem il ølgeligningene henholdsvis or rykk og hsighe eller