Rette linjer og lineære funksjoner

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Rette linjer og lineære funksjoner"

Transkript

1 Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål Rette linjer Digital graftegning Konstantledd og stigningstall Grafisk avlesning Digital løsning av likninger Funksjonsbegrepet Lineær vekst Lineære modeller Lineær regresjon Symboler, formler og eksempler Læreplanmål for 2P-Y Gjøre rede for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt Omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner Gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data Analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller Bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger

2 4.1 Rette linjer Oppgave 4.10 Tegn linjene. a) y = 2x 1 b) y = x 2 c) y = 2x + 4 d) y = x + 5 y 6 a) 5 4 b) d) x c) Oppgave 4.11 Tegn linjene. a) y = 0,5x 2 b) y = 2 3 x c) y = 4,2x 5,4 d) y = 7,8x + 12,4 y 6 d) c) 5 4 b) a) x

3 Oppgave 4.12 Per er nå 10 år og er 140 cm høy. Han regner med å vokse 7 cm per år de neste 6 årene. a) Hvor høy er Per når han er 15 år? 140 cm + (7 cm 5) = 140 cm + 35 cm = 175 cm b) Forklar at om x år er høyden til per, målt i centimeter, gitt ved: h = 7x Vi har: y = ax + b der a er stigning per år og b er konstantleddet (starthøyden). c) Lag en rett linje som viser sammenhengen mellom x og høyden h. h = Høyde i cm h = 7x år 7 cm x = Alder i år 3

4 Oppgave 4.13 Prisen for elektrisk strøm her i landet er en sum av to beløp: først en fast avgift og så et beløp som er avhengig av hvor mye strøm som er brukt. Et år betalte en familie 1200 kr i fast avgift og 42 øre per kwh (kilowattime) for bruk av elektrisk strøm. a) Finn strømutgiftene for denne familien når de dette året brukte kwh. 0,42 kroner kwh kwh kroner = 9600 kroner b) Forklar at utgiftene y i kroner kan skrives: y = 0,42x der x er tallet på kilowattimer. c) Forklar at likningen i oppgave b gir ei rett linje, og tegn linja i et koordinatsystem når x er mellom 0 og y = Pris i kroner y = 0,42x x = kwh 4

5 Oppgave 4.14 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 86 C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare 2,5 grader per time. a) Hva er temperaturen etter 5 timer? Temperaturen er i startøyeblikket 86 C og faller med 2,5 grader per time. Temperaturen etter 5 timer = 86 (5 2,5 ) = 86 C 12,5 = 73, 5 b) Hva er temperaturen y etter t timer? y = 2,5t + 86 c) Forklar at likningen i oppgave b framstiller ei rett linje, og tegn linja i et koordinatsystem når t er mellom 0 og 10. y = Temperatur i C y = 2,5 t time 2,5 C t = Tid i timer 5

6 4.2 Digital graftegning Oppgave 4.20 Tegn linjene digitalt. a) y = 3x 1 b) y = 2x + 7 c) y = 3,7x 2,4 d) y = 2 3 x Velger å bruke GeoGebra. Men først, husk: Og så: og aktiver: I inntastingsfeltet: Bytter navn på linjene slik at de heter a, b, c, og d ved å høyreklikke på navnet og. Farge og Stil på linjene endres ved å høyreklikk på linjen, velg Hvordan kopier Grafikkfelt med beste kvalitet fra GeoGebra til et tekstdokument (f.eks. Word): 6

7 Oppgave 4.21 Tante Maggi har kroner i et skrin på kjøkkenet. Hun sparer fra nå av 1500 kroner per måned og legger pengene i skrinet. Etter x måneder er beløpet y i kroner gitt ved y = 1500x Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye penger det er i skrinet de neste 24 månedene. Viser her to måter å skrive inn funksjonen y = 1500x i GeoGebra. Oppgaven sier «de neste 24 månedene» som betyr fra nå som er 0 og til 24 som er sluttpunktet. For å få til dette i GeoGebra skriver vi inn verdiene på en litt annen måte. Funksjonen skrevet slik at den ikke har noen start og slutt, men fortsetter i det uendelige: Funksjonen skrevet slik at den starter på 0 og avsluttes ved 24: For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x og yakse: 7

8 Oppgave 4.22 For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y = 0,42x der x er tallet på kilowattimer. Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og Velger å bruke i GeoGebra sitt Inntastingsfelt. Funksjonen skrevet slik at den starter på 0 og avsluttes ved : For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x og yakse: x-aksen blir da i kilowattimer og y-aksen i kroner. 8

9 Oppgave 4.23 Tegn linja digitalt når a) y = 2x + 10 og x er mellom 10 og 10. Funksjonen skrevet slik at den starter på 10 og avsluttes ved 10 : For bare å vise både x-akse og y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Fjern avkrysning for Bare i positiv retning: 9

10 b) y = 0,05x + 10 og x er mellom 0 og 20. Funksjonen skrevet slik at den starter på 0 og avsluttes ved 20 : For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x og yakse: 10

11 c) y = 0,02x og x er mellom 0 og For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x og yakse: 11

12 Oppgave 4.24 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 90 C på ei termosflaske. Temperaturen i flaska synker med 3 grader per time. a) Finn en formel for temperaturen y etter t timer. y = 3t + 90, 3 fordi temperaturen synker og 90 er starttemperaturen. b) Tegn digitalt ei linje som viser sammenhengen mellom y og t når t er mellom 0 og 10. Legg merke til at vi bruker x og ikke t: 12

13 4.3 Konstantledd og stigningstall Oppgave 4.30 Finn likningene for linjene ved å lese av konstantleddet og stigningstallet. a) b) y y y) y) 2 x) x) x x) x x) y) y) Ligningen for Rød linje: y = 1 x + 2 = x + 2 y 1 Ligningen for Rød linje: = 3 x 2 = 1, 5x 2 2 Stigningstallet: x fordi stigningen y x = 1 1 = 1 Konstantleddet: +2 fordi linjen krysser y-aksen ved 2 Stigningstallet: y 1, 5x fordi stigningen = 3 = 1,5 x 2 Konstantleddet: 2 fordi linjen krysser y-aksen ved 2 Ligningen for Blå linje: y = 2 x + 2 = 2x + 2 y 1 Ligningen for Blå linje: = 1 x 2 = x 2 1 Stigningstallet: Stigningstallet: 2x fordi stigningen y = 2 y = 2 x fordi stigningen = 1 = 1 x 1 x 1 Konstantleddet: +2 fordi linjen krysser y-aksen ved 2 Konstantleddet: 2 fordi linjen krysser y-aksen ved 2 13

14 Oppgave 4.31 Ei linje går gjennom punktene (1, 1) og (3, 3). a) Tegn linja. Bruker GeoGebra. Lager først punktene (1, 1) og (3, 3) ved å: I Algebrafeltet vises: Bruker funksjonen:. Klikker først på punktet A så på punktet B. Vi får da denne linjen i GeoGebra. 14

15 b) Finn konstantleddet og stigningstallet for linja. I Algebrafeltet vises funksjonen 2x + y = 3 slik som vi ser her: men denne skriveformen er vi ikke vant til, så vi høyreklikker på funksjonen og velger Likning y = a x + b. Vi får da y = 2x 3 som vi ser her: Vi leser av stigningstallet 2 og konstantleddet som er 3. Finne stigningstallet (a) ved regning: Vi har to punkter ( 1, 1 ) og ( 3, 3 ). Da er ( x 1, y 1 ) = ( 1, 1 ) og ( x 2, y 2 ) = ( 3, 3 ). Bruker formelen: a = y 2 y 1 = 3 ( 1) = 4 = 2 Stigningstallet = 2 x 2 x Finne konstantleddet (der linja krysser y-aksen) manuelt: Vi setter x = 0 i ligningen y = 2x 3 y = = 3 Konstantleddet = 3 c) Finn likningen for linja. I Algebrafeltet vises funksjonen 2x + y = 3 slik som vi ser her: men denne skriveformen er vi ikke vant til, så vi høyreklikker på funksjonen og velger Likning y = a x + b. Vi får da y = 2x 3 som vi ser her: Ligningen for linja er: y = 2x 3 15

16 Oppgave 4.32 Ei linje går gjennom punktene ( 1, 2) og (3, 0). Finn likningen for linja digitalt. Lager først punktene ( 1, 2) og (3, 0) ved å: Bruker funksjonen:. Klikker først på punktet A så på punktet B. I Algebrafeltet vises: Vi får denne linjen i GeoGebra: 16

17 Oppgave 4.33 Ei linje går gjennom punktene (1, 7) og (4, 2). a) Finn likningen for linja digitalt. Bruker GeoGebra. Lager først punktene (1, 7) og (4, 2) ved å Bruker funksjonen:. Klikker først på punktet A så på punktet B. I Algebrafeltet vises:. Høyreklikker på funksjonen og velger Likning y = a x + b. Vi får da y = 3x + 10 som vi ser her: Ligningen for linja er : y = 3x + 10 b) Finn stigningstallet og konstantleddet. Vi leser av stigningstallet 3 og konstantleddet 10 fra ligningen y = 3x Oppgave 4.34 Utnytt konstantleddet og stigningstallet til å tegne linjene. a) y = 2x 1 b) y = 2x + 2 c) y = 1 2 x d) y = x

18 Oppgave 4.35 Tegn linjene. a) y = x b) y = 3 + 2x c) y = 1 d) x = 1 Bruker GeoGebra. Høyreklikker på den enkelte linje: Deaktiver Vis navn. Lager ny tekst: Høyreklikker på den nye teksten og velger. Har her vi valgt Stor som tekststørrelse og ulike farger for de ulike linjene. Har også valgt en Linjebredde = 3. 18

19 4.4 Grafisk avlesning Oppgave 4.40 Når vi bruker drosje, begynner taksameteret på et fast beløp idet turen starter. Dette faste beløpet kaller vi påslaget. Vi setter det her til 40 kr. Under turen blir det med jevne mellomrom automatisk lagt til et beløp på taksameteret. Dette tillegget regner vi om til en kilometerpris. I denne oppgaven setter vi den til 15 kr. a) Hva må vi betale for en drosjetur på 12 km? Påslaget = 40 kr Kilometerpris = 15 kr Antall kilometer = x x = 40 + (15 12) = 220 kroner b) Forklar at drosjeutgiftene, U, etter x km kan skrives: U = 15x er prisen per kilometer, og for å finne prisen for hele strekningen må vi multiplisere med antallet. 40 er utgangspunktet for prisen av turen og summen av prisen for turen vil aldri bli mindre enn 40. c) Tegn linja i oppgave b når x er mellom 0 og 30. I GeoGebra: Får da dette: Endrer f(x) til U(x): 19

20 d) Finn av denne linja hva en drosjetur på 20 km koster. e) Hvor langt kan du kjøre drosje for 300 kr? Skriver inn: og Lager punktene A og B med verktøyet: Når vi lager punktene A og B får vi: A=(20, 340) og B=(17,3333, 300) Det betyr at: d) En drosjetur på 20 km koster 340 kroner. e) Du kan kjøre 17,33 km for 300 kroner. 20

21 Oppgave 4.41 Vanja Vespa betaler 3500 kr i året i forsikring for skuteren sin. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. a) Forklar at utgiftene i kroner per år er gitt ved: U = 0,50x Når hun kjører x kilometer per år. 0,50 er prisen per kilometer. For å finne prisen for hele strekningen (kjørelengden) må vi multiplisere med antallet (x) er prisen for forsikringen som ikke er variabel, men fast. b) Tegn linja i oppgave a når x er mellom 0 og Vi kan skrive:, men jeg fortrekker og skriver inn: får da tegnet en linje som går fra 0 til c) Bruk linja til å finne ut hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. Skriver inn: og lager punktet A med verktøyet: Leser av:, som betyr at Vanja Vespa kan kjøre 3000 kilometer for 5000 kroner. 21

22 Oppgave 4.42 Løs likningen grafisk og ved regning. a) 2x + 1 = 5 b) 1 x 1 = 2 2 = 5 betyr at y = 5 = 2 betyr at y = 2 Grafisk, bruker GeoGebra: Grafisk, bruker GeoGebra: Skriver inn: og Skriver inn: og... og lager punktet A med:... og lager punktet A med: Som viser at x = 2 når y = 5. Som viser at x = 6 når y = 2. Ved regning: 2x + 1 = 5 2x = 5 1 2x = 4 x = 2 Ved regning: 1 2 x 1 = x = x = 3 2 x = 6 22

23 Oppgave 4.43 Adam har kr og bruker 700 kr per uke. Eva har kr og sparer 500 kroner per uke. a) Forklar at kronebeløpet til Adam etter x uker er gitt ved A = x Adam (A) har i utgangspunktet kr. For hver uke (x) som går reduseres ( ) pengebeholdningen til Adam med 700 kroner. og at beløpet til Eva er gitt ved E = x Eva (E) har i utgangspunktet kr. For hver uke (x) som går øker (+) pengebeholdningen til Eva med 500 kroner. b) Finn grafisk hvor mange uker det går før Adam og Eva har like mye penger. Omtrent hvor mange penger har de da? Skriver inn: og. Lager punktet A med: Får da: Når vi bruker GeoGebra får en nøyaktig løsning på at både Adam og Eva har kr etter 25 uker. c) Løs oppgave b ved regning. Setter de to ligningene lik hverandre: x = x = 1200x x = 25 uker Bruker en av ligningene f.eks. Adam sin: x. Bytter så ut x med 25. Har da: (700 25) = =

24 Oppgave 4.44 I lønnsforhandlingene i et datafirma kan en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) Fast månedslønn på kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. 2) Fast månedslønn på kr pluss 250 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to likninger som gir lønna y i kroner når han selger x datamaskiner per måned. 1) y = x 2) y = x b) Tegn de to linjene i et koordinatsystem og finn ut hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Bruker GeoGebra. Skriver inn: og Lager punkt A med:. Får da: Som vi ser av grafen over har vi her valgt å starte med y = for å få en bedre oversikt. Leser av A=(6, 18000). Selgeren må selge 6 datamaskiner for at de to tilbudene skal være like gode. c) Hva er månedslønna i dette tilfelle? Leser av A=(6, 18000). Månedslønna er kroner. 24

25 Oppgave 4.45 Løs likningene grafisk og ved regning. a) 2x + 1 = x + 4 b) 1 2 x + 1 = 3 2 x 2 Grafisk, bruker GeoGebra: Grafisk, bruker GeoGebra: Skriver inn: og Skriver inn: og Ved regning: 2x + 1 = x + 4 2x x = 4 1 x = 3 Ved regning: 1 x + 1 = 3 x x 3 x = x = 3 2 x = 3 x = 3 25

26 4.5 Digital løsning av likninger Oppgave 4.50 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 86 C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare 2,5 grader per time. a) Forklar at temperaturen etter x timer er gitt ved y = 2,5x + 86 Temperaturen i termosflaska er i utgangspunktet 86 C, konstantleddet er: +86. Temperaturen synker ( ) med 2,5 grader for hver time (x), førstegradsleddet er: 2,5x. b) Tegn digitalt ei linje som viser temperaturen når x er mellom 0 og 10. I GeoGebra, skriver vi inn: og c) Finn digitalt temperaturen etter 8 timer. d) Finn digitalt hvor mange timer det går før temperaturen er 71 C. Skriver inn: og for å lage hjelpelinjene og så kan lage punktene C og D. Lager punktene C og D ved hjelp av: c) Av punkt C leser vi at etter 8 timer er det 66 C i termosen. d) Av punkt D leser vi at temperaturen i termosen er 71 C etter 6 timer. 26

27 Oppgave 4.51 Vanja Vespa betaler 3500 kr i året i forsikring for skuteren sin. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. Utgiftene i kroner per år er da gitt ved y = 0,50x når hun kjører x kilometer per år. a) Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og Skriver inn: og får da: b) Finn digitalt hva det koster hvis hun et år kjører 1500 km. Skriver inn:, lager punktet A ved hjelp av: c) Finn digitalt hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. Skriver inn:, lager punktet B ved hjelp av: b) Av punkt A leser vi at det det å kjøre 1500 kilometer koster 4250 kroner. c) Av punkt B leser vi at Vanja Vespa for 5000 kroner kan kjøre 3000 kilometer. 27

28 Oppgave 4.52 Løs likningen digitalt og ved regning: a) 2x + 3 = 1 b) 2 3 x = 3 2 a) Av punkt A ser vi at ligningene har løsning: b) Av punkt A ser vi at ligningene har løsning: A = (1, 1) A = (4.5, -1.5) som betyr at: x = 1 når y = 1 som betyr at: x = 4,5 når y = 1,5 Ved regning: Ved regning: 2x + 3 = x = 3 2 2x = x = x = x = x = 1 4x = 18 x = 4, 5 28

29 Oppgave 4.53 Et firma skal produsere skistaver. Kostnaden ved å produsere stavene kan deles i to deler. Den faste kostnaden er på kr og er uavhengig av hvor mange enheter som blir produsert. Denne kostnaden dekker blant annet utgifter til produksjonsutstyr. Den variable kostnaden er knyttet direkte til produksjonen av hver stav. Utgiftene ved å produsere et par staver er 250 kr. a) Forklar at totalkostnaden K i kroner når det blir produsert x par staver, er gitt ved K = 250x Den faste kostnaden ved å produsere staver er uavhengig av antallet, har da For hver stav (x) som produsere er kostnaden 250 kroner, har da: 250x b) Framstill kostnaden K digitalt. Velg x mellom 0 og 200. I GeoGebra, velger: og skriver inn: c) Firmaet selger stavene for 400 kroner per par. Forklar at inntekten I er gitt ved I = 400x Når hvert par staver koster 400 kroner er verdien av produksjonen proporsjonal med antallet (x) som produseres. d) Finn digitalt hvor mange par staver firmaet må produsere og selge for at inntektene av salget skal dekke utgiftene. I GeoGebra, velger: Velger her å begrense linjen til 163 for at den ikke skal tegnes utenfor rutearket. d) De to linjene Produksjonskostnader og Salgsinntekter krysser hverandre i punktet A. Det betyr at det må produseres 100 staver, som gir en inntekt på kr, for at inntektene skal dekke utgiftene. 29

30 Oppgave 4.54 Løs likningene digitalt og ved regning. a) x + 2 = 2x 4 b) 3 4 x = 1 2 x + 3 I GeoGebra: I GeoGebra: a) Av punkt A ser vi at ligningene har løsning: b) Av punkt A ser vi at ligningene har løsning: A = (2, 0) A = (2, 2) som betyr at: x = 2 når y = 0 som betyr at: x = 2 når y = 2 Ved regning: x + 2 = 2x 4 x 2x = 4 2 Ved regning: 3 x + 1 = 1 x x x = x = 6 3x + 2x = 12 2 x = 2 5x = 10 x = 2 30

31 4.6 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.60 På treningsinstituttet «Komiform» betaler du 3000 kr året i treningsavgift. I tillegg må du betale 50 kr per dag de dagene du er på instituttet. Hvis du en dag trener flere ganger, betaler du bare én gang denne dagen. a) Forklar hvorfor de årlige treningsutgiftene i kroner er gitt ved U(x) = 50x der x er tallet på treningsdager i året. Den faste kostnaden ved å trene 3000 kr, har da For hver dag (x) er kostnaden 50 kroner, har da: 50x b) Tegn grafen til U når x er mellom 0 og 300 dager. I inntastingsfeltet:, får da i Algebrafeltet: c) Bruk grafen til å finne ut hvor mye det koster å trene 100 dager. Fordi x-aksen er antall dager skriver vi i inntastingsfeltet:, og får da: d) Hvor mange ganger kan du trene for kr? Fordi y-aksen er kostnaden skriver vi i inntastingsfeltet:, og får da: c) Lager punktet A, får da A=(100, 8000). Det betyr at det koster 8000 kr å trene i 100 dager. d) Lager punktet B, får da B=(140, 10000). Det betyr at for kr kan du trene i 140 dager. 31

32 Oppgave 4.61 Per har et mobiltelefonabonnement der han betaler 59 øre idet samtalen begynner, og deretter 3 øre per sekund. a) Forklar at prisen i øre for en samtale som varer i x sekunder, er gitt ved P(x) = 3x + 59 Den faste kostnaden for en samtale er 59 øre, har da +59. For hvert sekund (x) er kostnaden 3 øre, har da: 3x b) Tegn grafen til P når x er mellom 0 og 200. c) Hvor mye koster en samtale som varer i 120 s? Fordi x-aksen er antall sekunder (s) skriver vi i inntastingsfeltet:, og får da: d) Hvor lenge kan Per snakke for 2 kr? Fordi y-aksen er Prisen (P) i øre, skriver vi i inntastingsfeltet:, og får da: c) Lager punktet A, får da A=(120, 419). Det betyr at det koster 419 øre å ringe i 120 sekunder. d) Lager punktet B, får da B=(47, 200). Det betyr at for 200 øre kan ringe i 47 sekunder. 32

33 Oppgave 4.62 En funksjon f er gitt ved f(x) = 2x + 1 a) Regn ut f( 2) og f(2). Bytter ut x med 2 : Bytter ut x med 2 : f( 2) = (2 2) + 1 = = 3 f(2) = (2 2) + 1 = = 5 b) Tegn grafen til f. c) Finn f( 1) grafisk. d) Løs likningen f(x) = 3 grafisk. x = 1, følger blå stiplet linje y = 3, følger blå stiplet linje og leser av y-aksen som er ( 1) og leser av x-aksen (x = 1) merket med punkt A merket med punkt B c) Løser f( 1) for å se om dette stemmer med den grafiske løsningen: f( 1) = (2 1) + 1 = = 1 Det betyr at y = 1 når x = 1 d) Løser f(x) = 3 for å se om dette stemmer med den grafiske løsningen: f(x) = 2x + 1 = 3 2x + 1 = 3 2x = 3 1 x = 3 1 = 1 2 Det betyr at y = 3 når x = 1 33

34 Oppgave 4.63 En funksjon f er gitt ved f(x) = 2x + 5 a) Regn ut f(0) og f(2). Bytter ut x med 0 : Bytter ut x med 2 : f(0) = (2 0) + 5 = = 5 f(2) = (2 2) + 5 = = 1 b) Tegn grafen til f. c) Finn f(3) grafisk. d) Løs likningen f(x) = 3 grafisk. x = 3, følger blå stiplet linje y = 3, følger blå stiplet linje og leser av y-aksen som er ( 1) og leser av x-aksen (x = 1) merket med punkt A merket med punkt B c) Løser f(3) for å se om dette stemmer med den grafiske løsningen: f(3) = ( 2 3) + 5 = = 1 Det betyr at når x = 3 er y = 1 d) Løser f(x) = 3 for å se om dette stemmer med den grafiske løsningen: f(x) = 2x + 5 = 3 2x + 5 = 3 2x = 3 5 x = 3 5 = 1 2 Det betyr at y = 3 når x = 1 34

35 Oppgave 4.64 Vi kaster en stein. Grafen viser høyden (h) i meter etter t sekunder. f(h) = 5h h, (0 < h <= 6) a) Finn høyden etter 2 s og etter 5 s. c) Når er steinen 40 m over bakken? Bruker GeoGebra. Bruker GeoGebra. Leser av og ser at høyden etter 2 s er 40 meter Leser av grafen og ser at steinen er 40 Leser av og ser at høyden etter 5 s er 25 meter. meter over bakken etter 2 og 4 sekunder. b) Forklar hvorfor høyden er en funksjon av tida t. Høyden (h) har bare en verdi for hver verdi tiden (t) har. d) Er tida en funksjon av høyden? Nei, høyden (h) er en funksjon av tiden (t). Hvis vi f.eks. velger høyden (h) = 20 vil tiden både være 0,76 og 5,24. Det er ikke mulig at en høyde oppstår samtidig på to tidspunkter når vi kaster én stein. 35

36 Oppgave 4.65 Grafen viser gjennomsnittsvekten for norske gutter fra fødselen til de er 19 år. kg y x År b) Forklar hvorfor gjennomsnittsvekten er en funksjon av alderen. Det er alderen som bestemmer vekten og ikke vekten som bestemmer alderen. Har du én alder har du én helt bestemt vekt. Du kan ikke bestemme alderen ut ifra hvor mye du veier. kg y a) Finn gjennomsnittsvekten for norske gutter når de er 2 år og når de er 14 år Se på grafen og svarte stiplede linjer. Gjennomsnittsvekten er omtrent 12,5 kg og 55 kg x År c) Finn alderen når gjennomsnittsvekten er 30 kg. Se på grafen og blå stiplet linje. Alderen er omtrent 9,15 år. d) Forklar hvorfor alderen er en funksjon av gjennomsnittsvekten når alderen er 19 år eller mindre. Gjelder dette også når alderen er over 19 år? Når vi har en funksjonslinje som er utformet med alder og vekt som kriterier vil man kunne lese av alder utfra vekt. Én alder tilsvarer én vekt. Nei, grafen stopper ved 19 år og vi har da ingen informasjon om sammenhengen mellom alder og vekt utover dette. 36

37 Oppgave 4.66 a) b) c) y x Funksjon[0.625x+2,0,8] Funksjon[0.32x x+3.5,0,8] Kurve[2u², 2u + 4, u, -2, 2] y = 0,625x + 2 f(x) = 0,32x 2 1,95x + 3,5 x = 2u 2 y = 2u+4 } 2 u 2 y er en funksjon av x og y er en funksjon av x. x er en funksjon av y. x er en funksjon av y. Vi kan endre x eller y Hvis vi velger y = 2 får vi to svar, Hvis vi velger x = 2 får vi to svar, for å beregne y eller x. x kan da ikke være en funksjon y kan da ikke være en funksjon av y. x 1 0,90 og x 2 5,19. av x. 37

38 4.7 Lineær vekst Oppgave 4.70 Vanja Vespa er på langtur med skuteren sin. Hun finner ut at antallet kilometer hun kjører på x timer, er gitt ved grafen nedenfor. 250 y = km x = timer a) Finn vekstfaktoren. Vekstfaktoren er 50 fordi for hver time (x) så øker y med 50. b) Hvilken praktisk tolkning har vekstfaktoren? Vanja kjører 50 km per time (50 km/t). c) Finn en formel for strekningen s i kilometer som Vanja har tilbakelagt etter x timer. s = 50x + 0 s er strekning og x er timer, men vi skriver ikke +0 så funksjonen er: s = 50x 38

39 Oppgave 4.71 Vanja kjører en fast strekning hver dag med skuteren sin. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom kilometerstanden y på skuteren og antallet dager x når x er mellom 0 og y = km x = dager a) Finn vekstfaktoren. Ser av grafen at Vanja i løpet av 100 dager har kjørt 2500 km km = 25 km 100 dager dag Vekstfaktoren er 25. b) Finn en formel som viser kilometerstanden y etter x dager. y = 25x x fordi hun kjører 25 km per dag og 2000 fordi kilometerstanden til skuteren var 2000 i startøyeblikket. 39

40 Oppgave 4.72 Skuteren til Vanja synker i verdi. Hun regner med at verdien i kroner etter x måneder er gitt ved V(x) = 300x a) Lag en graf som viser verdien av skuteren i de neste fem årene. Når x er måneder betyr det at fem år = 60 måneder. x-linjen er da fra 0 til 60. Bruker GeoGebra. b) Bruk grafen til å finne vekstfarten. I GeoGebra: får da: Vekstfarten er 300. Det betyr at verdien faller med 300 kroner per måned fordi y-aksen er i kroner og x-aksen i måneder. c) Kontroller svaret i oppgave b ved hjelp av funksjonsuttrykket. V(x) = 300x Når x = 0 : V(0) = = Det stemmer, når x=0 er y=18000 Når x = 60 : V(60) = = = 0 Det stemmer, når x= er y=0 40

41 Oppgave 4.73 Greta Gartner setter ned en plante i et blomsterbed. Hun regner med at planten kommer til å vokse like mye hver dag den første måneden slik at det blir lineær vekst. Etter 4 dager er planten 18 cm, og etter 14 dager er den 33 cm. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (dager) 4 14 y (høyde) Vi har nå laget de to punktene (4, 18) og (14, 33) i GeoGebra. a) Bruk et digitalt verktøy og b) Hvor høy var planten da Greta finn vekstfarten til planten. satte den ned i jorda? I algebrafeltet i GeoGebra ser vi at funksjonen for veksten til plantene er: y = 1,5x + 12 Det betyr at planten vokser med 1,5 cm per dag og at planten var 12 cm høy når den ble plantet. Det er altså ikke absolutt nødvendig å tegne funksjonen som vist under for å kunne finne vekstfarten og høyden til planten når den ble satt i jorda, men det gir en god oversikt. Bruker funksjonen: Eller bruk funksjonen: for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. der du først klikker på A og så på B for å lage linjen. 41

42 Oppgave 4.74 Vanja Vespa har en god bensinmåler på skuteren sin. Hun kjører hjemmefra med full tank. Når hun har kjørt i 10 mil, er det 4 liter bensin på tanken. Når hun har kjørt 26 mil, er det 1 liter igjen. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (mil) y (liter) 4 1 Bruker funksjonen: Eller bruk funksjonen: for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. der du først klikker på A og så på B for å lage linjen. a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og tegn ei linje som viser hvordan bensinmengden y i liter varierer med kjørelengden x i mil. b) Finn vekstfaktoren til bensinmengden. c) Hvor stor tank er det på skuteren til Vanja, og hvor mye bensin bruker den per mil? b) I algebrafeltet ser vi av funksjonen at vekstfaktoren er: c) Bruker funksjonen, og får samme resultat: c) I algebrafeltet ser vi at konstantleddet er som er tankstørrelsen. c) Lager et punkt C som også viser tankstørrelsen:

43 Oppgave 4.75 Ei rett linje går gjennom punktene (1, 3) og (3, 7). a) Bruk et digitalt hjelpemiddel b) Finn stigningstallet og og finn likningen for linja. konstantleddet for linja. Lager først de to punktene (1, 3) og (3, 7): Bruker nå dette verktøyet Bruker også verktøyet, istedenfor å gå veien om å lage en Liste. for å finne stigningen digitalt. I algebrafeltet leser vi av ligningen for linjen til å være: -2x+y=1, men dette er ikke en skrivemåte vi kjenner så vi høyreklikker på funksjonen og velger denne formen: Ligningen til linja er: y = 2x + 1 Stigningstallet er 2 slik som også a = 2 viser. Konstantleddet er +1 slik som ligningen viser (det betyr at funksjonen krysser y-aksen ved +1). 43

44 4.8 Lineære modeller Oppgave 4.80 Tabellen viser folketallet i verden i milliarder fra 1970 og frem til Her er x antall år etter Årstall x (år) Folketall (milliarder) 3,7 4,4 5,3 6,1 6,8 a) Bruk folketallet i 1970 og folketallet i 2010 til å lage en lineær modell for folketallet i milliarder x år etter Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (år) 0 40 y (folketall) 3,7 6,8 Bruker funksjonen: Eller bruk funksjonen:, og klikker på A og så på B for å lage linjen. for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. b) Hvordan passer modellen med de andre folketallene i tabellen? Skriver inn : og får tre nye punkter D, E og F. Som vi ser passer disse godt inn i modellen. c) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9,4 milliarder. Hvordan passer modellen i oppgave a med denne prognosen? Skriver inn: fordi år 2050 er 80 år etter Lager ett punkt med. Punktet har her navnet C og viser oss at i følge modellen skal det være 9,9 mrd mennesker i Modellen viser et for høyt folketall i følge prognosen. 44

45 Oppgave 4.81 Figuren er hentet fra Adresseavisen og viser hvor mange millioner minutter vi i Norge snakket i fasttelefon, i mobiltelefon og i bredbåndstelefon i hvert av årene fra 2001 til Antall millioner taleminutter Fasttelefon Mobiltelefon Bredbåndstelefoni a) Hvor mange minutter snakket hver nordmann i fasttelefon i 2012? Antall millioner taleminutter Fasttelefon Mobiltelefon 2000 Bredbåndstelefoni Bruker rød stiplet linje i oppgave a). Leser av grafen og finner at det var 3250 millioner taleminutter i 2012 som skal fordeles på 5 millioner nordmenn: minutter = 650 minutter per nordmann Hvor mange minutter snakket vi i mobiltelefon det året? Regn med at vi er 5 millioner mennesker. Leser av grafen og finner at det var millioner taleminutter i 2012 som skal fordeles på 5 millioner nordmenn: minutter = 2570 minutter per nordmann 45

46 b) Bruk tallene fra 2001 og 2012 til å lage en lineær modell for hvor mange millioner minutter vi snakket i fasttelefon i perioden Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: Årstall x (år) 0 11 y (taleminutter) Bruker funksjonen:, og klikker på A og så på B for å lage linjen. c) Når kommer vi til å slutte å snakke i fasttelefon ut fra modellen i oppgave b? I ,5355 år = 195 dager inn i 2014 d) Bruk tallene for 2001 og 2012 til å lage en lineær modell for hvor mange millioner minutter vi snakket i mobiltelefon i perioden Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: Årstall x (år) 0 11 y (taleminutter) Bruker funksjonen:, og klikker på D og så på E for å lage linjen. e) Når snakket vi like mye i fasttelefon som i mobiltelefon ut fra modellen fra oppgavene b og d? Lager punktet F ved hjelp av: Vi snakket like mye i fasttelefon som mobiltelefon 6,4872 år etter dager inn i

47 Oppgave 4.82 Tabellen viser ventet levealder for et nyfødt barn i Botswana. Her er x antall år etter År x (år) Levealder (år) a) Bruk tallene for 1950 og 1990 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (år) 0 40 y (levealder) b) Hvor godt passer modellen for året 1970? Bruker funksjonen: for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. Eller bruk funksjonen: der du først klikker på A og så på B. For å lage punktet C for 1970 ( ) og levealder = 56: Modellen passer meget godt for levealderen til nyfødte barn i Botswana for året c) Hvilken ventet levealder gir modellen for året 2010? Skriver inn: og lager punktet D med som viser en forventet levealder på 70.5 i Som er 70,5 år. d) I 2010 var ventet levealder i Botswana 53 år. Hvordan forklarer du at modellen passer så dårlig for 2010? Når ventet levealder i Botswana i 2010 er lavere enn ventet levealder i 1970 betyr det at populasjonen mennesker har blitt utsatt for ytre påvirkninger som er av en spesiell art, her kan tenkes epidemier, krig og sultkatastrofer... 47

48 4.9 Lineære regresjon Oppgave 4.90 Tabellen viser folketallet i verden i millioner i perioden Her er x antallet år etter Årstall x (år) Folketall (millioner) a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for folketallet y i millioner x år etter I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager punktet F med og en vertikal linje for året 2050: b) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9404 millioner. Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen? Modellen viser at folketallet i 2050 vil være ( ) Dette er 615 millioner mer. Modellen passer ikke så godt. 48

49 Oppgave 4.91 Tabellen viser den gjennomsnittlige høyden h for norske guttebarn etter alderen x. x (år) y (cm) a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for gjennomsnittshøyden y i centimeter når guttene er x år. I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager også en vertikal linje for alder = 18 år til oppgave c): Lager en vertikal linje for alder = 18 år til oppgave c): og punktet H med. b) Hvor høye er guttene i gjennomsnitt ved fødselen ifølge denne modellen? Er det en rimelig verdi? Punktet G, viser at modellen gir en høyde ved fødselen som er cm er det normale. c) Hvilken høyde gir modellen for gutter på 18 år? Vurder gyldighetsområdet ved å finne ut hvilken aldergruppe denne modellen kan passe for. Punkt H gir oss en høyde på cm. Gyldighetsområdet ser ut til å være noe mindre enn 4 år og noe mer enn 14 år. 49

50 Oppgave 4.92 a) Bruk tabellen i oppgave 4.82 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana x år etter Tabellen hentet fra oppgave 4.82: År x (år) Levealder (år) I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager punktet H med og en vertikal linje for året 2010: b) Hvor godt passer modellen for året 1970? For 1970, punkt C (x=20), passer modellen meget godt. c) I 2010 var forventet levealder i Botswana 53 år. Hvordan passer modellen for dette året? Modellen viser en levealder på 72.2 år, dette passer meget dårlig med modellen. 50

51 Stigningstallet (a)= y x eller a = y 2 y 1 x 2 x 1 51

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p 06.02.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Rette linjer / Lineære funksjoner DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 50 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 40 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 50 minutter og før hjelpemidlene

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

1 Funksjoner og grafiske løsninger

1 Funksjoner og grafiske løsninger Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

3 Formler, likninger og ulikheter

3 Formler, likninger og ulikheter Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Funksjoner og grafiske løsninger

Funksjoner og grafiske løsninger 8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Kapittel 5. Lineære funksjoner

Kapittel 5. Lineære funksjoner Kapittel 5. Lineære funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet repeterer vi stoffet om lineære funksjoner

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Lineære funksjoner - Elevark

Lineære funksjoner - Elevark Lineære funksjoner - Elevark -Navn: Oppgave 1 a) Hva koster det å reise for to personer? b) Hvor mange kan reise for 160 kr? c) Hva koster en billett? d) Vi kaller antall personer for x, og utgiftene for

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Karakter 2: 10p Karakter 3: 16p Karakter 4: 22p Karakter 5: 28p Karakter 6: 34p

Karakter 2: 10p Karakter 3: 16p Karakter 4: 22p Karakter 5: 28p Karakter 6: 34p 13.03.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Funksjoner og vekst DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 40 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 50 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 40 minutter og før hjelpemidlene kan benyttes)

Detaljer

Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p

Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p 03.05.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser, Prosent, Mønster, Tid, Tabeller, Diagrammer, Sentralmål, Spredningsmål, Rette linjer, Lineære funksjoner, Funksjoner og vekst, Sannsynlighetsregning DEL 1 (UTEN

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

5.9 Momentan vekstfart

5.9 Momentan vekstfart 5.9 Momentan vekstfart I kapittel 5.8 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon i et intervall. Nå skal vi finne den momentane vekstfarten. Det er vekstfarten i et punkt. Den er vanskeligere

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor.

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. Tall og figurer Eksamensoppgaver Våren 016 OPPGAVE 4 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. a) Skriv av tabellen nedenfor, og

Detaljer

Funksjoner 1T, Prøve 2 løsning

Funksjoner 1T, Prøve 2 løsning Funksjoner 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire rette linjer, j, k, m og n. Finn likningen for hver av de fire linjene.

Detaljer

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål Undervisningsopplegg 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 10 Bruk av GeoGebra i eksamensoppgaver I dette undervisningsopplegget skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner i eksamensoppgaver

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Regresjon med GeoGebra

Regresjon med GeoGebra Praksis og Teori Askim videregående skole 14.08.14 1 Lærplanmål 2 Punkter og Lister 3 Regresjon 4 Teori 5 Nytt verktøy Læreplanmål i 2P Modellering gjere målingar i praktiske forsøk og formulere matematiske

Detaljer

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

5.8 Gjennomsnittlig vekstfart

5.8 Gjennomsnittlig vekstfart 5.8 Gjennomsnittlig vekstfart Grete Grønn kjøper en plante som er 5 cm høy. Hun tror at den kommer til å vokse 2 cm per uke. Vi sier at vekstfarten er 2 cm/uke. Etter x uker er høyden av planten da gitt

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

Løsning eksamen 2P våren 2008

Løsning eksamen 2P våren 2008 Løsning eksamen 2P våren 2008 Oppgave 1 a) En avlesing av grafen viser at utgiftene er 40 000 kr når vi produserer 50 stoler. Utgiftene per stol blir 40 000 kr 50 = 800 kr b) 2,46 10 4 = 2,46 0,0001 =

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Fra Prøveveiledning, Matematikk 1P + 2P, Sentralt gitt skriftlig prøve etter forkurs i lærerutdanningene, 2016 1.6.2.1 Graftegner (programvare på datamaskin).

Detaljer

12 Areal. Vekst under grafer

12 Areal. Vekst under grafer 12 Areal. Vekst under grafer 1 a) Framstill denne funksjonen grafisk: f(x) = 3x + 2 b) Regn ut f(4) og f(3). f (4) f (3) Regn deretter ut. Forklar hva du finner ut. 4 3 f (5) f (2) c) Regn ut. Kommenter

Detaljer

Eksamen MAT1006 Matematikk 1T-Y. Nynorsk/Bokmål

Eksamen MAT1006 Matematikk 1T-Y. Nynorsk/Bokmål Eksamen 23.05.2016 MAT1006 Matematikk 1T-Y Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid Hjelpemiddel del 1 Hjelpemiddel del 2 Bruk av kjelder Eksamen varer i 4 timar. Del 1: 1,5 time Del 2: 2,5

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner,

Detaljer

Eksempelsett 2P, Høsten 2010

Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Grete og Per fyller etanol i et beger.

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00

Detaljer

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p 30.09.016 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser / Prosent / Mønster / Tid DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 45 minutter DEL (MED HJELPEMIDLER) 45 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 45 minutter og før hjelpemidlene

Detaljer

Kapittel 6. Funksjoner

Kapittel 6. Funksjoner Kapittel 6. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. Dette kapitlet handler blant annet om: Hva en funksjon er. Lineære

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y Funksjoner og vekst 3.1 Læreplanmål 1 5.1 Polynomfunksjoner 2 5.2 Polynomregresjon 8 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner 12 5.4 Potensregresjon 16 5.5 Eksponentialfunksjoner 19 5.6 Eksponentialregresjon

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering 4.1 Mer om lineær vekst 4.2 En lineær modell på øyemål 4.3 Lineær regresjon 4.4 Modellering med polynomfunksjoner 4.5 Modellering med eksponentialfunksjoner

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Matematikktentamen 1TY

Matematikktentamen 1TY Matematikktentamen 1TY Eksamen MATEMATIKK 1TY for yrkesfag 9. mai 2017 MAT 1006 8 sider inkludert forside og opplysningsside Side 1 av 8 Eksamenstid: Totalt fire klokketimer. Vi anbefaler at du ikke bruker

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 ºC Tirsdag 10 ºC Onsdag 1 ºC Torsdag 5 ºC Fredag 6 ºC Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet av noen dager.

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 =

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 = ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn Del 1: 2 timer. Maks 30,5 poeng. Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Bruk sort eller blå penn når du fører inn svar eller

Detaljer

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y Funksjoner og vekst 3.1 Læreplanmål 1 5.1 Polynomfunksjoner 2 5.2 Polynomregresjon 8 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner 12 5.4 Potensregresjon 16 5.5 Eksponentialfunksjoner 19 5.6 Eksponentialregresjon

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p

Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p 03.05.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser, Prosent, Mønster, Tid, Tabeller, Diagrammer, Sentralmål, Spredningsmål, Rette linjer, Lineære funksjoner, Funksjoner og vekst, Sannsynlighetsregning DEL 1 (UTEN

Detaljer

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = 6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År 989 990 99 992 993 994 År etter 989 0 2 3 4 5 Antall elever 00 5 30 År

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013 Tentamen matematikk GS3 Mandag 22. april 2013 DEL 1 Excel Oppgave 1. Hans låner 90 000 kr i banken til 4 % rente pr år. Nedbetalingstiden for lånet er 6 år. a) Lag tabellen nedenfor i Excel. År % rente

Detaljer

Løsning eksamen 2P våren 2008

Løsning eksamen 2P våren 2008 Løsning eksamen 2P våren 2008 Del 2. Oppgaver løst med pc og enkel lommeregner. Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

Lokalt gitt eksamen vår 2016 Eksamen

Lokalt gitt eksamen vår 2016 Eksamen Lokalt gitt eksamen vår 2016 Eksamen MATEMATIKK 1TY for yrkesfag MAT 1006 8 sider inkludert forside og opplysningsside Side 1 av 8 Eksamenstid: Totalt fire klokketimer. Vi anbefaler at du ikke bruker mer

Detaljer

Løsning eksamen S1 våren 2010

Løsning eksamen S1 våren 2010 Løsning eksamen S1 våren 010 Oppgave 1 a) 1) f ( x) x x f (1) 1 1 1 1 f ( x) 6x x f (1) 6 1 1 6 4 ) Grafen går gjennom punktet (1, 1) og har vekstfarten 4. Det betyr at tangenten i punktet har stigningstallet

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres

Detaljer

Prosent og eksponentiell vekst

Prosent og eksponentiell vekst 30 2 Prosent og eksponentiell vekst MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst 2.1 Prosentfaktorer Når vi skal regne

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.

Detaljer

Øveprøve November 2016

Øveprøve November 2016 Øveprøve November 2016 Prøvetid: Inntil 5 klokketimer. Prøven består av to delprøver: Delprøve 1 gjennomføres uten andre hjelpemidler enn vanlige skrivesaker. Du skal skrive svarene rett inn i oppgaveheftet.

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

7 t 11 t 14 t kr. 350 t kr. 1 Returkraft mottar avfall 2 [FUNKSJONER PÅ RETURKRAFT HEFTE B]

7 t 11 t 14 t kr. 350 t kr. 1 Returkraft mottar avfall 2 [FUNKSJONER PÅ RETURKRAFT HEFTE B] 2 [FUNKSJONER PÅ RETURKRAFT HEFTE B] 1 Returkraft mottar avfall Les dette høyt og svar på spørsmålene: Mathur er på avdeling A. Her tømmes søpla i en stor bunker. I løpet av ett år leveres ca 130 000 tonn

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Våren 2011 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir utdelt samtidig, men del

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Kapittel 9. Funksjoner

Kapittel 9. Funksjoner Kapittel 9. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. Dette kapitlet handler blant annet om: Hva en funksjon er. Lineære

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men del

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer