Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet"

Transkript

1 Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet

2 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette aksen kaller vi førsteaksen. Førsteaksen blir ofte kalt -aksen. Origo Førsteaksen (-aksen) Den loddrette aksen kaller vi andreaksen. Andreaksen blir ofte kalt -aksen. Skjæringspunktet mellom aksene kaller vi origo. EKSEMPEL Gjør slik: 6 6 P P Hva er koordinatene til punktet P? Vi finner førstekoordinaten til P ved å gå fra punktet og rett ned på -aksen. Førstekoordinaten er. Vi finner andrekoordinaten ved å gå fra punktet og rett inn på -aksen. Andrekoordinaten er. Punktet P har koordinatene (, ). Vi sier ofte at P er punktet (, ).

3 Funksjoner 0 A B C Se på figuren til venstre og fll ut. a Førstekoordinaten til A er. b Andrekoordinaten til A er. c A har koordinatene. d A er punktet. e Førstekoordinaten til B er. f Andrekoordinaten til B er. g B har koordinatene. h B er punktet. i C er punktet. 0 D A Se på figuren til venstre og fll ut. a B er punktet. b C er punktet. B c Hvilke av punktene har samme andrekoordinat? C d Hvilke av punktene har negativ førstekoordinat? EKSEMPEL Gjør slik: A A er punktet (, ). Merk av punktet A i koordinatsstemet. Vi skal merke av punktet (, ). Førstekoordinaten er og andrekoordinaten er. Da starter vi på på førsteaksen og går enheter oppover.

4 Funksjoner 0 6 Merk av punktene i koordinatsstemet til venstre. a (, ) b (, 0) c (, ) d (, ) a Merk av disse punktene i koordinatsstemet til venstre: (0, ), (0, ), (0, ) b Hvor ligger alle punktene som har null som førstekoordinat? Svar: c Merk av disse punktene i koordinatsstemet: (, 0), (0, 0), (, 0), (, 0) 6 d Hvor ligger alle punktene som har null som andrekoordinat? Svar:

5 Funksjoner Funksjonsbegrepet Vi har en tank med vann. Vi åpner en kran slik at det hvert minutt renner 0 liter vann inn i tanken. På figuren nedenfor står for antall minutter det har rent vann inn i tanken, og står for antall liter vann i tanken. 80 i liter grafen til 0 0 i minutter Av figuren ser vi at det etter fire minutter er 0 liter vann i tanken. 0 Bruk figuren ovenfor når du svarer på spørsmålene. a Hvor me vann er det i tanken etter 8 minutter? b Hvor lang tid tar det før det er 80 liter vann i tanken? c Hvor me vann var det i tanken da krana ble åpnet? Svar: Svar: Svar: Hvor me vann det er i tanken, er altså avhengig av hvor lenge det har rent vann inn i tanken. Vi sier at (hvor me vann det er i tanken) er en funksjon av (hvor lenge det har rent vann inn i tanken). NB! Når hver verdi av gir én bestemt verdi for, sier vi at er en funksjon av. Den rette linja på figuren viser sammenhengen mellom antall minutter det har rent vann inn i tanken, og vannmengden i tanken. Vi sier at den rette linja er grafen til funksjonen.

6 Funksjoner 06 I en vanntank er det 00 liter vann. Det begnner å renne vann ut av tanken. På figuren står for antall minutter det har rent vann ut av tanken, og V() for antall liter vann det er igjen i tanken etter minutter V() i liter i minutter Av figuren ser vi at det etter seks minutter er igjen 0 liter vann. Det kan vi skrive slik: V(6) = 0 Fll ut. a Etter åtte minutter er det igjen liter vann. Det kan vi skrive slik: b V(0) = c V(6) = d V(0) = EKSEMPEL C C 8 A D Figuren viser hvordan temperaturen varierte et vårdøgn. a Hva er toppunktet på grafen? b Hva er bunnpunktet på grafen? c Hva er nullpunktene? 6 B 0 Klokkeslett Gjør slik: a Toppunktet er det høeste punktet på grafen. Toppunktet er B. Koordinatene til toppunktet er (6, ). Temperaturen var høest kl. 6. Da var temperaturen C. b Bunnpunktet er det laveste punktet på grafen. Bunnpunktet er A. Koordinatene til bunnpunktet er (,,). Temperaturen var lavest kl.. Da var temperaturen, C. c Grafen skjærer førsteaksen to steder, i punktene C og D. Nullpunktene er og 0. Et nullpunkt er førstekoordinaten til skjæringspunktet mellom grafen og førsteaksen.

7 Funksjoner 07 C 6 Klokkeslett Figuren viser hvordan temperaturen varierte fra midnatt til klokka 9 en dag i mars. a Hva var temperaturen klokka? b Når var temperaturen høest? c Hva var den høeste temperaturen i dette tidsrommet? d Hva var den laveste temperaturen i dette tidsrommet? e Når var temperaturen høere enn C? Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: f Sett en ring rundt nullpunktene til funksjonen.

8 6 Funksjoner Lineære funksjoner Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. = + og = er to eksempler på lineære funksjoner. Grafene er rette linjer. EKSEMPEL Tegn grafen til = +. Gjør slik: Vi velger noen verdier for og regner ut -verdiene. Det er nok å velge to verdier for, men vi velger tre. Da vil det tredje punktet fungere som en «kontroll». Vi velger -verdiene, 0 og. = + = gir = ( ) + = + = = 0 gir = 0 + = 0 + = = gir = + = + = Dette gir verditabellen: 0 Verditabellen gir oss punktene (, ), (0, ) og (, ). Vi merker av punktene i et koordinatsstem, og trekker linja. (, ) (0, ) (, ) På figuren ovenfor har vi skrevet koordinatene ved siden av punktene. Du trenger ikke gjøre det når du tegner. 08 Tegn linja = +. 6 Velg -verdiene, 0 og. = + = gir: = + = + = = 0 gir: = gir: = + = + = = + = + = Fll ut de tomme rutene i verditabellen. 6 Verditabellen gir punktene:, og Merk av punktene i koordinatsstemet til høre, og tegn linja.

9 Funksjoner 7 09 Vi har gitt linja =. a Fll ut verditabellen. 0 Regn her: = gir = = = = 0 gir = = = = gir: b Verditabellen gir oss tre punkter:, og c Tegn linja. 6 6 Stigningstall og konstantledd NB! Alle lineære funksjoner kan skrives på formen = a + b der a er stigningstallet og b er konstantleddet. Grafen blir alltid en rett linje. Stigningstallet a viser hvor me øker når øker med. Konstantleddet b viser hvor linja skjærer andreaksen. b = a + b a

10 8 Funksjoner EKSEMPEL Gjør slik: a Finn stigningstallet og konstantleddet til den rette linja. a Stigningstallet viser hvor me øker når øker med. Velg et punkt på linja. Du kan for eksempel velge punktet (, ). Gå én mot høre. Da må du gå to oppover (i positiv retning) for å komme til linja igjen. Stigningstallet er. Du kan altså velge hvilket punkt du vil på linja. Stigningstallet er alltid det samme. Velger du punktet (, ), og går én mot høre må du gå to oppover for å komme til linja igjen. Stigningstallet er. Konstantleddet viser hvor linja skjærer andreaksen. Konstantleddet er. b Finn likningen for linja b Alle rette linjer kan skrives på formen = a + b a er stigningstallet, a =. b er konstantleddet, b =. =

11 Funksjoner 0 a Se på figuren til venstre og fll ut. Stigningstallet er. a = Konstantleddet er. = a + b = + b = Likningen for linja er. b Se på figuren til venstre og fll ut. Stigningstallet er. Konstantleddet er. Likningen for linja er. 9

12 60 Funksjoner a Tegn linja som har konstantledd og nullpunkt. b Tegn linja som har konstantledd og nullpunkt. 6 6 Stigningstallet kan være positivt, negativt eller null. Legg merke til at vi kaller det stigningstall selv om det er negativt. NB! a > 0 a = 0 a < 0 Når stigningstallet er positivt, stiger linja mot høre. Når stigningstallet er negativt, snker linja mot høre. Når stigningstallet er null, går linja parallelt med -aksen. Tegn disse linjene i koordinatsstemet til høre. a En linje med konstantledd og stigningstall 0. Kall linja for l. b En linje med konstantledd og negativt stigningstall. Kall linja for m. 6 6

13 Funksjoner 6 Du skal finne stigningstallet, konstantleddet, nullpunktet og likningen for hver av linjene nedenfor. Husk at nullpunktet er førstekoordinaten til skjæringspunktet mellom linja og førsteaksen (-aksen). a Stigningstallet er: a = Konstantleddet er: b = Nullpunktet er: = a + b Likningen for linja er: b Stigningstallet er: Konstantleddet er: Nullpunktet er: Likningen for linja er: f(), g(), V(t) hva betr disse skrivemåtene? Vi har til nå skrevet rette linjer på formen = a + b. = + kjenner du nå igjen som en rett linje. Vi kunne også ha skrevet den samme linja slik: f() = +. f() leser vi som: f av. f er navnet på funksjonen (navnet på linja). f() betr at f er en funksjon av, er den variable. f() = + Navnet på den variable Navnet på funksjonen f() = + = + = g() betr at funksjonen heter g og at den variable heter. V(t) betr at funksjonen heter V og at den variable heter t. Vi kan altså bruke forskjellige bokstaver (forskjellige navn) på funksjonen, og vi kan bruke forskjellige bokstaver for den variable ikke bare.

14 6 Funksjoner Rette linjer med digitalt verktø I denne boka bruker vi GeoGebra som digitalt verktø. I tabellen nedenfor finner du viktige kommandoer i GeoGebra. Kommando (verktøknapp) Innstillinger og Avrunding Vis og Utforming Her kan du velge hvor mange desimaler du vil ha. Her finner du blant annet muligheten til å endre navn på aksene. Bak denne knappen finner du verktø til blant annet å fltte, forstørre og forminske grafikkfeltet. Et nttig knep: Klikk på knappen, nå får du en hånd i grafikkfeltet. Fltt hånda bort til en av aksene. Når hånda blir til en dobbeltpil, holder du venstre mustast nede. Du kan nå dra i aksene. Prøv dette! Denne finner du bak knapp nummer to fra venstre. Finner skjæringspunktet mellom to linjer. Klikk én gang på hver linje, eller i nærheten av skjæringspunktet. Med denne kan du legge inn tekst i grafikkbildet. Klikk på knappen og deretter i grafikkbildet. Skriv inn teksten du vil ha. Avslutt med OK. Du kan nå dra teksten dit du vil. I eksemplene nedenfor viser vi hvordan du bruker noen kommandoer i GeoGebra. Øv deg på å bruke GeoGebra, det vil du ha stor ntte av! Husk at du må bruke desimalpunktum, ikke desimalkomma. EKSEMPEL 6 Tegn linja f() =, med GeoGebra. Gjør slik: Vi skriver: og trkker Enter. Husk desimalpunktum.

15 Funksjoner 6 Gjør det samme som i eksempel 6. Du gir andreaksen navnet f() slik: Klikk på Vis og velg Utforming. Klikk på knapp nummer to fra venstre. Klikk på Akse, da får du disse mulighetene: Her kan du skrive inn navn på -aksen, og eventuell enhet. Klikker du på Akse, får du de samme mulighetene for -aksen. Du kan også høre klikke i grafikkfeltet for å få fram hurtigmenen. Da må du først passe på at ikke noe er merket i algebrafeltet. Bruk digitalt verktø til å tegne grafene til disse funksjonene. Pass på at du gir aksene riktig navn. a f() =, + b g() = +, c K() =, + 7,8

16 6 Funksjoner EKSEMPEL 7 a Tegn linja f() = + for. Gjør slik: a betr at linja f skal tegnes for -verdier fra og med til og med. Det gjør vi ved å bruke kommandoen Funksjon [<Funksjon>,<Start>,<Slutt>] Vi skriver: Enter. og trkker b Finn f(,) b f(,) betr at vi skal finne f() når =,. Vi skriver:, og trkker Enter. Svaret står i algebrafeltet: f(,) = 6,6 6 a Tegn linja f() = + for. b Bruk knappen til å fltte grafikkfeltet opp i øverste høre hjørne, og juster aksene slik at figuren din blir lik figuren i eksemplet. c Klikk på, klikk i grafikkfeltet og skriv inn: f() = +. Huk av for LaTeX-formel, og trkk OK. Dra teksten bort til linja. Du kan også dra teksten direkte fra algebrafeltet, og dit du ønsker. Prøv begge metodene! 7 a Tegn grafen til f() = +, 6. Finn f(,). b Tegn grafen til g() = + 0, 0 0. Finn g(,7). c Tegn grafen til h() =, + 6,, 0. Finn h(8,7).

17 Funksjoner 6 EKSEMPEL 8 Finn skjæringspunktet mellom linjene f() = og g() = + med digitalt verktø. Gjør slik: Vi tegner begge linjene i samme koordinatsstem. Vi finner skjæringspunktet mellom linjene ved å bruke verktøknappen «Skjæring mellom to objekt»: Klikk en gang på hver linje (eller i nærheten av skjæringspunktet). I algebrafeltet ser vi koordinatene til skjæringspunktet. Høreklikk på punktet, og velg Egenskaper. Til høre for Vis navn klikker vi på den lille pila nedover, og velger Verdi. Da ser det slik ut: Skjæringspunktet er (, ). 8 a Tegn grafene til f() = 0, + og g() = 8, i samme koordinatsstem. b Finn skjæringspunktet mellom linjene. c Høreklikk på skjæringspunktet, og velg Egenskaper. Så forandrer du navnet på punktet til Skjæringspunkt. I menen til høre for Vis navn velger du: Navn og verdi. d Finn f( 7,). 9 a Tegn grafene til f() = + 8, og g() = 8, + 0 i samme koordinatsstem. Linja g skal tegnes for, og den skal være rød. (Tips: Høreklikk på g og velg Egenskaper.) b Finn skjæringspunktet mellom linjene. Skjæringspunktet skal være blått, og vi skal se koordinatene til skjæringspunktet. c Finn g(,).

18 66 Funksjoner Lineær vekst NB! Når noe vokser (eller minker) like me per km, per time, per år eller liknende, er det en lineær vekst. En lineær vekst kan alltid beskrives med en lineær funksjon, det vil si en funksjon på formen f() = a + b. EKSEMPEL 9 Hos et drosjeselskap er startprisen 0 kr. Deretter koster det kr per kilometer. a Hvor me koster en drosjetur på 8 kilometer? b La P() være prisen i kroner for en drosjetur på kilometer. Finn en formel for P(). c Tegn grafen til P for 0 0. Gjør slik: a Pris for 8 km: 0 kr + kr 8 = 0 kr + 00 kr = 0 kr b P() = startprisen + antall kjørte kilometer P() = 0 + c I GeoGebra skriver vi:. d Hvor langt kan vi kjøre for 0 kr? d Vi legger inn linja = 0 og bruker verktøet «Skjæring mellom to objekt»: til å finne skjæringspunktet mellom linja og linja P. Skjæringspunktet er (7,, 0). Det betr at vi kan kjøre 7, km for 0 kr.

19 Funksjoner 67 0 Når Kjell har flt «full tank», har han 60 liter bensin på tanken. Bilen til Kjell bruker 0,8 liter bensin per mil. Kjell starter med full tank. a Hvor mange liter bensin har han igjen på tanken etter 0 mil? b Etter at Kjell har kjørt mil, har han igjen V() liter bensin, V() er gitt ved V() = 60 0,8. Forklar hvordan vi kommer fram til denne formelen. c Tegn grafen til V. d Hvor langt har Kjell kjørt når han har igjen 0 liter bensin? e Bruk grafen til å finne hvor langt Kjell kan kjøre før tanken er tom. a Har igjen: 60 = 60 = Han har igjen liter bensin. Skriv her: Trude jobber som selger. Hun får en fast lønn på 00 kr per dag pluss kr for hvert salg hun har. a En dag har hun hatt 0 salg. Hvor me har hun tjent denne dagen? b La I() kr stå for inntekten en dag hun har hatt salg. Finn et uttrkk for I(). c Tegn grafen til I. d Hvor mange salg må Trude ha for å tjene mer enn 000 kr? a Hun har tjent: kr b d Hun må ha hatt minst salg.

20 68 Funksjoner Proporsjonalitet NB! Når to størrelser og øker i samme i takt, kan vi skrive = k, der k er et fast tall. Tallet k kaller vi proporsjonalitetskonstanten. EKSEMPEL 0 Elin tjener 0 kr per time. Vi lar kr være lønna når hun jobber timer. Er og proporsjonale størrelser? Gjør slik: Sammenhengen mellom og kan vi skrive slik: = 0 og er derfor proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 0. Parth tjener 0 kr per time. a Skriv sammenhengen mellom lønna kr og antall timer han jobber. b Er lønna kr og antall timer han jobber, proporsjonale størrelser? c Hva er proporsjonalitetskonstanten? Svar: Svar: Svar: I en butikk koster laksekaker 0 kr per kg. a Er prisen kr proporsjonal med vekten kg vi kjøper? b Hva er proporsjonalitetskonstanten? Svar: Svar: Vi setter kursen for euro lik 7,0. Sammenhengen mellom euro og norske kroner er da = 7,0. a Hva koster 0 euro? Regn her: b Er norske kroner og euro proporsjonale størrelser? c Hva er proporsjonalitetskonstanten? Svar: Svar:

21 ig _ Maria tjener 0 kr per time. Formelen for lønna til Maria er =0. Vi tegner grafen til formelen for lønna. Funksjoner 69 kr = timer Bruk figuren til å finne når =. Regn ut. Gjør slik: Av figuren ser vi at = 600 når =. 600 = = 0 a Bruk figuren til å finne når =. Regn ut. Regn her: = når = = = b Bruk figuren til å finne når =. Regn ut. Regn her: = når = = = I oppgave er forholdet lik timelønna til Maria, som altså er 0 kr. NB! Når og er slik at er en konstant, er og proporsjonale størrelser. En graf som viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, vil alltid være en rett linje som går gjennom origo.

22 70 Funksjoner EKSEMPEL I en kjøttdisk ligger det forskjellige pakker med karbonadedeig. Tabellen viser vekten m i kg og prisen P i kroner for pakkene. m (kg) 0, 0,6 0,7 P (kr),00 66,00 8,0 Er prisen og vekten proporsjonale størrelser? Hva er proporsjonalitetskonstanten? Gjør slik: P,00 = =0 m 0, P 66,00 = =0 m 0,6 P m = 8, 0 07 = 0, P er konstant. m Prisen og vekten er proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 0. Prisen per kilogram er 0 kr. 6 Vaskepulveret Superrent selges i pakninger på 0, kg, 0,8 kg og, kg. Vekt m i kg 0, 0,8, Pris P i kr 0,00,00 8,00 a Er prisen og vekten proporsjonale størrelser? Regn her: P m = = P m = = P m = = b Hva er prisen per kilogram? Svar:

23 Funksjoner 7 Omvendt proporsjonalitet NB! Når to størrelser endrer seg slik at en dobling av den ene fører til en halvering av den andre, sier vi at de er omvendt proporsjonale. EKSEMPEL Det koster 9000 kr per uke å leie en htte. Noen venner blir enige om å leie htta. a Hva blir prisen per person dersom de blir tre stkker? b Hva blir prisen per person dersom de blir seks stkker? Gjør slik: a Pris per person = 9000 kr = 000 kr b Pris per person = kr = 00 kr Når antall personer dobles fra tre til seks, blir prisen per person halvert. Dette er altså et eksempel på omvendt proporsjonalitet. 7 Et 0-dagers periodekort på bussen koster 00 kr. a Hva blir prisen per reise dersom du reiser 0 ganger per måned? b Hva blir prisen per reise dersom du reiser 0 ganger per måned? c Forklar at dette er et eksempel på omvendt proporsjonalitet. Svar her:

24 7 Funksjoner 8 Kristine trener på treningsstudioet Ursus. Hun betaler en fast medlemskontingent per måned, og kan da trene så ofte hun vil. Figuren viser sammenhengen mellom antall treninger per måned og prisen per trening Kr Antall treninger per måned a Bruk figuren til å flle ut tabellen. Antall treninger per måned () 6 Pris per trening ( kr) b Vi utvider tabellen med en rad der vi regner ut. Fll ut tabellen. Antall treninger per måned () 6 Pris per trening ( kr) NB! Når to størrelser og varierer slik at produktet holder seg konstant, er og omvendt proporsjonale. 9 Campingplassen Elvero leier ut htter med åtte sengeplasser. Tabellen viser hvordan prisen per person varierer med antall personer i htta. Prisene gjelder for én uke. Antall personer,. 6 8 Pris per person, kr a Er prisen per person og antall personer omvendt proporsjonale størrelser? Svar: b Hvor me koster det å leie htta per uke? Svar:

25 Funksjoner 7 Polnomfunksjoner f() = + + er eksempel på en polnomfunksjon av andre grad. g() = + + er eksempel på en polnomfunksjon av tredje grad. EKSEMPEL Paulsen&Hosar selger voksls. De har funnet ut at inntekten f() kr per uke er gitt ved f() = der er prisen per voksls. a Tegn grafen til f for 0. Gjør slik: a Vi bruker kommandoen Funksjon [<Funksjon>,<Start>,<Slutt>], og skriver inn: Legg merke til at funksjonen automatisk får navnet f. b Finn den største inntekten de kan få. Hva er prisen per voksls da? b Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[f]: Toppunktet er (0,, 0). Den største inntekten er 0 kr per uke. Den får de når prisen per voksls er 0,0 kr. c Hva må prisen per voksls være for at inntekten skal bli 9000 kr? c Vi tegner linja = 9000, og finner skjæringspunktene mellom og grafen til f med verktøet «Skjæring mellom to objekt»:. Skjæringspunktene er (6, 9000) og (, 9000). Hvis prisen er enten 6 kr eller kr, blir inntekten 9000 kr per uke.

26 7 Funksjoner 0 På et cruiseskip brter det ut en influensaepidemi. dager etter at epidemien har brutt ut er antall ske gitt ved f() = + 0. a Tegn grafen til f for 0 0. b Når er det flest ske? Hvor mange ske er det da? c Finn f(). Hva forteller dette deg? d Hvor mange dager går det fra epidemien brter ut til alle er friske igjen? En drestamme blir satt ut på en ø. De første 8 årene er antall dr i bestanden gitt ved modellen N() = 0,8,0 0, Her står N for antall dr, og for antall år etter at drebestanden ble satt ut. a Tegn grafen til N for 0 8. Tips: Hvis du vil at funksjonen skal hete N, bruker du kommandoen: N() = Funksjon [<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]. b Hvor mange dr var det i bestanden etter tre år? c Når var det færrest dr i bestanden og hvor mange var det da? d Når var det 8 dr i bestanden? Høden i centimeter til en busk er de første ukene tilnærmet gitt ved h ( ) = 0, , 070 +, 0 + 0, der er antall uker etter at den ble plantet. Dette er en god modell for de 0 første ukene. a Tegn grafen til h. b Hvor hø var busken da den ble plantet? c Hvor mange uker tar det før høden passerer 0 cm? Svar her:

27 Funksjoner 7 Eksamensoppgaver Uten hjelpemidler (Våren 0) I en tank er det 60 L vann. Hver dag tapper vi,0 L vann fra tanken. Hvor me vann er det igjen i tanken etter åtte dager? Hvor mange dager går det før tanken er tom? Regn her: (Våren 0) Hårspraen «Hard Head» selges i tre ulike størrelser. Se figuren til høre. En spraboks med 00 ml hårspra koster 0 kroner. Hva skulle «Biggie» og «Mini» ha kostet dersom pris og millimeter hadde vært proporsjonale størrelser? Regn her: Hair spra Hair spra Hair sp Biggie 600 ml Normal 00 ml Mini 00 ml

28 76 Funksjoner Med hjelpemidler (Våren 0) Funksjonen h gitt ved h(t) =,t 0t + 70t var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden Ifølge modellen var det h(t) hjort i kommunen t år etter. januar 990. a Tegn grafen til h for 0 t 0. b Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da? Svar her: 6 (Våren 0) Funksjonen f gitt ved f() = 0,0 +,60 + 0,0 viser sammenhengen mellom alder og vekt for en tpe griser. Her er f() vekten til en gris målt i kilogram når grisen er måneder gammel. Tegn grafen til f for 0. Hvor me veier en gris ved fødselen? Svar her: 7 (Våren 0) Antall gram CO en bil slipper ut per kilometer er gitt ved f() = 0,06 6, der er farten til bilen målt i km/h. a Tegn grafen til f i et koordinatsstem for -verdier fra 0 til 00. b Hvor mange gram CO slipper bilen ut per kilometer, dersom den holder en fart på 60 km/h? Svar her:

29 6 Fasit 7 a 0,0 b 0, c 0, d 0,0 8 a c = % b = % 0 00 = 0 % 9 a 0 % b 0 % c % d % e 0 % f % 60 a % b % c 8 % d % e % 6 a 80 % b 70 % c 8 % d % 6 a % b 7 % 6 60 % 6 a 0 b 600 c 8 6 8,88 kr 66 a 700 kr b 00 kr 67 a 80 kr b 00 kr 68 a 7,0 kr b 7,0 kr 69 a kr b kr 70 a 0 kr b 00 kr 7 a 0 % b 0 % c 7 % 7 a 0 % b 60 % 7 a, % b 7, % 7 a 8 % b, % c % 7 a % b 0 % 76 a prosentpoeng b, % 77 a,6 prosentpoeng b 8,0 % 78 a, prosentpoeng b, % 79 a, prosentpoeng b 6, % 80 a Ca. 0 minutter b Ca. 0 minutter 8 a Oppland b Oslo c Hedmark, Oppland, Vestfold, Telemark, Sogn og Fjordane, Møre og Romsdal, Sør-Trøndelag, Nord-Trøndelag, Nordland, Troms, Finnmark 8 Ca. 0 kr 8 Ca. kr 8 80 % 8 60 % 86 a Bensin (9) Algebra 0 a 9 b c 0 a b 8 c 0 a b c 0 a 9 b c 0 a + 9 b + c + 06 a + 8 b c 07 a = b = c = 08 a = b = 9 c = 09 a = 7 b = c = 9 0 a = b = c = 9 a = b = 6 c = a = b = 6 c = 6 = 7 a = b = c = a = b = c = 6 a = 6 b = c = 6 7 a = 6 b = c = 7, 8 =,68 9 a = 6 b = c = 0, 0 a = 6 b = c = d = 0 a = eller = b =, eller =, c = 0 eller = 0 d =,6 eller =,6 a = b =, c = d =,6 a b 6 0 dl iskrem, g mørk sjokolade og, ss smør 7 a 0 km/h b 6 km/h 8 a 7 kwh b 0 kwh 9 a 00 slag per minutt b 98 slag per minutt 0 a 0 C b 6 C c 0 C a dr b 00 dr 98 slag/min dl ris, 0 dl vann og, L melk 7, g karbohdrater, L vann 6 6, NOK Funksjoner 0 a b c (, ) d (, ) e f g (, ) h (, ) i (, ) 0 a (, ) b (, ) c A og D d C og D 0 b På -aksen d På -aksen 0 a 60 liter b minutter c 0 liter 06 a 0 V(8) = 0 b 0 c 0 d 0 07 a C b :0 c,8 C d,7 C e mellom 9 og 6 08 (, ), (0, ), (, ) 09 b (, ), (0, ) og (, ) 0 a a = og b =, = b a = og b =, = + a a =, b =. Nullpunktet er. = + b a =, b =. Nullpunktet er,. = + 7 a f(,) = 9, b f(,7) = 8, c f(8,7) = 9, 8 b (0,6,,7) d f ( 7, ) = = 76, 0

30 Fasit 7 9 b (6,, 9,7) c 689 g(,) = = 68, a liter d 0 mil e 7 mil a 90 kroner b I() = d salg a = 0 b ja, siden = k c 0 a ja, = 0 b 0 a 7 kr b ja, = k c 7,0 a = 0 når = 6 a b = 00 når = 0 = = 0 00 = = 0 0, 00, 00 8, 00 = = = = 0 0, 08,, Ja, prisen og vekten er proporsjonale størrelser. b 0 kroner per kilogram 7 a 0 kroner b kroner c Vi har at en dobling av antall reiser halverer pris per reise. 8 Antall treninger 6 per måned () Pris per trening () Antall 6 personer () Pris per person () a ja b 000 kroner 0 b Etter 0 dager, da er det 00 ske c f() =. Antall ske dag er. c 0 dager b 76 dr c Etter ca., år, da var det ca. 70 dr d Etter ca. 7 år b 0 cm c 6, uker dager Biggie må koste 0 kroner og Mini må koste kroner Februar 99, det var da ca. 870 dr 6 0,0 kg 7 9,6 gram Lengder og vinkler 0 80 dm 0 dm 0 60 cm 0 7, cm 0 0 mm m m cm cm mm 0 mm m meter desimeter centimeter millimeter , , ,6, ,07 0, ,07 0,7 7, 7 0,009 0,09 0,9 9,6 cm 0,8 cm 6 6,9 dm 7 0,6 m 8, mil 9 0,8 dm 0 0,69 m 0,067 m 0,0 mil mil km m cm , , ,, ,8, ,07 0, ,0 0, , ,08 m, cm, mm, cm, dm a = b < c > d > e = f < g > h < i > j = 6 a 7, m b, m c 9 mm 7 a km b 7 km

Matematikk for yrkesfag

Matematikk for yrkesfag John Engeseth Odd Heir BOKMÅL fo re nk Håvard Moe l t e Særtrykk Matematikk for yrkesfag Innhold 1 Tall Vi øver på å legge sammen og trekke fra 4 Regning med positive og negative tall 5 Vi øver på å gange

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Kapittel 5. Lineære funksjoner

Kapittel 5. Lineære funksjoner Kapittel 5. Lineære funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet repeterer vi stoffet om lineære funksjoner

Detaljer

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = 6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År 989 990 99 992 993 994 År etter 989 0 2 3 4 5 Antall elever 00 5 30 År

Detaljer

Kapittel 6. Funksjoner

Kapittel 6. Funksjoner Kapittel 6. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. Dette kapitlet handler blant annet om: Hva en funksjon er. Lineære

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Kapittel 9. Funksjoner

Kapittel 9. Funksjoner Kapittel 9. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. Dette kapitlet handler blant annet om: Hva en funksjon er. Lineære

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

3 Formler, likninger og ulikheter

3 Formler, likninger og ulikheter Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013 Tentamen matematikk GS3 Mandag 22. april 2013 DEL 1 Excel Oppgave 1. Hans låner 90 000 kr i banken til 4 % rente pr år. Nedbetalingstiden for lånet er 6 år. a) Lag tabellen nedenfor i Excel. År % rente

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene.

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 2x 10 x( x 5) x b) lg 3 5 2 Oppgave 2 (1 poeng) Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet 995 995 Oppgave 3 (2 poeng) Løs

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner,

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Eksamen 1P, Våren 2011

Eksamen 1P, Våren 2011 Eksamen 1P, Våren 2011 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Markus har vært på Island. I banken betalte

Detaljer

Algebra Vi på vindusrekka

Algebra Vi på vindusrekka Algebra Vi på vindusrekka Utsagn... 2 Åpne utsagn... 3 Den ukjente... 4 Likhetstegnet... 5 Likninger... 6 Løs likninger... 7 Matematiske uttrykk... 8 Formel... 9 Tilordning... 10 Funksjon... 11 Koordinatsystem...

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

Eksamen 25.05.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2011 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Noen elever skal leie en hytte. Prisen per elev er omvendt proporsjonal med antall elever som blir med på hytteturen.

Noen elever skal leie en hytte. Prisen per elev er omvendt proporsjonal med antall elever som blir med på hytteturen. Oppgave 3 (2 poeng) Antall elever 5 10 Pris per elev (kroner) 600 100 Noen elever skal leie en hytte. Prisen per elev er omvendt proporsjonal med antall elever som blir med på hytteturen. a) Tegn av tabellen

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om koordinatsystemer og rette linjer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om koordinatsystemer og rette linjer Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om koordinatsystemer og rette linjer Kilde: www.clipart.com 1 Funksjoner. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Tall og algebra Vg1P MATEMATIKK

Tall og algebra Vg1P MATEMATIKK Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1: Regnerekkefølgen... 2 Modul 2: Overslagsregning og hoderegning... 3 Modul 3: Brøkregning... 9 Modul 4: Koordinatsystemet... 12 Modul 5: Forhold... 14 Modul 6: Proporsjonale

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 01 Oppgave 1 ( poeng) Hilde skal kjøpe L melk,5 kg poteter 0,5 kg ost 00 g kokt skinke Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale. L melk:14,95 kr 15

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Løsningsforslag for 1P høsten 2015

Løsningsforslag for 1P høsten 2015 Løsningsforslag for 1P høsten 015 Dette løsningsforslaget er mest en veiledning til hvordan oppgaven kan løses og forstås. Noen av forklaringene som er gitt kan greit utelates i en besvarelse. Del 1 Oppgave

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635 6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Markus har vært på Island. I banken betalte han 5,25 norske kroner for 100 islandske kroner (ISK). Land Kode Kurs Island ISK 5,25 a) Markus besøkte Hallgrimskirka

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

HL langrenn Stafett Startliste 02.03.2014 09:00:00

HL langrenn Stafett Startliste 02.03.2014 09:00:00 Agder og Rogaland skikrets 10 Agder og Rogaland skikrets lag 1 36 Agder og Rogaland skikrets lag 2 50 Agder og Rogaland skikrets lag 3 72 Agder og Rogaland skikrets lag 4 115 Agder og Rogaland skikrets

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Koordinatsystemet 4.2 Funksjonsbegrepet 4.3 Grafen til en funksjon 400, 401, 402, 404, 405, 407, 411, 413 415, 416, 419, 420

Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Koordinatsystemet 4.2 Funksjonsbegrepet 4.3 Grafen til en funksjon 400, 401, 402, 404, 405, 407, 411, 413 415, 416, 419, 420 4 Funksjoner Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne undersøke funksjoner som eskriver praktiske situasjoner ved å estemme skjæringspunkter, nullpunkter, ekstremalpunkter og stigning

Detaljer

Lineære funksjoner - Elevark

Lineære funksjoner - Elevark Lineære funksjoner - Elevark -Navn: Oppgave 1 a) Hva koster det å reise for to personer? b) Hvor mange kan reise for 160 kr? c) Hva koster en billett? d) Vi kaller antall personer for x, og utgiftene for

Detaljer

Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: Andre opplysninger: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 13.03.2013 Manual til Excel 2010 For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innholdsfortegnelse Huskeliste... 3 Lage en formel... 3 Når du får noe uønsket som f.eks. en dato i en celle... 3

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

18.07.2013 Manual til Excel. For mellomtrinnet. Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

18.07.2013 Manual til Excel. For mellomtrinnet. Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 18.07.2013 Manual til Excel 2010 For mellomtrinnet Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Husk... 2 1. Det kan bare være tall i cellene som skal brukes i formelen.... 2 2. En

Detaljer

I butikk A koster druene 100 kroner. (Du betaler for to beger = en kg, og får siste beger "gratis").

I butikk A koster druene 100 kroner. (Du betaler for to beger = en kg, og får siste beger gratis). 1P 2012 høst LØSNING DEL EN Oppgave 1 Butikk A : I butikk A koster druene 100 kroner. (Du betaler for to beger = en kg, og får siste beger "gratis"). Butikk B: Oppgave 2 I butikk B koster druene 10 kr.

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Skriv som prosent a) 0,451 b) 5 25 Oppgave 2 (2 poeng) a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike. b) Bestem lengden av siden BC ved regning. Eksamen

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, så regner symbolsk. Det vil si at

Detaljer

Breddegradene er linjene som gôr parallelt med ekvator. Lengdegradene er linjene som gôr fra pol til pol. Den vannrette aksen, ogsô kalt försteaksen

Breddegradene er linjene som gôr parallelt med ekvator. Lengdegradene er linjene som gôr fra pol til pol. Den vannrette aksen, ogsô kalt försteaksen Breddegrader Lengdegrader Koordinatsystem Breddegradene er linjene som gôr parallelt med ekvator. Lengdegradene er linjene som gôr fra pol til pol. Et koordinatsystem bestôr av to akser. Aksene er tallinjer

Detaljer

for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor

for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor 46 2 Forhold og prosent MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...

Detaljer

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål Undervisningsopplegg 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 10 Bruk av GeoGebra i eksamensoppgaver I dette undervisningsopplegget skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner i eksamensoppgaver

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til?

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? 14 Vi starter med blanke regneark! Regneark MÅL I dette kapitlet skal du lære om hva et regneark er budsjett og regnskap hvordan du kan gjøre enkle utregninger

Detaljer

På reise Nivå: Formål: Program: Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: Tall og algebra: Grafer og funksjoner:

På reise Nivå: Formål: Program: Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: Tall og algebra: Grafer og funksjoner: På reise Nivå: 8. og 9. klasse Formål: Arbeide med lineære funksjoner og verktøyprogram Program: Regneark, kurvetegningsprogram Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: registrere og formulere

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 30 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Oppgave 2 (1 poeng) På et kart er avstanden fra et punkt A til

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

S1 kapittel 3 Lineær optimering

S1 kapittel 3 Lineær optimering S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Personell i Den offentlige tannhelsetjenesten, budsjetterte årsverk og ledige stillinger Fylkesvis 1992-2002

Personell i Den offentlige tannhelsetjenesten, budsjetterte årsverk og ledige stillinger Fylkesvis 1992-2002 Personell i Den offentlige tannhelsetjenesten, budsjetterte årsverk og ledige stillinger Fylkesvis 1992-2002 Antall budsjetterte årsverk, omregnet til stilling med 1648,8t (1992-2000), 1634,3t (2001) og

Detaljer

Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall.

Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall. Oppgave 4 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig a a 3 0 a a 3 2 5 Oppgave 5 (1 poeng) Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

Sinus 1P Y > Tall og mengde

Sinus 1P Y > Tall og mengde 1 Book Sinus 1P-Y.indb Sinus 1P Y > Tall og mengde 2014-07-2 14:47:09 Tall og mengde MÅL for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale

Detaljer

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t 10 Funksjoner En funksjon er i matematisk forstand en (entydig) sammenheng mellom to eller flere variabler. Hvis Mari, som er en skoleelev på 16 år, har en lørdagsjobb og tjener kr 70 per time, vil hennes

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer