Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne

Transkript

1 3 Modellering Innhold Modul 1: Lineære modeller og lineær regresjon... Modul : Potensfunksjon som modell... 7 Modul 3: Eksponentialfunksjon som modell... 9 Modul 4: Polynomfunksjoner som modeller Modul 5: Andre typer modeller og mønstre Modul 6: Matematiske modeller som grunnlag for beslutninger... Bildeliste... 5 Kompetansemål Modellering, VgP Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller utforske matematiske modeller, sammenligne ulike modeller som beskriver samme praktiske situasjon, og vurdere hvilken informasjon modellene kan gi, og hvilke gyldighetsområde og avgrensninger de har bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon 1

2 Modul 1: Lineære modeller og lineær regresjon En matematisk modell kan være en formel som viser sammenhengen mellom to størrelser, Når formelen er av typen y ax b der a og b er konstante tall, har vi en lineær matematisk modell. Grafene som beskriver slike sammenhenger, er rette linjer. Derav navnet lineær modell. Modell for omkretsen av en sirkel Vi vil undersøke sammenhengen mellom radius i en sirkel og omkretsen av sirkelen. For å samle inn data kan vi finne sirkelformede gjenstander og måle sammenhørende verdier av radius og omkrets. Vi kan også bruke GeoGebra til å finne noen sammenhørende verdier. Bruk GeoGebra til å tegne fire sirkler med radius på henholdsvis 0,310 cm, 1,40 cm,,30 cm og 3,30 cm. Bruk deretter «Avstand eller lengde knappen» til å måle omkretsen av sirklene. x og y. For hver verdi av radius, som vi kan kalle x, får vi en verdi for omkretsen, som vi for eksempel kan kalle gx. Vi sier at omkretsen gx er en funksjon av radius x.

3 Å finne en lineær modell uten bruk av digitale verktøy Sett resultatene opp i en tabell. Radius x 0,310 1,40,30 3,30 Omkrets gx 1,95 8,80 14,45 0,73 Plott verdiene fra tabellen som punkt i et koordinatsystem. Punktene ligger på en rett linje. Det betyr at det er en lineær (rettlinjet) sammenheng mellom radius i en sirkel og omkretsen av sirkelen. Du har tidligere lært at likningen for en rett linje er gitt ved y ax b, der a er stigningstallet til linjen, og b er skjæringspunktet med y - aksen. Den rette linjen vi har tegnet, skjærer y - aksen i origo. Da vet vi at b 0. Stigningstallet forteller hvordan y - verdien endrer seg når x - verdien øker med én enhet. For å finne stigningstallet kan du tegne en trekant som vist på figuren, og måle med linjal. Her får vi at a 6,8. Likningen for den rette linjen blir altså y 6,8x. Vi har da funnet at gx 6,8 radius og omkretsen i en sirkel. x er en tilnærmet matematisk modell for sammenhengen mellom 3

4 Å finne en lineær modell ved bruk av digitale verktøy Vi skal vise hvordan du kan bruke GeoGebra. Vi bruker samme datamateriale som ovenfor. Radius x 0,310 1,40,30 3,30 Omkrets gx 1,95 8,80 14,45 0,73 Vi legger først verdiene fra tabellen inn i regnearket i GeoGebra. Vi merker alle dataene, høyreklikker og velger «Lag liste med punkt». Punktene er nå synlige i grafikkfeltet. Vi ser at punktene ligger tilnærmet på en rett linje. Så velger vi «Regresjonsanalyse» og «Analyser». Velg regresjonsmodell «Lineær» Vi har da funnet at gx 6,8 x er en matematisk modell for sammenhengen mellom radius og omkrets i en sirkel. Vi ser at den rette linjen passer godt med punktene. Du har tidligere lært at formelen (modellen) for omkretsen av en sirkel er O r. Hvordan stemmer resultatet vårt med dette? 4

5 Modell for folketallsutviklingen i Norge Tabellen nedenfor viser folketallet i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 010. Årstall Folketall Kilde: Statistisk sentralbyrå Vi lager en ny tabell der x er antall år etter 1950, og fx er folketallet i millioner. x fx 3, 3,6 3,9 4,1 4, 4,5 4,9 Vi plotter punktene fra tabellen i et koordinatsystem. Punktene ligger tilnærmet på en rett linje. Vi bruker lineær regresjon og finner at 0,03x 3,3 f x er en lineær matematisk modell som tilnærmet beskriver utviklingen i folketallet i Norge fra 1950 til

6 Vi tenker oss at folketallet i Norge fortsetter å øke etter denne modellen i årene framover. Hva vil da folketallet i Norge være i 030? I år 030 har det gått 80 år siden Ifølge modellen vil folketallet da være f 80 0,0380 3,3 5,7 Folketallet i Norge vil etter denne modellen være 5,7 millioner i 030. Kan vi stole på matematiske modeller? Formelen for sammenhengen mellom radius i en sirkel og omkretsen av sirkelen er et eksempel på en matematisk modell som er svært nøyaktig. Det har blitt gjort mange målinger som viser at vi kan stole på modellen. Modellen vi fant for å beskrive hvordan folketallet i Norge utvikler seg, er mer usikker. For det første ser vi at linjen ikke treffer punktene fra tabellen helt nøyaktig. Den linjen som kommer fram ved lineær regresjon, er den som totalt sett har minst avvik fra punktene. Den lineære modellen har stigningstall 0,03. Det betyr en vekst i folketallet på 0,03 millioner eller per år. Er det realistisk at folketallet her i landet vil øke med ca per år i tiden framover? I så tilfelle hvor lenge vil denne utviklingen fortsette? Her er det mange faktorer som kan virke inn. Vil politikerne begrense innvandringen til Norge, eller vil de åpne for mer innvandring? Hva med fødselspermisjoner og barnehagetilbud? Vil det bli lettere eller vanskeligere å være småbarnsforeldre? Er det realistisk at folketallet her i landet vil øke med per år i tiden framover? I følge beregninger fra Statistisk Sentralbyrå, bør samlet fruktbarhetstall være minst,06 -,07 barn per kvinne for at størrelsen på en befolkning skal opprettholdes på sikt. I Norge var samlet fruktbarhetstall for kvinner 1,95 i 010. Vi kan stille lignende spørsmål til andre matematiske Kilde: ( ) modeller. Vi må alltid vurdere om en matematisk modell er gyldig, og spesielt må vi ta hensyn til forhold som kan påvirke situasjonen, før vi bruker en modell til å si noe om hva som vil skje i framtiden. 6

7 Modul : Potensfunksjon som modell På figuren til høyre ser du en skisse av en pendel. Når du drar pendelkulen ut til siden slik figuren viser, og slipper den, vil den svinge fram og tilbake. Svingetiden til pendelen er tiden det tar fra du slipper pendelkulen, til den er tilbake i samme posisjon. Svingetiden måles i sekunder. Svingetiden endrer seg når vi endrer lengden på snoren. Vi ønsker å finne sammenhengen mellom snorlengde og svingetid. Praktisk oppgave Gå sammen i små grupper. Finn en egnet plass til å henge opp en pendel. For at luftmotstanden ikke skal forstyrre målingene, bør dere bruke et relativt tungt lodd som pendelkule og la pendelsnoren være så tynn som mulig. Husk at snorlengden måles fra opphengningspunktet til midt i pendelkulen. Mål svingetiden for pendelen ved forskjellige snorlengder. La snorlengden variere fra 0 til 4 meter. Legg resultatene inn i en tabell i regnearket i GeoGebra. Merk tabellen, høyreklikk, og lag liste med punkt. Velg «Regresjonsanalyse» og deretter «Analyser». Hjemmelagd pendel. Velg etter tur de forskjellige funksjonstypene. «Høyreklikk» og kopier til grafikkfeltet. Finn den kurven som passer best med punktene i grafikkvinduet. Finn en modell for svingetiden til pendelen. Vis hvordan du kan bruke modellen til å regne ut svingetiden når du kjenner snorlengden. 7

8 I et forsøk fikk vi modellen 0,5,0 x f x for svingetiden til en pendel, hvor x er snorlengden målt i meter, og fx er svingetiden målt i sekunder. Du fant kanskje en modell som ligner på denne modellen. Du har ikke tidligere lært om potenser hvor eksponenten er et desimaltall. Men når du har skrevet inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra, kan du bruke CAS til for eksempel å finne svingetiden til en pendel med snorlengde 4,0 meter. En pendel med snorlengde 4,0 meter har etter vår modell en svingetid på 4,0 sekunder. Funksjonstypen som beskriver en slik modell, kalles en potensfunksjon. Potensfunksjoner kan skrives på formen f x a x b der a og b er konstante tall, og x er grunntallet i en potens. 8

9 Modul 3: Eksponentialfunksjon som modell Bilkjøp Kari kjøper en fire år gammel bil for kroner. Bilens verdi har avtatt med 10 % hvert år siden den var ny. Vi regner med at verdien vil fortsette å avta med 10 % per år de neste årene. Bilens verdi modellen Vx, x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved V x ,90 x Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen V. Av grafen kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til kroner etter 6,6 år. Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså bilens pris som ny, var nærmere kroner. Funksjonen V ovenfor er en eksponentialfunksjon. Eksponentialfunksjoner kan skrives på formen 9

10 f x Legg merke til at x her er eksponent i potensen. x ab der a og b er konstante tall. I algebrakapittelet så vi at vi alltid kan finne matematiske modeller uttrykt ved eksponentialfunksjoner, når størrelser avtar eller øker med en fast prosent. For å finne en eksponentiell modell ved regresjon må vi velge «Eksponentiell» som regresjonsmodell i GeoGebra. Vekst hos Solsikke Siv ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i åtte uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor. Antall uker Høyde i cm Vi legger punktene inn i et regneark i GeoGebra og lager «Liste med punkt». Da får vi datamaterialet fra tabellen som punkt i et koordinatsystem. For å finne en modell som kan brukes for å beskrive solsikkens vekst, ser det ut som vi må finne en funksjon som vokser raskere og raskere etter som x - verdiene øker. Her vil det derfor være naturlig å prøve med eksponentiell regresjon. 10

11 Eksponentiell regresjon i GeoGebra gir funksjonen f x 10,94 1,38 x Vi ser at kurven treffer bra med de observerte verdiene. Etter modellen var solsikken ca. 10,9 cm da Siv begynte å måle, og den har vokst med ca. 38 % hver uke. Det vil være naturlig at veksten til solsikken vil avta og etter hvert stoppe helt opp. Det betyr at modellen bare gjelder i et begrenset tidsintervall. Hvor mye kan en solsikke vokse i løpet av en uke? 11

12 Modul 4: Polynomfunksjoner som modeller Andre- og tredjegradsfunksjoner tilhører en gruppe funksjoner som vi kaller polynomfunksjoner. En andregradsfunksjon er en polynomfunksjon av grad, og en tredjegradsfunksjon er en funksjon av grad 3. En andregradsfunksjon er gitt på formen f x ax bx c hvor a, b og c er konstante tall og a er ikke lik null. En tredjegradsfunksjon er gitt på formen hvor 3 f x ax bx cx d a, b, c og d er konstante tall og a er ikke lik null. For å finne en andregradsfunksjon eller en tredjegradsfunksjon som modell ved regresjon må vi velge «Polynom» som regresjonsmodell og velge eller 3 som grad. Eksempel på en andregradsfunksjon Vi bruker et tau som er 1 meter langt. Vi former tauet til et rektangel som figuren viser, slik at omkretsen til rektanglet blir 1 meter. To og to sider er like lange, slik at vi bare har to forskjellige sidelengder. Vi kaller disse for henholdsvis grunnlinje og høyde. Vi lar grunnlinjen være x meter. Grunnlinjen og høyden må til sammen være halve omkretsen, slik at når grunnlinjen er x meter, må høyden være 6 x meter. Vi kan nå lage mange forskjellige rektangler ved å endre lengden på grunnlinjen, x. Høyden endrer seg da tilsvarende slik at summen av grunnlinje og høyde alltid er lik 6 meter. 1

13 Vi får en modell for arealet til rektanglet ved å multiplisere grunnlinjen med høyden 6 6 A x x x A x x x Modellen for arealet er gitt ved en andregradsfunksjon. Legg merke til at modellen bare er gyldig når x ligger mellom 0 og 6 meter. Vi tegner grafen til funksjonen i et koordinatsystem, og merker av noen punkt på grafen. Vi ser for eksempel at når grunnlinjen er meter, så er arealet 8 kvadratmeter. Da er høyden 6 4 meter. Når grunnlinjen er 6 meter, ser vi at arealet er null kvadratmeter. Det er fordi da er høyden lik 66 0 meter, og vi har egentlig ikke et rektangel. En grunnlinje større enn 6 meter er umulig, for da blir tauet for kort. Grafen har et toppunkt, et punkt hvor funksjonen har sin maksimale verdi. Det vil si at det største arealet rektanglet kan få, er 9 m. Da er grunnlinjen lik 3 meter og høyden blir også lik 63 3 meter. Rektanglet er da et kvadrat. Forslag til praktisk oppgave Gå sammen med noen medelever og bruk et tau som er litt over 1 meter langt. Bind sammen endene og form tauet til et rektangel. Omkretsen til rektanglet skal være 1 m. Mål sidelengder og regn ut arealet til rektanglene dere får, når grunnlinjen, x, er 0, 1,, 3, 4, 5 eller 6 meter. Bruk regresjon, og finn en andregradsfunksjon som modell for arealet som funksjon av grunnlinjen. Får dere samme modell som ovenfor? 13

14 Et praktisk eksempel på en tredjegradsfunksjon Tenk deg at du skal lage en eske uten lokk av en kvadratisk papplate med sidelengder 60 cm. Du må da klippe bort et kvadrat i hvert hjørne. Du må altså klippe bort de fire mørkeblå kvadratene på tegningen. De lyseblå rektanglene bretter du opp, og du får da en eske med det lyse kvadratet i midten som bunn. Formen på esken avhenger av hvor store kvadrater du klipper bort. Vi kaller sidene i kvadratene du klipper bort, for x. Hvis x er stor, vil esken få en liten bunn, men blir desto høyere. Hvis x er liten, vil esken få stor bunn, men den vil bli lav. Volumet av esken vil være avhengig av x. Det vil si at volumet er en funksjon av x. Vi vil finne en formel for denne funksjonen. Bunnen til esken blir et kvadrat med sider 60 x. Det kan vi lese ut av tegningen. Arealet til bunnen, det vi kaller grunnflaten, blir da G x x x x 60 x x x 4x Høyden av esken blir x. Vi må multiplisere grunnflaten med høyden for å få volumet V x x x x 3 3 V x 3600x 40x 4x V x 4x 40x 3600x Vi får en modell for volumet av esken. Modellen er en polynomfunksjon av tredje grad. Vi ser at x må ligge mellom 0 cm og 30 cm for at vi skal få en eske. Hvis x er lik 0, klipper vi ikke bort noe, og hvis x er lik 30 cm, får vi ingen bunn. 14

15 Vi tegner grafen til volumfunksjonen. Vi ser av grafen at volumet til esken er større enn cm og mindre enn eller lik cm. Vi kan ellers se av grafen at Hvis vi ønsker en eske med størst mulig volum, må vi klippe bort kvadrater med sider 10 cm. 3 Hvis vi ønsker esker med volum lik 8000 cm, må vi klippe bort kvadrater med sider,68 cm eller 0,0 cm. Vi kan også gå motsatt vei og lese av hvor stort volum en bestemt verdi av x gir. 15

16 Modul 5: Andre typer modeller og mønstre Kvadrater Figur 1 Figur Figur 3 Figurene ovenfor er bygd opp av 9, 1 og 15 små kvadrater. Tenk deg at vi fortsetter å lage figurer etter samme mønster. Antall små kvadrater i hver figur danner en serie med tall, en tallfølge, som begynner med tallene 9, 1 og 15 og fortsetter etter samme mønster i det uendelige 9,1,15, La F n være antall små kvadrater i figur nummer n slik at F1 9, F 1 og F3 15 Prøv å svare på følgende spørsmål før du ser på løsningen. 1) Hva gjør vi for å komme fra én figur til den neste? Hva er mønsteret i det vi gjør? ) Hvor mange små kvadrater vil det være i Figur 4, Figur 5 og Figur 6? Det vil si, hva er F 4, F 5 og F 6. 3) Kan du finne en modell, en formel, for antall kvadrater i figur nummer n? En formel for F n. 4) Hvor mange kvadrater er det etter din modell i figur nummer 998? Løsning 1) Vi legger til tre små kvadrater for å komme fra én figur til neste. ) Figur 4 vil derfor bestå av 18 små kvadrater, Figur 5 av 1 kvadrater og Figur 6 av 4 kvadrater. Det vil si at F4 18, F5 1 og F6 4. 3) Jeg ser at antall kvadrater alltid er lik 3 multiplisert med et tall som er høyere enn «figurnummeret». F1 9 31, F 1 3, F , F , F Vi får da modellen Fn 3n 4) Antall kvadrater i figur nummer 998 er da F F, 16

17 Trekanter En likesidet ABC har areal lik T. Midtpunktene på sidene i ABC er hjørnene i en ny likesidet trekant med areal lik T 1. Midtpunktene på sidene i DEC er hjørnene i en ny likesidet trekant IHG med areal lik T. Etter samme mønster lager vi trekanter med areal T 3, T 4, og så videre. Denne prosessen tenker vi oss at fortsetter i det uendelige. Se skissen nedenfor. Oppgave a) Hva blir arealet T 1? Hva blir arealet T? Hva blir arealet T 3? b) Kan du finne en modell, en formel, for arealet T n når vi fortsetter å lage trekanter etter samme mønster? c) Bruk modellen, og sett opp et uttrykk for arealet T 10 og arealet T 1000? d) Studer figuren, og finn ut hva som blir summen av alle arealene T 1, T, T 3, og så videre. Omkretsen av ABC er lik 3. Trekanten som har areal lik T n, har omkrets lik O n e) Forklar at O1, O og O3 4 8 f) Kan du finne en modell, en formel, for omkretsen til trekant nr. n når vi fortsetter å lage trekanter etter samme mønster? g) Bruk modellen og finn O 4. Løsning 17

18 a) FED er én av fire like store likesidede trekanter med samlet areal lik arealet til ABC. T FED har derfor arealet T IHG er én av fire like store likesidede trekanter med samlet areal lik arealet til DEC. T 1 T IHG har derfor arealet T T 1 T Tilsvarende er T3 T, og slik fortsetter det b) Det betyr at vi får modellen for arealet Tn 4 T T c) Vi bruker modellen og får at T10 og T T n d) T 1 utgjør tredjeparten av arealet til firkanten ABED, T utgjør tredjeparten av arealet til firkanten DEHG, og slik fortsetter det. Det må bety at summen av alle de fargelagte trekantene må være lik tredjedelen av arealet til T den store trekanten. Vi kan skrive det slik T1 T T3. 3 e) Sidene i FED er halvparten av sidene i ABC. Omkretsen til FED må da være halvparten av 3 omkretsen til ABC. Det vil si at O1 1 Sidene i IHG er halvparten av sidene i FED. Omkretsen til IHG må da være halvparten av omkretsen til FED. Det vil si at O O Tilsvarende er O3 O, og slik fortsetter det. 3 3 f) Det betyr at vi får modellen for omkretsen, On. n g) Vi bruker modellen og får at O

19 Trekanttall Følgende figurer er lagd etter et bestemt mønster. Kan du se hva som er mønsteret i oppbyggingen av figurene? Start med figur 1 og figur nedenfor, og ikke se på figur 3 og figur 4 ovenfor. Klarer du selv å lage figur 3 og figur 4? Du har kanskje allerede sett mønsteret. Figur 1 har 1 sirkel. Figur har sirkler fler enn figur 1. Figur 3 har 3 sirkler fler enn figur. Slik fortsetter det. Vi får da at i figur 1 er det 1 sirkel. I figur er det 1 3 sirkler. I figur 3 er det 13 6 sirkler. I figur 4 er det sirkler og så videre. Tallene 1, 3, 6, 10 og så videre kalles for trekanttallene. Hvorfor tror du de har fått dette navnet? La Tn være trekanttall nummer n. Da er T 1 1, T 3, 3 6 T og Tenk nå at vi lager figur 5, figur 6 og så videre etter samme mønster. Ser du at T 5 T og T T Ser du at vi generelt får 1 T n T n n? T Forsøk å lage en tabell med de første 1 trekanttallene. Kontroller med tabellen nedenfor. 19

20 Vi viser trekantallene i en tabell n Tn Vi får for eksempel at T Brøken er gjennomsnittet av tallene fra og med 1 til og med 7. Når vi multipliserer dette tallet med antall tall, som er 7, får vi summen av tallene fra og med 1 til og med 7. 1 n Det betyr at formelen T n n gir trekanttall nummer n. Kontroller at denne formelen stemmer for de andre trekanttallene. Et kvadrattall er et tall du får, når du opphøyer et helt tall i andre potens. Hva slags tall får du når du legger sammen to «nabo-trekanttall»? Pascals talltrekant Blaise Pascal var en kjent fransk matematiker som levde på 1600-tallet. En spesiell talltrekant har fått navnet etter Pascal, selv om trekanten var kjent i mange hundre år før Pascal levde Blaise Pascal ( ). Fransk matematiker, fysiker, oppfinner og filosof. Lag en trekant av ruter som figuren ovenfor viser. Skriv inn tallet 1 i alle rutene langs kanten av trekanten. Vi har begynt å fylle inn tall i resten av rutene. Ser du hvordan vi har funnet disse tallene? Fortsett etter samme mønster, og fyll inn tall i alle rutene. 0

21 I trekanten ovenfor har vi valgt å lage 11 rader. Trekanten kan utvides etter samme mønster. Se på tallene som er farget gule. Kjenner du igjen denne tallfølgen? Ganske riktig. Det er trekanttallene! Ser du hvordan de framkommer etter følgende mønster?

22 Modul 6: Matematiske modeller som grunnlag for beslutninger Det settes stadig nye rekorder på skøyter. Kan farten til skøyteløperne i framtiden bli så høy at banene bør bygges større, slik at svingene blir mindre krappe? Skøytearenaer som bygges i dag, skal jo være arenaer i mange år framover. Jeremy Wotherspoon fra Canada setter ny verdensrekord på 500 meter skøyter for herrer i Kearns, Utah i 009 med tiden 34,03. Utviklingen av verdensrekorden for 500 meter på skøyter for herrer i tidsrommet 1990 til 007 er gjengitt i tabellen nedenfor. År Rekord i sekunder 36,45 36,41 35,76 35,39 34,8 34,3 34,30 34,03 Vi lar x være antall år etter 1990 og fx rekorden i sekunder. Så framstiller vi opplysningene fra tabellen som punkt i et koordinatsystem. Punktene ligger tilsynelatende på en rett linje. Vi bruker regresjon og finner en lineær funksjon som kan være modell for sammenhengen mellom rekorden og året den er satt 0,15x 36,38 f x

23 Grafen til funksjonen er tegnet i det samme koordinatsystemet. Vi kan benytte modellen til å beregne hva verdensrekorden vil være i år 090 dersom modellen gjelder. f 100 0, ,38 1,38 Rekorden i 090 vil etter modellen være 1,38 sekunder. Grafen til modellen viser at rekorden på 500 m skøyter vil bli null ca. år 30. Vi vet at dette er helt urealistisk, og det viser med all tydelighet hvor varsomme vi må være med å stole på matematiske modeller. Utviklingen modellen ovenfor skisserer, er så usannsynlig at den ikke egner seg som grunnlag for beslutninger om framtidig utforming av skøytearenaer. Modellen egner seg muligens til å si noe om utviklingen noen få år fram i tid. En annen modell som skisserer en mer sannsynlig utvikling, er gitt med potensfunksjonen 0,03 37,3 x g x (Her er det første punktet tatt bort i regresjonen.) 3

24 Modellen gir en rekord på 3,5 sekunder i år 090. Kanskje dette ikke er så urealistisk? Denne modellen er nok mer egnet som grunnlag for beslutninger om framtidige skøyteanlegg. 0. november 015 ble 34-grensen brutt da Pavel Kulizjnikov fra Russland satte ny verdensrekord i Salt Lake City med tiden 33,98 sekunder. År 015 er 5 år etter Regningen i CAS viser at av de to modellene fra 007, er det gx som stemmer best med resultatet fra

25 Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Bildeliste Ball Foto: Christoffer Askman/Scanpix Denmark Nyfødt baby Foto: Heidi Maxmiling/Scanpix Denmark Hjemmelaget pendel Foto: Science Photo Library/Scanpix Bruktbil Foto: Jan Petter Lynau/VG/Scanpix Solsikke Foto: Christoffer Askman/Scanpix Denmark Jeremy Wotherspoon Foto: Douglas C. Pizac/AP/Scanpix 5

26 6