Fritt oppgret søye w w, w M i w, M y w w w,
Knekking v fritt oppgret søye Differentiigning Genere øsning w, α +( ) w α w() A sin( )+ B α cos( ) Grensebetingeser w() w() B A sinα Løsning Euer knekkst sinα for α n π π k, min k
Iustrsjon v knekkengder n n n k π k π k π
Søye fst innspent i nedre ende w w, M w() w() w w, M M / M M y M + M i w, w
Knekking v fritt oppgret søye Differentiigning w, + w M Genere øsning Grensebetingeser Løsning Euer knekkst w() w w w() w(), () H + w α α A sin( )+ B cos( )+ M B M A sinα + α A + M cosα tnα α nπ +( ), n,,... α π n ε n π (.7 ) k
Grfisk øsning v diff.igning y y LØSNING LØSNING 4.49 LØSNING e e p/ p p/ p 5p/ y tg
Søye med fst innspenning i begge ender w w, M w() M M M w() w w, M
Fst/fri søye - portrmme d w w, w() w w, d M i w, - M y δ ( w( ) ) π ( ) k w, + w δ
Knekking - øsning med energimetoden w Δ Δ k D : D : estisk endeforskyvning knekkingsindusert endeforskyving + Δ dw Δ ( ) d d Ytre rbeid (konstnt krft) A y ( w k, ) d ( w, ) d
Knekking - øsning med energimetoden d φ M M ϕ ϕ + d φ + dφ Vinkeendring over eement d w d φ d d w, d Indre rbeid tiført eement da i Mdφ ( w, ) d Indre rbeid i hee stven A i ( w, ) d M d
Knekking - øsning med energimetoden Indre rbeid ytre rbeid k (w, ) d d M ( w, ) Ved å nt utbøyningsfunksjon w(), evt. momentdigrm kn kritisk st k bestemmes
Eksempe - energimetoden k δ w() MOMENTDIAGRAM: Vesentige rndbet.: w() w, () Utbøyningsfunksjon (konst.) M k (δ - w()) δ w() w, δ () w A y K K 4δ ( w, ) d 4 d δ K δ Ai (w ) d ( ), δ d Kritisk st π,6 ( ) K
Ryeigh Ritz metode nvendt på knekking Eksempe- bjeke med én fri ende w w() Utbøyningsfunksjon: w() + Derivsjon gir: w, w, 6 + +
Ryeigh Ritz metode ) + +6 (6 ) + 4 + ( ) + 4 + 4 (6 d ] [ w A, i ) + + 9 ( )d 4 + + 5 9 ( )d + 4 + (9 d ] [ w A 4 5 k 4 5 k 4 k, k y Indre rbeid Ytre rbeid
Aterntiv øsningsmetode Dersom vi setter ), ( A A k k y i Søker minimumsverdien: j y j i A A j, Innfører: k α Dette gir to igninger ti å bestemme de ukjente; α, og : ) 4 ( ) 4 (6 ) 5 9 ( ) 6 ( 4 4 5 + + + + k k
Aterntiv øsningsmetode Ligningssystemet kn formueres: 4 4 6 6 5 9 α α α α Ikke-trivie øsning : det [ ], dvs. 6 4 (4 5 9 α α α Krkteristisk igning: 4 9 8 6 5 6 48 5 6 48 4 + + α α α α α. grdsigning i α : 5 6 4 + α α Løsning: ) (.8 ) ( /.45 k k π π
Aterntiv øsningsmetode - knekkformer Bidrg fr formfunksjonene ti knekkformene_: α.48 -./ 7.54.8.8.69. α.8 [ 45.9 4.7].9 -.9/
Estisk knekkspenning for stver med enke grensebetingeser k π k π ( K ) k K knekk-koeffisent
Fktorer som påvirker knekkspenning Formfei (innenfor gitte toernser) Residuspenninger fr fbriksjon Avvik fr nomine geometri Vrisjon i fytespenning over tverrsnitt
Esto-pstisk knekking λ σy σ E Redusert snkhet Fytning
Stvknekking ihht Eurocode, Norsok, NS47 α og λ for uike knekk-kurver Curve λ o α.. b..5 c..5 d..65 e.6.5 µ α( λ - λ ) σ σ kr F + µ + λ - (+ µ + λ λ ) - 4 λ
Vg v knekk-kurve ihht NS47
ISO coumn bucking curve The chrcteristic i compressive strength, cr, is given by yc cr yc. 8 for E cr. 9 E for yc E yc E < 4. 4. in which yc smest i compressive strength of the cross sections F yc A F yc chrcteristic compressive stress (yied stress or stress for oc bucking) A cross-section re
Figure A..- ISO coumn bucking curve Comprison with test dt
M/Mps Bøyemoment som funksjon v rotsjon for rørtverrsnitt (Shermn 986). θ ov A (4) θ ov D/t.5 A8 (96) A5 (48) M ps stisk momentkpsitet q Y Rotsjon tisvrende fyt i ytterste fiber θ/θ y Ksse I og II store rotsjoner uten ok buing inntreffer. Tverrsnittet kn t fut pstisk moment M Ksse III: Moment opp ti fyt i ytterste fiber Ksse IV: Lok buing opptrer før første fyt.
Kpsitet v rør i bøyning. Design moment cpcity M/M.8.6.4. Estic moment, thin-wed tube.5..5. σ F D/Et
ushover nysis of jcket 4 5 6 4 5 6
Knekking v rmmer Mode Bøgeretning Oppgve : Bestem effektiv knekkengde KE π K π ( K)
Digrm for beregning v knekkengde v stver
Beregning v G-fktor G c Σ I c I Σα b b Stver i trykk, nær knekking Bjeker med iten eer ingen trykk-krft Rotsjonsbet. motstt ende
Definisjon v -fktorer
Beregning v -fktorer Sideswy prevented
Nomogrm for bestemmese v knekkengdefktor.
Effektiv knekkengde for eementer i fgverkspttformer (fr Norsok Stndrd N-4). Structur eement K Superstructure egs - Brced. - ort (unbrced) k () Jcket egs nd piing - Grouted composite section. - Ungrouted jcket egs. - Ungrouted piing between shim points. Jcket brces - rimry digons nd horizonts.7 - K-brces ().7 - Longer segment ength of X-brces ().8 Secondry horizonts.7 Notes:. Use Effective Length Aignment Chrt in Commentry.
Ryeig-Ritz metode Eksempe- eksmen 7
Eksempe- eksmen 7 Vis hviken verdi g får dersom en ntr t bre den horisonte bjeken bidrr ti rotsjonsstivheten i denne enden v søyen.
Rotsjonsfjærer
Eksempe- eksmen 7 w c + c cos π Foret en vurdering v hvorvidt den vgte utbøyingsfunksjonen er hensiktsmessig
Diskusjon v utbøyingsfunksjon
Eksempe- eksmen 7 f π 4 c + γ c + γ b c 64 πc c + π 4 c f c c c + π 6 c Sett opp uttrykkene som utgjorde utgngspunktet for beregningen v funksjonene f og f.
Eksempe- eksmen 7 ( γ + γ b ) π γ b + π γ + b π 4 + π 4 γ b π 8 c c Vis ved å utede et pr v eddene i igningssystemet - hviket prinsipp som er benyttet ti å etbere dette igningssystemet. Hvordn vi du bestemme kritisk st?
Eksempe- eksmen 7.5.5 β.5 gmm_b gmm_b.5 gmm_b gmm_b 5.5 4 7 8 5 γ /γ gmm_b E π ( β)! Foret en kortfttet vurdering v nøyktigheten ti den tinærmede beregning for hhv g b (g vrierer) og g (g b vrierer) Er vviket generet som forventet? Kn forskjeen meom tinærmet og ekskt øsning begrunnes ut fr vgt utbøyingsfunksjon?
Indre og ytre rbeid
Ryeigh Ritz metode
Vurdering v øsning
Bestem knekkformen for γ, γ b.5