UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: MEK4550 Eementmetoden i faststoffmekanikk I. Eksamensdag: Mandag 15. desember Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 6 sider. Vedegg: Tiatte hjepemider: Ingen. Rottmann: Matematische Formesamung, godkjent kakuator. Kontroer at oppgavesettet er kompett før du begynner å besvare spørsmåene. Oppgave 1. (Vekt 30/100) a) Potensie energi er utgangspunktet for eementmetoden. Potensie energi er en aternativ formuering av: i) ikvekt i egemet samt ikevekt på randen, ii) energi i egemet, iii) ikevekt i egemet, iv) kontinuitet i egemet. b) Hva er, generet, den uavhengige variabeen i potensie energi? i) spenninger, ii) nodekrefter, iii) forskyvninger, iv) tøyninger. (Fortsettes side 2.)

2 Eksamen i MEK4550, Mandag 15. desember Side 2 c) Hva uttrykker den gobae stivhetsigningen KD = R? i) kontinuitet i nodene, ii) ikevekt i eementet, iii) ikevekt i nodene. d) Det generee uttrykket for astvektoren av en fordet voumast er gitt ved r = N T F dv. V Anta at høyeste poynomgrad i N er én, x, og at F varierer som x 2. Den endimensjonae Gauss regeen med p evaueringspunkter integrerer poynomer av orden (2p 1) eksakt. Hviken rege ska en benytte for å integerer r eksakt (diskuter som om probemet er formuert i en dimensjon)? e) Hvike to hovedkrav må forskyvningsfunksjonene i eementmetoden tifredsstie for at øsningen ska konvergerer mot riktig øsningen ved en stadig finere eementinndeing? f) B-matrisen spier en sentra roe i utformingen av stivhetsmatrisen k for ethvert eement. Sett opp uttrykket for B når forskyvnigen, u(x), er gitt ved u(x) = Nd = { d 1 ( x 1)(2 x 1) 4 x( x 1) x (2 x 1) d 2 og tøyningsoperatoren er gitt ved ε(x) = u = d u(x) = Bd dx d 3 Oppgave 2. (Vekt 35/100) Stivhetsmatrisen ti et to-noders bjekeeement, uten aksia og skjærdeformajoner, er gitt ved: d 1 k = EI d og d = 2 d d 4 (Fortsettes side 3.)

3 Eksamen i MEK4550, Mandag 15. desember Side 3 Tihørende interpoasjonspoynomer for eementet av engde er gitt ved: N = { 1 3ξ 2 + 2ξ 3, [ξ 2ξ 2 + ξ 3 ], 3ξ 2 2ξ 3, [ξ 2 ξ 3 ] Eementet er vist i figuren under. hvor ξ = x d 1 d 3 d 2 d 4 a) Den potensiee energien ti bjekeformuering er gitt ved: Π(w) = EIκ 2 dx qw dx hvor κ = d2 w dx 2 og w = Nd Hvike krav ti fustendighet og kontinuitet gjeder for tinærmimgen av tverrforskyvningen, w, for bjekeformueringen? b) Hvor mange ganger kinematisk ubestemt er probemet i figuren under når det er modeert med to eementer og vi ser bort fra aksia- og skjærdeformasjoner? u(x = 0, z = 0) = w(x = 0, z = 0) = 0 og u(x = 3L, z = 2L) = w(x = 3L, z = 2L) = θ y (x = 3L, z = 2L) = 0. z, w e 2 2L q x e 1 EI, EA x, u 3L (Fortsettes side 4.)

4 Eksamen i MEK4550, Mandag 15. desember Side 4 c) Sett opp a-matrisene for de to eementene (d e = a e D). d) Etaber uttrykket for goba stivhetsmatrise ved i) bruk av a-matrisen for eement e 1 og ii) ved direkte innadering for eement e 2. e) Finn astvekoren på grunn av den konstante fordete asten q x når denne virker på området z = 0 ti z = 2L for det vertikae eement, e 1, (se figur): q x u dx = d T r f) Sett opp goba astvektor ved direkte innaddering. g) Benytt EA = EI = L = 1 og q u = 51. Hvordan sammenigner momentet i (x, z) = (0, 0), beregnet ved M = EIκ med eksakt verdi? Oppgave 3. (Vekt 35/100) y, v x, u 1 (x 1, y 1 ) 3 (x 3, y 3 ) 6 (x 6, y 6 ) 5 (x 5, y 5 ) 4 (x 4, y 4 ) 2 (x 2, y 2 ) Figuren viser et seksknutepunkters rettsidet trekant skiveeement. Eementets geometri er gitt ved tykkesen h og koordinatene ti knutepunktene (x i, y i ) for i = 1, 2, 3. Hvert knutepunkt i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 har frihetsgrader (u i ) mens knutepunktene i = 1, 2, 3 har frihetsgrader (v i ). For eementet er det vanig å benytte naturige koordinater som er definert ved trekantens hjørneknutepunkter, (x i, y i ), ved ζ 1 x = x 1 x 2 x 3 ζ 2 og y y 1 y 2 y 3 ζ 3 ζ 1 ζ 2 = 1 x 2 y 3 x 3 y 2 y 23 x 32 1 x 3 y 1 x 1 y 3 y 31 x 13 x 2A x 1 y 2 x 2 y 1 y 12 x 21 y ζ 3 (Fortsettes side 5.)

5 Eksamen i MEK4550, Mandag 15. desember Side 5 der ζ i er de såkate areakoordinatene, A er areaet av trekanten og x ij = x i x j og y ij = y i y j. Eementets forskyvningsfet kan nå uttrykkes ved interpoasjonsfunksjoner basert på de naturige koordinatene { [ ] { u N u = = 6 0 du = Nd v 0 N 3 d v hvor d ui = u i, d vi = v i og N 3 = { ζ 1 ζ 2 ζ 3 N 6 = { ζ 1 (2ζ 1 1) ζ 2 (2ζ 2 1) ζ 3 (2ζ 3 1) 4ζ 1 ζ 2 4ζ 2 ζ 3 4ζ 3 ζ 1 a) Uttrykk forskyvningene i eementet ved hjep av generaiserte forskyvningsmønstre N q { [ ] { u N u = = q6 0 qu = N v 0 N q q q3 Finn interpoasjonsfunksjonene N q3 = { N qv1 N qv2 N qv3 og N q6 = { N qu1 N qu2 N qu3 N qu4 N qu5 N qu6 ved å ta utgangspunkt i Pascas trekant. b) Finn de tihørende tøyningene ved matrisen B q i uttrykket ε xx u, x ε = ε yy = v, y = B qq 2ε xy u, y +v, x hvor u, x = u x q v og tisvarende for de andre uttrykkene. c) Diskuter om eementet tifredsstier eementmetodens krav ti i) fustendighet og ii) kompatibiitet. d) Anta nå at vi i stedet for å benytte generaiserte forskyvninger ti å uttrykke forskyvningene tar utgangspunkt i interpoasjonsfunksjonene som er knyttet ti knutepunktsforskyvningene { [ ] { u N u = = 6 0 du = Nd. v 0 N 3 d v Vis hvordan man kommer fram ti uttrykket for 2ε xy for et vikårig eement av denne typen når forskyvningsfetet er uttrykt ved de naturige koordinatene. (Benytt reasjonene som er gitt i innedningen ti oppgaven.) (Fortsettes side 6.)

6 Eksamen i MEK4550, Mandag 15. desember Side 6 e) Beregn astvektoren i x-retning for den konstante fateasten, Φ x, med komponent kun i x-retning som vist i figuren under (have kanten). n 3 y, v Φ x n 5 x, u n 2 SLUTT