EKSAMEN I FAG SIF5050 NUMERISK LØSNING AV PARTIELLE DIFFERENSIALLIGNINGER VED HJELP AV ELEMENTMETODEN

Transkript

1 Institutt for matematiske fag Faglig kontakt under eksamen: Einar M. Rønquist ( ) EKSAMEN I FAG SIF55 NUMERISK LØSNING AV PARTIELLE DIFFERENSIALLIGNINGER VED HJELP AV ELEMENTMETODEN Onsdag 29. mai 22 Tid: 9: 14: Hjelpemidler: Godkjent lommekalkulator tillatt. Alle trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. Sensur: Sensuren vil foreligge i uke 27. Oppgave 1 Betrakt problemet: d ((1+x ) du ) 2 = i Ω=(, 1) (1) u() = (2) u x (1) = 1. (3) Dette problemet tilsvarer stasjonær varmeledning i et materiale som har en varierende varmeledingsevne κ(x) = 1+x,ogderdetikkeernoekildeledd(f =). 2 a) Finn den eksakte løsningen u(x) av problemet (1)-(3). Hva er u(1)? Fasit: Integrasjon av (1) gir: ( 1+x ) du 2 = C 1 der C 1 er en integrasjonskonstant. Grensebetingelsen u x (1) = 1 gir C 1 =1.Vifinnerderforat noe som medfører at du = 2 1+x, u(x) =2ln(1 + x)+c 2

2 der C 2 er en integrasjonskonstant. Grensebetingelsen u() = gir C 2 =.Dettegir og u(1) = 2 ln(2). u(x) =2ln(1 + x) b) Utled en svak formulering av problemet (1)-(3) på formen:finnu X slik at a(u, v) =l(v) v X (4) Identifiser spesielt X, a og l for dette problemet. Hint: multipliser (1) med en testfunksjon v(x), integrer over Ω, foreta delvis integrasjon, og bruk grensebetingelsene. Fasit: Vi multipliserer (1) med en testfunksjon v og integrerer over Ω: Delvis integrasjon gir så: d ((1+x 2 ) du ) v(x) = [ ( 1+x ) du 2 v(x) ]1 + ( 1+x ) du 2 dv = Innsetting av grensebetingelsene u x (1) = 1 og v() = u() = gir: v(1) + ( 1+x ) du 2 dv = Den svake formuleringa kan derfor skrives på formen:finnu(x) X slik at a(u, v) =l(v) v X der X = { v H 1 (Ω) v() = } a(w, v) = ( 1+x ) dw 2 l(v) = v(1). dv c) Er den bilineære formen a symmetrisk? Vis at, for alle funksjoner w X, w, a(w, w) 1 2 wx 2 >. Fasit: Ja, a er symmetrisk siden a(w, v) = a(v, w) for alle v, w X. Videre er a(w, w) = ( 1+x ) dw 2 Siden w X, era(w, w) > forallew. dw 1 wx 2 2 d) Finnes det en minimaliseringsformulering svarende til (4)? I så fall,beskrivdenne.

3 ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) ϕ 3 (x)... ϕ K 2 (x) ϕ K 1 (x) ϕ K (x) x x 1 x 2 x 3... x K 2 x K 1 x K... Figur 1: Basisfunksjoner ved bruk av K lineære elementer. Fasit: Ja, siden a(, ) ersymmetriskogpositivdefinitt(spd),finnesdetentilhørendeminimaliseringsformulering. Denne er gitt som der J(w) er den kvadratiske funksjonalen u =min w X J(w) J(w) = 1 a(w, w) l(w). 2 e) Anta at vi vil bruke elementmetoden til åløse(4)numerisk.antavidereatvibruker et uniformt grid med K lineære elementer. Formuler det diskrete problemet. Hva er dimensjonen til det diskrete løsningsrommet X h? Skisser basisfunksjonene til X h. Fasit: Vi definerer det diskrete underrommet X h X som består av alle funksjoner som er lineære over hvert element Th k, k =1,...,K,kontinuerligeoverΩ,ogsomtilfredstillerdenessensielle,homogene grensebetingelsen i x =.Matematiskkanviuttrykkedettesom X h = {v X v T k h IP 1 (T k h ), k=1,...,k} Det diskrete problemet kan da skrives som: Finn u h X h X slik at a(u h,v)=l(v) v X h Dette gir en konform metode (Galerkin). Dimensjonen til det diskrete løsningsrommet X h er K. Basisfunksjonene er skissert i Figur 1. f) Er den diskrete løsningen u h (x) kontinuerligoverωfork>1? Er den deriverte av u h (x) kontinuerligoverωfork>1? Fasit: Den diskrete løsningen er kontinuerlig over Ω (u h X h X). Den deriverte av u h er generelt sett ikke kontinuerlig over Ω (K >1). g) Vis at den diskrete løsningen u h er entydig.

4 ϕ 1 (x) x x 1 Figur 2: Basisfunksjoner ved bruk av K =1lineærtelement. Fasit: Anta at det eksisterer to løsninger u 1 h og u2 h.daharviat a(u 1 h,v) = l(v) v X h, a(u 2 h,v) = l(v) v X h. Subtraksjon gir Velger vi v = u 1 h u2 h X h får vi at a(u 1 h u 2 h,v) = v X h. a(u 1 h u 2 h,u 1 h u 2 h) =. Siden a(, ) ersymmetriskogpositivdefinitt,kandettesisteresultatetbareværeoppfylltfor u 1 h u2 h =,dvs.u1 h = u2 h.løsningeneraltsåentydig. h) Ved åvelgeennodalbasisfordetdiskreteløsningsrommetx h,endervioppmedet lineært ligningssystem A h u h = F h som vi må løsefordeukjentebasiskoeffisientene u h.antaatduharvalgetmellomåbrukekonjugertegradientersmetodeogentridiagonal ligningsløser basert på LU-faktorisering.Hvilkenmetodevilduanbefalefor dette en-dimenjonale, stasjonære varmeledningsproblemet? Fasit: Jeg vil anbefale den tridiagonale ligningsløseren. Konjugerte gradienters metode er generelt bare attraktiv for multidimensjonale varmeledningsproblem. i) Anta at vi bare bruker ett lineært element over Ω, dvs, K =1. Hva er dimensjonen til det diskrete rommet X h X idettetilfellet? Skisser alle basisfunksjonene til X h. Fasit: Alle lineære funksjoner over ett enkelt element kan generelt beskrives ved hjelp av to basisfunskjoner. I vårt tilfelle må funskjoneneogsåtilfredstilledenessensiellegrensebetingelsenix =. Dimensjonen til X h er derfor lik 1. Vi setter X h = span{ φ 1 } der basisfunsjonen φ 1 = x er skissert ifigur2. j) Finn eksplisitt den diskrete løsningen u h (x) medettlineærtelement. Bruk eksakt integrasjon ved utregning av den bilinære og den lineære formen. Hva er u h (1)? Hvor stor er feilen u(1) u h (1)?

5 Fasit: Siden u h X h kan vi skrive u h (x) somu h (x) =u h1 φ 1 (x) deru h1 er den ukjente basiskoeffisienten og φ 1 (x) =x. Detdiskreteproblemetgirossidettetilfelletenligningmedenukjent,nemlig ( 1+x dφ 1 ) u h1 2 dφ 1 = φ 1(1) Siden φ 1 = x er dφ1 eller =1ogφ 1(1) = 1. Vi får derfor u h1 ( 1+x ) =1 2 u h1 3 4 =1, noe som gir u h1 =4/3. Den eksakte numeriske løsningen med ett lineært element er dermed gitt som u h (x) = 4 3 x.dettegiru h(1) = 4/3, og feilen u(1) u h (1) = 2 ln(2) 4/ =.53, en feil på ca4%. k) Tilfredstiller u h (x) dennaturligegrensebetingelsenipunktetx =1eksakt? Fasit: Nei, du h =4/3, dvs, du h du (1) = 4/3, mens (1) = 1. Siden elementmetoden er basert på densvake formuleringen, er generelt sett de naturlige grensebetingelsene ikke tilfredstillt eksakt. Oppgave 2 Betrakt konveksjons-diffusjons-problemet: κu xx + Uu x = f i Ω=(, 1), (5) u() =, (6) u(1) = 1, (7) der κ er en konstant diffusjonskoeffisient og U er en konstant konveksjonshastighet. Vi er spesielt interessert i åløsedetteproblemetnumeriskmedelementmetodenidet tilfellet der κ =.1, U =1ogf =.5. Figur 1 sammenligner den eksakte og den diskrete løsningen ved bruk av K =2likeelementer. a) Hva er grid Peclet tallet assosiert med elementløsningen i Figur 1? Fasit: Grid Peclet tallet er gitt som P g = hu/κ. Hererh =1/K =1/2 =.5, U =1,κ =.1, noe som gir P g =5. b) Hvor mange elementer må vi bruke for å unngå oscillasjoner hvis vi insisterer på å bruke et uniformt grid? Fasit: Grid Peclet tallet P g måværemindreenn2.detbetyratp g = hu/κ < 2. Med de gitte verdier gir dette kravet h <.2. Vi må haminstk =1/.2 = 5 elementer.

6 1 Steady convection diffusion u and u h x Figur 3: En sammenligning mellom den eksakte løsningen u (heltrukken linje) og den standard elementløsningen u h (stiplet linje) i det tilfellet at vi bruker et uniformt grid med K =2lineæreelementer. c) Kan vi forbedre den numeriske løsningen basert på lineære elementer(see Figur 1) uten åøkeantallfrihetsgrader,dvs,utenåøkeantallelementer? Fasit: En måte åunngåoscillasjonereråbrukeenoppstrøsmetode.ielementsammenheng tilsvarer dette åaddererenumeriskdiffusjonistrømretningenslikatgridpeclettalletaldriblirstørreenn2. Ulempen med denne metoden er at løsningen vil bli unøyaktig i og i nærheten av grenseskiktet som vi har ved x =1. Vi kan også forbedreløsningenvedåbrukeenikke-uniformelementoppdelingslikatviharflere elementer i grenseskiktet. For eksempel vil en cosinus-fordeling av nodepunktene gi en mye bedre løsning for det samme antall frihetsgrader. Oppgave 3 Betrakt det tidsavhengige konveksjonsproblemet: u t + U u x = i Ω=(,L) u(, t) = u(l, t) u(x, t =) = u (x). Hvis vi bruker K lineære elementer, ender vi opp med et system av ordinære differensialligninger på formen M h du h dt + C h u h = (8) der M h er massematrisa, og C h er den diskrete konveksjonsoperatoren.

7 a) Vis at massematrisa M h er symmetrisk og positiv definitt. Fasit: Først uttrykker vi det diskrete løsningsrommet X h som X h = span{φ 1,...,φ N } med N = K. Vi har da at dvs, M h er symmetrisk. (M h ) ij = φ i φ j = φ j φ i =(M h ) ji, Videre har vi at, for alle v IR N,withv T =[v 1,v 2,...,v N ], v,ogv(x) = N i=1 v i φ i (x) X h : v T M h v = = = = N i=1 j=1 N i=1 j=1 N v i (M h ) ij v j = N v i ( φ i φ j ) v j N N ( v i φ i )( v j φ j ) i=1 j=1 v(x) v(x) = Vi har dermed også vistatmassematrisaerpositivdefinitt. v 2 (x) >. b) Vis at matrisa C h er skeiv-symmetrisk (eller anti-symmetrisk) for de gitte periodiske grensebetingelsene. Fasit: Vi må viseat(c h ) ij = (C h ) ji.somia)uttrykkervidetdiskreteløsningsrommetx h som X h = span{φ 1,...,φ N } med N = K. Merkatallebasisfunskjonenetilfredstillerdeperiodiske grensebetingelsene. Vi har da at (C h ) ij = U dφ j φ i = [ Uφ j φ i ] L dφ i = Uφ j = (C h ) ji. Uφ j dφ i Konveksjonsmatrisa er derfor skeiv-symmetrisk. I utledningen ovenfor har vi brukt delvis integrasjon og de periodiske grensebetingelsene. c) Vil du anbefale åbrukeforlengseulersomtidsintegrasjonsmetodefor(8)? Fasit: Nei! Hvis vi ønsker åbrukeeneksplisittmetode, mådettilhørendestabilitetsområdet inkludere deler av den imaginære aksen. Dette fordi egenverdiene til M 1 h C h er rent imaginære. Forlengs Euler omslutter ikke deler av den imaginære aksen, og vil derfor være ustabil selv om tidssteget t.

8 d) Anta at vi har en tidsintegrasjonsmetode som kan integrere (8) eksakt, og at vi bruker denne metoden til åintegrere(8)frat =tiltidat = T>. Vil vi ha numerisk dispersjon i dette tilfellet? Fasit: Ja, vi vil ha numerisk dispersjon. Grunnen til dette er at numerisk dispersjon har sitt opphav i den romlige diskretiseringa. Lykke til! Einar M. Rønquist