EKSAMEN I MEK4550: Elementmetoden i faststoffmekanikk

Transkript

1 EKSAMEN I MEK4550: Elementmetoden i faststoffmekanikk Tillatte hjelpemidler: Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Tid: Onsdag 14. januar Oppgave 1 (ekt 1/3) a) Potensiell energi er utgangspunktet for elementmetoden. Hvilke ligninger løses ved å minimere potensiell energi? (a) likevekt (b) kontinuitet (c) energi b) Hva er den ukjente størrelsen i PMPE? (a) spenninger (b) forskyvninger (c) nodekrefter c) I elementmetoden basert på prinsippet om minimum potensiell energi antar vi forskyvninger på formen u(x) = N(x)d Hva kalles funksjonene i N? Hva samler vi i d? d) Anta at vi har et stavelement. Skriv opp det formelle uttrykket (matriseuttrykket) for forskyvningsinterpolasjon når u = u e) Anta at vi har et membran/skivelement. Skriv opp det formelle uttrykket (matriseuttrykket) for forskyvningsinterpolasjon når { } u u = v 1

2 f) Tøyningene finnes fra uttrykket ε = u = Bd For et stavelement er = d dx is uttrykket for tøyninger når vi benytter forskyvningsantagelser tilsvarende oppgave d). g) Tøyningene for skiver er gitt ved = x 0 0 y y x is uttrykket for tøyninger når vi benytter forskyvningsantagelser tilsvarende oppgave e). h) Benytt uttrykket for tøyningsenergi U = σ T ε d = ε T Eε d til å finne et uttrykk for stivhetsmatrisen ved å benytte uttrykk fra tidligere i oppgaven. i) i kan benytte uttrykket for energien til ytre krefter W = u T F d + u T Φ ds S t til å finne et uttrykk for lastvektoren. j) Dersom vi utvider materialloven til σ = E(ε ε 0 ) + σ 0 hvordan blir nå uttrykket for lastvektoren? Endres uttrykket for stivhetsmatrisen? 2

3 Oppgave 2 (ekt 1/3) y, v x, u 1 (x 1, y 1 ) 3 (x 3, y 3 ) 6 (x 6, y 6 ) 5 (x 5, y 5 ) 4 (x 4, y 4 ) 2 (x 2, y 2 ) Figuren viser et seksknutepunkters rettsidet trekant skiveelement. Elementets geometri er gitt ved tykkelsen h og koordinatene til knutepunktene (x i, y i ) for i = 1, 2, 3. Hvert knutepunkt i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 har frihetsgrader (u i, v i ). For elementet er det vanlig å benytte naturlige koordinater som er definert ved trekantens hjørneknutepunker, (x i, y i ), ved ζ 1 x = x 1 x 2 x 3 ζ 2 y y 1 y 2 y 3 ζ 3 der ζ i er de såkalte arealkoordinatene. Elementets forskyvningsfelt kan nå uttrykkes ved interpolasjonsfunksjoner basert på de naturlige koordinatene N 0 = { ζ 1 (2ζ 1 1) ζ 2 (2ζ 2 1) ζ 3 (2ζ 3 1) 4ζ 1 ζ 2 4ζ 2 ζ 3 4ζ 3 ζ 1 } a) Uttrykk forskyvningene i elementet ved hjelp av generaliserte forskyvningsmønstre N q { } [ ] { } u N u = = q0 0 qu = N v 0 N q q q0 Finn interpolasjonsfunksjonene N q0 = {N q1, N q2, N q3, N q4, N q5, N q6 } ved å ta utgangspunkt i Pascals trekant. b) Finn de tilhørende tøyningene ved matrisen B q i uttrykket ε xx u, x ε = ε yy = v, y = B qq 2ε xy u, y +v, x 3 q v

4 hvor u, x = u x og tilsvarende for de andre uttrykkene. c) Klassifiser de generaliserte forskyvningene i N q0 = {N q1, N q2, N q3, N q4 } etter de tre klassene - stivlegememønstre - konstante tøyningsmønstre - høyereordens mønstre d) Anta nå at vi istedet for å benytte generaliserte forskyvninger til å uttrykke forskyvningene tar utgangspunkt i interpolasjonsfunksjonene som er knyttet til knutepunktsforskyvningene { } [ ] { } u N u = = 0 0 vu = Nv v 0 N 0 v v is hvordan man kommer fram til utrykket for ε xx for et vilkårlig element av denne typen når forskyvninigsfeltet er uttrykt ved de naturlige koordinatene. (Benytt relasjonene som er gitt i innledningen til oppgaven.) Oppgave 3 (ekt 1/3) Alle delspørsmålene i denne oppgaven er i prinsippet uavhengig av hverandre. Svar kort og presist på hvert delspøsmål. a) Hvilke to hovedkrav må elementmetodens antatte forskyvningsfunksjoner tilfredsstille for at vi skal kunne garantere at metodens løsning konvergerer mot den riktige løsningen ved stadig finere elementinndeling? b) Hva er formålet med Patch testen. Sett opp et komplett Patch test problem for et stavelement, der alle randkrav settes på som foreskrevne forskyvninger. Angi hva som indikerer om testen er oppfylt eller ikke. Tøyningsrelasjonen, materialloven og den totale potensielle energien for bjelkeproblemet er gitt ved: ε xx = du dx N xx = EAε xx Π(u) = 1 N xx ε xx dx 2 l l qu dx 4

5 c) is hvordan en kan benytte to punkts Gauss integrasjon til å etablere uttrykket for integralet hvor Gauss integrasjon er gitt ved 5 4 φ(x) dx φ(x) = (1 x) f(ξ) dξ = 2 = w i f(ξ i ) i=1 hvor w 1 = w 2 = 1 og ξ 2 = ξ 1 = 1/ 3. Anta en lineær sammenheng mellom x og ξ. d) Finnes det punkter i modellen hvor forskyvninger og spenninger er mer nøyaktig enn i andre punkter? I så fall: I hvilke punkter er forskyvningene mest nøyaktig? Og spenningene? 5