UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MEK4550 Elementmetoden i faststoffmekanikk I. Eksamensdag: Fredag 3. desember Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Ingen. Rottmann: Matematische Formelsamlung, godkjent kalkulator. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgave 1. (Vekt 33/100) a) Potensiell energi er utgangspunktet for elementmetoden. Skriv opp uttrykket for energien til et stavelement når k a = EA l [ ] 1 1, r 1 1 a = q xl 2 { } 1, d 1 a = { u1 u 2 } og Π(d) = 1 2 dt a k a d a d T a r a Benytte følgende elementdata EA = 1, q x = 1, l = 2 u 1 = 0 og u 2 = 2 Er elementet i likevekt? (Fortsettes side 2.)

2 Eksamen i MEK4550, Fredag 3. desember Side 2 b) For et trenoders stavelement er interpolasjonsplynomet gitt ved N = { (1 ξ)(1 2ξ) 4ξ(1 ξ) ξ(1 2ξ) } og d = hvor ξ = 0 i ende en, n 1, ξ = 1 2 i midtnoden, n 2, og ξ = 1 i node tre, n 3. Vis at funksjonene har interpolasjonsegenskaper. u 1 u 2 u 3 x = 0 ξ = 0 x = l 2 ξ = 1 2 x = l ξ = 1 n 1 n 2 n 3 c) Interpolasjonspolynomene er gitt i naturlige koordinater. Bestem avbildingen fra naturlige til fysiske koordinater og angi derivasjons- og integrasjonsregler uttrykt i naurlige koordinater d dx = 1 d J dξ og dx = Jdξ Anta en lineær sammenheng mellom naturlige og fysiske koordinater. d) Benytt uttrykkene i b) og c) til å etablere et uttrykk for tøyningsoperatoren B ε = du dx = dn dx d = Bd e) Uttrykket for den indre tøyningsenergien er gitt ved U(u) = 1 EAε(ε 2ε 0 ) dx 2 l hvor ε 0 er initialtøyningen. Initialtøyningen for temperaturbelastning er gitt ved ε 0 = α T = α(t T 0 ) α er temperaturutvidelseskoeffisienten, T og T 0 er en referansetemperatur, begge i Kelvin. Finn uttrykket for lastevktoren pga et konstant temperaturfelt. Benytt uttrykkene fra b) og d). f) Vis hvordan man kan benytte Gauss integrasjon til å finne lastuttrykket. Gauss integrasjon er gitt ved 1 2 f(ξ) dξ = = w i f(ξ i ) 1 Benytt en to-punkts regel hvor w 1 = w 2 = 1 og ξ 2 = ξ 1 = 1/ 3. (Fortsettes side 3.) i=1

3 Eksamen i MEK4550, Fredag 3. desember Side 3 g) Finn endeforskyvningene, i trenoders elementet, pga temperaturelast når en holder fast node to og stivhetsmatrisen er gitt ved k 3 = EA l Benytt EA = 1, l = 1, α = 1 og T = 2. h) Sett r a = 0. Er elementet alltid i likevekt? Oppgave 2. (Vekt 37/100) Oppgave 1. I denne oppgaven skal en benytte et tonoders bjelkeelement (bøyningsdelen). Bjelkene er rette. Stivhetsmatrisen er gitt ved 12 6l 12 6l w 1 k b = EI 6l 4l 2 6l 2l 2 θ l l 12 6l og d b = 1 w 2 6l 2l 2 6l 4l 2 hvor w er forskyvningen på tvers og θ er rotasjon om y-aksen (høyrehåndsregel). θ 2 a) Sett sammen stivhetsmatrisen for et element som har både aksialdeformasjoner, k 3, og bøyedeformasjoner, k b, til et element som har nodefrihetsgrader d T = { u 1 w 1 θ 1 u 2 u 3 w 2 θ 2 } Benytt aksialstivhetene, k 3, fra trenoderselementet i oppgave 1. (Bøyeog aksialdeformasjoner er ikke koblet). b) Node n 1, n 5 og n 7 er fastholdt i alle frihetsgrader. Hvor mange ukjente nodeforskyvninger har modellen? c) Anta at aksialstivheten er så høy (sammenlignet med bøyestivheten) at vi kan se bort i fra den i resten av oppgaven. Hvor mange ukjent nodeforskyvninger har denne modellen? (Fortsettes side 4.)

4 Eksamen i MEK4550, Fredag 3. desember Side 4 EA 1 = EA 2 = EA 3 = EA EI 1 = EI 2 = EI 3 = EI z l 3 = 5 e 3 n 6 n 7 M 0 e 1 e 2 x n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 l 1 = 3 l 2 = 4 d) Etabler uttrykket for global stivhetsmatrise ved å benytte a-matriser, d e = a e D. e) Etabler lastvektoren ved direkte innaddering. f) Løs for nodeforskyvningene når M 0 = og EI = 1. g) Bestem momentet i et vilkårlig snitt i element en, e 1. Benytt sammenhengene fra elementmetoden M = EIκ = EI d2 w dx = EI d2 N b 2 dx d 2 b og N b = { 1 3ξ 2 + 2ξ 3 l [ξ 2ξ 2 + ξ 3 ] 3ξ 2 2ξ 3 l [ξ 2 ξ 3 ] } h) Benytt en mer nøyaktig måte å regne momentet, M, på. Hvordan sammenligner dette med svaret i g)? i) Anta at node fem, n 5, får en vertikal forskyvning δ z5. Sett opp C- matrisen for dette problemet. Antar at rotasjonen i node fem, n 5, fortsatt er fastholdt. j) Sett opp det globale ligningssytemet der en løser bibetingelsen w e 2 2 = δ z5 ved å benytte en Lagrange multiplikator. k) Hvor stor endeforskyvning må vi ha for at rotasjonen skal bli θ = 1 i node n 3. Anta at EI = 1. (Fortsettes side 5.)

5 Eksamen i MEK4550, Fredag 3. desember Side 5 Oppgave 3. (Vekt 20/100) Figuren viser et seksknutepunkters rettsidet trekant skiveelement. Elementets geometri er gitt ved tykkelsen h og koordinatene til knutepunktene (x i, y i ) for i = 1, 2, 3. Hvert av knutepunktene i = 1, 2, 3 har frihetsgradene u i mens knutepunktene i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 har frihetsgradene v i. y, v x, u 1 (x 1, y 1 ) 3 (x 3, y 3 ) 6 (x 6, y 6 ) 5 (x 5, y 5 ) 4 (x 4, y 4 ) 2 (x 2, y 2 ) For elementet er det vanlig å benytte naturlige koordinater som er definert ved trekantens hjørneknutepunker, (x i, y i ), ved x = x = x 1 x 2 x 3 y y 1 y 2 y 3 ζ 1 ζ 2 ζ 3 = Aζ og A 1 = 1 x 2 y 3 x 3 y 2 y 23 x 32 x 3 y 1 x 1 y 3 y 31 x 13 2A x 1 y 2 x 2 y 1 y 12 x 21 hvor 2A = det(a) og der ζ i er de såkalte arealkoordinatene. Elementets forskyvningsfelt i v-retning kan nå uttrykkes ved interpolasjonsfunksjoner basert på de naturlige koordinatene N v = { } ζ 1 (2ζ 1 1) ζ 2 (2ζ 2 1) ζ 3 (2ζ 3 1) 4ζ 1 ζ 2 4ζ 2 ζ 3 4ζ 3 ζ 1 a) Sett opp interpolasjonspolynomet i u-retning ved å benytte faktor metoden. Benytt arealkoordinater og nodefrihetsgrader definert ved d u1 d u = d u2 d u3 (Fortsettes side 6.)

6 Eksamen i MEK4550, Fredag 3. desember Side 6 b) Sett opp uttrykket for skjærtøyning for elementet γ xy = u y + v x c) Uttrykk forskyvningene, (u, v), ved å benytte generaliserte koordinater u = N qu q u og v = N qv q v Velg polynomer fra Pascals trekant. d) Diskuter om elementet tilfredsstiller elementmetodens to fundamentale krav til konvergens - fullstendighet og - kompatibilitet e) Bergen lastvektoren for den konstante lasten i figuren under y, v n 1 n 4 n 2 x, u q y SLUTT