TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapeige universitet Institutt for matematiske fag TMA420 Numerisk øsning av part diffign med differansemetoder Vår Crank Nicoson er en famiie metoder som fremkommer ved at vi bruker Trapesmetoden på semidiskretiseringen Metoden får da formen u n+ 2 µ β k α u ( x) 2 β k α a k u n+ +k un + 2 µ a k u +k, 2,, d β k α hvor µ er Courant-taet Spesiet ser vi på metoden a k u n +k, 2,, d, n 0, u n+ u n + µ ( u n un+ + u n+ + un + 2un + u n ) Vi ska vise at metoden konvergerer direkte uten bruk av Lax ekvivaensteorem Vi begynner med å a t > 0 være en vikårig vagt konstant Feien er som kjent definert som e n u n u( x, n t),, 2,, d +, n 0,,, n t hvor n t t / t Konvergens er definert som [ ( im x 0 max 0,,,d+ max e n n0,,,n t )] 0 Denne definisjonen er ogisk, siden for vagt t, har vi ( et endeig anta ) gridpunkter På hvert nodepunkt har vi en fei e n, så max max e n 0,,,d+ n0,,,n uttrykker den t maksimae av disse Konvergens krever at denne går mot nu når gridet gjøres finere og finere (dvs x 0) Vi definerer som i emma 3 i æreboka hjepestørresen η n max 0,,,d+ en, n 0,,, n t, som er den maksimae feien angs den horisontae injen assossiert ti n Konvergenskravet bir føgeig im max η n 0 n0,,,n t x 0 Anta Crank Nicoson skjemaet er av orden p, sik at vi har u n+ ũ n+ u n + µ 2 (un+ + 2un+ ũ n + µ 2 (ũn+ + 2ũn+ + ũ n+ + u n+ + un + 2un + u n ) + ũn + 2ũn + u n ) + O(( x)p+2 ), 25 februar 2005 Side av 8

2 hvor ũ er den eksakte øsningen Subtraksjon av igningene gir e n+ e n + µ 2 (en+ + 2en+ + e n+ + en + 2en + e n ) + O(( x)p+2 ), hvor 0,,, d +, n 0,,, n t En iten omrokkering gir ( + µ)e n+ ( µ)e n + µ 2 (en+ + en+ + ) + µ 2 (en + en + ) + O(( x)p+2 ) Det fins en konstant c > 0, uavhengig av x, sik at for ae 0,,, d + e n+ e n µ 2 (en+ + 2en+ + e n+ + en + 2en + e n ) c( x) p+2 Trekantuikheten og antagesen µ gir dermed at ( + µ) e n+ ( µ) e n + µ 2 ( en+ + en+ + ) + µ 2 ( en + en ) + c( x)p+2 Dette medfører at som gir via induksjon ( µ)η n + µη n+ + µη n + c( x) p+2 η n + µη n+ + c( x) p+2 max( + µ) e n+ ( + µ)η n+ η n + µη n+ + c( x) p+2 η n+ η n + c( x) p+2, η n η 0 + nc( x) p+2 nc( x) p+2 ct µ ( x)p Dette viser at metoden konvergerer fordi vi nå kan få feien ved tid n t så iten vi vi når x går mot nu 32 Vi har fått oppgitt metoden u n+ u n + µ(u n 2un + u n + ) bµ 2 x(un + un ), som er et FD-skjema for konveksjons-diffusjonsigningen u t 2 u x 2 b u, 0 x, t 0, x hvor b > 0 er en gitt konstant Vi ska vise at metoden er konvergent La derfor u n [u n,, u n d ], d x og anta u n 0 un d+ 0, da er 2µ µ b µ 2 x A x µ + b µ 2 x 2µ µ b µ 2 x µ + b µ 2 x 2µ 25 februar 2005 Side 2 av 8

3 Vi ser at matrisen er tridiagona med b µ b µ 2 x og b+ µ + b µ 2 x utenfor diagonaen Vi bruker derfor matrisemetoden for å vise at metoden er stabi Vi må finne egenverdiene ti matrisen Fra notatet om egenverdiene ti tridiagonae matriser har vi at λ j 2µ + 2µ b 2 µ2 4 x2 cos( πj d + ) 2µ + 2µ b 2 µ2 4 x2 cos(πj x), j,, d Vi får dermed at ρ(a x ) 2µ + 2µ b 2 µ2 4 x2 cos(π x) og siden b 2 µ 2 4 x2 cos(π x) kan gjøres mindre enn ved å a x bi iten nok, føger det at ρ(a x ) når x 0 Dette viser at metoden er stabi For å vise at metoden konvergerer, må vi i tiegg vise at metoden er av orden større enn eer ik Vi setter inn den eksakte øsningen, ũ, i seve metoden og får ũ n+ ũ n + µ(ũ n 2ũn + ũ n + ) bµ 2 x(ũn + ũn ) + O( t) + O( x2 ) For konstant µ har vi O( t) + O( x 2 ) O( x 2 ), som viser at metoden har orden 2 Ved Lax ekvivaensteorem konkuderer vi dermed at metoden er konvergent I oppgaven står det at vi ska vise konvergens ved first principes dvs uten å ta i bruk Lax ekvivaensteorem La oss skrive opp skjemaet U n+ U n + µ(u n 2U n + U n + ) bµ 2 x(u n + U n ) Loka fei kan vi da skrive ved: e n+ e n + µ(e n 2en + e n + ) bµ 2 x(en + en ) + O(( x)4 ) Når µ t/( x) 2 er konstant får vi e n+ (µ + bµ 2 x)en + ( 2µ)en + (µ bµ 2 x)en + + O(( x)4 ) Som i oppgave 3 og i beviset for Teorem 3 (gjør gjerne det beviset før du prøver på denne oppgaven, kanskje også Teorem ) i boka så definerer vi en η n som den største fei (i absouttverdi) i gridpunktene ved tidspunkt n t O(( x) 4 ) betyr at det finnes en c > 0 sik at e n+ (µ + bµ 2 x)en + ( 2µ)en + (µ bµ 2 x)en + + c( x)4 µ + bµ 2 x e n + 2µ en + µ bµ 2 x e n + + c( x)4 25 februar 2005 Side 3 av 8

4 (hvor vi har brukt triangeuikheten) µ + bµ 2 x η n + 2µ η n + µ bµ 2 x η n + c( x) 4 ( µ + bµ 2 x + 2µ + µ bµ ) 2 x η n + c( x) 4 Det vi er ute etter er å vise at η n+ η n puss noe avhengig av x For å komme videre med uttrykket framfor η n må vi anta at 2µ og b x/2 er positive, da kan vi droppe absouttverditegnene inni parantesen og det hee forenker ti η n + c( x) 4 som er det vi krever for konvergens Tistrekkeige krav for konvergens er derfor 2µ 0 som tisvarer µ t ( x) 2 /2 b x/2 0 som tisvarer x 2 b Nytt i dette skjemaet kontra diffusjonsskjemaer (uten konveksjonsedd) er at vi får et makskrav på hvor grov den romige diskretiseringen kan være for å få konvergens, det hadde vi ikke før Desto større væskehastighet (eksempevis), desto finere romoppøsning må vi ha for å kunne diskretisere igningen (Merk: Vi har ikke i denne oppgaven diskutert nødvendige krav for konvergens) 34 Denne oppgaven hander om eksponensiafunksjonen for matriser, og hvordan denne inngår i teorien om ordinære diffigninger La B være en d d-matrise Vi definerer e B k! Bk k0 a) Vi må først av at vise at definisjonen er vedefinert, dvs at rekken konvergerer Det fins fere måter å gjøre dette på Beviset består da i å vise at rekken er Cauchy og derfra konkudere at rekken konvergerer siden R d er et Banachrom Et teorem fra anaysen sier at det er tistrekkeig å vise at rekken konvergerer absoutt, og det er nettopp dette uikheten i denne deoppgaven henviser ti Det er kart at rekken konvergerer absoutt siden k! Bk e B k0 Seve uikheten kommer fra kontinuiteten ved normen: e B k! Bk k0 k0 k0 e B k! Bk k! B k 25 februar 2005 Side 4 av 8

5 b) Anta at B V DV, hvor V er ikke-singuær (det må den være for at V ska være vedefinert) Vi ska vise at e tb har tisvarende spektradekomposisjon e tb V e td V t 0 Vi har at e tb k0 k0 k! (tb)k V e td V, k! (V (td)v ) k k0 k! V (td)k V V ( k0 ) k! (td)k V for t 0 Anta nå videre at B har distinkte egenverdier λ, λ 2,, λ d Hvis x, x 2,, x d er et tisvarende sett av egenvektorer, så har vi at Bx j λx j j,, d V DV x j λx j j,, d DV x j λv x j j,, d Dy j λ j y j, y j V x j, j,, d Egenverdiene er dermed de samme, men vi har fått et nytt sett med egenvektorer Dermed kan vi konkudere at λ λ 2 D λd Siden egenverdiene er distinkte, har vi at de korresponderende egenvektorene er ineært uavhengige og utgjør dermed en basis i R d Vi kan ett vise at e tb x j e tλ j x j, j, d, så x j er egenvektorer for e tb med korresponderende egenverdier e tλ j Disse egenvektorene utgjør som sagt en basis i R d, så vi kan utttrykke standardbasisen e, e 2,, e d som en ineærkombinasjon av disse, dvs det fins skaarer a ij R, i, j,, d sik at e a x + a 2 x a d x d e 2 a 2 x + a 22 x a 2d x d e d a d x + a d2 x a dd x d 25 februar 2005 Side 5 av 8

6 La nå y R d være vikårig, da kan vi skrive e tb y e tb y i e i e tb i y i i j y i i j j j e tλ j e tλ j a ij e tb x j a ij e tλ j x j y i a ij x j i x j x j2 x jd y i i j a ij x j [ ] aj a 2j a dj y y 2 y d e tλ j x j a j y, hvor a j [a j, a 2j,, a dj ] j Dermed har vi vist at hvor som skue vises e tb e tλ j E j, j E j x j a j, c) For å vise at øsningen av det ineære ODE-systemet er gitt ved y By, t t 0 y(t 0 ) y 0 y(t) e (t t 0)B y 0, t t 0, må vi kjenne den deriverte ti e (t t 0)B En kan ett vise at d dt e(t t 0)B Be (t t 0)B Dermed viser vi påstanden ved innsetting: y (t) d dt e(t t 0)B y 0 Be (t t 0)B y 0 By(t) Vi viser også at y(t 0 ) y 0 d) Vi viser generaiseringen med samme fremgangsmåte som i c)(det er derfor det 25 februar 2005 Side 6 av 8

7 kaes en generaisering) Vi har t y (t) d dt e(t t 0)B y 0 + d e (t τ)b p(τ) dτ, t t 0 dt t 0 t Be (t t0)b y 0 + Be (t τ)b p(τ) dτ + e (t t)b p(t), t 0 t ( 0 t ) B e (t t0)b y 0 + e (t τ)b p(τ) dτ + p(t), t 0 t 0 By(t) + p(t), t 0, som viser påstanden e) Anta nå at B er en norma matrise Vi husker fra pensum at dette er kravet for at matrisemetoden, som viser stabiitet/ustabiitet, ska gjede En matrise B er norma dersom B T B B B T Den absoutt viktigste egenskapen ved en norma matrise er at det fins en spektradekomposisjon B UDŪ T, hvor U er en unitær matrise bestående av ortonormae egenvektorer (som forøvrig er den kompekse anaogen ti ortonormae matriser og som oppfyer identitetene Ū T U UŪT I og Uy y, for ae y R d ), og hvor D er en diagona matrise bestående av egenverdiene ti B La y R d være vikårig, da har vi at e tb y 2 e tb y, e tb y y, (e t B) T e tb y y, (Ūet D Ū T ) T Ue td U T y y, Ūet D T Ū T Ue td U T y y, Ūet D T e td U T y y, Ūet( D T +D) U T y U T y, e 2tReD U T y U T y e 2tReD U T y e 2tReD U T y 2 e 2tReD y 2 ρ(e 2tReD ) y 2 e 2t α(b) y 2, hvor den første uikheten er den vekjente Cauchy Schwarz uikheten Dermed har vi at e tb y e t α(b) y, for ae y R d, som medfører at e tb e tre α(b), t 0 35 Vi ska vise at SD-skjemaet v ( x) 2 ( 2 0,x 2 ( 4 0,x)v 2 v v 5 2 v v + 2 v februar 2005 Side 7 av 8

8 er av orden 4 Vi bruker teorem 35 fra æreboka som sier at metoden v ( x) 2 β k α a kv +k er av orden p hvis og bare hvis det fins en konstant c 0 sik at a(z) (n z) 2 + c(z ) p+2 + O( z p+3 ), z, hvor a(z) β k α a kz k Vi setter z e iθ, som gir a(e iθ ) 2 (e 2iθ + e 2iθ ) (e iθ + e iθ ) 6 cos(2θ) cos(θ) 6 ( 2! (2θ)2 + 4! (2θ)4 6! (2θ)6 + O(θ 8 )) ( 2! θ2 + 4! θ4 6! θ6 + O(θ 8 )) ( ) ( ! 4 8 ) θ 2 3 2! ( + 6 4! ) ( θ ! 6 6! 26 8 ) θ 6 + O(θ 8 ) 3 6! θ 2 + cθ 6 + O(θ 8 ) Siden (n e iθ ) 2 θ 2, føger det fra teoremet at metoden har orden fire 25 februar 2005 Side 8 av 8