UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS140 Kvantefysikk Eksamensdag: 10. juni Tid for eksamen: (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedegg: Ingen Tiatte hjepemider: Rottman: "Matematisk formesaming" Øgrim og Lian: "Fysiske størreser og enheter" Ange og Lian: "Fysiske størreser og enheter" Godkjent kakuator Ett A4 ark med egne notater (begge sider av arket) Kontroer at oppgavesettet er kompett før du begynner å besvare spørsmåene.

2 Oppgave 1 Hydrogenatom for kjemikere Idenneoppgavenskavisepåhydrogenatomet.Vrieniåreratvi ska skrive øsningen av Schrødingerigningen på en måte som kjemikere iker bedre. Vi ser bort fra spinn i denne oppgaven. Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerigningen for hydrogenatomet er som kjent ψ nm (r, θ, φ) =R n (r)y m (θ, φ), (1) hvor R n (r) er øsningene av den tihørende radiaigningen og Y m (θ, φ) er de sfæriske harmoniske. Her bruker vi sfæriske koordinater x = r sin θ cos φ, () y = r sin θ sin φ, (3) z = r cos θ. (4) Vi gir de ekspisitte uttrykkene for de enkeste av disse funksjonene i Tabe 1. R n (r) (θ, φ) R 10 (r) =Ae r/a Y0 0 (θ, φ) =B R 0 (r) = 1 8 A ( 1 r ) a e r/a Y1 0(θ, φ) = 3B cos θ R 1 (r) = 1 4 A r a e r/a Y 1 ±1 3 (θ, φ) = B sin θe±iφ Tabe 1: Oversikt over de enkeste radiafunksjonene for hydrogenatomet, R n,samtdesfæriskeharmoniske,y m. A og B er to normeringskonstanter og a er Bohrradien. Y m Vi begynner med itt generee spørsmå. a) Hva sags verdier kan kvantetaene n, og m ta for hydrogenatomet? [3 poeng] b) Gi normeringsbetingesen for bøgeunksjonen ψ nm.viantarseparat normering av R og Y.VisatnormeringsbetingesenforR er gitt ved 0 R(r) r dr =1. (5) c) Hva er enheten ti R(r)? Gienbegrunnese.[4poeng] d) Finn normeringskonstantene A og B. Hint: Du kan få bruk for føgende integra 0 x n e λx dx = n! λ (n+1). (6)

3 e) Forkar hva vi mener med degenerasjon. Bestem degenerasjonsgraden ti hydrogen som funksjon av n. Hint: Fra kombinatorikken har vi at (se for eksempe Rottmann) n = =1 n(n +1). (7) [6 poeng] Vi definerer så en ny type funksjon X m (θ, φ) som er ineærkombinasjoner av de sfæriske harmoniske: i [Y m ( 1) m Y m ] hvis m<0 X m = Y 0 hvis m =0. (8) f) Vis at 1 [Y m +( 1) m Y m ] hvis m>0 X 11 (θ, φ) = 3B sin θ cos φ og X 1, 1 (θ, φ) = 3B sin θ sin φ. (9) g) Forkar hvorfor R 1 X 11, R 1 X 10 og R 1 X 1, 1 er egentistander ti Hamitonoperatoren ti hydrogenatomet. [3 poeng] h) Hva sags verdier for (kvadratet av) anguærmomentet, L,kandufå dersom du måer et hydrogenatom i tistanden R 1 X 11?[3poeng] i) Er R 1 X 11 en egentistand ti ˆLz?Hvamed ˆL x? Begrunn svaret. [4 poeng] j) Hva er sannsynigheten for at du måer verdien for z-komponenten ti anguærmomentet ti et hydrogenatom som er preparert i tistanden Ψ( r, 0) = R 1 (r)x 11 (θ, φ)? [poeng] k) De sfæriske harmoniske kan skrives som Y m (θ, φ) =N m P m (cos θ)e imφ, (10) hvor N m er normeringskonstanter, og hvor P m (x) er de assosierte Legendrepoynomene som er reee funksjoner av x. Viharogsåat N m = N m og P m =( 1) m P m. Bruk dette ti å vise at dersom man skriver øsningene for hydrogenatomet på formen ψ nm (r, θ, φ) = R n (r)x m (θ, φ), såerbøgefunksjonenatidenreefunksjon.[5poeng] 3

4 Oppgave Oppruet dimensjon Idenneoppgavenskavisepåkvantemekanikkitoromdimensjoner, men hvor en av de to dimensjonene er en suttet sirke med omkrets L. Vibruker koordinatene (x, u) hvor x R og u [0,L]. Viviidenneoppgavenbruke et vanig uendeig brønn potensia { 0 dersom 0 <x<a V (x, u) = eers. (11) a) Forkar hvorfor Schrødingerigningen i to dimensjoner da skrives som ( ) m x + u Ψ(x, u, t) =i Ψ(x, u, t). (1) t når 0 <x<a.[3poeng] b) Hvasagsgrensebetingesemåvibrukeforbøgefunksjoneni u-retningen? [ poeng] Vi antar nå separasjon av variabe, atså at øsningene ψ(x, u) av den tidsuavhengige Schrødingerigningen kan skrives som produktet ψ(x, u) =X(x)U(u). c) Vis at de føgende uttrykkene for funksjonene X og U gir oss øsninger av den tidsuavhengige Schrødingerigningen for 0 <x<a: X(x) =A sin(k x x)+b cos(k x x) og U(u) =Ce ikuu. (13) d) Bruk grensebetingesene for ψ(x, u) ti å vise at B =0, hvor n x =1,, 3...,og k x = πn x a, (14) k u = πn u L, (15) hvor n u =0, ±1, ±,...[6poeng] e) Vis at energien kan skrives ved hjep av kvantetaene n x og n u som [ E nxn u = π ( ) ] a ma n x + n u. (16) L f) Hva er energien ti grunntistanden i dette potensiaet, og hvor mange eektroner kan befinne seg i den? Hvor mange kan finnes i tistanden(e) med nest avest energi? Anta at bredden av brønnen er a = 1nm. Massen ti et eektron er m =0.511 MeV/c.[6poeng] 4

5 g) Bruk normeringskravet ti ψ(x, u) for å vise at AC = /al sik at den fustendige øsningen bir ψ nxn u (x, u) = al sin (k xx)e ikuu. (17) h) Finn forventningsverdien ti p x for tistanden ψ n xn u (x, u). [3poeng] i) IgrensenL a viser igning (16) hva som skjer dersom det eksisterer små ekstra oppruede dimensjoner i verden. Vi minner om at energien for en uendeig brønn i en vanig dimensjon er E nx = π ma n x. (18) Gitt at størresen på denne ekstra dimensjonen er L =10 3 nm, hvor mye energi trenger jeg for å eksitere et eektron i den nye dimensjonen? [3 poeng] j) Hvor mye ekstra effektiv masse (hvieenergi) ser det ut som et eektron som er eksitert i den ekstra dimensjonen har? Hint: Ta utgangspunkt ieinsteinsformeforreativistiskenergiienvanigdimensjon E = p x c + m c 4.[3poeng] 5