Institutt for fysikk. Eksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Transkript

1 Institutt for fysikk ksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon ndreas Støvneng (med forbehold om streik) Tlf.: ksamensdato: 30. mai 2018 ksamenstid (fra-til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:. Godkjent kalkulator. Rottmann, Matematisk formelsamling. ngell og Lian, Fysiske størrelser og enheter. nnen informasjon: 50 flervalgsoppgaver med lik vekt. Kun ett svar er korrekt på hver oppgave. 1 poeng for riktig svar. 0 poeng for feil svar eller intet svar. Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. ksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål. 1 omputertomografi (T) utføres med røntgenstråling, og en typisk fotonenergi kan være 60 kev. Hva er da bølgelengden? 11 pm 21 pm 31 pm 41 pm 51 pm 2 I en gass av natriumatomer kan det dannes dimere, Na 2, med masse. ksperimenter viser at slike molekyler har bølgeegenskaper. (Phys Rev Lett 74, 4783 (1995)) Hva er (den termiske de roglie-) bølgelengden til Na 2 ved en temperatur? 0.51 Å 0.41 Å 0.31 Å 0.21 Å 0.11 Å 1/22

2 3 Hva er rms-hastigheten til en gass av Na 2 -molekyler ved? ca 0.1 km/s ca 0.2 km/s ca 0.8 km/s ca 1.6 km/s ca 3.2 km/s 4 Hva er bølgelengden til 60 ( 12 F 25 ) 10 når molekylet har hastighet 80 m/s? tomære masser for og F er henholdsvis og. 0.7 pm 1.7 pm 2.7 pm 3.7 pm 4.7 pm 5 I moderne transmisjonselektronmikroskop (TM) kan elektroner oppnå relativistiske hastigheter. Hva er impulsen til elektroner med kinetisk energi 300 kev? 2/22

3 6 I ohr-modellen, hva er sammenhengen mellom elektronets kinetiske energi og den potensielle energien (potensialet)? 7 Oppgave 7-12: t elektron (i oppgave 11 og 12: flere elektroner) befinner seg i en endimensjonal uendelig dyp potensialbrønn med bredde 40 Å og konstant potensial. nta at elektronet foretar en overgang fra 3. eksiterte tilstand til grunntilstanden slik at det sendes ut et foton. Hva er fotonets bølgelengde? 8 nta nå at elektronet befinner seg i en tilstand som kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av grunntilstanden og 3/22

4 3. eksiterte tilstand, nærmere bestemt Med hvor lang periode vil sannsynlighetstettheten oscillere? 12 ms 12 s 12 ns 12 ps 12 fs 9 nta i neste omgang at et elektron i denne potensialboksen er preparert i en symmetrisk og normert starttilstand av elektronets energi gir resultatet? for og ellers. Hva er sannsynligheten for at en måling 0 16% 29% 39% 1 10 Med samme starttilstand som i forrige oppgave, hva er sannsynligheten for at en måling av elektronets energi gir resultatet? 0 16% 29% 39% 1 4/22

5 11 nta nå at 20 ikkevekselvirkende elektroner (fermioner med spinn 1/2) befinner seg i potensialboksen med bredde 40 Å. Hva er systemets totale energi i grunntilstanden? 2 ev 6 ev 10 ev 14 ev 18 ev 12 Hva er maksimal bølgelengde for fotoner som kan absorberes i 20-elektron-systemet i forrige oppgave? 13 Oppgave 13-16: Vibrasjonsfrihetsgraden til hydrogenfluorid, HF, kan med brukbar tilnærming beskrives med harmonisk oscillatorpotensialet. Siden atomære masser er henholdsvis og, har oscillatoren masse. Vibrasjonsfrekvensen er Hz. Hva er fjærkonstanten? 5/22

6 5.6 N/cm 9.6 N/cm 13.6 N/cm 17.6 N/cm 21.6 N/cm 14 Hva er den totale utstrekningen til det klassisk tillatte området når oscillatoren befinner seg i 1. eksiterte tilstand? 12 pm 22 pm 32 pm 42 pm 52 pm 15 oltzmannfaktoren gir forholdet mellom sannsynligheten for å finne oscillatoren henholdsvis i 1. eksiterte tilstand og i grunntilstanden. Hvor stort er dette forholdet for HF-molekylet ved romtemperatur (300 K)? 16 I en gass med hydrogenfluorid vil en liten andel av molekylene være F, der angir deuterium, med masse (et proton og et nøytron i kjernen). Hva er vibrasjonsfrekvensen i F? 6/22

7 17 Hva er kommutatoren? 18 Hva er kommutatoren? 19 Hva er kommutatoren? 7/22

8 20 Hva er kommutatoren? 21 Hva er kommutatoren? 22 Hva er kommutatoren? 8/22

9 23 Oppgave 23-26: Vi betrakter en isotrop todimensjonal harmonisk oscillator,, med energiegenfunksjoner, dvs på produktform, med funksjoner av og som i formelvedlegget. Hva er energien i tilstanden? 24 Hva er (dvs absoluttverdien av dreieimpulsen) i tilstanden? 9/22

10 25 Hva er (dvs forventningsverdien av ) i tilstanden? 26 Hvilken av følgende tilstander er egenfunksjon til med egenverdi? Oppgitt: ; 27 Oppgave 27 og 28: iskretisering av den tidsuavhengige Schrödingerligningen (TUSL) gir (f eks) Her er avstanden mellom "gitterpunktene" og er partikkelens masse. La oss se på en fri partikkel med overalt ( ). en ikke urimelige prøveløsningen viser seg å fungere bra. Hvilken figur illustrerer den resulterende dispersjonsrelasjonen (båndstrukturen)? 10/22

11 28 åndbredden er differansen mellom største og minste verdi av funksjonen. Hva er båndbredden i forrige oppgave? 29 Oppgave 29-33: 11/22

12 Potensialbrønnen i figuren over er symmetrisk om og har dybde 1.0 ev og bredde 4.0 nm. Potensialet er valgt lik null inni potensialbrønnen. I denne og de neste oppgavene ser vi på noen energiegentilstander for et elektron i dette potensialet. Figuren nedenfor viser to energiegentilstander, og. Hvilken tilstand er? Grunntilstanden 1. eksiterte tilstand 2. eksiterte tilstand 3. eksiterte tilstand 4. eksiterte tilstand 30 I figuren i forrige oppgave, hvilken tilstand er? Grunntilstanden 1. eksiterte tilstand 2. eksiterte tilstand 3. eksiterte tilstand 4. eksiterte tilstand 12/22

13 31 Hva er et rimelig estimat av energien i tilstand? 0.19 ev 0.07 ev 0.02 ev ev ev 32 Hva er et rimelig estimat av energien i tilstand? 0.1 ev 0.3 ev 0.5 ev 0.7 ev 0.9 ev 33 13/22

14 Figuren over illustrerer en ubunden tilstand i brønnpotensialet. Hva er et rimelig estimat av energien i denne tilstanden? 1.01 ev 1.03 ev 1.05 ev 1.07 ev 1.09 ev 34 Oppgave 34-36: Potensialet i figuren over er et supergitter, bestående av 5 potensialbrønner (potensial lik null), hver med bredde 2.0 nm, adskilt av potensialbarrierer, hver med bredde 1.0 nm og høyde 0.5 ev. I "kontaktene" på hver side er potensialverdien 0.5 ev. Hele potensialstrukturen er symmetrisk om. Vi ser på noen energiegentilstander for et elektron i et slik supergitter. Figuren nedenfor illustrerer grunntilstanden og 4. eksiterte tilstand: 14/22

15 Hva er et rimelig estimat av energien i grunntilstanden? 0.02 ev 0.06 ev 0.18 ev 0.54 ev 1.62 ev 35 Hva kan du si om energien i 4. eksiterte tilstand? Omtrent lik energien i grunntilstanden (litt større). Omtrent 50% større enn energien i grunntilstanden. Omtrent dobbelt så stor som energien i grunntilstanden. Omtrent fire ganger så stor som energien i grunntilstanden. Omtrent åtte ganger så stor som energien i grunntilstanden. 15/22

16 eksiterte tilstand ser slik ut: et opplyses at verdien av bølgefunksjonen er i nm og i nm. Hva er da et rimelig estimat av energien i denne tilstanden? ev ev ev ev ev 37 Oppgave 37-40: n av energiegentilstandene i hydrogenatomet (en -tilstand) er. Her er ; vinkeldelen er gitt i formelvedlegget. Hva slags paritet har? Ingen Odde Like Ubestemt Uskarp 16/22

17 38 For et elektron i tilstanden, hva er vinkelen mellom -aksen og elektronets dreieimpuls? 39 I hvilken avstand fra kjernen er radialtettheten størst? 40 t elektron i tilstanden gjennomgår en overgang til en tilstand med lavere energi. Hva er bølgelengden på det emitterte fotonet? 656 nm 545 nm 434 nm 323 nm 212 nm 41 Som et alternativ til de sfæriske harmoniske funksjonene kan tilstander med uttrykkes ved hjelp av 17/22

18 41 Som et alternativ til de sfæriske harmoniske funksjonene kan tilstander med uttrykkes ved hjelp av kartesiske koordinater (der normeringskonstanter mangler): Hva slags lineærkombinasjon av disse kan brukes til å representere? 42 n partikkel beskrives ved tidspunktet av bølgefunksjonen Hva er sannsynlighetsstrømmen i posisjonen ved dette tidspunktet? 43 n partikkel beskrives ved tidspunktet av bølgefunksjonen Hva er sannsynlighetsstrømmen i posisjonen ved dette tidspunktet? 18/22

19 44 n partikkel med kinetisk energi sendes inn mot et potensialsprang ev. Partikkelens impuls er til venstre for potensialspranget og til høyre for potensialspranget. Sannsynligheten for at partikkelen reflekteres ved potensialspranget er da. Hva må partikkelens energi være for at den med 96% sannsynlighet skal bli transmittert? 3.5 ev 4.0 ev 4.5 ev 5.0 ev 5.5 ev 45 Oppgave 45-50: Figuren viser en kjemisk reaksjon med relevans innen kjemoterapi: Reaksjonen skal studeres med Hartree-Fock-beregninger, der enpartikkeltilstandene (molekylorbitalene) uttrykkes som en lineærkombinasjon av atomære basisfunksjoner. et valgte basissettet inkluderer og for hydrogenatomene og og for de øvrige atomene. Hvor mange basisfunksjoner er inkludert totalt? /22

20 46 I grunntilstanden, med totalt elektronspinn, hvor mange molekylorbitaler er okkupert av elektroner i reaksjonsproduktet H 2 NH 2 H 2 5 N 5 H 5 O +? (H,, N og O har atomnummer henholdsvis 1, 6, 7 og 8.) Hvor mange vibrasjonsfrihetsgrader ("normale vibrasjonsmoder") har reaksjonsproduktet H 2 NH 2 H 2 5 N 5 H 5 O +? La angi summen av antall vibrasjonsfrihetsgrader for de to reaktantene, og la angi antall vibrasjonsfrihetsgrader for reaksjonsproduktet H 2 NH 2 H 2 5 N 5 H 5 O +. Hvor stor er da differansen? 20/22

21 I en Hartree-Fock-beregning øker beregningstiden på en gitt datamaskin omtrent med antall basisfunksjoner opphøyd i fjerde potens. nta at beregningstiden for H 2 NH 2 H 2 + er 18 sekunder. Hva er da omtrent forventet beregningstid for reaksjonsproduktet H 2 NH 2 H 2 5 N 5 H 5 O +? 1 minutt 1 time 8 timer 1 døgn 1 uke 50 en beskrevne reaksjonen modelleres ved å redusere avstanden mellom et nitrogenatom i den ene reaktanten og et karbonatom i den andre stegvis fra 2.8 til 1.5 Å: 21/22

22 I følge denne beregningen, omtrent hvor mye energi frigjøres (som varme) pr reaksjon? (1 cal = J; 1 mol (reaksjoner) = (reaksjoner)) 1.2 pev 1.2 nev 1.2 ev 1.2 mev 1.2 ev 22/22