I alt 20 deloppgaver som normalt gis lik vekt i vurderingen.

Transkript

1 FY desember 018 Side 1 av 7 I alt 0 deloppgaver som normalt gis lik vekt i vurderingen. Oppgave 1. Litt av hvert. (Poeng: 50) a) Maksimal intensitet (pr blgelengdeenhet) i stralingen fra sola opptrer ved ca 510 nm. Hva er impulsen (bevegelsesmengden) til et foton med denne blgelengden? b) I et transmisjonselektronmikroskop (TEM) akselereres elektroner slik at de oppnar kinetisk energi i omradet 100 { 400 kev. Hva er blgelengden til et elektron med kinetisk energi 10 kev? c) Partikler med masse (som elektroner, protoner etc) betegnes som relativistiske dersom deres kinetiske energi er av samme strrelsesorden som eller strre enn deres hvileenergi mc. Et proton akselereres slik at det oppnar en kinetisk energi.50 GeV. Hva er da protonets hastighet? d) Et mye brukt kjlemiddel i moderne kjleskap og frysere er isobutan, med kjemisk formel C 4 H 10. Hva er molekylenes termiske de Broglie blgelengde i isobutangass ved absolutt temperatur 300 K? e) Den kosmiske bakgrunnsstralingen (CMB) tilsvarer straling fra et svart legeme med absolutt temperatur :7548 0:00057 K. Ved hvilken blgelengde har CMB maksimal intensitet? (Tips: Wiens forskyvningslov.) f) Avbildning med kjernemagnetisk resonans (MRI) er basert pa at en magnetisk dipol med magnetisk moment har en potensiell energi som avhenger av dipolens orientering i et ytre magnetfelt B, V = B. Anta hydrogenkjerner med ett proton og kvantisert magnetisk moment z = :798 N, med retning parallelt eller antiparallelt med et ytre magnetfelt B = B ^z langs z{aksen. Slike kjerner kan da absorbere (og reemittere) fotoner med en energi som tilsvarer at den magnetiske dipolen skifter retning. Bestem fotonenes blgelengde (i vakuum og luft) nar styrken pa magnetfeltet er 8.0 T. g) Fosforatomet (P) har 15 elektroner. Elektronkongurasjonen er 1s s p 6 3s 3p 3. Bruk Hunds regel til a fastlegge totalt elektronspinn i grunntilstanden til et fosforatom. h) Vibrasjoner i karbonmonoksyd, CO, kan med brukbar tilnrmelse betraktes som en enkel endimensjonal harmonisk oscillator, med egenfrekvens =!= ' 6: Hz. Omtrent hvor hy temperatur ma da til for a eksitere CO fra laveste til nest laveste vibrasjonsniva? i) Rotasjonsbevegelsen til CO-molekylet kan med brukbar tilnrmelse betraktes som en stiv rotator. C og O har atommasser hhv m C = 1u og m O = 16u, og bindingslengden i molekylet er d = 0:143 nm. Omtrent hvor hy temperatur ma da til for a eksitere CO fra laveste til nest laveste rotasjonsniva? j) Translasjonsenergien til CO-molekylet kan som regel betraktes med klassiske briller, men dersom molekylet tvinges til a bevege seg pa et tilstrekkelig lite omrade, ma ogsa translasjonsenergien beskrives med kvantemekanikk. Anta at et CO-molekyl benner seg i en endimensjonal og praktisk talt uendelig dyp potensialbrnn med bredde 10 nm. Omtrent hvor hy temperatur ma da til for a eksitere CO fra laveste til nest laveste translasjonsniva? (Tips: Partikkel i boks.) Oppgitt for h, i og j: Tilgjengelig termisk energi ved absolutt temperatur T er ca k B T. Sett E ' k B T.

2 FY desember 018 Side av 7 Oppgave. Operatorer. (Poeng: 15) a) Vis at (x) = e ikx er egenfunksjon til impulsoperatoren ^p x og bestem tilhrende egenverdi. b) Vis at (x; y) = x + iy er egenfunksjon til operatoren for dreieimpulsens z-komponent ^Lz og bestem tilhrende egenverdi. c) Vis at ^p y kommuterer med hamiltonoperatoren for en fri partikkel i to dimensjoner,! h = Oppgave 3. Ikke-stasjonr starttilstand for partikkel i boks. (Poeng: 5) Den romlige delen av grunntilstanden er 1(x) = r L sin k 1x for en partikkel med masse m i en uendelig dyp potensialbrnn med bredde L. (Dvs, V (x) = 0 for 0 < x < L og V = 1 ellers.) Her er k 1 = =L. En ikke{stasjonr og normert starttilstand (x; 0) = 1 p L kan uttrykkes som en linerkombinasjon av stasjonre lsninger av TUSL, slik at tidsutviklingen for t > 0 deretter blir (x; 0) = (x; t) = 1X n=1 1X n=1 c n n (x) c n n (x)e ient=h : Beregn koesienten c 1. Tips: Se formelvedlegg, ving og forelesningsnotater. Det oppgis at L 0 sin(x=l)dx = L=:

3 FY desember 018 Side 3 av 7 Oppgave 4. Endimensjonal modell for atom og toatomig molekyl. (Poeng: 10) Figuren viser en endimensjonal modell for hhv et enkelt atom A og et toatomig molekyl A. For atomet er potensialet V (z) = 9:0 ev for 0 < z < 0:50 nm, og V (z) = 0 ellers. For molekylet er potensialet V (z) = 9:0 ev for 0 < z < 0:50 nm og 0:55 < z < 1:05 nm, og V (z) = 0 ellers. La oss anta at hvert A-atom har 3 elektroner som ikke vekselvirker med hverandre, verken i atomet eller i molekylet. a) Skisser kvalitativt grunntilstanden og 1. eksiterte tilstand for et elektron i atomet A. Skisser ogsa kvalitativt grunntilstanden og 1. eksiterte tilstand for et elektron i molekylet A. b) De laveste energinivaene i atomet er ev og ev. De 4 laveste energinivaene i molekylet er -8.9 ev, ev, ev og ev. (Angitt i guren.) Regn ut molekylets bindingsenergi, dvs energidieransen mellom separate A-atomer og et A -molekyl. (Husk Pauliprinsippet, og husk at hver romlige tilstand { orbital { gir opphav til to enpartikkeltilstander nar vi tar hensyn til at et elektron har to spinnmuligheter, opp og ned.)

4 FY desember 018 Side 4 av 7 Oppgave 5. Krystaller og halvlederfysikk. (Poeng: 0) a) Hva sier Blochs teorem om egenskapene til blgefunksjoner som beskriver elektroner i en perfekt krystall? b) Figuren viser de re laveste energibandene E n (k), dvs elektronenes tillatte energier E som funksjon av ka, der k er blgetallet i en endimensjonal modell av en krystall med gitterkonstant (dvs avstand mellom naboatomer) a = 0:30 nm. Energibandene i denne modellen kan beskrives matematisk pa formen E n (k) = C n 1 ( 1) n cos ka 5 med C n = n ev for n = 1; ; 3; 4. Hvert energiband inneholder N ulike tilstander. Her er N antall atomer i krystallen, og faktoren skyldes at hver romlige tilstand (orbital) kan kombineres med to ulike spinntilstander, spinn opp eller spinn ned. Anta at hvert atom i denne krystallen inneholder 6 elektroner. Forklar hvordan energibandene okkuperes (fylles) med elektroner i grunntilstanden, i det du tar hensyn til Pauliprinsippet. Hvorfor er denne krystallen en halvleder, og ikke et metall eller en isolator? (Tips: Regn ut strrelsen pa bandgapet.) c) Ved normale temperaturer vil en liten andel av elektronene ved toppen av valensbandet (n = 3) vre eksitert til tilstander nr bunnen av ledningsbandet (n = 4). Hva er her den eektive massen m e til et elektron med energi nr bunnen av krystallens ledningsband? (Tips: For ka 1 er cos ka ' 1 k a = slik at E n (k) ' C n 1 ( 1) n =5 + ( 1) n k a =10.) d) Ved a erstatte noen av atomene i denne perfekte krystallen med andre atomer, kan man lage henholdsvis en p{type og en n{type halvleder. Forurensningsatomene ma da ha hhv ledig(e) og okkupert(e) tilstand(er) med passende energi(er). Omtrent hvor ligger disse passende energinivaene for denne endimensjonale modellkrystallen? Forklar kort hvordan slike urenheter pavirker materialets elektriske ledningsevne. ;

5 FY desember 018 Side 5 av 7 FORMLER OG UTTRYKK. Formlenes gyldighetsomrade og symbolenes betydning antas a vre kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. Vektorer med fete typer. Plancks stralingslov (I(; T ) = utstralt energi pr tids-, ate- og frekvensenhet): I(; T ) = h 3 c e h=k BT 1 Wiens forskyvningslov (for maksimal I(; T ) ved gitt temperatur T ): T = : Km Fotoelektrisk eekt: Lorentzfaktor: Relativistisk impuls: Newtons. lov: Relativistisk energi: U = h e W e = 1 v =c 1= E = mc E 0 = mc p = mv F = dp dt K = E E 0 = ( 1)mc E = (pc) + mc Elastisk prosess: E, p, K og m bevart. Uelastisk prosess: E og p bevart. Blger: de Broglie: Termisk de Broglie blgelengde: c = = h=p ; = E=h = h p 3mkB T Schrodingerligningen (SL): Tidsuavhengig Schrodingerligning = b H bh = E

6 FY desember 018 Side 6 av 7 Operatorer: Heisenbergs uskarphetsprinsipp: bp x = ; c K = h m r x p h= x p 1 jh[bx; bp]ij ; f(p)! f(bp) Kommutator: [bx; bp] = bxbp bpbx Stasjonr tilstand: (x; t) = (x)e iet=h Forventningsverdier: hxi = x dx ; hp x i = dx ; hf i = b F d Blgepakke: (x; t) = X j c j j (x)e ie jt=h ; c j = j (x) (x; 0)dx ; hf i = X j jc j j F j Grensebetingelser: (x) kontinuerlig overalt, d =dx diskontinuerlig kun ved 1 sprang i V (x) Sannsynlighetsstrm: Usikkerhet: Ehrenfests teorem: Harmonisk oscillator: x = j = Re q q hx i hxi ; p = hp i hpi d dt hri = p m ; E n = d hpi = hrv i dt n + 1 h! Stiv rotator: E l = l(l + 1)h I ; l = 0; 1; ; : : : ; I = treghetsmoment = X j m j r j Redusert masse : Konstruktiv interferens: 1 = 1 m m + : : : d sin = n

7 FY desember 018 Side 7 av 7 Fundamentale konstanter: k B = 1: J=K N A = 6: mol h = 6: Js h = h= = 1: Js e = 1: C m e = 9: kg m p = 1: kg m n = 1: kg u = 1: kg c = : m=s = e =4" 0 hc = 1=137:0 a 0 = 4" 0 h =e m e = 0:59 A B = eh=m e = 9: J=T N = eh=m p = 5: J=T R 1 = 1 m ec = 13:61 ev 1 Omregningsfaktorer: 1 ev = 1: J 1 A = 0:1 nm = m 1 T = 10 4 G (gauss) k B T ' 1 ev ved T = 300 K 40