Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller eksponent lik null. Hvordn vi rskt kn multiplisere og dividere potenser med smme grunntll. Hvordn vi beregner en potens med en nnen potens som grunntll. Kpittel. Potensregning Side
. Hv er en potens i mtemtikken? Ofte hr vi bruk for å multiplisere et tll med seg selv to eller flere gnger. D bruker vi en kortere skrivemåte slik som eksemplene under viser. Eksempel x x x De tre høyresidene er eksempler på potenser. I potensen klles for grunntllet og for eksponenten. Eksponenten skl stå oppe til høyre for grunntllet og skl skrives med mindre skrift enn grunntllet. Det skl være lett å se forskjell på og! Advrsel: Du må ikke blnde smmen, som betyr og er lik 9, med, som er lik! Oppgve Regn ut potensene uten klkultor:,,, (-), Oppgve Finn ut hvilken tst du må bruke på klkultoren og regn ut:,,. Multiplisere potenser med smme grunntll Hvordn kn du regne ut et produkt v to potenser med smme grunntll, f.eks.? Det er ikke meningen t du skl regne ut hvilket tll dette blir, men skrive svret som en ny potens. Dette er egentlig lett. Vi hr et produkt med tretll og et produkt med tretll. Når disse to produktene multipliseres, må det bli + = tretll, slik: = = Vi multipliserer to potenser med smme grunntll ved å legge smmen eksponentene. Kpittel. Potensregning Side
Eksempel 8 x x x Oppgve Multipliser potensene og skriv svret som en ny potens. ) b) c) 0 0 d). Dividere potenser med smme grunntll Divisjon v to potenser skriver vi nesten lltid med brøkstrek. D kn vi bruke kunnskp om brøkforkorting for å utføre divisjonen. Eksempel Vi forkortet ltså bort firetll slik t det ble igjen = firetll. Når vi dividerer to potenser med smme grunntll trekker vi eksponenten i nevner fr eksponenten i teller. Kpittel. Potensregning Side
Eksempel 0 0 0 0 7 7 x x x x Oppgve Divider potensene og skriv svret som en ny potens. ) 8 8 b) c) d) z z 8 Vi må ofte bruke begge disse reglene i smme oppgve: Eksempel 8 7 7 0 0 0 0 0 0 0 Oppgve Skriv disse uttrykkene som en potens. ) 8 b) c) Kpittel. Potensregning Side 7
. Regne ut potens hvor grunntllet er en potens 0 er et eksempel på en potens hvor grunntllet også er en potens. Hvis vi tenker over hv 0 egentlig betyr, ser vi t 0 0 0 0 0 0 0 Her må vi ltså multiplisere de to eksponentene. En potens v en potens regner vi ut ved å multiplisere eksponentene. Du må ikke blnde smmen 0 0 0 og 0 0! Oppgve Gjør disse potensene enklere: ) b) 8 c) x d) Nå forenkler vi to uttrykk hvor vi må bruke lle reglene for potensregning vi hr lært hittil: Eksempel 8 9 Oppgve 7 Gjør disse uttrykkene så enkle som mulig. ) b) c) Kpittel. Potensregning Side 8
. Potenser hvor eksponenten er null eller negtiv I brøken er telleren og nevneren like store slik t denne brøken må være lik. Men hv får vi ved å bruke regelen for divisjon v potenser? Jo: 0 gnget med seg selv null gnger kn ikke h noen direkte mening, men hvis vi er så smrte t vi lr 0 bety, kn vi bruke potensregelen også på denne brøken. Viktig: Alle tll opphøyd i null er lik! 0 = for lle tll. Advrsel: Du må heretter ldri tro t 0 er lik 0!! 0 =! Derimot er 0 lik 0. Oppgve 8 Hvor mye er ) 0 0 b) 0 c) (-) 0? Hv får vi hvis vi bruker divisjonsregelen på brøken? Jo: (du er vel klr over t - = - og ikke?) Men dette svret er heller ikke meningsløst. I brøken sitter d igjen med femtll i nevner. Det betyr t kn vi forkorte bort femtll, og D gjør vi det genile og sier t - skl bety. På smme måte hr vi også: Kpittel. Potensregning Side 9
Eksempel 7 0 0 n n n betyr n for lle verdier v (unnttt 0) og n. Advrsel: Du må heretter ldri tro t 0 - = -0 eller t - = - eller -8!! Av og til kn det være nyttig å merke seg t en potens med negtiv eksponent under en brøkstrek, er lik en potens med positiv eksponent over brøkstreken. D blir noen uttrykk enklere å regne ut. Eksempel 8 8 (I de to første eksemplene skriver vi ikke brøkstreken fordi vi får i nevneren.) Oppgve 9 Skriv om brøkene slik t det ikke blir noen potenser med negtiv eksponent. ) 0 b) c) d) Heldigvis virker lle potensreglene like br også for eksponenter som er null og negtive: Kpittel. Potensregning Side 0
Eksempel 9 0 0 7 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x x Oppgve 0 Skriv disse uttrykkene som en potens. ) b) 0 c) 0 0 d) e) 0 0 ( ) Kpittel. Potensregning Side
. Potensuttrykk med flere grunntll I noen eksmensoppgver forekommer det potenser med to eller tre ulike grunntll. D er det to muligheter:. Ingen v grunntllene kn skrives som en potens v et v de ndre grunntllene D bruker vi potensreglene på hver v potensene som hr ulike grunntll. Eksempel 0 ( ) ( ) Oppgve Gjør disse uttrykkene så enkle som mulige: ) b) 0 0. Ett eller flere v grunntllene kn skrives som en potens v et nnet grunntll Eksempel Det ser ved første øyekst ikke ut som om uttrykket kn skrives som én potens. Men fordi = går det likevel: Det kn være nyttig å se t =, 8 =, =, 9 = og 7 =. Oppgve Gjør disse uttrykkene så enkle som mulige. ) b) 8 c) d) 9 e) Slike omskrivinger får du bruk for i noen v eksmensoppgvene i potensregning. Kpittel. Potensregning Side
7. Potens hvor grunntllet er et produkt eller en brøk Eksempel I potensen (x) er grunntllet et produkt v fktorene og x. Dette kn vi skrive uten prenteser slik: (x) = x x x = x x x = x På lignende måte hr vi t ( ) = = = Oppgve Skriv disse uttrykkene uten prenteser. Du behøver ikke t med mellomregninger slik som det er gjort i eksemplene ovenfor. ) ( ) b) c) b d) Kpittel. Potensregning Side
Blndede oppgver B (Eksmen P høst 008, Del ) Skriv uttrykkene så enkelt som mulig: ) ( 9) ( ) b) ( ) ( ) B (Eksmen P høst 009, Del ) Skriv så enkelt som mulig: 8. B (Eksmen P vår 00, Del ) Regn ut ( ) B (Eksmen P vår 0, Del ) Regn ut ) 0 b) 8 B (Eksmen P høst 0, Del ) Regn ut ) 8 b) B (Eksmen P høst 0, Del ) Skriv så enkelt som mulig 0 Kpittel. Potensregning Side
B7 (Eksmen P høst 0, Del ) Regn ut og skriv svret som et helt tll ) 0 b) B8 (Eksmen P vår 0, Del ) Hvilken v de to brøkene A og B nedenfor hr størst verdi? A: B: B9 (Osloprøve P vår 0, Del ) Gjør disse uttrykkene så enkle som mulige: ) b) B0 (Osloprøve P vår 0, Del ) Ordne disse brøkene i stigende rekkefølge (slik t den minste står først osv.).,,, Kpittel. Potensregning Side
B (Eksmen P vår 0, Del ) Petter vil sende en epost med en mtemtikkoppgve til to personer. jnur. Ant t hver v personene sender e-posten videre til to nye personer dgen etter, t hver v de fire som d får den, også sender den videre til to nye personer dgen etter t de mottok den, og t eposten fortsetter å spres på smme måte i dgene frmover. ) Hvor mnge personer vil mott e-posten. jnur? b) På hvilken dto vil ntll motttte eposter på én dg for første gng bli større enn en millird? Kpittel. Potensregning Side
Fsit Fsit øvingsoppgver Oppgve, 8,, 9, Oppgve, 78 Oppgve ) b) 0 c) 0 d) Oppgve ) 8 b) c) d) z Oppgve ) 7 b) c) Oppgve ) b) 8 0 c) x d) 8 Oppgve 7 ) 7 b) c) Oppgve 8 ) b) c) Oppgve 9 ) 0 b) c) d) Oppgve 0 ) b) c) 0 7 d) 0 7 e) Oppgve ) b) 0 Oppgve ) b) c) d) e) 7 Oppgve ) b) c) b d) Fsit blndede oppgver B ) b) = B B B ) - b) 8 B ) b) 8 B B7 ) b) 8 B8 A B B ( ) B9 ) b) B0 9 9 8 B ) b) 0. jnur Kpittel. Potensregning Side 7